資源簡介

2.2 簡諧運動的描述
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知道什么是振動的振幅、周期和頻率。
2．理解周期和頻率的關(guān)系及固有周期、固有頻率的意義。
3．知道簡諧運動的圖象是一條正弦或余弦曲線，明確圖象的物理意義及圖象信息。
4．能用公式描述簡諧運動的特征。
【重點難點】
能用公式描述簡諧運動的特征。
【預(yù)習(xí)導(dǎo)航】
一、簡諧運動的表達(dá)式
簡諧運動的一般表達(dá)式
描述簡諧運動的物理量
振幅：
定義： 叫振幅，用A表示
單位：在國際單位制中，振幅的單位是米（m）
物理意義： 的物理量。同一振動系統(tǒng)，振幅越大，振動越強(qiáng)。
（4）振幅、位移和路程的關(guān)系
①振幅與位移
●振幅是 的最大距離，位移是 的位置變化。
●振幅是表示 的物理量，在同一簡諧運動中振幅是不變的，而位移卻時刻變化。
●振幅是標(biāo)量，位移是矢量。
●振幅在數(shù)值上等于位移的 值。
②振幅與路程
●振動物體在一個周期內(nèi)的路程一定為 個振幅，在半個周期內(nèi)的路程一定為 振幅。
●振動物體在T內(nèi)的路程可能等于一個振幅，可能大于一個振幅。只有當(dāng)T的初時刻，振動物體在平衡位置或最大位移處時，T內(nèi)的路程才等于一個振幅。
周期T和頻率f：
（1）全振動：簡諧運動是一種周期運動。振子以 的過程稱為一個全振動。
（2） 的時間，叫做振動的周期，單位是s。
（3）單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)，叫做振動的頻率。
（4）周期和頻率的關(guān)系為f＝。
（5）單位是赫茲，簡稱赫，符號是Hz。
（6）物理意義：周期和頻率都是表示物體振動快慢的物理量，周期越小，頻率越大，表示振動越快。
（7）圓頻率：，
3、相位：
（1）相位：描述 的不同狀態(tài)，是描述不同振動的振動步調(diào)的物理量。它是一個隨時間變化的量，相當(dāng)于一個角度，相位每增加2π，意味著物體完成了一次全振動。
（2）初相位：式中φ表示t＝0時簡諧運動質(zhì)點所處的狀態(tài)為初相位或初相。
（3）相位差：即某一時刻的相位之差。兩個具有相同ω的簡諧運動，設(shè)其初相位分別為φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。
（4）同頻率的兩簡諧運動作比較時，相位差的取值范圍，當(dāng)時，兩運動步調(diào)完全相同，稱為同相；當(dāng)=（或）時，兩運動步調(diào)相反，稱為反相。
【課堂探究】
一、簡諧運動的對稱性和周期性
做簡諧運動的物體，運動過程中各物理量關(guān)于平衡位置對稱。以水平彈簧振子為例，振子通過關(guān)于平衡位置對稱的兩點，其加速度、速度大小相等，動能相等，勢能相等。對稱性還表現(xiàn)在過程量的相等上，如：從某點到達(dá)最大位置和從最大位置再回到該點所需要的時間相等，質(zhì)點從某點向平衡位置運動時到達(dá)平衡位置的時間和它從平衡位置再運動到該點的對稱點所用的時間相等。
簡諧運動是一種周而復(fù)始的周期性的運動，按其周期性可做出如下判斷：
1．若t2－t1＝nT，則t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，運動情況相同。
2．若t2－t1＝nT＋，則t1、t2兩時刻，描述運動的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。
3．若t2－t1＝nT＋或t2－t1＝nT＋，則當(dāng)t1時刻物體到達(dá)最大位移處時，t2時刻物體到達(dá)平衡位置；當(dāng)t1時刻物體在平衡位置時，t2時刻到達(dá)最大位移處；若t1時刻物體在其他位置，t2時刻物體到達(dá)何處就要視具體情況而定。
【典型例題】
例1．彈簧振子以O(shè)點為平衡位置,在B、C兩點間做簡諧運動,在t=0時刻,振子從O、B間的P點以速度v向B點運動;在t=0.2 s時,振子速度第一次變?yōu)?v;在t=0.5 s時,振子速度第二次變?yōu)?v。
①求彈簧振子振動周期T。
②若B、C之間的距離為25 cm,求振子在4.0 s內(nèi)通過的路程。
③若B、C之間的距離為25 cm,從平衡位置計時,寫出彈簧振子的位移表達(dá)式,并畫出彈簧振子的振動圖象。
【課堂達(dá)標(biāo)】
1．一質(zhì)點做簡諧振動,從平衡位置運動到最遠(yuǎn)點需要周期,則從平衡位置走過該距離的一半所需時間為 (　　)
A.周期　　　 B.周期
C.周期 D.周期
2.質(zhì)點沿x軸做簡諧運動,平衡位置為坐標(biāo)原點O。質(zhì)點經(jīng)過a點(xa=-5 cm)和b點(xb=5 cm)時速度相同,時間tab=0.2 s;質(zhì)點從b點回到a點所用的最短時間tba=0.4 s;則該質(zhì)點做簡諧運動的頻率為 (　　)
A.1 Hz　　 B.1.25 Hz
