資源簡介

《第十一章 三角形》復習課教學設計
一、目標與策略
明確學習目標及主要的學習方法是提高學習效率的首要條件，要做到心中有數！
學習目標：
了解三角形的邊、高、中線、角平分線的定義及性質；
掌握三角形的內角和及多邊形的內角和公式；
通過三角形的內角和來確定三角形的外角和以及多邊形的外角和；
會利用多邊形的內角和公式求多邊形的邊數、角度數、外角度數等；
掌握多邊形內角和性質的應用．
重點難點：
重點：三角形的三邊關系，以及三角形內角和定理的綜合應用．
難點：難點是鑲嵌問題，它綜合運用到多邊形內角和以及正多邊形等知識．
學習策略：
在充分理解三角形及多邊形的邊及角的相關概念和性質的基礎上，體會其中蘊含的轉化的數學思想，并能靈活運用所學鑲嵌知識進行圖形的設計和解決實際生活中的問題。
二、學習與應用
知識點一：三角形的有關的概念
（一）三角形定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，組成三角形的線段叫做三角形的 ，相鄰兩邊上的公共點叫做三角形的 ，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的 ，簡稱三角形的 ．
注意：通過三角形的定義可知，三角形的特征有：
（1）三條線段；
（2）不在 直線上；
（3）首尾順次連接． 這是判定是否是三角形的標準．
（二）三角形的表示方法：“三角形”用符號“ ”表示，頂點是A，B，C的三角形，記作“ ”，讀作“三角形ABC”．
（三）三角形的分類
（四）三角形的三邊關系
（1）三邊關系：三角形的任意兩邊之和 第三邊，任意兩邊之差
第三邊，三角形的三邊關系反應了任意三角形邊的限制關系．
（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于 線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形． 當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
注意：
（1）這里的“兩邊”指的是任意的兩邊． 對于“兩邊之差”它可能是正數，也可能是負數，一般地取“差”的絕對值；
（2）三角形的三邊關系是“ ”的具體應用．
知識點二：三角形的高、中線、角平分線
（一）三角形的高：從三角形的一個 向它的對邊所在的直線作 ，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高．
注意：
（1）三角形的高線是一條 ；
（2）銳角三角形的三條高都在三角形 ，三條高的交點也在三角形 部；鈍角三角形有兩條高落在三角形的 部，一條在三角形內部，三條高所在直線交于三角形 一點；直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條直角邊，另一條在三角形的內部，它們的交點是直角的 ．
（3）三角形的三條高交于一點，這一點叫做三角形的 ．
（二）三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的 的線段叫做三角形的中線．
注意：
（1）三角形的中線是一條 ；
（2）三角形的每一條中線將三角形分成兩個面積 的三角形；
（3）三角形三條中線交于三角形內一點，這一點叫做三角形的 ．
（三）三角形的角平分線：在三角形中，一個內角的 和對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線．
注意：
（1）三角形的角平分線是一條 ；
（2）三角形的三條角平分線交于三角形內一點，這一點叫做三角形的
．
知識點三：三角形的內角與外角
（一）三角形的內角：
（1）定義：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的 角．
（2）三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于　　　　．
（3）三角形內角和定理的作用：①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角度數；③求一個三角形中各角之間的關系．
（二）三角形的外角
（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的 ． 三角形的外角和為 °．
（2）特點：
①外角的頂點在三角形的一個頂點上；
②外角的一條邊是三角形的一邊；
③外角的另一條邊是三角形某條邊的 ．
（3）性質：
①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個 的和．
②三角形的一個外角 （大于，等于或小于）與它不相鄰的任何一個內角．
知識點四：多邊形
（一）多邊形的定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形． 各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做 ．
注意：各個角都相等、各條邊都相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可． 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角都相等的四邊形才是正方形．
（二）多邊形的對角線：連接多邊形 的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．
從邊形的一個頂點出發，可以畫 條對角線，邊形一共有
條對角線．
（三）多邊形的內角和公式：邊形的內角和為 ．
內角和公式的應用：
（1）已知多邊形的邊數，求其內角和；
（2）已知多邊形內角和，求其邊數．
（四）多邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于 ．
外角和定理的應用：
（1）已知外角度數，求正多邊形邊數；
（2）已知正多邊形邊數，求外角度數．
知識點五：鑲嵌
（一）平面鑲嵌的定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）．
（二）鑲嵌的條件：當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個
時，就能拼成一個平面圖形．
類型一：數學思想方法的應用
（一）分類思想
例1 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為（ ）．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
思路點撥：銳角三角形的高都在三角形的內部，鈍角三角形的高有兩條在三角形的外部，應進行分類討論．
答案：
總結升華： 　　
　　
