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高三5月回歸課本知識點總結
集合與邏輯
1集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。
集合元素的互異性：如：，，求；
2、區分集合中元素的形式：
如：—函數的定義域；—函數的值域；
—函數圖象上的點集，
如:（1）設集合，集合N＝，則___（答：）；
（2）設集合，，，則_____（答：）　
3、條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況
空集是指不含任何元素的集合。（、和的區別；0與三者間的關系）
如：，如果，求的取值。（答：a≤0）
4、;
CUA={x|x∈U但xA};;真子集怎定義？
含n個元素的集合的子集個數為2n,真子集個數為2n－1;如滿足集合M有______個。　（答：7）
5、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;
6、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U
7、補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。
如已知函數在區間上至少存在一個實數，使，求實數的取值范圍。　（答：）
8、原命題: ;逆命題: ;否命題: ；逆否命題: ；互為逆否的兩個命題是等價的.
如：“”是“”的 條件。（答：充分非必要條件）
9、若且;則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;
10、注意命題的否定與它的否命題的區別:
命題的否定是；否命題是
命題“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P或┐Q”
注意：如 “若和都是偶數，則是偶數”的
否命題是“若和不都是偶數，則是奇數”
否定是“若和都是偶數，則是奇數”
11.真值表
ｐ
ｑ
非ｐ
ｐ或ｑ
ｐ且ｑ
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
12.常見結論的否定形式
原結論
反設詞
原結論
反設詞
是
不是
至少有一個
一個也沒有
都是
不都是
至多有一個
至少有兩個
大于
不大于
至少有個
至多有（）個
小于
不小于
至多有個
至少有（）個
對所有，
成立
存在某，
不成立
或
且
對任何，
不成立
存在某，
成立
且
或
二、函數與導數
13、指數式、對數式：
，，，，，，，，，。
如的值為________(答：)
14、一次函數:y=ax+b(a≠0) b=0時奇函數;
15、二次函數①三種形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(軸-b/2a,a≠0,頂點?);
頂點式f(x)=a(x-h)2+k;
零點式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(軸?);b=0偶函數;
②區間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區間的相對位置關系;
二次函數在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若，則；
，，.
(2)當a<0時，若，則，若，則，
如：若函數的定義域、值域都是閉區間，
則＝ （答：2）
③實根分布:先畫圖再研究△>0、軸與區間關系、區間端點函數值符號;
依據：若，則方程在區間內至少有一個實根 .
設，則
（1）方程在區間內有根的充要條件為或；
（2）方程在區間內有根的充要條件為或或或；
（3）方程在區間內有根的充要條件為或
16、反比例函數:平移(中心為(b,a))
17、對勾函數是奇函數,

18、單調性①定義法;
(1)設那么
上是增函數；
上是減函數.
②導數法. 如：已知函數在區間上是增函數，則的取值范圍是____(答：))；
注意①：能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，∴是為增函數的充分不必要條件。
注意②：函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大小；②解不等式；③求參數范圍）.如已知奇函數是定義在上的減函數,若，求實數的取值范圍。（答：）
③復合函數由同增異減判定④圖像判定.⑤作用:比大小,解證不等式. 如函數的單調遞增區間是________(答：（1,2）)。
19、奇偶性：f(x)是偶函數f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數過原點(f(0)=0);定義域關于原點對稱是為奇函數或偶函數的必要而不充分的條件。
20．多項式函數的奇偶性
多項式函數是奇函數的偶次項(即奇數項)的系數全為零.
多項式函數是偶函數的奇次項(即偶數項)的系數全為零.
21、周期性。（1）類比“三角函數圖像”得：
①若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為；
②若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數，且一周期為；
③如果函數的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸
則函數必是周期函數，且一周期為；
如已知定義在上的函數是以2為周期的奇函數，則方程在上至少有__________個實數根（答：5）
（2）由周期函數的定義“函數滿足，則是周期為的周期函數”得：①函數滿足，則是周期為2的周期函數；②若恒成立，則；③若恒成立，則.
