資源簡介

5.1.1 任意角
【學習目標】
1.了解任意角的概念；
2.理解象限角與軸線角的概念；
3.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角所組成的集合.
【教材知識梳理】
一． 任意角
1.角的概念：
角可以看成平面內一條 繞著它的端點 所成的 .
2.角的表示：
角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊： ，終邊： ，點 .
3.角的分類：
名稱 定義 圖示
正角 一條射線繞其端點按 方向旋轉形成的角
負角 一條射線繞其端點按 方向旋轉形成的角
零角 一條射線 做任何旋轉形成的角
這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（要注意旋轉方向和大小）.
二．象限角
1.把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與 重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的 在第幾象限，就說這個角是第幾_______；如果角的終邊在 ，就認為這個角不屬于任何一個象限，一般稱之為__________.
2.象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°-90°<α三．終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝ ，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.
【概念辨析】(請在括號中打“√”或“×”)
(1)銳角是第一象限角.(　　)
(2)終邊相同的角一定相等．(　　)
(3)終邊與始邊重合的角為零角.(　　)
(4)三角形的內角必是第一、二象限角.(　　)
【教材例題變式】
【源于P170例1】例1.求與角終邊相同的最小正角和最大負角，并指出角是第幾象限角.
【源于P171例2】例2.如圖所示，求終邊落在直線y＝x上的角的集合．
【源于P171例3】例3.已知θ＝－290°.
(1)把θ改寫成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；
(2)求α，使α與θ終邊相同，且－1 000°<α<－300°.
【教材拓展延伸】
例4.寫出終邊落在陰影部分的角的集合.
例5.（1）若α是第二象限角，求角2α的終邊的位置．
（2）若α是第一象限角，是第幾象限角？
【課外作業】
基礎過關：
1．是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．下列選項中與角終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3．與405°角終邊相同的角是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，則的終邊在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
5．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，則A∩B＝（ ）
A．{α|α為銳角} B．{α|α小于90°}
C．{α|α為第一象限角} D．以上都不對
6．（多選）下列說法錯誤的是（ ）
A．小于90°的角是銳角 B．鈍角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角與角的終邊相同，那么
7．與1991°終邊相同的最小正角是______.
8．若α是第二象限角，則180°－α是第______象限角．
9．已知角的集合為，回答下列問題：
(1)集合M中有幾類終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個？
(3)求集合M中的第二象限角．
能力提升：
10．角α與角β的終邊關于y軸對稱，則α與β的關系為(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z
11.（多選）已知，，，則，，的關系是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多選）若是第二象限角，則（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或軸負半軸上
13．若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，且，則角的值為_______．
14．若角θ的終邊與60°角的終邊相同，則在0°～360°內終邊與角的終邊相同的角為_______．
15．已知角β的終邊在直線x－y＝0上.
（1）寫出角β的集合S；（2）寫出S中適合不等式－360°≤β<720°的元素.
16．寫出終邊在如圖所示陰影部分的角α的取值集合.
（1） ；(2)5.1.1 任意角
【學習目標】
1.了解任意角的概念；
2.理解象限角與軸線角的概念；
3.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角所組成的集合.
【教材知識梳理】
一. 任意角
1.角的概念：
角可以看成平面內一條 繞著它的端點 所成的 .
2.角的表示：
如圖：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊： ，終邊： ，頂點 .
3.角的分類：
名稱 定義 圖示
正角 一條射線繞其端點按 方向旋轉形成的角
負角 一條射線繞其端點按 方向旋轉形成的角
零角 一條射線 做任何旋轉形成的角
這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（要注意旋轉方向和大小）。
二．象限角
1.把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與 重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的 在第幾象限，就說這個角是第幾_______；如果角的終邊在 ，就認為這個角不屬于任何一個象限，一般稱之為__________.
2.象限角的集合表示
象限角 角的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°+90°<α第三象限角 {α|k·360°+180°<α第四象限角 {α|k·360°-90°<α三．終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝ ，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.
【概念辨析】(請在括號中打“√”或“×”)
(1)銳角是第一象限角.(　　)
(2)終邊相同的角一定相等．(　　)
(3)終邊與始邊重合的角為零角.(　　)
(4)三角形的內角必是第一、二象限角.(　　)
【答案】一.射線 旋轉 圖形 OA.OB.O逆時針 順時針 沒有
原點 終邊 象限角 坐標軸上 軸線角
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
概念辨析：（1）√ （2）× （3）× （4）×
【教材例題變式】
【源于P170例1】例1.求與角終邊相同的最小正角和最大負角，并指出角是第幾象限角.
【答案】，角是第四象限角，與角終邊相同的角可以表示為，當時，；當時，；
與角終邊相同的最小正角為，最大負角為.
歸納：終邊相同角常用的三個結論：
1.終邊相同的角之間相差360°的整數倍；
2.終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍．
3.終邊在相互垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數倍．
【源于P171例2】例2.如圖所示，求終邊落在直線y＝x上的角的集合．
【答案】
終邊落在射線y＝x(x>0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，
終邊落在射線y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是終邊落在直線y＝x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}.
【源于P171例3】例3.已知θ＝－290°.
(1)把θ改寫成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；
(2)求α，使α與θ終邊相同，且－1 000°<α<－300°.
