資源簡介

第1課時　不等關系與不等式
【學習目標】　(1)能用不等式(組)表示實際問題中的不等關系．(2)初步學會作差法比較兩實數的大小．
題型 1用不等式(組)表示不等關系
【問題探究1】　生活中，我們經常看到下列標志，你知道它們的意思嗎？你能用一個數學式子表示下列關系嗎？
例1　某家電生產企業計劃在每周工時不超過40 h的情況下，生產空調、彩電、冰箱共120臺，且冰箱至少生產20臺．已知生產這些家電產品每臺所需工時如下表：
家電名稱 空調 彩電 冰箱
工時(h)
若每周生產空調x臺、彩電y臺，試寫出滿足題意的不等式組．
題后師說
用不等式(組)表示不等關系的步驟
跟蹤訓練1　(1)雷電的溫度大約是28 000 ℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設太陽表面溫度為t℃，那么t應滿足的關系式是____________．
(2)一輛汽車原來每天行駛x km，如果該汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內它的行程將超過2 200 km，用不等式表示為____________．
題型 2作差法比較大小
【問題探究2】　在初中我們學過數軸上的點與實數一一對應，可以利用數軸上的點的位置關系來規定實數的大小關系，具體是如何規定的呢？
例2　比較下列各組中代數式的大小．
(1)2a(a＋2)與(a－1)(a＋3)，其中a>0；
(2)2a2＋2b2與(a＋b)2.
題后師說
用作差法比較兩個實數大小的一般步驟
跟蹤訓練2　已知x∈R，比較(x2＋1)2與x4＋x2＋1的大小．
題型 3重要不等式
【問題探究3】　
如圖是由在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標抽象出來的圖形，你能比較大正方形ABCD與四個相同的直角三角形的面積之和的大小嗎？從中你能得出哪個不等式？它們之間有可能相等嗎？如果相等，則應該滿足什么條件呢？
例3　已知a>0，b>0，求證：a3＋b3≥ab2＋a2b.
學霸筆記：比較兩個數的大小關系，最基本的方法是利用作差法，通過因式分解或配方的方法，把“差”轉化成幾個因式乘積的形式，通過邏輯推理得到每一個因式的符號，從而判定兩個數的大小關系，通過邏輯推理進行證明．
跟蹤訓練3　已知a>0，b>0.求證：a2＋3b2≥2b(a＋b)．
隨堂練習
1.鐵路總公司關于乘車行李規定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130 cm，且體積不超過72 000 cm3，設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c(單位：cm)，這個規定用數學關系式可表示為(　　)
A．a＋b＋c<130且abc<72 000
B．a＋b＋c>130且abc>72 000
C．a＋b＋c≤130且abc≤72 000
D．a＋b＋c≥130且abc≥72 000
2．完成一項裝修工程，請木工需付工資每人400元，請瓦工需付工資每人500元，現有工人工資預算不超過20 000元，設木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關系式是(　　)
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
3．設M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關系是(　　)
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．與x有關
4．若實數a≥b，則a2－ab________ba－b2(填“≥”或“≤”)．
課堂小結
1.用不等式(組)表示不等關系．
2．作差法比較兩個數大小的步驟及變形方法．
3．重要不等式 a，b∈R，a2＋b2≥2ab的應用．
第1課時　不等關系與不等式
問題探究1　提示：①最低限速50 km/h，v≥50.②限制質量10 t，0<ω≤10.③限制高度3.5 m，0例1　解析：由題意，知x≥0，y≥0，每周生產冰箱(120－x－y)臺．
因為每周所用工時不超過40 h，
所以x＋y＋(120－x－y)≤40，即3x＋y≤120；
又每周至少生產冰箱20臺，
所以120－x－y≥20，即x＋y≤100.
所以滿足題意的不等式組為
跟蹤訓練1　解析：(1)由題意得，太陽表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度，即4.5t<28 000.