如(1) 設是上的奇函數，，當時，，則等于_____(答：)；(2)定義在上的偶函數滿足，且在上是減函數，若是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系為_________(答：)；
22、常見的圖象變換
①函數的圖象是把函數的圖象沿軸向左或向右平移個單位得到的。如要得到的圖像，只需作關于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答：；右)；（3）函數的圖象與軸的交點個數有____個(答：2)
②函數+的圖象是把函數助圖象沿軸向上或向下平移個單位得到的；如將函數的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關于直線對稱,那么 　(答：C)
③函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如（1）將函數的圖像上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數為_____(答：)；（2）如若函數是偶函數，則函數的對稱軸方程是_______(答：)．
④函數的圖象是把函數的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.
23、函數的對稱性。
①滿足條件的函數的圖象關于直線對稱。如已知二次函數滿足條件且
方程有等根，則＝_____(答：)；
②點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為；
③點關于軸的對稱點為；函數關于軸的對稱曲線方程為；
④點關于原點的對稱點為；函數關于原點的對稱曲線方程為；
⑤點關于直線的對稱點為；
曲線關于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為；點關于直線的對稱點為；曲線關于直線的對稱曲線的方程為。如己知函數,若的圖像是,它關于直線對稱圖像是關于原點對稱的圖像為對應的函數解析式是___________（答：）；
若f(a－x)＝f(b+x),則f(x)圖像關于直線x=對稱;兩函數y=f(a+x)與y=f(b-x)圖像關于直線x=對稱。
提醒：證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；如（1）已知函數。求證：函數的圖像關于點成中心對稱圖形。
⑥曲線關于點的對稱曲線的方程為。如若函數與的圖象關于點（-2，3）對稱，則＝______（答：）
⑦形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點。如已知函數圖象與關于直線對稱，且圖象關于點（2，－3）對稱，則a的值為______（答：2）
⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。如（1）作出函數及的圖象；（2）若函數是定義在R上的奇函數，則函數的圖象關于____對稱 （答：軸）
24.求解抽象函數問題的常用方法是：
（1）借鑒模型函數進行類比探究。幾類常見的抽象函數 ：
①正比例函數型： ---------------；
②冪函數型： --------------，；
③指數函數型： ----------，；
④對數函數型： ---，；
⑤三角函數型： ----- 。
如已知是定義在R上的奇函數，且為周期函數，若它的最小正周期為T，則__（答：0）
25、題型方法總結
Ⅰ判定相同函數:定義域相同且對應法則相同
Ⅱ求函數解析式的常用方法：
（1）待定系數法――已知所求函數的類型（二次函數的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：）。如已知為二次函數，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。（答：）
（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，則函數=_____（答：）；（3）若函數是定義在R上的奇函數，且當時，，那么當時，=________（答：）. 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。
（3）方程的思想――對已知等式進行賦值，從而得到關于及另外一個函數的方程組。如（1）已知，求的解 析式
（答：）；（2）已知是奇函數，是偶函數，且+= ,則= （答：）。
Ⅲ求定義域:使函數解析式有意義(如:分母?;偶次根式被開方數?;對數真數?，底數?;零指數冪的底數?);實際問題有意義;若f(x)定義域為[a,b],復合函數f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域為[a,b],則f(x)定義域相當于x∈[a,b]時g(x)的值域；
如：若函數的定義域為，則的定義域為__________（答：）；（2）若函數的定義域為，則函數的定義域為________（答：[1,5]）．
Ⅳ求值域:
①配方法：如：求函數的值域（答：[4,8]）；
②逆求法（反求法）：如：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍（答：（0,1））；
③換元法：如（1）的值域為_____（答：）；（2）的值域為_____（答：）（令，。運用換元法時，要特別要注意新元的范圍）；
④三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；
如：的值域（答：）；
⑤不等式法――利用基本不等式求函數的最值。如設成等差數列，成等比數列，則的取值范圍是____________.（答：）。
⑥單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。如求，，的值域為______（答：、、）；
⑦數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
如（1）已知點在圓上，求及的取值范圍（答：、）；（2）求函數的值域（答：）；
⑧判別式法：如（1）求的值域（答：）；（2）求函數的值域（答：）如求的值域（答：）
⑨導數法;分離參數法;―如求函數，的最小值。（答：－48）
用2種方法求下列函數的值域：①②（；③
Ⅴ：解應用題:審題(理順數量關系)、建模、求模、驗證.