【答案】(1)因為θ＝－290°＝－360°＋70°.所以把θ改寫成
k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式為θ＝－360°＋70°，它是第一象限角．
(2)與－290°角終邊相同的角為α＝k·360°＋70°(k∈Z)，
由－1 000°因為k∈Z，所以k＝－2，此時α＝－650°.即所求滿足條件的α為－650°.
【教材拓展延伸】
例4.寫出終邊落在陰影部分的角的集合.
【答案】（1）角的終邊在如圖（1）所示的陰影中（包括邊界），角的集合為：
；
（2）角的終邊在如圖（2）所示的陰影中（包括邊界）．
角的集合為．
歸納：區域角的表示
區域角是指終邊在坐標系的某個區域內的角.表示區間角的三個步驟：
第一步：先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界；
第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區域角集合．
注意：區分邊界是實線（包含）還是虛線（不包含）.
例5.（1）若α是第二象限角，求角2α的終邊的位置．
（2）若α是第一象限角，是第幾象限角？
【答案】（1）∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上．
（2）∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜＜k·120°＋30°(k∈Z)．
當k＝3n(n∈Z)時，n·360°＜＜n·360°＋30°，∴是第一象限角；
當k＝3n＋1(n∈Z)時，n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°，∴是第二象限角；
當k＝3n＋2(n∈Z)時，n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°，∴是第三象限角．
綜上可知：是第一、二或第三象限角．
【課外作業】
基礎過關：
1．是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【詳解】由題意知，，所以和的終邊相同，為第二象限角，
故為第二象限角.故選：B.
2．下列選項中與角終邊相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】與角終邊相同的角的集合為，
取時，. 故選：D
3．與405°角終邊相同的角是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由于，故與405°終邊相同的角應為．故選：C
4．若，則的終邊在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【詳解】解：因為，所以
當時，，其終邊在第三象限；
當時，，其終邊在第一象限.
綜上，的終邊在第一、三象限.
故選：A.
5．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，則A∩B＝（ ）
A．{α|α為銳角} B．{α|α小于90°}
C．{α|α為第一象限角} D．以上都不對
【答案】D
【詳解】解：∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，
∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，
對于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正確，比如﹣30°；
對于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正確，例如﹣300°；
對于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正確，例如380°，
故選D．
6．（多選）下列說法錯誤的是（ ）
A．小于90°的角是銳角 B．鈍角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角與角的終邊相同，那么
【答案】ACD
【詳解】小于90°的角可以是負角，負角不是銳角，故A不正確．鈍角是第二象限的角，故B正確；第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150°是第二象限的角，390°是第一象限的角，故C不正確．
7．與1991°終邊相同的最小正角是______.
【答案】
【詳解】解：因為，所以與1991°終邊相同的最小正角為
故答案為：
8．若α是第二象限角，則180°－α是第______象限角．
【答案】一
【詳解】若α是第二象限角，則，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角． 故答案為：一.
9．已知角的集合為，回答下列問題：
(1)集合M中有幾類終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個？
(3)求集合M中的第二象限角．
【答案】（1）集合M中的角可以分成四類，即終邊分別與－150°，－60°，30°，120°的終邊相同的角．
（2）令，得，
又，所以終邊不相同的角，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個，
分別是:－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°．
（3）集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，所以，.
能力提升：
10．角α與角β的終邊關于y軸對稱，則α與β的關系為(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z
【答案】B
解析：因為角α與角β的終邊關于y軸對稱，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z．
11.（多選）已知，，，則，，的關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】因為，，，
所以除了包括銳角，還包括其他角，比如角，故A選項錯誤；
銳角是大于且小于的角，故B選項正確；銳角是第一象限角，故C選項正確；
，，中角的范圍不一樣，所以D選項錯誤. 故選：BC.
12．（多選）若是第二象限角，則（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或軸負半軸上
【答案】BD
【詳解】因為是第二象限角，可得,
對于A中，可得，此時位于第三象限，所以A錯誤；
對于B中，可得，
當為偶數時，位于第一象限；當為奇數時，位于第三象限，所以B正確；
對于C中，可得，
即，所以位于第一象限，所以C不正確；
對于D中，可得，所以位于第三、第四象限角或軸負半軸，所以D正確.
13．若角的終邊與角的終邊關于軸對稱，且，則角的值為_______．
【答案】或
【詳解】設75°角的終邊為射線OA，射線OA關于x軸對稱的射線為OB，則以射線OB為終邊的一個角為－75°，所以以射線OB為終邊的角的集合為{|＝k·360°－75°，k∈Z}．
又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.
14．若角θ的終邊與60°角的終邊相同，則在0°～360°內終邊與角的終邊相同的角為_______．
【答案】20°，140°，260°
解析：設θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，則＝20°＋k·120°，則當k＝0,1,2時，＝20°，140°，260°．
15．已知角β的終邊在直線x－y＝0上.
（1）寫出角β的集合S；（2）寫出S中適合不等式－360°≤β<720°的元素.
【答案】（1）如圖，直線x－y＝0過原點，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA、OB為終邊的角的集合為：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.
（2）由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.
所以S中適合不等式－360°≤β<720°的元素為：
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.
16．寫出終邊在如圖所示陰影部分的角α的取值集合.
（1） ；(2)
【答案】（1）因為與45°角終邊相同的角可寫成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
與－180°＋30°＝－150°角終邊相同的角可寫成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.
所以圖（1）陰影部分的角α的范圍可表示為{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.
（2）終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為，
終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，
因此，終邊在圖中陰影部分內的角的取值范圍為.

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