(2)因為該汽車每天行駛的路程比原來多19 km，所以汽車每天行駛的路程為(x＋19)km，則在8天內它的行程為8(x＋19)km，因此，不等關系“在8天內它的行程將超過2 200 km”可以用不等式8(x＋19)>2 200來表示．
答案：(1)4.5t<28 000　(2)8(x＋19)>2 200
問題探究2　提示：設a，b是兩個實數，它們在數軸上所對應的點分別是A，B.那么，當點A在點B的左邊時，ab.
例2　解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0，
故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)．
(2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2
＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，
因為(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.
跟蹤訓練2　解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2.
∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0，
即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，當且僅當x＝0時取等號．
問題探究3　提示：正方形的邊長為.這4個直角三角形的面積和為2ab，正方形的面積為a2＋b2，由于正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式a2＋b2>2ab.
當直角三角形變為等腰直角三角形，即a＝b時，正方形EFGH縮為一點，這時有a2＋b2＝2ab.
于是就有a2＋b2≥2ab.
證明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
因為 a，b∈R，(a－b)2≥0，
當且僅當a＝b時，等號成立，
所以a2＋b2－2ab≥0.
因此，由兩個實數大小比較的基本事實，得a2＋b2≥2ab，
當且僅當a＝b時，等號成立．
例3　證明：因為a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，
因為a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，
當且僅當a＝b時，等號成立，
所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
跟蹤訓練3　證明：因為a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
當且僅當a＝b時，等號成立，
所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．
[隨堂練習]
1．解析：由長、寬、高之和不超過130 cm得a＋b＋c≤130，由體積不超過72 000 cm3得abc≤72 000.故選C.
答案：C
2．解析：由題意，可得400x＋500y≤20 000，化簡得4x＋5y≤200.故選A.
答案：A
3．解析：因為M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以M>N.故選A.
答案：A
4．解析：因為a≥b，所以a－b≥0，所以(a2－ab)－(ba－b2)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，即a2－ab≥ba－b2.
答案：≥第2課時　等式性質與不等式性質
【學習目標】　(1)了解等式的性質．(2)掌握不等式的基本性質，并能運用這些性質解決有關問題．
　
【問題探究】　根據你的預習回答：
(1)若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立嗎？a－c>b－d呢？
(2)若a>b，c>d，那么ac>bd成立嗎？
題型 1利用不等式的基本性質判斷命題的真假
例1　(多選)下列結論正確的是(　　)
A．若a>b，則ac>bc B．若a>b>0，則<
C．若ac2>bc2，則a>b D．若a題后師說
利用不等式的性質判斷命題真假的2種策略
跟蹤訓練1　如果a2>b2，那么下列不等式中成立的是(　　)
A．a>0>b B．a>b>0
C．|a|>|b| D．a>|b|
題型 2利用不等式的性質證明不等式
例2　已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：>.
學霸筆記：
利用不等式的性質證明不等式注意事項
(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用．
(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則．
跟蹤訓練2　若a>b>0，c.
題型 3利用不等式的性質求代數式的取值范圍
例3　已知－1(1)求x－y的取值范圍；
(2)求3x＋2y的取值范圍．
一題多變　若將本例條件改為－1跟蹤訓練3　已知1隨堂練習
1.已知x>0，0A．xy>x>xy2 B．xy>xy2>x
C．x>xy>xy2 D．x>xy2>xy
2．若a>b>0，c<0，則下列結論正確的是(　　)
A．< B．a＋cC．> D．a－c3．(多選)若a>b>0，則下列結論正確的是(　　)
A．a2>b2 B．ac2>bc2
C．< D．a2>ab
4．若－1<α<β<1，m＝α－β，則m的取值范圍為____________．
課堂小結
1.利用不等式的性質判斷命題的真假時，一定要注意不等式成立的條件．
2．利用不等式的性質證明簡單的不等式是否成立，實際上就是根據不等式的性質把不等式進行適當的變形，證明過程中注意不等式成立的條件．
第2課時　等式性質與不等式性質
問題探究　提示：(1)a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立．
(2)不一定，但當a>b>0，c>d>0時，一定成立．
例1　解析：對于A：當a>b時，若取c≤0，則有ac≤bc.故A不正確；
對于B：當a>b>0時，兩邊同乘以，有>，即<.故B正確；
對于C：當ac2>bc2，兩邊同乘以，則a>b.故C正確；
對于D：當a答案：BC
跟蹤訓練1　解析：因為a2>b2，故由不等式的性質得|a|>|b|，故C選項正確；對于A選項，當a＝2，b＝1時滿足a2>b2，但a>0>b不成立，故A選項錯誤；對于B選項，由于(－3)2>(－2)2，但－3<－2<0，故B選項錯誤；對于D選項，由于(－3)2>(－2)2，但－3<|－2|，故D選項錯誤．故選C.