Ⅵ：恒成立問題:分離參數法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
Ⅶ：任意定義在R上函數f（x）都可以唯一地表示成一個奇函數與一個偶函數的和。即f（x）＝
其中g（x）＝是偶函數，h（x）＝是奇函數
Ⅷ：利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如（1）若，滿足
，則的奇偶性是______（答：奇函數）；（2）若，滿足，則的奇偶性是______（答：偶函數）；（3）已知是定義在上的奇函數，當時，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_____________（答：）；（4）設的定義域為，對任意，都有，且時，，又，①求證為減函數；②解不等式.（答：）．
26、（1）函數在點處的導數的幾何意義
函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.
（2）導數幾何物理意義:k=f/(x0)表示曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。
V＝s/(t)表示t時刻即時速度,a=v′(t)表示t時刻加速度。如一物體的運動方程是，其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在時的瞬時速度為_____（答：5米/秒）
27.幾種常見函數的導數
(1) （C為常數）. (2) .
(3) . (4) .
(5) ；. (6) ; .
28.導數的運算法則
（1）.
（2）.（3）.
29.復合函數的求導法則
設函數在點處有導數，函數在點處的對應點U處有導數，則復合函數在點處有導數，且，或寫作.
30.判別是極大（小）值的方法
當函數在點處連續時，
（1）如果在附近的左側，右側，則是極大值；
（2）如果在附近的左側，右側，則是極小值.
31、導數應用:⑴過某點的切線不一定只有一條; 如：已知函數
過點作曲線的切線，求此切線的方程（答：或）。
⑵研究單調性步驟:分析y=f(x)定義域;求導數;解不等式f/(x)≥0得增區間;解不等式f/(x)≤0得減區間;注意f/(x)=0的點; 如：設函數在上單調函數，則實數的取值范圍______（答：）；
⑶求極值、最值步驟:求導數;求的根;檢驗在根左右兩側符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值. 如：（1）函數在[0，3]上的最大值、最小值分別是______（答：5；）；（2）已知函數在區間[－1,2 ]上是減函數，那么b＋c有最__值__答：大，）（3）方程的實根的個數為__（答：1）
特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側導數異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！如：函數處有極小值10，則a+b的值為____（答：－7）
三、數列、
32、等差數列中an=a1+(n-1)（疊加法）
;Sn====（倒序相加法）
等比數列中an= a1 qn-1;（疊乘法）當q=1,Sn=na1 當q≠1,Sn==（錯位相減法）
33.常用性質、結論：
（1）等差數列中, an=am+ (n－m)d, ;當m+n=p+q,am+an=ap+aq；
等比數列中，an=amqn-m; 當m+n=p+q ，；
如①在等比數列中，，公比q是整數，則=___（答：512）；
②各項均為正數的等比數列中，若，則 （答：10）。
（2）.常見數列：{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比則{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,則(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差。
（3）在等差數列中：
①若項數為，則
②若數為則， ，
在等比數列中：
若項數為，則 ②若數為則，
（4）. 等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。
等比數列{an}的任意連續m項的和且不為零時構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。
如：公比為-1時，、-、-、…不成等比數列
34.等差三數為a-d,a,a+d;四數a-3d,a-d,,a+d,a+3d;
等比三數可設a/q,a,aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)
如有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求此四個數。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
35、等差、等比數列的判定：
（1）
（2）
如若是等比數列，且，則＝ （答：－1）
36、首項正的遞減(或首項負的遞增)等差數列前n項和最大(或最小)問題,轉化為解不等式,或用二次函數處理;(等比前n項積?)，由
此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？
如（1）等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；
（2）若是等差數列，首項，，則使前n項和成立的最大正整數n是 （答：4006）
37.求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加.關鍵找通項結構.