C.2 Hz　　　　 D.2.5 Hz
3.如圖所示,虛線和實線分別為甲、乙兩個彈簧振子做簡諧運動的圖象。已知甲、乙兩個振子質(zhì)量相等,則 (　　)
A.甲、乙兩振子的振幅分別為2 cm、1 cm
B.甲、乙兩個振子的相位差總為π
C.前2秒內(nèi)甲、乙兩振子的加速度均為正值
D.第2秒內(nèi)甲、乙振子速度方向相同,都指向平衡位置
4.(2019·河南洛陽模擬)簡諧運動的振動圖線可用下述方法畫出:如圖甲所示,在彈簧振子的小球上安裝一支繪圖筆P,讓一條紙帶在與小球振動方向垂直的方向上勻速運動,筆P在紙帶上畫出的就是小球的振動圖象。取振子水平向右的方向為振子離開平衡位置的位移正方向,紙帶運動的距離代表時間,得到的振動圖線如圖乙所示。則下列說法中正確的是(　　)
A.彈簧振子的周期為2 s
B.彈簧振子的振幅為10 cm
C.t=17 s時振子相對平衡位置的位移是10 cm
D.2.5 s時振子正在向x軸正方向運動
5.(2019·遼寧鞍山模擬)彈簧振子做簡諧運動,O為平衡位置,當(dāng)它經(jīng)過點O時開始計時,經(jīng)過0.3 s,第一次到達(dá)點M,再經(jīng)過0.2 s,第二次到達(dá)點M,則彈簧振子的周期可能為(　　)
A.0.53 s B.1.4 s C.3 s D.2 s
6.一彈簧振子的位移y隨時間t變化的關(guān)系式為y=0.1sin(2.5πt),位移y的單位為m,時間t的單位為s。則(　　)
A.彈簧振子的振幅為0.2 m
B.彈簧振子的周期為1.25 s
C.在t=0.2 s時,振子的運動速度為零
D.在任意0.2 s時間內(nèi),振子的位移均為0.1 m
答案：
【典型例題】
例1：【答案】見解析
【解析】①彈簧振子簡諧運動的示意圖如圖甲所示。
由對稱性可得:T=0.5×2 s=1.0 s。
②B、C間的距離為2個振幅,則振幅A=×25 cm=12.5 cm。振子4.0 s內(nèi)通過的路程為:s=4×4×12.5 cm=200 cm。
③根據(jù)x=Asinωt,A=12.5 cm,ω==2π rad/s,
得x=12.5sin2πt (cm)。
振動圖象如圖乙所示。
【課堂達(dá)標(biāo)】
1.【答案】D
【解析】由簡諧振動的表達(dá)式有A=Asint,解得t=,D正確。
故選D。
2.【答案】B
【解析】由題意可知:a、b點在O點的兩側(cè),相對于O點對稱,通過a、b點時速度大小相等、方向相同;質(zhì)點由a到b所用時間tab=0.2 s,由b點回到a所用最短時間tba=0.4 s,表明質(zhì)點經(jīng)過b點后還要繼續(xù)向x軸的正方向運動,振幅大于5 cm;設(shè)質(zhì)點做簡諧運動的四分之一周期為T=tab+(tba-tab),解得周期T=2[tab+(tba-tab)]=2×[0.2 s+(0.4 s-0.2 s)]=0.8 s。頻率f== Hz=1.25 Hz。
故選B。
3.【答案】A
【解析】根據(jù)振動圖象,甲振子的振幅為2 cm、乙振子的振幅為1 cm,A正確。由于兩個振子的周期和頻率不同,其相位差亦會變化,B錯。前2秒內(nèi),甲在平衡位置的上方,加速度指向平衡位置,方向為負(fù)方向;而乙在平衡位置的下方,加速度指向平衡位置,方向為正方向,C錯。第2秒內(nèi)甲從正向最大位移處向平衡位置運動,速度方向為負(fù)方向,指向平衡位置;乙向負(fù)向位移最大處運動,速度方向為負(fù)方向,但指向負(fù)向最大位移處,D錯。
故選A。
4.【答案】B
【解析】周期是振子完成一次全振動的時間,由題圖知,彈簧振子的周期為T=4s,故A錯誤;振幅是振子離開平衡位置的最大距離,由圖知,彈簧振子的振幅為10cm,故B正確;振子的周期為4s,由周期性知,t=17s時振子相對平衡位置的位移與t=1s時振子相對平衡位置的位移相同,故C錯誤;由圖乙可知2.5s時振子正在向x軸負(fù)方向運動,故D錯誤。
故選B。
5.【答案】A
【解析】如圖甲所示,設(shè)O為平衡位置,OB(OC)代表振幅,振子從O→C所需時間為。因為簡諧運動具有對稱性,所以振子從M→C所用時間和從C→M所用時間相等,故=0.3s+s=0.4s,解得T=1.6s。如圖乙所示,若振子一開始從平衡位置向點B運動,設(shè)點M'與點M關(guān)于點O對稱,則振子從點M'經(jīng)過點B到點M'所用的時間與振子從點M經(jīng)過點C到點M所需時間相等,即0.2s。振子從點O到點M'、從點M'到點O及從點O到點M所需時間相等,為s,故周期為T=0.5s+s≈0.53s,所以A正確。
故選A。
6.【答案】C
【解析】由y=0.1sin(2.5πt)知,彈簧振子的振幅為0.1m,選項A錯誤;彈簧振子的周期為T=s=0.8s,選項B錯誤;在t=0.2s時,y=0.1m,即振子到達(dá)最高點,此時振子的運動速度為零,選項C正確;只有當(dāng)振子從平衡位置或者從最高點(或最低點)開始計時時,經(jīng)過0.2s,振子的位移才為A=0.1m,選項D錯誤。
故選C。

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