答案：C
例2　證明：因為a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，
所以a－c>b－c>0，所以0<<，所以>.
跟蹤訓練2　證明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，
則(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.
例3　解析：(1)因為－1所以－3<－y<－2，所以－4(2)由－1所以1<3x＋2y<18.
一題多變　解析：因為－1所以－3<－y<1，所以－4又因為x所以－4跟蹤訓練3　解析：因為2又1所以的取值范圍是<<2.
[隨堂練習]
1．解析：由0y>y2，可得x>xy>xy2.故選C.
答案：C
2．解析：因為a>b>0，則<，又c<0，所以>，故A錯誤；因為a>b>0，c<0，所以a＋c>b＋c，故B錯誤；因為a>b>0，則<，又c<0，所以>，故C正確；因為a>b>0，c<0，所以a－c>b－c，故D錯誤．故選C.
答案：C
3．解析：由a>b>0，則a2>b2，>>0即<，a2>ab，故A、C、D正確；當c＝0時ac2＝bc2，故B錯誤．故選ACD.
答案：ACD
4．解析：∵α<β，∴α－β<0，又－1<α<1，－1<－β<1，∴－2<α－β<2，綜上，－2<α－β<0.
答案：{m|－2【學習目標】　(1)學會推導、證明不等式，理解基本不等式的幾何意義．(2)會用基本不等式求一些簡單的最值問題．
【問題探究】　如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC＝a，BC＝b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？
題型 1對基本不等式的理解
例1　(多選)下列推導過程，其中正確的是(　　)
A．因為a，b為正實數，所以≥2＝2
B．因為a>3，所以＋a≥2＝4
C．因為a<0，所以＋a≥2＝4
D．因為x，y∈R，xy<0，所以＝－[(－)＋(－)]≤－2 ＝－2，當且僅當x＝－y≠0時，等號成立
學霸筆記：基本不等式的結構體現了“和式”與“積式”的相互轉化，當題目中不等號的兩端一端是“和式”而另一端是“積式”時，就要考慮利用基本不等式來解決，在應用過程中注意“一正、二定、三相等”．
跟蹤訓練1　已知a≠0，下列各不等式恒成立的是(　　)
A．a＋>2 B．a＋≥2
C．a＋≤－2 D．|a＋|≥2
題型 2利用基本不等式直接求最值
例2　(1)當x>0時，求＋4x的最小值；
(2)當x<0時，求＋4x的最大值．
學霸筆記：應用基本不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的條件進行，若具備這些條件，則可直接運用基本不等式，若不具備這些條件，則應進行適當的變形．
跟蹤訓練2　(1)已知a>0，則a＋＋1的最小值為(　　)
A．2　　　B．3 C．4　　　D．5
(2)設x>0，則y＝3－3x－的最大值為(　　)
A．3 B．3＋2
C．3－2D．－1
題型 3利用基本不等式求兩個變量和(積)的最值
例3　把36寫成兩個正數的積，當這兩個正數取什么值時，它們的和最小？
一題多變　把18寫成兩個正數的和，當這兩個正數取什么值時，它們的積最大？
學霸筆記：當a>0，b>0時，
(1)若a＋b＝p(和為定值)，則當a＝b時，積ab有最大值，這可以用基本不等式求得．
(2)若ab＝S(積為定值)，則當a＝b時，和a＋b有最小值2，這可以用基本不等式a＋b≥2求得．不論哪種情況都要注意等號取得的條件．
跟蹤訓練3　(1)已知正數a，b滿足ab＝8，則a＋2b的最小值是(　　)
A．4　　　B．6 C．2　 　D．8
(2)已知x>0，y>0，且滿足x＋6y＝6，則xy有(　　)