分組法求數列的和：如an=2n+3n 、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n、裂項法求和：如求和： （答： ）、倒序相加法求和：
如①求證： ；②已知，則＝___（答：）
38.求數列{an}的最大、最小項的方法（函數思想）：
①an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an=
39、求通項常法: （1）已知數列的前n項和,求通項，可利用公式:
如：數列滿足，求（答：）
（2）先猜后證
（3）遞推式為＝＋f(n) (采用累加法)；＝×f(n) (采用累積法)；
如已知數列滿足，，則=________（答：）
（4）構造法形如、（為常數）的遞推數列如①已知，求（答：）；
（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決，適當注意以下3個公式的合理運用
an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an＝
（6）倒數法形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。如①已知，求（答：）；②已知數列滿足=1，，求（答：）
(7)、常見和：，，
四、三角
40、終邊相同(β=2kπ+α);
弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad). 如：已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2）
41、函數y=b（）①五點法作圖;
②振幅?相位?初相?周期T=,頻率?φ=kπ時奇函數;φ=kπ+時偶函數.
對稱軸處y取最值,對稱中心處值為0;余弦正切可類比.
如（1）函數的奇偶性是______（答：偶函數）；（2）已知函數為常數），且，則______（答：－5）；（3）函數的圖象的對稱中心和對稱軸分別是__________、____________（答：、）；（4）已知為偶函數，求的值。（答：）
④變換:φ正左移負右移；b正上移負下移;

42、正弦定理:2R===; 內切圓半徑r=余弦定理：a=b+c-2bc,;
術語:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準方向為起點（一般為北方），依順時針方式旋轉至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱之。方位角α的取值范圍是：0°≤α＜360°
43、同角基本關系：如：已知，則＝____；
＝_________（答：；）；
44、誘導公式簡記:奇變偶不變,符號看象限．(注意：公式中始終視(為銳角)
45、重要公式： ；．；;
如：函數的單調遞增區間為___________（答：）
巧變角：如，，，，等），
如：（1）已知，，那么的值是_____（答：）；
（2）已知為銳角，，，則與的函數關系為______（答：）
46、輔助角公式中輔助角的確定：(其中)
如：（1）當函數取得最大值時，的值是______(答：)；（2）如果是奇函數，則= (答：－2)；
五、平面向量
47、向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)、共線向量、相等向量
注意:不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）
48、加、減法的平行四邊形與三角形法則:;
49、,）
如：在中，，M為BC的中點，則_______。（用表示）
解：，，所以。
50、（5）向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
①；
②當，同向時，＝，特別地，；當與反向時，＝－；當為銳角時，＞0，且不同
向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；
51、向量b在方向上的投影︱b︱cos＝
52、 和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)
特別：. ＝則是三點P、A、B共線的充要條件如平面直角坐標系中，為坐標原點，已知兩點,,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______（答：直線AB）
53、在中，①為的重心，特別地為的重心；②為的垂心；
③向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
④的內心；
⑤S⊿AOB＝;
如：（1）若O是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____（答：直角三角形）；（2）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___（答：2）；（3）若點是的外心，且，則的內角為____（答：）；
54、 P分的比為,則=,＞0內分;＜0且≠-1外分.
＝;若λ＝1 則＝(+);設P(x,y),P1(x1,y1),
P2(x2,y2)則;中點重心
55、點按平移得,則＝ 或 函數按平移得函數方程為：如（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點______（答：（－８，３））；（2）函數的圖象按向量平移后，所得函數的解析式是，則＝________（答：）
56.“按向量平移”的幾個結論
（1）點按向量a=平移后得到點.
(2) 函數的圖象按向量a=平移后得到圖象,則的函數解析式為.
(3) 圖象按向量a=平移后得到圖象,若的解析式,則的函數解析式為.
(4)曲線:按向量a=平移后得到圖象,則的方程為.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然為m=.
57. 三角形五“心”向量形式的充要條件
設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內心.
（5）為的的旁心.
