資源簡介

對數函數
一、學習目標
1．通過具體實例，了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，重點培養數學抽象核心素養．
2．探索對數函數的圖像與性質，并能簡單應用，重點提升直觀想象核心素養．
3．理解對數函數的單調性，并能用單調性比較大小，解不等式，提升邏輯推理核心素養 ．
4．掌握對數函數的性質和圖像，并能綜合應用，提升數學運算核心素養．
二、重點難點
1、對數函數的概念及應用
2、對數函數的圖像問題
3、對數函數的性質及應用
三、核心知識
　對數函數的概念
我們已經知道y＝2x是指數函數，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函數？為什么？
提示：是．由對數的定義可知y＝log2x(x＞0) x＝2y，結合指數的運算可知，在定義域{x|x＞0}內對于每一個x都有唯一的y與之對應，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函數，其定義域為(0，＋∞)．
　一般地，函數y＝logax稱為對數函數，其中a是常數，a＞0且a≠1.x是自變量．
　對數函數的圖像與性質
在同一坐標系中，對數函數y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx的圖像如圖所示，說出這四個函數圖像的特征．
提示：(1)這四個圖像都在y軸右側，即定義域為(0，＋∞)．
(2)y＝log2x與y＝logx的圖像關于x軸對稱，y＝log3x與y＝logx的圖像關于x軸對稱．
(3)函數y＝logx與y＝logx的圖像從左到右是下降的，即函數的減區間為(0，＋∞)．
(4)這四個圖像均過定點(1，0)
對數函數的圖像和性質
a＞1 0＜a＜1
圖像
性 質 定義域 (0，＋∞)
值域 (－∞，＋∞)
過定點 (1，0)，即當x＝1時，y＝0
單調性 在(0，＋∞) 上是增函數 在(0，＋∞) 上是減函數
奇偶性 非奇非偶函數
三　對數函數的性質與圖像
當x為何值時，y＝logx大于零？小于零？
提示：由logx＞0得0＜x＜1；由logx＜0得x＞1.
a＞1 0＜a＜1
x＞1 logax＞0 logax＜0
0＜x＜1 logax＜0 logax＞0
三、核心例題
題型1 對數函數的概念及應用
1．下列函數是對數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】形如的函數叫作對數函數，它的定義域是，
對于A，滿足，故A正確；
對于B，C，D，形式均不正確，均錯誤.
故選：A
2．函數的定義域為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題得，解得且.
故選：A.
3．已知偶函數在上單調遞增，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為是偶函數，所以，
因為，
所以，
因為在，上的單調遞增，
所以，
即．
故選：B．
4．函數f(x)＝log2(x2＋8)的值域為（ ）
A．R B．[0，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
【答案】C
【詳解】解：設t＝x2＋8，則t≥8，又函數y＝log2t在(0，＋∞)上為增函數，所以f(x)≥log28＝3．
故選：C．
5．已知函數f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點Q，則Q點坐標是（ ）
A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)
【答案】C
【詳解】解：令x－1＝1，即x＝2．則f(x)＝4．即函數圖象恒過定點Q(2，4)．
故選：C．
題型2對數函數的圖像問題
6．當時，在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】依題意可將指數函數化為，由可知；
由指數函數圖象性質可得為單調遞減，且過定點，即可排除BC，
由對數函數圖象性質可得為單調遞增，且過定點，排除D，
故選：A
7．已知冪函數的圖象過函數且的圖象所經過的定點，則的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【詳解】因為函數為冪函數，所以，得，即，
函數且的定點為，
即.
故選：D
8．已知，且，則函數與的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】當時，函數為增函數，且直線與y軸的交點的縱坐標大于1；
當時，函數為減函數，且直線與y軸的交點的縱坐標在0到1之間，只有C符合，
故選：C．
9．華羅庚是享譽世界的數學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．告知我們把“數”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數學問題的有效途徑．若函數（且）的大致圖象如圖，則函數的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意，根據函數的圖象，可得，
根據指數函數的圖象與性質，
結合圖象變換向下移動個單位，可得函數的圖象只有選項C符合.
故選：C.
10．已知函數的圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由圖象知最上方的圖象是的圖象，過點的是的圖象，過點的是的圖象，
因此，，，
，，，即，
故選：C．
題型3對數函數的性質及應用
11．已知，則的取值范圍為（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為在上遞減，，
所以，解得，
即的取值范圍是．
故選：A．
12．設，若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為，設，由題意知在上是增函數，
則有，即，于是．
又是對數函數，故在上恒成立，
由前面分析可知，在上是增函數，
所以，解得.