A．最大值B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
隨堂練習
1.不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是(　　)
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2．下列不等式中，正確的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．x2＋≥2 D．
3．已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是(　　)
A．9　　　B．18 C．9　 　D．27
4．已知y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a的值為________．
課堂小結
1.基本不等式的推導與證明．
2．利用基本不等式求最值要滿足條件“一正、二定、三相等”，缺一不可．
第1課時　基本不等式
問題探究　提示：如題圖，可證△ACD∽△DCB，因而CD＝.由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為.顯然，當且僅當點C與圓心重合，即當a＝b時，上述不等式的等號成立．
例1　解析：對于A，a，b為正實數，有>0，>0，且·＝1，又當且僅當a＝b時，＝成立，滿足均值不等式的條件，A正確；
對于B，＋a≥2 ＝4，當a>3時，>0，且a·＝4，顯然不存在大于3的正數a使a＝成立，所以＋a>4，B錯誤；
對于C，因為a<0，則<0，不符合均值不等式成立的條件，C錯誤；
對于D，x，y∈R，xy<0，則－>0，－>0，且·＝1，又當且僅當y＝－x≠0時，－＝－成立，滿足均值不等式的條件，D正確．故選AD.
答案：AD
跟蹤訓練1　解析：取a＝－1時，a＋＝－2，可判斷選項A、B不正確；取a＝1時，a＋＝2，可判斷選項C不正確；因為a，同號，|a＋|＝|a|＋||≥2，當且僅當a＝±1時，等號成立，選項D正確．故選D.
答案：D
例2　解析：(1)∵x>0，∴>0，4x>0.
∴＋4x≥2 ＝8.
當且僅當＝4x，即x＝時取最小值8，
∴當x>0時，＋4x的最小值為8.
(2)∵x<0，∴－x>0.
則＋(－4x)≥2 ＝8，
當且僅當＝－4x時，即x＝－時取等號．
∴＋4x≤－8.
∴當x<0時，＋4x的最大值為－8.
跟蹤訓練2　解析：(1)因為a>0，所以a＋＋1≥2 ＋1＝5.當且僅當a＝，即a＝2時等號成立．所以a＋＋1的最小值為5.故選D.
(2)因為x>0，所以3x＋≥2 ＝2，當且僅當3x＝，即x＝時取等號，所以3－3x－≤3－2，即y＝3－3x－的最大值為3－2.故選C.
答案：(1)D　(2)C
例3　解析：設兩個正數為a，b，
由題意ab＝36，則a＋b≥2＝12，當且僅當a＝b＝6時等號成立，即a＝b＝6時，它們的和最小，為12.
一題多變　解析：設兩個正數為a，b，
由題意a＋b＝18，則ab≤＝81當且僅當a＝b＝9時等號成立，即a＝b＝9時，它們的積最大，為81.
跟蹤訓練3　解析：(1)由a，b為正實數，則a＋2b≥2＝2＝8，當且僅當a＝2b，即a＝4，b＝2時等號成立，故選D.
(2)xy＝＝×9＝，當且僅當，即時等號成立．故選A.
答案：(1)D　(2)A
[隨堂練習]
1．解析：當a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1時，“＝”成立．故選B.
答案：B
2．解析：A.當a<0時，a＋≤－4，故錯誤；B.因為a2＋b2≥2ab，故錯誤；C.由基本不等式得x2＋≥2，當且僅當x2＝時，取等號，故正確；D.當a＝1，b＝2時，<，故錯誤．故選C.