六、不等式
58、注意課本上的幾個性質，另外需要特別注意：
①若ab>0，則。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數，不等號方向要改變。②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。如：已知，，則的取值范圍是______（答：）；
59、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數指數冪的代數式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數的單調性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法 ；(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）設，比較的大小（答：當時，（時取等號）；當時，（時取等號））；（2）設，，，試比較的大小（答：）
60、常用不等式：若，（1）（當且僅當時取等號） ；（2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。
如：如果正數、滿足，則的取值范圍是_________（答：）
基本變形：① ； ；
注意：①一正二定三取等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方；如：①函數的最小值 。（答：8）
②若若，則的最小值是______（答：）；
③正數滿足，則的最小值為______（答：）；
61、(何時取等？)；|a|≥a；|a|≥－a
62、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分配方)--定號.另:商比②綜合法--由因導果;③分析法--執果索因;④反證法--正難則反。⑤放縮法方法有：
⑴添加或舍去一些項，如：；
⑵將分子或分母放大（或縮小）
⑶利用基本不等式，如：；
⑷利用常用結論：
Ⅰ、；
Ⅱ、 ； （程度大）
Ⅲ、 ； （程度小）
（5）換元法：常用的換元有三角換元和代數換元。如：
已知，可設；
已知，可設()；
已知，可設；
（6）最值法,如：a>fmax(x),則a>f(x)恒成立.
63、解絕對值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法);③兩邊平方
④公式法：|f(x)|>g(x) ;|f(x)|64、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號.奇穿偶回
如（1）解不等式。（答：或）；（2）解不等式（答：時，；時，或；時，或）
七、立幾
65. 位置和符號①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法②直線與平面: a∥α、a∩α=A (aα) 、aα③平面與平面:α∥β、α∩β=a
66. 常用定理:①線面平行;;
②線線平行:;;;
③面面平行:;;
④線線垂直:;所成角900；(三垂線);逆定理?
⑤線面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
67. （要求不高）異直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：平移以及補形法、向量法。如（1）正四棱錐的所有棱長相等，是的中點，那么異面直線與所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方體AC1中，M是側棱DD1的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一點，則OP與AM所成的角的大小為____（答：90°）；②直線和平面所成的角：（1）范圍；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。：（3）求法：作垂線找射影或求點線距離 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，則AD與平面AA1C1C所成的角為______（答：arcsin）；（2）正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點，則棱 A1B1 與截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：）；③二面角：二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法： 、轉化為法向量的夾角。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小為________（答：）；（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側面B1BCC1所成的為30°，則二面角C1—BD1—B1的大小為______（答：）；（3）從點P出發引三條射線PA、PB、PC，每兩條的夾角都是60°，則二面角B-PA-C的余弦值是______（答：）；
68. 平行六面體→直平行六面體→長方體→正四棱柱→正方體間聯系
三棱錐中:側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底面射影為底面外心;側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底面射影為底面垂心;斜高相等(側面與底面所成相等)頂點在底面射影為底面內心;正棱錐各側面與底面所成角相等為θ,則S側cosθ=S底;正三角形四心?內切外接圓半徑?;
69.（選修）距離①異面直線間距離:找公垂線; ②平行線與面間距離(兩平行面間距離)→點到面距離:直接法、等體積、轉移法、垂面法、向量法.③點到線距離:用三垂線定理作垂線后再求;
70. 求球面兩點A、B距離①求|AB|②算球心角∠AOB弧度數③用公式L球面距離=θ球心角×R;緯線半徑r＝Rcos緯度。S球=4πR2;V球＝πR3;
71. 平面圖形翻折(展開):注意翻折(展開)后在同一平面圖形中角度、長度不變;
72. 從點O引射線OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,則A在平面BOC的射影在∠BOC平分線上;若A到OB與OC距離相等,則A在平面BOC的射影在∠BOC平分線上；
73. 常用轉化思想:①構造四邊形、三角形把問題化為平面問題②將空間圖展開 為平面圖③割補法④等體積轉化⑤線線平行線面平行面面
平行⑥線線垂直線面垂直面面垂直⑦有中點等特殊點線,用“中位線、重心”轉化.
