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(總課時28)§3.7 切線長定理
一.選擇題：
1.如圖1，已知⊙O分別與△ABC的BC邊、AB的延長線、AC的延長線相切，則∠BOC等于( C )
A. ∠A B. 90°＋∠A C. 90°－0.5∠A D. 180°－0.5∠A
2.如圖2，△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內切圓，點D是其中的一個切點，已知AD＝10cm，小明準備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形(△AMN)，則剪下的△AMN的周長為（ A ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 隨直線MN的變化而變化
3.圓外切等腰梯形的一腰長是8，則這個等腰梯形的上底與下底長的和為（D）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.如圖3，⊙O是△ABC的內切圓，點D、E分別為邊AB、AC上的點，且DE為⊙O的切線，若△ABC的周長為25，BC的長是9，則△ADE的周長是（A）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 16
5.如圖4，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列結論中，錯誤的是（D）
A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB⊥OP D.PA2=PC PO
二.填空題：
6.如圖5，四邊形 ，以為直徑的⊙切于點，已知，則⊙的半徑為．
7.一個鋼管放在V形架內，如圖6是其截面圖，O為鋼管的圓心．若鋼管的半徑為25cm，∠MPN＝60°，則OP＝50cm
8.如圖7，AC⊥BC于點C，BC＝4，AC＝3，⊙O與直線AB、BC、CA都相切，則⊙O的半徑為2．
9.如圖8，△ABC的內切圓與三邊分別切于點D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，則△ABC的面積為15．
三.解答題：
10.如圖9，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P＝60°，OA＝2，求BC的長．
試題解析：是的切線，
又為等邊三角形．
是的切線，
又是的直徑，
11.如圖10，P是⊙O外的一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，C是弧AB上的任意一點，過點C的切線分別交PA、PB于點D、E.
(1)若PA＝4，求△PED的周長；
(2)若∠P＝40°，則∠AFB=70°．
解：(1)∵DA,DC都是☉O的切線，∴DC=DA
同理：EC=EB,PA=PB∴△PED的周長為
PD+PE+DE=PD+DC+PE+CE=PA+PB=2PA=8
即△PED的周長是8
四.提高題：
12.如圖11，在Rt△ABC中，∠C=30°，以AC上一點O為圓心、OA長為半徑作圓，與邊AC相交于點F，BC與⊙O相切于點D．
⑴求證：點D為線段BC的中點．
⑵若AB=3，點E是半圓上一動點，連接AE，AD，DE，DF，EF.
①當AE＝時，四邊形DAEF為矩形；
②當點E運動到半圓中點時，DE=．
解（1）證明：連接DO.∵BC與⊙O相切于點D，∴∠ODC=90°．
∵∠C=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OA ，∴∠DAO=30°，∴DA=DC
∵∠BAC=90°∴∠B=60°，∠BAD=60°，∴DB=DA ，∴DB=DC∴點D為線段BC的中點．
圖5
圖4
圖3
圖1
圖2
圖7
圖8
圖6
圖9
圖10
圖11
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(總課時28)§3.7 切線長定理
【學習目標】理解切線長定義，證明切線長定理,并能初步運用.
【學習重難點】應用切線長定理解決問題．
【導學過程】
一.知識回顧
1.圓的切線具有的性質：①圓的切線垂直于過切點的半徑.②圓心到切線的距離等于半徑.
2.圓的切線還有哪些判定方法
①：與圓有唯一共公點的直線是圓的切線（定義）
②：圓心到直線的距離等于半徑時，直線是圓的切線.（定量）
③：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線.（定理）
3.三角形的內心是指：三角形三內角平分線的交點.（三角形內切圓的圓心）.
二.探究新知
探究1：切線長定理
1.引入.如圖1，過⊙O外一點P，畫出⊙O的所有切線。
2.切線長定義：過圓外一點，可以作圓的兩條切線，這點與其中一個切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.
3.切線與切線長的區別和聯系
（1）切線是一條與圓相切的直線，不能度量.
（2）切線長是切線上一條線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.
4.切線長定理
如圖2，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點．
⑴這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？
答：是軸對稱圖形.直線OP是對稱軸.
⑵在這個圖中你能找到相等的線段嗎？說說你的理由．
已知：如圖2，PA、PB分別是⊙O的切線，A、B是切點.求證：PA=PB.
證明：連接OA,OB.∵PA、PB分別是⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中，∵OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB
切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等.
符號語言：∵PA、PB切⊙O于點A、B，
∴PA=PB.