綜上，得實數的取值范圍是.
故選：A
13．關于函數，下列描述不正確的是（ ）
A．函數在區間上單調遞增 B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數的圖象與x軸有且僅有兩個交點 D．若，但，則
【答案】D
【詳解】因為，
將關于y軸對稱，可得，
將位于x軸下方的部分對折至x軸上方，可得，
將向右平移2個單位，可得，據此可得的圖象，

結合圖象可知：函數在區間上單調遞增，函數的圖象關于直線對稱，函數的圖象與x軸有且僅有兩個交點，故A、B、C正確；
例如：，可得滿足選項D條件，
但，故D錯誤；
故選：D.
14．已知函數在定義域內單調遞減，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】依題意，函數的定義域為，即函數在上單調遞減，
因此，不等式化為：，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：B
15．已知函數，若不等式對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】,
,
所以為奇函數,
為單調增函數,
,
,恒成立,
,
.
故選：D.
當堂達標
一、單選題
1．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題知：.
故選：A.
2．若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，，，所以.
故選：A
3．函數在區間上的值域是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】在上是減函數，
，即值域為.
故選：A.
4．下列函數中，在上單調遞減的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】A選項，的圖象如下：

故在上單調遞增，A錯誤；
B選項，在上單調遞減，B正確；
C選項，定義域為，在處無意義，C錯誤；
D選項，定義域為，在處無意義，D錯誤.
故選：B
5．函數（且）恒過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由于（且），
則函數（且）恒過定點．
故選：D．
6．已知，，則的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】令，則，又，
所以原函數可變為，，
所以，，所以的值域為.
故選：A.
7．已知函數在定義域上是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】當時，單調遞增且，
所以當時，也單調遞增，
則解得，所以.
故選：B.
8．已知，則的減區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為，可得，
當時，，方程不成立；
當時，方程顯然不成立；
當時，，方程不成立；
所以，即，可函數為單調遞減函數，
由函數，則，解得或，
當時，單調遞減，所以單調遞增；
當時，單調遞增，所以單調遞減，
所以函數的遞減區間為.
故選：C.
二、多選題
9．給出下列結論，其中正確的是（　?。?br/>A．函數的最大值為；
B．已知函數在上是減函數，則實數a的取值范圍是；
C．在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象關于直線對稱；
D．函數在上是增函數.
【答案】CD
【詳解】A中，由，可得，所以函數的最小值為，所以A錯誤；
B中，由函數在上是減函數，則滿足，解得，所以B錯誤；
C中，函數與互為反函數，其圖象關于對稱，所以C正確；
D中，冪函數為偶函數，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，所以D正確.
故選：CD.
10．已知函數在上是減函數，則實數可能值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CD
【詳解】函數的圖象開口向上，對稱軸為.
在上單調遞減.
要使在上是減函數，根據復合函數單調性同增異減可知：
，解得，
所以CD選項符合，AB選項不符合.
故選：CD
三、填空題
11．設函數（且），若，則的值等于 ．
【答案】16
【詳解】
.
故答案為：.
12．已知函數的定義域為，則函數的值域是 ．
【答案】
【詳解】∵，∴，即，
即，則函數的值域為.
故答案為：
四、解答題
13．已知函數（，且）
(1)求函數的定義域；
(2)判斷函數的奇偶性并證明.
【詳解】（1）由題可得，
或，
所以函數定義域為.
（2）由（1）知的定義域關于原點對稱，
可得
所以為奇函數.
14．已知指數函數的圖象過點．
(1)求的值；
(2)求關于的不等式的解集．
【詳解】（1）由題知指數函數，則，得或，又，
圖象經過，則，解得；
（2），以2為底的對數函數在其定義域內是單調遞增的，
∴滿足條件，
∴不等式的解集為．
15．已知函數是的反函數且，且函數的圖象過點．
(1)求函數的解析式；
(2)若成立，求實數的取值范圍．
【詳解】（1）是的反函數，且，
又的圖象過點，的圖象過點，
，解得：，.
（2）由得：，
，解得：或，
即實數的取值范圍為.
16．已知函數，．
(1)求函數的定義域；
(2)判斷函數的奇偶性，并說明理由；
(3)討論函數的值域．
【詳解】（1）且，得，即定義域為.
（2）因為定義域關于原點對稱，且，
所以函數為偶函數.