74.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面內射影為AO,AC在平面內,設∠CAO=α,∠BAC=β,則cosβ=cosθcosα;長方體:對角線長;若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成角分別為α,β,γ,則有cos2α+cos2β+cos2γ=1;體對角線與過同頂點的三側面所成角分別為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=2;正方體和長方體外接球直徑=體對角線長;
特別指出：立體幾何中平行、垂直關系的證明的基本思路是利用線面關系的轉化，即：

(說明：65---74根據文理科和自己的能力有選擇的掌握)
八、解幾
75.傾斜角α∈[0,π],α=900斜率不存在;斜率 k=tanα=
76.直線方程:點斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0
兩點式:;截距式:(a≠0;b≠0);求直線方程時要防止由于零截距和無斜率造成丟解,直線Ax+By+C=0的方向向量為=(A,-B)
77.兩直線平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2則l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1
②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1⊥l2A1A2+B1B2=0；
③若A1、A2、B1、B2都不為零l1∥l2;
④l1∥l2則化為同x、y系數后距離d=
78.點線距d=;
79.
（1）圓的標準方程 .
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的參數方程 .
（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).
80.若(x0-a)2+(y0-b)2r2),則 P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2內(上、外)
81.直線與圓關系,常化為線心距與半徑關系，如：用垂徑定理,構造Rt△解決弦長問題，又:ｄ>r相離;d=r相切;d82.圓與圓關系,常化為圓心距與兩圓半徑間關系.設圓心距為d,兩圓半徑分別為r,R,則d>r+R兩圓相離;d＝r+R兩圓相外切;|R－r|83.把兩圓x2+y2+D1x+E1y+C1=0與x2+y2+D2x+E2y+C2=0方程相減即得相交弦所在直線方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推廣:橢圓、雙曲線、拋物線?過曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點的曲線系方程為: f1(x,y)+λf2(x,y)=0
84.圓上動點到某條直線(或某點)的距離的最大、最小值的求法(過圓心)
85.橢圓①方程(a>b>0);參數方程②定義:=e<1; |PF1|+|PF2|=2a>2c③e=,a2=b2+c2④長軸長為2a，短軸長為2b⑤焦半徑左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦點弦,右焦點弦⑥準線x=、通徑(最短焦點弦),焦準距p=⑦=,當P為短軸端點時∠PF1F2最大,近地a-c遠地a+c;
86.雙曲線①方程(a,b>0)②定義:=e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c③e=,c2=a2+b2④四點坐標？x,y范圍?實虛軸、漸進線交點為中心⑤焦半徑、焦點弦用第二定義推(注意左右支及左右焦點不同);到焦點距離常化為到準線距離⑥準線x=、通徑(最短焦點弦),焦準距p=⑦=⑧漸進線或;焦點到漸進線距離為b;
87.拋物線①方程y2=2px②定義:|PF|=d準③頂點為焦點到準線垂線段中點;x,y范圍?軸？焦點F(,0),準線x=-,④焦半徑;焦點弦＝x1+x2+p;y1y2=－p2,x1x2=其中A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通徑2p,焦準距p;
88. 或所表示的平面區域
設直線，則或所表示的平面區域是：
若，當與同號時，表示直線的上方的區域；當與異號時，表示直線的下方的區域.簡言之,同號在上,異號在下.
若，當與同號時，表示直線的右方的區域；當與異號時，表示直線的左方的區域. 簡言之,同號在右,異號在左.
89. 或所表示的平面區域
設曲線（），則
或所表示的平面區域是：
所表示的平面區域上下兩部分；
所表示的平面區域上下兩部分.
求最優解注意①目標函數值≠截距②目標函數斜率與區域邊界斜率的關系.
90.過圓x2+y2=r2上點P(x0,y0)的切線為:x0x+y0y=r2;過圓x2+y2=r2外點P(x0,y0)作切線后切點弦方程:x0x+y0y=r2;過圓外點作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.
91.對稱①點(ａ,ｂ)關于ｘ軸、ｙ軸、原點、直線y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的對稱點分別是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②點(ａ,ｂ)關于直線Ax+By+C=0對稱點用斜率互為負倒數和中點在軸上解③曲線f(x,y)=0關于點(a,b)對稱曲線為f(2a-x,2b-y)=0;關于y=x對稱曲線為f(y,x)=0;關于軸x=a對稱曲線方程為f(2a-x,y)=0;關于軸y=a對稱曲線方程為:f(x,2a-y)=0;可用于折疊(反射)問題.
