資源簡介

計數原理與概率統計
隨機變量及其分布 學案
思維導圖
夯實基礎
【核心知識整合】
考點1：離散型隨機變量及其分布列
1.離散型隨機變量的分布列
（1）如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
（2）一般地，若離散型隨機變量X的可能取得不同值為取每一個值的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
X … …
P … …
2.離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1），；
（2）；
（3）.
3.常見的離散型隨機變量的概率分布模型
（1）兩點分布：若隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 1-p p
則稱X服從兩點分布.
（2）超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產品中任取n件，其中恰有X件次品，則，其中，且，，，則稱分布列
X 0 1 … m
p …
為超幾何分布.
考點2：離散型隨機變量的均值與方差
1.離散型隨機變量的均值
（1）一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X …
P …
則稱為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望.
（2）兩點分布的均值：.
（3）均值的性質：；；.
2.離散型隨機變量的方差
（1）離散型隨機變量的方差與標準差：
稱為隨機變量的方差，有時也記為，并稱為隨機變量的標準差，記為.
（2）方差的性質：；；.
考點3：事件的相互獨立性
1.相互獨立事件的定義
對任意兩個事件A與B，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立.
2.相互獨立事件的性質
當事件A與事件B相互獨立時，則事件A與相互獨立，事件與B相互獨立，事件與相互獨立.
考點4：條件概率
1.條件概率
一般地，設，為兩個隨機事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率，簡稱條件概率.
2.條件概率與事件相互獨立性的關系
當時，當且僅當事件與相互獨立時，有.
3.概率的乘法公式
對任意兩個事件與，若，則.上式稱為概率的乘法公式.
4.概率的性質
設，則
（1）；
（2）如果和是兩個互斥事件，則；
（3）設和互為對立事件，則.
5.全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有.
考點5：二項分布
1.二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p（），用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為，.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作.
2.二項分布的均值與方差.
如果，那么，.
考點6：正態分布
1.正態分布
，，為參數)為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線.若隨機變量X的概率分布密度函數為，則稱隨機變量X服從正態分布，記為.特別地，當時，稱隨機變量X服從標準正態分布.
2.正態分布的均值與方差
若，則.
3.原則
在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量X只取中的值，這在統計學中稱為原則.
探究提升
[典型例題]
1.已知隨機變量X服從二項分布，則等于( )
A. B. C. D.
[答案]D
[解析].故選D.
2.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知甲、乙能破譯的概率分別是，，則密碼被破譯的概率為( )
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]因為甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，且甲、乙能破譯的摡率分別是，，所以密碼被破譯的概率為，故選D.
3.若隨機變量，且，則等于_________.
[答案]0.6
[解析]，，
.
4.某企業將生產出的芯片依次進行智能檢測和人工檢測兩道檢測工序，經智能檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線并由工人進行人工檢驗；已知某批芯片智能自動檢測顯示合格率為90%，最終的檢測結果的次品率為，則在智能自動檢測結束并淘汰了次品的條件下，人工檢測一枚芯片恰好為合格品的概率為_________.
[答案]
[解析]設該芯片智能自動監測合格為事件A，人工監測一枚芯片恰好合格為事件B，，，則在智能自動檢測結束并淘汰了次品的條件下，人工檢測一枚芯片恰好為合格品的概率.
[變式訓練]
1.盒中裝有除顏色外完全相同的3個紅球、2個白球．甲從中隨機取出兩個球，在已知甲取出的有紅球的條件下，他取出兩個紅球的概率為( )
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]設事件A為“甲取出的有紅球”，事件B為“取出兩個紅球”，則，，由條件概率公式能求出甲取出的有紅球的條件下，他取出兩個紅球的概率為，故選B.
2.設隨機變量，則( )
A.10 B.30 C.15 D.5
[答案]A
[解析]由隨機變量滿足二項分布，
所以，
所以.故選A.
3.已知隨機變量的分布列如下：
0 1 2
P b a
則最大值( )
A. B. C.1 D.不是定值
[答案]B
[解析]根據已知可得，，，.
，
，
當時，取最大值，最大值為.故選B.
4.某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀與內飾的顏色分布如表所示：
紅色外觀 藍色外觀
棕色內飾 8 12
米色內飾 2 3
現將這25個汽車模型進行編號.
(1)若小明從25個汽車模型編號中隨機選取一個，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B為小明取到的模型為米色內飾，求和，并據此判斷事件A和事件B是否獨立.
(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規定在一次抽獎中，每人一次性從25個汽車模型編號中選取兩個，給出以下抽獎規則：①選到的兩個模型會出現三種結果，即外觀和內飾均同色、外觀和內飾都異色以及僅外觀或僅內飾同色；②按結果的可能性大小設置獎項，概率越小獎項越高；③該抽獎活動的獎金金額為一等獎600元、二等獎300元、三等獎150元.請你分析獎項對應的結果，設X為獎金金額，寫出X的分布列，并求出X的數學期望.
[解析](1)由題意得，，
，，則.
，事件A和事件B獨立.
(2)記外觀與內飾均同色為事件，外觀與內飾都異色為事件，僅外觀或僅內飾同色為事件，
則，，
，
，
一等獎為兩個汽車模型的外觀與內飾都異色，二等獎為兩個汽車模型的外觀與內飾均同色，三等獎為兩個汽車模型僅外觀或內飾同色.
X的分布列如表：
X 150 300 600
P
.
規律總結
【規律總結】
1.離散型隨機變量分布列的常見類型及解題策略
（1）與排列組合有關的分布列的求法.可由排列組合、概率知識求出概率，再求出分布列.
（2）與頻率分布直方圖有關的分布列的求法.可由頻率估計概率，再求出分布列.
（3）與互斥事件有關的分布列的求法.弄清互斥事件的關系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.
（4）與獨立事件（或獨立重復試驗）有關的分布列的求法.先弄清獨立事件的關系，求出各個概率，再列出分布列.
2.概率與統計解答題的解題策略
（1）準確弄清問題所涉及的事件有什么特點，事件之間有什么關系，如互斥、對立、獨立等；
（2）理清事件以什么形式發生，如同時發生、至少有幾個發生、至多有幾個發生、恰有幾個發生等；
（3）明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等；
（4）準確選擇排列組合的方法來計算基本事件發生數和事件總數，或根據概率計算公式和性質來計算事件的概率；
（5）確定隨機變量取值并求其對應的概率，寫出分布列后再求期望；
（6）會套用求、的公式求值，再作進一步分析.

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