舉一反三：
☆【變式1】已知BD、CE是△ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為50°，則∠BAC的度數為 ．
答案：
【變式2】有四條線段，它們的長分別為1cm，2cm，3cm，4cm，從中選出三條組成三角形，正確的選法有（ ）
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
解析：
總結升華： 　　
（二）轉化思想
例2．（1）如圖1是一個五角星ABCDE，請算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小．
（2）如圖2，3，4，5的變式圖形中，上面的結論成立嗎？為什么。
思路點撥：本題是一題多變題，先求出圖1中各角之和，其他圖形是否有相同的結論同理可證．
圖1 圖2 圖3
圖4 　　 圖5
解析：
總結升華： 　　
　　
舉一反三：
【變式1】如下圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝　　　　。
解析：
【變式2】一個零件的形狀如下圖所示，規定∠A＝90°，∠B和∠C分別是32°和
21°，檢驗工人量得∠BDC＝149°，就斷定這個零件不合格，請你運用三角形的有關知識說明零件不合格的原因。
解析：
（三）方程思想
例3．在△ABC中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A的度數．
思路點撥：由三角形的內角和，建立方程解決．
解析：
總結升華： 　　
舉一反三：
【變式1】如下圖，若等腰三角形中，一腰上的中線把它的周長分為15cm和6cm的兩部分，求該三角形各邊的長。
解：
☆【變式2】已知從多邊形一個頂點出發的所有對角線，將多邊形分成三角形的個數恰好等于該多邊形所有對角線條數，求多邊形內角和。
思路點撥：根據從n邊形一個頂點引出的對角線，把多邊形分成 個三角形，共有 條對角線，列出方程，先求出多邊形的邊數n，再進一步求內角和。
解析：
類型二：三角形內角和定理
例4．如圖所示，已知D是AB上一點，E是AC上的一點，BE、CD相交于點F，
∠A＝62°，∠ACD＝15°，∠ABE＝20°．
（1）求∠BDC的度數；
（2）求∠BFD的度數；
（3）試說明∠BFC＞∠A．
思路點撥：∠BDC是△ADC的一個外角，由三角形的外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角． 可以求出∠BDC和∠BFC＞∠A。然后根據三角形內角和定理，求出∠BFD。
解析：
總結升華： 　　
　　
舉一反三：
【變式1】已知：如圖，在ΔABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于H，求∠BHC的度數。
思路點撥：由已知可求出∠A、∠B、∠C，在RtΔABD中，∠1＝90°－∠A，在RtΔBEH中，∠2＝90°－∠1，而∠2是∠BHC的鄰補角，∴∠BHC＝180°－∠2即可求出。
解析：
【變式2】如圖，已知D為ΔABC內任一點，求證：∠BDC＞∠ABD。
思路點撥：要證 ，這兩個角度沒有直接關系，如連結 并延長，則在ΔABD中有∠1＞∠ABD，而∠BDC＞ ，所以 。
證明：
類型三：三角形三邊性質
例5．如圖，點P是△ABC內一點，比較BP+CP與AB+AC的大小．
思路點撥：三邊關系是說明不等式問題的首選方法：尋找或構造一個新的三角形，使它與已知的兩個三角形聯系起來．
解析
總結升華： 　　
舉一反三：
【變式1】不等邊三角形的邊長都是整數，且周長是12，這樣的三角形共有　　個。
解析：
【變式2】已知：如圖，P為ΔABC內任一點。求證：PA＋PB＋PC＞（AB＋BC＋AC）
證明：
類型四：實踐應用
例6．某公園便道用三種不同的正多邊形地磚鋪設，其中已選好了用正十二邊形和正方形兩種，還需要選用 ，使這三種組合在一起把便道鋪滿．
思路點撥：當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角和加在一起恰好組成一個
時，就能拼成一個平面圖形．
解析：
總結升華： 　　
　　
舉一反三：
【變式】（煙臺市中考題）現有四種地面磚，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等．同時選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
解析：
例7 餐館的廚房有一塊90cm長，54cm寬的長方形墻面準備貼上瓷磚，現在已經買了18cm×12cm的瓷磚24塊，6cm×6cm的瓷磚三塊，請你幫忙設計一種鋪設方案，并說明設計意圖．
思路點撥：此類問題應先進行有關的運算，再尋找合理的設計方案．
解析：
總結升華： 　　
舉一反三：
【變式】如圖，某部隊在燈塔A周圍進行爆破作業，A的周圍3千米內的區域為危險區域，有一漁船誤入離A為2千米的B處，為了盡快駛離危險區域，該船應沿哪條射線方向航行？
（要求給予證明）
解析：
三、總結與測評
要想學習成績好，總結測評少不了！課后復習是學習不可或缺的環節，它可以幫助我們鞏固學習效果，彌補知識缺漏，提高學習能力。
三角形是最簡單的多邊形，是研究復雜圖形的基礎，在解決多邊形的內角和問題時，通常轉化為與三角形相關的角來解決．三角形有很多重要性質，如穩定性，三角形內角和等于等，這些在生產和生活中有廣泛的應用． 通過本章學習可以進一步豐富對圖形的認識和感受，提高同學們的思考和說服能力． 在運用多邊形的內角和公式與外角的性質求值時，常與方程思想相結合． 數形結合思想和轉化思想在本章中體現較為明顯，如三角形的三邊關系、內角和、外角和的語言表述與符號、數字之間的互化；多邊形問題通過連接對角線轉化為三角形問題等． 本章內容是中考的必考內容，主要考查三角形的三邊關系、三角形內角和、多邊形內角和、平面鑲嵌及其簡單的應用，常以填空題、選擇題的形式命題．
“凡事預則立，不預則廢”。科學地預習才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。我們要在預習的基礎上，認真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記。
知識要點——預習和課堂學習
認真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內容補充完整，帶著自己預習的疑惑認真聽課學習，請在虛線部分填寫預習內容，在實線部分填寫課堂學習內容。課堂筆記或者其它補充填在右欄。
經典例題-自主學習
認真分析、解答下列例題，嘗試總結提升各類型題目的規律和技巧，然后完成舉一反三。若有其它補充可填在右欄空白處。
總結規律和方法——強化所學
認真回顧總結本部分內容的規律和方法，熟練掌握技能技巧。

展開更多......

收起↑