（3），
令，由，得，
則，，
當時，，所以原函數的值域為；
當時，，所以原函數的值域為.對數函數
一、學習目標
1．通過具體實例，了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，重點培養數學抽象核心素養．
2．探索對數函數的圖像與性質，并能簡單應用，重點提升直觀想象核心素養．
3．理解對數函數的單調性，并能用單調性比較大小，解不等式，提升邏輯推理核心素養 ．
4．掌握對數函數的性質和圖像，并能綜合應用，提升數學運算核心素養．
二、重點難點
1、對數函數的概念及應用
2、對數函數的圖像問題
3、對數函數的性質及應用
三、核心知識
　對數函數的概念
我們已經知道y＝2x是指數函數，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函數？為什么？
提示：是．由對數的定義可知y＝log2x(x＞0) x＝2y，結合指數的運算可知，在定義域{x|x＞0}內對于每一個x都有唯一的y與之對應，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函數，其定義域為(0，＋∞)．
　一般地，函數y＝logax稱為對數函數，其中a是常數，a＞0且a≠1.x是自變量．
　對數函數的圖像與性質
在同一坐標系中，對數函數y＝log2x，y＝log3x，y＝logx，y＝logx的圖像如圖所示，說出這四個函數圖像的特征．
提示：(1)這四個圖像都在y軸右側，即定義域為(0，＋∞)．
(2)y＝log2x與y＝logx的圖像關于x軸對稱，y＝log3x與y＝logx的圖像關于x軸對稱．
(3)函數y＝logx與y＝logx的圖像從左到右是下降的，即函數的減區間為(0，＋∞)．
(4)這四個圖像均過定點(1，0)
對數函數的圖像和性質
a＞1 0＜a＜1
圖像
性 質 定義域 (0，＋∞)
值域 (－∞，＋∞)
過定點 (1，0)，即當x＝1時，y＝0
單調性 在(0，＋∞) 上是增函數 在(0，＋∞) 上是減函數
奇偶性 非奇非偶函數
三　對數函數的性質與圖像
當x為何值時，y＝logx大于零？小于零？
提示：由logx＞0得0＜x＜1；由logx＜0得x＞1.
a＞1 0＜a＜1
x＞1 logax＞0 logax＜0
0＜x＜1 logax＜0 logax＞0
三、核心例題
題型1 對數函數的概念及應用
1．下列函數是對數函數的是（ ）
A． B． C． D．
2．函數的定義域為（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知偶函數在上單調遞增，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
4．函數f(x)＝log2(x2＋8)的值域為（ ）
A．R B．[0，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
5．已知函數f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點Q，則Q點坐標是（ ）
A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)
題型2對數函數的圖像問題
6．當時，在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象是（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知冪函數的圖象過函數且的圖象所經過的定點，則的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知，且，則函數與的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．華羅庚是享譽世界的數學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．告知我們把“數”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數學問題的有效途徑．若函數（且）的大致圖象如圖，則函數的大致圖象是（ ）
B．
C． D．
10．已知函數的圖象如圖所示，則（ ）
B．
C． D．
題型3對數函數的性質及應用
11．已知，則的取值范圍為（　?。?br/>A． B．
C． D．
12．設，若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
13．關于函數，下列描述不正確的是（ ）
A．函數在區間上單調遞增 B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數的圖象與x軸有且僅有兩個交點 D．若，但，則
14．已知函數在定義域內單調遞減，若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函數，若不等式對恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
當堂達標
一、單選題
1．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，則（ ）
A． B． C． D．
3．函數在區間上的值域是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列函數中，在上單調遞減的是（ ）．
A． B． C． D．
5．函數（且）恒過定點（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，則的值域為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函數在定義域上是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，則的減區間為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．給出下列結論，其中正確的是（　?。?br/>A．函數的最大值為；
B．已知函數在上是減函數，則實數a的取值范圍是；
C．在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象關于直線對稱；
D．函數在上是增函數.
10．已知函數在上是減函數，則實數可能值是（ ）
A． B． C．1 D．
三、填空題
11．設函數（且），若，則的值等于 ．
12．已知函數的定義域為，則函數的值域是 ．
四、解答題
13．已知函數（，且）
(1)求函數的定義域；
(2)判斷函數的奇偶性并證明.
14．已知指數函數的圖象過點．
(1)求的值；
(2)求關于的不等式的解集．
15．已知函數是的反函數且，且函數的圖象過點．
(1)求函數的解析式；
(2)若成立，求實數的取值范圍．
16．已知函數，．
(1)求函數的定義域；
(2)判斷函數的奇偶性，并說明理由；
(3)討論函數的值域．

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