92.相交弦問題①用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后,注意用判別式、韋達定理、弦長公式;注意二次項系數為0的討論;注意對參數分類討論和數形結合、設而不求思想的運用;注意焦點弦可用焦半徑公式,其它用弦長公式②涉及弦中
點與斜率問題常用“點差法”.如: 曲線(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中點為M(x0,y0),則KABKOM=;對拋物線y2=2px(p≠0)有KAB＝
93.軌跡方程:直接法(建系、設點、列式、化簡、定范圍)、定義法、幾何法、代入法(動點P(x,y)依賴于動點Q(x1,y1)而變化,Q(x1,y1)在已知曲線上,用x、y表示x1、y1,再將x1、y1代入已知曲線即得所求方程)、參數法、交軌法等.
94.解題注意:①考慮圓錐曲線焦點位置,拋物線還應注意開口方向,以避免錯誤②求圓錐曲線方程常用待定系數法、定義法、軌跡法③焦點、準線有關問題常用圓錐曲線定義來簡化運算或證明過程④運用假設技巧以簡化計算.如:中心在原點,坐標軸為對稱軸的橢圓(雙曲線)方程可設為Ax2+Bx2＝1;共漸進線的雙曲線標準方程可設為為參數,≠0);拋物線y2=2px上點可設為(,y0);直線的另一種假設為x=my+a;⑤解焦點三角形常用正余弦定理及圓錐曲線定義.
95．四種常用直線系方程
(1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數; 經過定點的直線系方程為,其中是待定的系數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
96. 圓系方程
(1)過點,的圓系方程是
,其中是直線的方程,λ是待定的系數．
(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數．
(3) 過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數．
97.點與圓的位置關系
點與圓的位置關系有三種
若，則
點在圓外;點在圓上;點在圓內.
98.直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種:
;
;
.
其中.
99.兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
100.圓的切線方程
(1)已知圓．
①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓．
①過圓上的點的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為.
101.橢圓的參數方程是.
102.橢圓焦半徑公式
，.
103．橢圓的的內外部
（1）點在橢圓的內部.
（2）點在橢圓的外部.
104. 橢圓的切線方程
(1)橢圓上一點處的切線方程是.
（2）過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）橢圓與直線相切的條件是.
105.雙曲線的內外部
(1)點在雙曲線的內部.
(2)點在雙曲線的外部.
106.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.
107. 雙曲線的切線方程(僅供參考)
(1)雙曲線上一點處的切線方程是.
（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）雙曲線與直線相切的條件是.
108. 拋物線的焦半徑公式
拋物線焦半徑.
過焦點弦長.
109.拋物線上的動點可設為P或 P，其中 .
110.二次函數的圖象是拋物線：（1）頂點坐標為；（2）焦點的坐標為；（3）準線方程是.
111.拋物線的內外部
(1)點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
(2)點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
(3)點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
(4) 點在拋物線的內部.
點在拋物線的外部.
112. 拋物線的切線方程（不要求掌握）
(1)拋物線上一點處的切線方程是.
（2）過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.
（3）拋物線與直線相切的條件是.
113.兩個常見的曲線系方程
(1)過曲線,的交點的曲線系方程是
(為參數).
(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.當時,表示橢圓; 當時,表示雙曲線.
114.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或
（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）.