答案：C
3．解析：因為m>0，n>0，由基本不等式m＋n≥2得，m＋n≥18.當且僅當m＝n＝9時等號成立，所以m＋n的最小值是18，故選B.
答案：B
4．解析：由基本不等式，得4x＋≥2 ＝4，當且僅當4x＝，即x＝時，等號成立，故＝3，得a＝36.
答案：36第2課時　基本不等式的實際應用
【學習目標】　(1)熟練掌握基本不等式及其變形的應用．(2)基本不等式在解決實際問題中的應用．
題型 1基本不等式在生活中的應用
【問題探究】　課前每名同學準備一段鐵絲，如何把這段鐵絲折成一個面積最大的矩形？
例1　如圖為傳統節日玩具之一走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節日．燈內點上蠟燭，蠟燭燃燒產生的熱力造成氣流，令輪軸轉動．輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖象便不斷走動，因剪紙圖象為古代武將騎馬的圖畫，在轉動時看起來好像幾個人你追我趕一樣，故名走馬燈．現打算做一個體積為96 000 cm3的如圖長方體狀的走馬燈(題中不考慮木料的厚薄粗細)．
(1)若底面大矩形的周長為160 cm，當底面邊長為多少時，底面面積最大？
(2)若燈籠高為40 cm，現只考慮燈籠的主要框架，當底面邊長為多少時，框架用料最少？
題后師說
利用基本不等式解決實際問題的步驟
跟蹤訓練1　某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計)．問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低．
題型 2基本不等式在幾何中的應用
例2　如圖所示，設矩形ABCD(AB>BC)的周長為24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于點P，設AB＝x.
(1)用x表示DP，并求出x的取值范圍；
(2)求△ADP面積的最大值及此時x的值．
學霸筆記：在實際問題中利用基本不等式求最值時，要特別注意使用基本不等式的條件“一正”(要求字母為正數)、“二定”(不等式的另一邊必須為定值)、“三相等”(等號取得的條件)，滿足這三條才能應用，否則會出現錯誤．
　
跟蹤訓練2如圖，已知在一個半徑為r的半圓形鐵板中，截取一塊矩形ABCD，使得矩形的頂點A、B在半圓的直徑上，C、D在半圓弧上，若矩形ABCD的面積最大時，其最大值是________．
隨堂練習
1.某服裝加工廠為了適應市場需求，引進某種新設備，以提高生產效率和降低生產成本．已知購買m臺設備的總成本為f(m)＝m2＋m＋200(單位：萬元)．若要使每臺設備的平均成本最低，則應購買設備(　　)
A．100臺 B．200臺
C．300臺 D．400臺
2．為了慶祝中國青年團100周年，校團委組織了一場慶祝活動，要用警戒線圍出400平方米的矩形活動區域，則所用警戒線的長度的最小值為(　　)
A．30米　　B．50米 C．80米　　D．110米
3．欲用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的面積最大的矩形菜園，墻長18 m，則這個矩形的長、寬分別為(　　)
A．15 m， m B．15 m， m
C．7 m， m D．7 m， m
4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________ m，面積最大為________ m2.
課堂小結
1.利用基本不等式求解實際問題，注意生活中的變量有它自身的意義，容易忽略變量的取值范圍．
2．利用基本不等式求解實際問題，切記利用基本不等式求最值的三個條件：一正、二定、三相等．
第2課時　基本不等式的實際應用
問題探究　提示：設矩形的邊長分別為x，y，則周長C＝2x＋2y，∴x＋y＝，∴面積S＝xy≤＝，當且僅當x＝y＝時，等號成立．
例1　解析：
(1)設大矩形的長為x，寬為y，
依題有：2(x＋y)＝160，即x＋y＝80，則S＝xy≤＝1 600，
當且僅當x＝y＝40時，底面矩形面積最大．
(2)依題有S＝xy＝＝2 400，
框架用料最少等價于底面用料為2x＋3y最小即可，
2x＋3y≥2＝240，當2x＝3y，即y＝40，x＝60時取等號，
故當長為60 cm、寬為40 cm時，用料最少．
跟蹤訓練1　解析：設污水處理池的長為x米，則寬為米．
總造價f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200
＝800×(x＋)＋12 000
≥1 600 ＋12 000
＝36 000(元)
當且僅當x＝(x>0)，
即x＝15時等號成立．
例2　解析：(1)矩形ABCD(AB>BC)的周長為24，
∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x，
∵AB>BC＝AD，得x>12－x，
∴6在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，從而得DP＝PB′，
∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，
在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，
∴DP＝12－(6(2)在Rt△ADP中，
S△ADP＝AD·DP＝(12－x)·(12－)＝108－(6x＋)(6∵6∴6x＋≥2 ＝72，當且僅當6x＝，即x＝6時，等號成立．
∴S△ADP＝108－(6x＋)≤108－72，
∴當x＝6時，△ADP的面積取最大值108－72.