探究2：圓的外切四邊形性質
如圖3，四邊形ABCD的四條邊都與⊙O相切，圖中的線段之間有哪些等量關系？與同伴進行交流．
圓的外切四邊形性質：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.
練習1.如圖3，一圓內切于四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形
ABCD的周長為52．
三.典例與練習
例1.已知如圖4，在Rt△ABC的兩條直角邊AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D,E,F，求⊙O的半徑.
解：連接OD,OE,OF,則OD=OE=OF，設OD=r.
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，由勾股定理得AB=26
∵⊙O分別與AB，BC，AC相切于點D,E,F，∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.
又∵∠C=90°，∴四邊形OECF為正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24-r,AF=10-r.
∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r而AB=26，∴34-2r=26∴r=4，⊙O的半徑為4.
經驗小結：在Rt△ABC中，兩直角邊AC=b,BC=a,斜邊AB=c,則內切圓半徑r=
練習2.如圖5，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF，BD，CE的長.
解：設AF=AE=x,BF=BD=y,CE=CD=z,
則：x+y=9
x+z=13 解得：x=4,y=5,z=9.∴AF=4,BD=5,CE=9
y+z=14
例2.如圖6，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，連接OD、OC，下列結論：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE CD，正確的有_4_個．
練習3.如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，點D，E，F分別在線段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，則∠EDF＝63度．
四.課堂小結
1.過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等；
2.圓外切四邊形兩組對邊和相等.
3.直角形內切圓的半徑等于兩直角邊的和與斜邊的差的一半.
五.分層過關
1.如圖8，從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長是( B) A. 4 B. 8 C. 4 D. 8
2.如圖9，PA、PB是⊙O的切線，切點為A、B，若OP＝4，PA＝2，則∠AOB的度數為( C )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 無法確定
3.如圖10，△ABC的內切圓I與AB、BC、CA分別切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，則AD＝6cm，BD＝4cm， CE＝2cm．
4.如圖11，⊙O內切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長度為11.
5.如圖12，PA，PB分別切⊙O于A，B，并與⊙O的切線，分別相交于C，D，已知△PCD的周長等于10cm，則PA=5cm．
6.如圖13，Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D、E，過劣弧DE（不包括端點D，E）上任一點P作⊙O的切線MN與AB，BC分別交于點M，N，若⊙O的半徑為4cm，則Rt△MBN的周長為8cm.
7.如圖14，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD、CE分別與⊙O相切于點D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.
解：∵CD、CE分別與⊙O相切于點D、E，∴CD=CE，
∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，
∵AD=2，∴CE=2．
思考題：
8.如圖15，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，F是CD的中點，連接OF.(1)求證：OD∥BE；
(2)猜想：OF與CD有何數量關系？并說明理由．
(1)證明：連接OE，∵AM、DE是⊙O的切線，∴DA=DE,∠OAD=∠OED=90
又∵OD=OD，∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE；
(2)理由：連接OC，∵BC、CE是O的切線，∴∠OCB=∠OCF，∵AM∥BN，
由(1)得∠ADO=∠EDO，
即在Rt△DOC中，∵F是DC的中點，
方法①借助三角板，畫出⊙O的切線；方法②用圓規和直尺畫出切線.
·
B
A
O
P
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
圖8
圖13
圖12
圖11
圖10
圖9
圖14
圖15
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(總課時28)§3.7 切線長定理
一.選擇題：
1.如圖1，已知⊙O分別與△ABC的BC邊、AB的延長線、AC的延長線相切，則∠BOC等于( )
A. ∠A B. 90°＋∠A C. 90°－0.5∠A D. 180°－0.5∠A
2.如圖2，△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內切圓，點D是其中的一個切點，已知AD＝10cm，小明準備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形(△AMN)，則剪下的△AMN的周長為（ ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 隨直線MN的變化而變化
3.圓外切等腰梯形的一腰長是8，則這個等腰梯形的上底與下底長的和為（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.如圖3，⊙O是△ABC的內切圓，點D、E分別為邊AB、AC上的點，且DE為⊙O的切線，若△ABC的周長為25，BC的長是9，則△ADE的周長是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 16
5.如圖4，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列結論中，錯誤的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB⊥OP D.PA2=PC PO
二.填空題：
6.如圖5，四邊形 ，以為直徑的⊙切于點，已知，則⊙的半徑為______．
7.一個鋼管放在V形架內，如圖6是其截面圖，O為鋼管的圓心．若鋼管的半徑為25cm，∠MPN＝60°，則OP＝____.