九、排列、組合、二項式定理
115、計數原理：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關聯的），有序排列，無序組合．如（1）將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有 種（答：）；（2）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有 種（答：70）；（3）從集合和中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數是___（答：23）；（4）72的正約數（包括1和72）共有 個（答：12）；（5）的一邊AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構成_____個三角形（答：90）；
116、排列數公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤n,m、n∈N*),
0!=1; =n!; n.n!=(n+1)!-n!;;
117、組合數公式：=（m≤n）,
;;;
118、（選修內容）主要解題方法：①優先法：特殊元素優先或特殊位置優先。如：某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內，則不同的裝飾效果有_____種（答：300）；.②捆綁法如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生
要排在一起，不同的排法種數為_____（答：2880）；（2）某人射擊８槍
，命中４槍，４槍命中中恰好有３槍連在一起的情況的不同種數為_____（答：20）；③插空法如（1）3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數有_______種（答：24）；（2）某班新年聯歡晚會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目。如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同的插法種數為_____（答：42）。
④間接扣除法如在平面直角坐標系中，由六個點(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以確定三角形的個數為_____（答：15）。
⑤隔板法如（1）10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發？每人至少兩個呢？（答：36；15）；（2）某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84）
⑥先選后排,先分再排(注意等分分組問題) 如某種產品有4只次品和6只正品，每只產品均不相同且可區分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發現的不同情況種數是_____（答：576）。
119、二項式定理　
特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
120、二項展開式通項: Tr+1= Cnran－rbr ;作用：處理與指定項、特定項、常數項、有理項等有關問題。要注意區別二項式系數與項的系數；
94、二項式系數性質:①對稱性: 與首末兩端等距的二項式系數相等.Cnm=Cnn－m
②中間項二項式系數最大:n為偶數,中間一項;若n為奇數,中間兩項(哪項?)
③二項式系數和
121、f(x)=(ax+b)n展開各項系數和為f(1);奇次項系數和為;偶次項系數和為;展開各項系數和,令可得.
122、二項式定理應用：近似計算、整除問題、結合放縮法證明與指數有關的不等式、用賦值法求展開式的某些項的系數的和。
十、概率與統計
123、隨機事件的概率，其中當時稱為必然事件；當時稱為不可能事件P(A)=0；
124、等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n;如： 設10件產品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①從中任取2件都是次品；②從中任取5件恰有2件次品；③從中有放回地任取3件至少有2件次品；④從中依次取5件恰有2件次品。（答：①；②；③；④） 互斥事件(不可能同時發生的):P(A+B)=P(A)+P(B); 如：有A、B兩個口袋，A袋中有4個白球和2個黑球，B袋中有3個白球和4個黑球，從A、B袋中各取兩個球交換后，求A袋中仍裝有4個白球的概率。（答：）；對立事件(A、B不可能同時發生,但A、B中必然有一發生):P(A)+P()＝1;獨立事件(事件A、B的發生互不影響):P(A?B)＝P(A)·P(B); 如（1）設兩個獨立事件A和B都不發生的概率為,A
發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同,則事件A發生的概率P(A)是______（答：）；（2）某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規則規定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯得0分，假設這位同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響，則這名同學得300分的概率為_____________;這名同學至少得300分的概率為_____________（答：0.228；0.564）；獨立事件重復試驗：:Pn(K)=Cnkpk(1-p)n-k 為A在n次獨立重復試驗中恰發生k次的概率。如（1）袋中有紅、黃、綠色球各一個，每次任取一個，有放回地抽取三次，球的顏色全相同的概率是________（答：）；（2）冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等，則甲種飲料飲用完畢時乙種飲料還剩下3瓶的概率為__________（答：）
125、總體、個體、樣本、樣本容量;抽樣方法:①簡單隨機抽樣(包括隨機數表法,抽簽法)②分層抽樣(用于個體有明顯差異時). 共同點：每個個體被抽到的概率都相等。如：某中學有高一學生400人，高二學生300人，高三學生300人，現通過分層抽樣抽取一個容量為n的樣本，已知每個學生被抽到的概率為0.2，則n= _______（答：200）；
126、總體分布的估計：用樣本估計總體，是研究統計問題的一個基本思想方法，即用樣本平均數估計總體平均數（即總體期望值――描述一個總體的平均水平）
直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數據的大小，小矩形的面積表示頻率
樣本平均數：
樣本方差：；
＝(x12+x22+ x32+…+xn2－n)
方差和標準差用來衡量一組數據的波動大小，數據方差越大，說明這組數據的波動越大。
提醒：若的平均數為，方差為，則的平均數為，方差為。如已知數據的平均數，方差，則數據的平均數和標準差分別為
A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22， 36 （答：B）
127.回歸直線方程
，其中.
128.相關系數
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越小.
130.復數的相等
.（）
131.復數的模（或絕對值）
==.
199.復數的四則運算法則
(1);
(2);
(3);
(4).

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