跟蹤訓練2　解析：
設BC＝x，連結OC，得OB＝，所以AB＝2，所以矩形ABCD面積S＝2x，x∈(0，r)，S＝2x＝2≤x2＋r2－x2＝r2.當且僅當x2＝r2－x2，即x＝r時取等號，此時ymax＝r2.
答案：r2
[隨堂練習]
1．解析：由題意，＝m＋1＋≥2 ＋1＝3，當且僅當＝，即m＝200時，等號成立，所以應購買200臺，使得每臺設備的平均成本最低．故選B.
答案：B
2．解析：設該矩形區域的長為x米，則寬為米，則所用警戒線的長度為2(＋x)≥2×2 ＝80米，當且僅當＝x，即x＝20時，取等號．則所用警戒線的長度的最小值為80米．故選C.
答案：C
3．解析：設矩形的長為x(0答案：A
4．解析：設矩形的寬為y，由三角形相似得：＝，0答案：20　400習題課　基本不等式
【學習目標】　(1)熟練掌握基本不等式及其變形的應用．(2)能利用基本不等式證明簡單的不等式．
題型 1“拼湊法”求最值
例1　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0學霸筆記：
通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略
拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求最值應注意以下幾個方面：①拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價轉換；②代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標；③拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．
跟蹤訓練1　(1)已知a>1，則a＋的最小值為(　　)
A．5 B．6
C．7 D．10
(2)若0題型 2巧用“1”的代換求最值
例2　已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值．
一題多變　把本例中的“＝1”改為“2xy＝x＋4y”，求x＋y的最小值．
題后師說
“1”的代換法求最值的步驟
跟蹤訓練2　已知m>0，n>0，且2m＋n＝1，求的最小值．
題型 3利用基本不等式證明不等式
例3　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求證：(－1)(－1)(－1)≥8.
學霸筆記：
利用基本不等式證明不等式的注意事項
(1)多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立．
(2)巧用“1”的代換證明不等式．
(3)對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．
跟蹤訓練3　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
證明：≥4.
隨堂練習
1.已知x>－2，則x＋的最小值為(　　)
A．2　　　B．3 C．4　　　D．5
2．若兩個正實數x，y滿足＝1，則x＋2y的最小值是(　　)
A．2　　　B．4 C．8　　　D．16
3．若正數a，b滿足a＋b＝1，則的最小值為(　　)
A．16　　　B．13 C．20　　　D．15
4．已知0課堂小結
1.“拼湊法”求最值．
2．“1”的代換法求最值．
3．利用基本不等式證明不等式．
習題課　基本不等式
例1　解析：(1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，
當且僅當5－4x＝，即x＝1時，上式等號成立，
故當x＝1時，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×()2
＝＝.
∴當且僅當2x＝1－2x(0即x＝時，ymax＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)a>1時，a－1>0，a＋＝(a－1)＋＋1≥2 ＋1＝7(當且僅當a＝4時等號成立)，則a＋的最小值為7.故選C.
(2)因為00，所以＝5，當且僅當x＝10－x，即x＝5時取等號，所以的最大值為5.