8.如圖7，AC⊥BC于點C，BC＝4，AC＝3，⊙O與直線AB、BC、CA都相切，則⊙O的半徑為____．
9.如圖8，△ABC的內切圓與三邊分別切于點D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，則△ABC的面積為____．
三.解答題：
10.如圖9，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P＝60°，OA＝2，求BC的長．
11.如圖10，P是⊙O外的一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，C是弧AB上的任意一點，過點C的切線分別交PA、PB于點D、E.
(1)若PA＝4，求△PED的周長；
(2)若∠P＝40°，則∠AFB=____．
四.提高題：
12.如圖11，在Rt△ABC中，∠C=30°，以AC上一點O為圓心、OA長為半徑作圓，與邊AC相交于點F，BC與⊙O相切于點D．
⑴求證：點D為線段BC的中點．
⑵若AB=3，點E是半圓上一動點，連接AE，AD，DE，DF，EF.
①當AE＝____時，四邊形DAEF為矩形；
②當點E運動到半圓中點時，DE=________．
圖5
圖4
圖3
圖1
圖2
圖7
圖8
圖6
圖9
圖10
圖11
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(總課時28)§3.7 切線長定理
【學習目標】理解切線長定義，證明切線長定理,并能初步運用.
【學習重難點】應用切線長定理解決問題．
【導學過程】
一.知識回顧
1.圓的切線具有的性質：①__________________________.②__________________________.
2.圓的切線還有哪些判定方法
①：__________________________（定義）
②：__________________________________________________.（定量）
③：_____________________________________.（定理）
3.三角形的內心是指：__________________________.（三角形內切圓的圓心）.
二.探究新知
探究1：切線長定理
1.引入.如圖1，過⊙O外一點P，畫出⊙O的所有切線。
2.切線長定義：過圓外一點，可以作圓的___條切線，這點與其中一個切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.
3.切線與切線長的區別和聯系
（1）切線是一條與圓相切的___，___度量.
（2）切線長是切線上一條______，這條線段的兩個端點分別是________________，___度量.
4.切線長定理
如圖2，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點．
⑴這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？
答：________________________________.
⑵在這個圖中你能找到相等的線段嗎？說說你的理由．
已知：如圖2，PA、PB分別是⊙O的切線，A、B是切點.求證：PA=PB.
證明：連接OA,OB.∵PA、PB分別是⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=___°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中，∵____________.∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA___PB
切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等.
符號語言：∵PA、PB切⊙O于點A、B，
∴PA=PB.
探究2：圓的外切四邊形性質
如圖3，四邊形ABCD的四條邊都與⊙O相切，圖中的線段之間有哪些等量關系？與同伴進行交流．
圓的外切四邊形性質：圓的外切四邊形的兩組對邊的和______.
練習1.如圖3，一圓內切于四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形
ABCD的周長為___．
三.典例與練習
例1.已知如圖4，在Rt△ABC的兩條直角邊AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D,E,F，求⊙O的半徑.
經驗小結：在Rt△ABC中，兩直角邊AC=b,BC=a,斜邊AB=c,則內切圓半徑_________.
練習2.如圖5，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF，BD，CE的長.
例2.如圖6，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，
連接OD、OC，下列結論：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，
④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE CD，正確的有___個．
練習3.如圖7，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，點D，E，F分別在線段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，則∠EDF＝___度．
四.課堂小結
1.過圓外一點所作的圓的兩條切線長___；
2.圓外切四邊形兩組對邊和___.
3.直角形內切圓的半徑等于______________________________.
五.分層過關
1.如圖8，從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長是( ) A. 4 B. 8 C. 4 D. 8
2.如圖9，PA、PB是⊙O的切線，切點為A、B，若OP＝4，PA＝2，則∠AOB的度數為( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 無法確定
3.如圖10，△ABC的內切圓I與AB、BC、CA分別切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，則AD＝___，BD＝___， CE＝___．
4.如圖11，⊙O內切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長度為___.
5.如圖12，PA，PB分別切⊙O于A，B，并與⊙O的切線，分別相交于C，D，已知△PCD的周長等于10cm，則PA=___cm．
6.如圖13，Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D、E，過劣弧DE（不包括端點D，E）上任一點P作⊙O的切線MN與AB，BC分別交于點M，N，若⊙O的半徑為4cm，則Rt△MBN的周長為___.
7.如圖14，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD、CE分別與⊙O相切于點D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.
思考題：
8.如圖15，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，F是CD的中點，連接OF.(1)求證：OD∥BE；
(2)猜想：OF與CD有何數量關系？并說明理由．
方法①借助三角板，畫出⊙O的切線；方法②用圓規和直尺畫出切線.
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖7
圖8
圖13
圖12
圖11
圖10
圖9
圖14
圖15
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