資源簡介

2.3 《簡諧運動的回復力和能量》習題課
一、學習目的
1.通過實例分析，理解回復力的概念及性質。
2.通過對彈簧振子模型的分析，理解簡諧運動的規律(位移、回復力、加速度、速度的變化規律)。
3.通過閱讀教材內容，能夠定性說明簡諧運動的能量轉化。
二、課前預習
（一）、簡諧運動的回復力
1．回復力
(1)定義：振動質點受到的總能使其回到 的力．
(2)方向：指向 ．
(3)表達式：F＝ .
2．簡諧運動的動力學特征
如果物體在運動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成 ，并且總是指向 ，質點的運動就是簡諧運動．
說明：(3)式中k是比例系數，并非彈簧的勁度系數(水平彈簧振子中的k才為彈簧的勁度系數)，其值由振動系統決定，與振幅無關．
（二）、簡諧運動的能量
1．振動系統(彈簧振子)的狀態與能量的對應關系
彈簧振子運動的過程就是 和 互相轉化的過程．
(1)在最大位移處， 最大， 為零．
(2)在平衡位置處， 最大， 最小．
2．簡諧運動的能量特點：在簡諧運動中，振動系統的機械能守恒，而在實際運動中都有一定的能量損耗，因此簡諧運動是一種 的模型．
三、課堂檢測
1.(多選)關于簡諧運動,以下說法正確的是(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.回復力總指向平衡位置
B.加速度、速度方向永遠一致
C.在平衡位置加速度、速度均達到最大值
D.在平衡位置速度達到最大值,而加速度為零
2.
(多選)某質點做簡諧運動的圖像如圖所示,以下說法正確的是(　　)
A.t1、t2時刻的速度相同
B.從t1到t2這段時間內,速度與加速度同向
C.從t2到t3這段時間內,速度變大,加速度變小
D.t1和t3時刻的加速度相同
3．(多選)當一彈簧振子在豎直方向上做簡諧運動時,下列說法正確的是(　　)
A.振子在振動過程中,速度相同時,彈簧的長度一定相等,彈性勢能相同
B.振子從最低點向平衡位置運動過程中,彈簧彈力始終做負功
C.振子在運動過程中的回復力由彈簧的彈力和振子的重力的合力提供
D.振子在運動過程中,系統的機械能守恒
4．一彈簧振子沿x軸做簡諧運動，取平衡位置O為x軸坐標原點。從某時刻開始計時，經過四分之三周期，振子受到沿x軸正方向的最大回復力。則下列能正確反映振子位移x與時間t關系的圖像是（　　）
B．
C． D．
5．如圖所示，彈簧下面掛一質量為m的物體，物體在豎直方向上做振幅為A的簡諧運動，當物體振動到最高點時，彈簧正好處于原長。振動過程中彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g，則在振動過程中(　　)
A．彈簧的最大彈性勢能等于mgA
B．彈簧的彈性勢能和物體的動能總和保持不變
C．物體在最低點時所受彈簧的彈力大小為2mg
D．物體在最低點時的加速度大小為2g
6．(多選)如圖所示，一質點在平衡位置O點附近做簡諧運動，若從質點通過O點時開始計時，經過0.9 s 質點第一次通過M點，繼續運動，又經過0.6 s質點第二次通過M點，該質點第三次通過M點經過的時間可能是(　　)
A.1 s　　　B．1.2 s　　　C．2.4 s　　　D．4.2 s
7．如圖甲所示，彈簧振子以O點為平衡位置，在A、B兩點之間做簡諧運動，取向右為正方向，振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)
A．從t＝0到t＝1.6 s過程中，振子通過的路程為48 cm
B．t＝0.2 s時，振子在O點右側6 cm處
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的加速度相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的時間內，振子的速度逐漸減小
8．如圖所示，質量為m1的物體A置于質量為m2的物體B上，一輕質彈簧一端固定，另一端與B相連。在彈性限度內，A和B一起在光滑水平面上做往復運動（不計空氣阻力），并保持相對靜止。則下列說法正確的是（　　）
A．A的運動不是簡諧運動，B是簡諧運動
B．作用在A上的靜摩擦力大小與彈簧的形變量成正比
C．當振幅為A時，A的靜摩擦力大小為kA
D．B對A的靜摩擦力始終對A做正功
二、解答題
9．.如圖所示,三角架質量為M,沿其中軸線用兩根輕彈簧拴一質量為m的小球,上、下兩彈簧的勁度系數均為k,重力加速度大小為g,原來三角架靜止在水平面上。現使小球做上下振動,振動過程中發現三角架對水平面的壓力最小為零但不離開水平面,求:
(1)三角架對水平面的壓力為零時小球的瞬時加速度大小;
(2)小球做簡諧運動的振幅。
10.如圖為水平放置的兩個彈簧振子A和B的振動圖像，已知兩個振子質量之比為mA∶mB＝2∶3，彈簧的勁度系數之比為kA∶kB＝3∶2，則它們的周期之比TA∶TB是多少？它們的最大加速度之比aA∶aB是多少？
答案
1．AD
【詳解】回復力是使物體回到平衡位置的力,選項A正確;加速度方向始終指向平衡位置,速度方向可能指向平衡位置,也可能背向平衡位置,選項B錯誤;平衡位置位移為零,據a=-知加速度為零,勢能最小,動能最大,速度最大,選項C錯誤,D正確。
2．CD
【詳解】t1時刻振子速度最大,t2時刻振子的速度為零,故A不正確;t1到t2這段時間內,質點遠離平衡位置,故速度背離平衡位置,而加速度指向平衡位置,所以二者方向相反,故B不正確;在t2到t3這段時間內,質點向平衡位置運動,速度在增大,而加速度在減小,故C正確;t1和t3時刻振子在平衡位置,故加速度均為零,選項D正確。
3．CD
【詳解】振子在平衡位置兩側往復運動,速度相同的位置可能出現在關于平衡位置對稱的兩點,這時彈簧長度不等,A錯;振子由最低點向平衡位置運動的過程中,彈簧對振子施加的力指向平衡位置,應做正功,B錯;振子運動中的回復力由彈簧振子所受合力提供且運動中機械能守恒,故C、D對。
4．A
【詳解】根據簡諧運動的特征
可知，經過四分之三周期，振子具有沿x軸正方向的最大回復力，則此時振子的位移為負向最大
故選A。
5．C
【詳解】如圖所示：物體在豎直方向上做振幅為A的簡諧運動，回復力是彈力和重力的合力，當物體振動到最高點時，彈簧處于原長，回復力等于重力，k·A＝mg時是振動平衡位置，根據振動對稱性，最低點與最高點關于平衡位置對稱，最低點時彈簧形變量為2A。振動最低點，彈簧的彈性勢能最大，系統機械能守恒，重力勢能轉化為彈性勢能，mg·2A＝Ep，故A錯誤；系統機械能守恒，動能、重力勢能、彈性勢能總量不變，振動過程中重力勢能一直變化，彈簧的彈性勢能和物體動能總和一直變化，故B錯誤；最低點時彈簧形變量為2A，彈力k·2A＝2mg，故C正確；最低點時彈簧形變量為2A，彈力與重力合力k·2A－mg＝mg向上，加速度為g向上，故D錯誤。
6．AD
【詳解】若質點開始運動的方向向左，再向M點運動，運動路線如圖1所示。得到振動的周期為：T＝0.9 s＋0.6 s＋×(0.9 s－0.6 s)＝1.6 s。質點從第二次經過M點到第三次經過M點的時間：t＝T－0.6 s＝1.6 s－0.6 s＝1.0 s；若質點開始運動的方向向右直接向M點運動，如圖2，振動的周期為T＝4×(0.9 s＋ s)＝4.8 s。
質點從第二次經過M點到第三次經過M點的時間：t＝T－0.6 s＝4.8 s－0.6 s＝4.2 s；故A、D正確，B、C錯誤。
7．A
【詳解】根據圖像讀出周期為1.6 s，所以從t＝0到t＝1.6 s的過程中，振子的路程為四個振幅，即s＝4A＝48 cm，故A正確；在0～0.4 s內，振子做變減速運動，不是勻速運動，前0.2 s時間內的平均速度大于后0.2 s內的平均速度，所以t＝0.2 s時，振子不在O點右側6 cm處，故B錯誤；t＝0.4 s和t＝1.2 s時，振子的位移方向相反，由a＝－，知加速度方向相反，故C錯誤；t＝0.4 s到 t＝0.8 s的時間內，振子的位移減小，正向平衡位置靠近，速度逐漸增大，故D錯誤。
8．B
【詳解】A．以AB為系統，其合外力為
x是彈簧的形變量，所以兩物體均做簡諧運動。A錯誤；
B．對整體由牛頓第二定律得
對A，有
聯立解得
B正確；
C．由選項B可知，當振幅為A時，A的靜摩擦力大小為
C錯誤；
D．當A遠離平衡位置時，B對A的靜摩擦力做負功，當A衡位置時，B對A的靜摩擦力做正功。D錯誤。
故選B。
計算題
9．解析：(1)三角架對水平面的壓力為零時,對三角架進行受力分析有F彈=Mg
對m進行受力分析有mg+F彈=ma
解得a=
則三角架對水平面的壓力為零時小球的瞬時加速度大小為。
(2)最大回復力為F回=mg+Mg
根據簡諧運動回復力公式得F回=2kA
解得A=
則小球做簡諧運動的振幅為。
答案：(1)　(2)
10.解析：由題圖可知，A振子的周期為0.4 s，B振子的周期為0.6 s，故周期之比為TA∶TB＝2∶3；最大加速度時，有mAaA∶mBaB＝10kA∶5kB，故最大加速度之比aA∶aB＝9∶2。
答案：2∶3 　9∶2

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