答案：(1)C　(2)5
例2　解析：∵＝1，∴x＋y＝(x＋y)()＝10＋，∵x>0，y>0，∴>0，>0，
∴x＋y≥10＋2 ＝16(當且僅當＝，即x＝4，y＝12時取等號)，
∴x＋y的最小值為16.
一題多變　解析：因為x>0，y>0，由已知條件可得＝＝2，
所以x＋y＝(x＋y)()＝(5＋)≥(5＋2 )＝，
當且僅當x＝2y＝3時，等號成立，故x＋y的最小值為.
跟蹤訓練2　解析：∵m>0，n>0，2m＋n＝1，
∴＝＝＝，
∴＝＝()·(2m＋n)＝＋3＋2＋≥5＋2 ＝5＋2，
當且僅當＝時，即n2＝6m2，
而又2m＋n＝1，所以，
此時不等式可取等號．
所以的最小值為5＋2.
例3　證明：因為a，b，c均為正實數，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝，
同理－1≥－1≥.
上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，
得(－1)(－1)(－1)≥··＝8，
當且僅當a＝b＝c＝時，等號成立．
跟蹤訓練3　證明：＝(a＋b＋c)·()
＝2＋
≥2＋2 ＝4，
當且僅當a＋b＝c＝時取等號，所以≥4.
[隨堂練習]
1．解析：因為x>－2，所以x＋2>0，
所以x＋＝x＋2＋－2≥2 －2＝2，
當且僅當x＋2＝，即x＝0時取等號，
所以x＋的最小值為2.故選A.
答案：A
2．解析：由題意，兩個正實數x，y滿足＝1，則x＋2y＝(x＋2y)()＝4＋≥4＋2 ＝8，當且僅當＝，即x＝4，y＝2時，等號成立．故選C.
答案：C
3．解析：因為正數a，b滿足a＋b＝1，則＝()·(a＋b)＝10＋≥10＋2 ＝16，當且僅當＝且a＋b＝1，即a＝，b＝時取等號，此時取得最小值16.故選A.
答案：A
4．解析：00，x(2－x)≤＝1，當且僅當x＝1時取“＝”．
答案：1第1課時　二次函數與一元二次方程、不等式
【學習目標】　(1)了解一元二次不等式的現實意義．(2)借助二次函數圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，體會數學的整體性．(3)能夠借助二次函數，求解一元二次不等式．
　
題型 1一元二次不等式的解法
【問題探究1】　如課本圖2.3－1，二次函數y＝x2－12x＋20的圖象與x軸有兩個交點，這與方程x2－12x＋20＝0的根有什么關系？
【問題探究2】　你能從二次函數y＝x2－12x＋20的圖象上找到x2－12x＋20<0的解集嗎？
例1　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
題后師說
解不含參數的一元二次不等式的一般步驟
跟蹤訓練1　解下列不等式．
(1)3x2－7x≤10；
(2)x2－x＋<0.
題型 2含參數的一元二次不等式的解法
例2　設a∈R，解關于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
一題多變　解關于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
題后師說
解含參數的一元二次不等式的步驟
特別提醒：求解方程的根時可優先考慮用因式分解的方法求解，不能因式分解時再求判別式Δ，用求根公式計算．
跟蹤訓練2　解關于x的不等式x2－(a＋2)x＋2a<0．
隨堂練習
1.不等式x2－4>0的解集是(　　)
A．{x|－2C．{x|x>2} D．{x|x<－2或x>2}
2．關于x的不等式－x2＋5x＋6≤0的解集為(　　)
A．{x|x≤－2或x≥3}
B．{x|－2≤x≤3}
C．{x|－1≤x≤6}
D．{x|x≤－1或x≥6}
3．設m＋n>0，則關于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是(　　)
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－m4．已知a<0，則關于x的不等式x2－4ax－5a2<0的解集是____________．
課堂小結
1.一元二次不等式的概念及解法．
2．含參數的一元二次不等式的解法．
第1課時　二次函數與一元二次方程、不等式
問題探究1　提示：函數的圖象與x軸交點的橫坐標正好是方程的根．
問題探究2　提示：從圖象上看，位于x軸上方的函數值大于零，位于x軸下方的函數值小于零，故x2－12x＋20<0的解集為{x|2例1　解析：(1)因為Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有兩個不等實根x1＝－3，x2＝－.又二次函數y＝2x2＋7x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為{x|x>－或x<－3}．
(2)原不等式可化為(2x－)2≤0，所以原不等式的解集為{x|x＝}．
(3)原不等式可化為2x2－3x＋2>0，因為Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實根，又二次函數y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R.
