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初中數學5個幾何典型例題
一、解決幾何最值問題的通常思路
兩點之間線段最短；
直線外一點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時取到最值）
是解決幾何最值問題的理論依據，根據不同特征轉化是解決最值問題的關鍵．通過轉化減少變量，向三個定理靠攏進而解決問題；直接調用基本模型也是解決幾何最值問題的高效手段。
幾何最值問題中的基本模型舉例
軸對稱最值
圖形
原理
兩點之間線段最短
兩點之間線段最短
三角形三邊關系
特征
A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求AP+BP的最小值
A，B為定點，l為定直線，MN為直線l上的一條動線段，求AM+BN的最小值
A，B為定點，l為定直線，P為直線l上的一個動點，求|AP-BP|的最大值
轉化
作其中一個定點關于定直線l的對稱點
先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個定點關于定直線l的對稱點
作其中一個定點關于定直線l的對稱點
折疊最值
圖形
原理
兩點之間線段最短
特征
在△ABC中，M，N兩點分別是邊AB，BC上的動點，將△BMN沿MN翻折，B點的對應點為B'，連接AB'，求AB'的最小值．
轉化
轉化成求AB'+B'N+NC的最小值
二、典型題型
1．如圖：點P是∠AOB內一定點，點M、N分別在邊OA、OB上運動，若∠AOB=45°，OP=，則△PMN的周長的最小值為　 　．
【分析】作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據對稱的性質可以證得：△COD是等腰直角三角形，據此即可求解．
【解答】解：作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．
∵PC關于OA對稱，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
則CD=OC=×3=6．
【題后思考】本題考查了對稱的性質，正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．
2．如圖，當四邊形PABN的周長最小時，a=　　　　　　．
【分析】因為AB，PN的長度都是固定的，所以求出PA+NB的長度就行了．問題就是PA+NB什么時候最短．
把B點向左平移2個單位到B′點；作B′關于x軸的對稱點B″，連接AB″，交x軸于P，從而確定N點位置，此時PA+NB最短．
設直線AB″的解析式為y=kx+b，待定系數法求直線解析式．即可求得a的值．
【解答】解：將N點向左平移2單位與P重合，點B向左平移2單位到B′（2，﹣1），作B′關于x軸的對稱點B″，根據作法知點B″（2，1），
設直線AB″的解析式為y=kx+b，
則，解得k=4，b=﹣7．
∴y=4x﹣7．當y=0時，x=，即P（，0），a=．
故答案填：．
【題后思考】考查關于X軸的對稱點，兩點之間線段最短等知識．
3．如圖，A、B兩點在直線的兩側，點A到直線的距離AM=4，點B到直線的距離BN=1，且MN=4，P為直線上的動點，|PA﹣PB|的最大值為　　　　　　．
【分析】作點B于直線l的對稱點B′，則PB=PB′因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|，則當A，B′、P在一條直線上時，|PA﹣PB|的值最大．根據平行線分線段定理即可求得PN和PM的值然后根據勾股定理求得PA、PB′的值，進而求得|PA﹣PB|的最大值．
【解答】解：作點B于直線l的對稱點B′，連AB′并延長交直線l于P．
∴B′N=BN=1，
過D點作B′D⊥AM，
利用勾股定理求出AB′=5
∴|PA﹣PB|的最大值=5．
【題后思考】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，勾股定理等，熟知“兩點之間線段最短”是解答此題的關鍵．
4．動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5．如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為　 　．
【分析】本題關鍵在于找到兩個極端，即BA′取最大或最小值時，點P或Q的位置．經實驗不難發現，分別求出點P與B重合時，BA′取最大值3和當點Q與D重合時，BA′的最小值1．所以可求點A′在BC邊上移動的最大距離為2．
【解答】解：當點P與B重合時，BA′取最大值是3，當點Q與D重合時（如圖），由勾股定理得A′C=4，此時BA′取最小值為1．
則點A′在BC邊上移動的最大距離為3﹣1=2．
故答案為：2
【題后思考】本題考查了學生的動手能力及圖形的折疊、勾股定理的應用等知識，難度稍大，學生主要缺乏動手操作習慣，單憑想象造成錯誤．
5．如圖，直角梯形紙片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，點E、F分別在線段AB、AD上，將△AEF沿EF翻折，點A的落點記為P．當P落在直角梯形ABCD內部時，PD的最小值等于　　　　　　．
【分析】如圖，經分析、探究，只有當直徑EF最大，且點A落在BD上時，PD最小；根據勾股定理求出BD的長度，問題即可解決．
【解答】解：如圖，
∵當點P落在梯形的內部時，∠P=∠A=90°，
∴四邊形PFAE是以EF為直徑的圓內接四邊形，
∴只有當直徑EF最大，且點A落在BD上時，PD最小，
此時E與點B重合；
由題意得：PE=AB=8，
由勾股定理得：
BD2=82+62=80，
∴BD=，
∴PD=．
【題后思考】該命題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法，以考查全等三角形的判定及其性質的應用為核心構造而成；解題的關鍵是抓住圖形在運動過程中的某一瞬間，動中求靜，以靜制動．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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