跟蹤訓練1　解析：(1)不等式3x2－7x≤10，即3x2－7x－10≤0，即不等式等價于(x＋1)(3x－10)≤0，
由二次函數的圖象與性質可知原不等式的解集為{x|－1≤x≤}．
(2)不等式x2－x＋<0，
因為x2－x＋＝(x－)2≥0，
由二次函數的圖象與性質可知原不等式的解集為 .
例2　解析：(1)當a＝0時，不等式可化為x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集為{x|x＞2}．
(2)當a≠0時，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的兩根分別為2和－.
①當a＜－時，解不等式得－＜x＜2，
即原不等式的解集為{x|－②當a＝－時，不等式無解，
即原不等式的解集為 ；
③當－＜a＜0時，
解不等式得2＜x＜－，
即原不等式的解集為{x|2④當a＞0時，解不等式得x＜－或x＞2，
即原不等式的解集為{x|x<－，或x>2}．
一題多變　解析：Δ＝a2－16，下面分情況討論：
(1)當Δ＜0，即－4＜a＜4時，方程2x2＋ax＋2＝0無實根，所以原不等式的解集為R.
(2)當Δ＝0，即a＝±4時，若a＝－4，則原不等式等價于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，則原不等式等價于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)當Δ＞0，即a＞4或a＜－4時，方程2x2＋ax＋2＝0的兩個根為x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此時原不等式等價于(x－x1)(x－x2)＞0，
∴x＜x1或x＞x2.
綜上，當－4＜a＜4時，原不等式的解集為R；當a＝－4時原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠1}；
當a＞4或a＜－4時，原不等式的解集為{x|x＜(－a－)，或x＞(－a＋)}；當a＝4時，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠－1}．
跟蹤訓練2　解析：x2－(a＋2)x＋2a<0，即(x－a)(x－2)<0；
當a＝2時，不等式化為(x－2)2<0，不等式無解；
當a>2時，解不等式(x－a)(x－2)<0，得2當a<2時，解不等式(x－a)(x－2)<0，得a綜上所述，a＝2時，不等式無解，
a>2時，不等式的解集為{x|2a<2時，不等式的解集為{x|a[隨堂練習]
1．解析：x2－4＝(x＋2)(x－2)>0，
解得x<－2或x>2，
所以不等式的解集為{x|x<－2或x>2}．
答案：D
2．解析：由－x2＋5x＋6＝－(x－6)(x＋1)≤0，解得x≤－1或x≥6.故選D.
答案：D
3．解析：不等式變形為(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的兩根為m，－n，顯然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解為－n答案：B
4．解析：因為x2－4ax－5a2<0，所以(x－5a)(x＋a)<0，又a<0，所以不等式x2－4ax－5a2<0的解集為{x|5a答案：{x|5a【學習目標】　(1)會將簡單的分式不等式化為一元二次不等式求解．(2)理解一元二次方程，一元二次不等式與二次函數的關系．(3)能夠從實際生活和生產中抽象出一元二次不等式的模型，解決實際生活問題．
題型 1簡單分式不等式的解法
【問題探究】　<0與(x＋1)(x－1)<0等價嗎？
≤0與(x＋1)(x－1)≤0等價嗎？
例1　解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
題后師說
簡單分式不等式的解法策略
跟蹤訓練1　解下列不等式：
(1)≤0；(2)＜1.
題型 2一元二次不等式的實際應用
例2　某公司為了競標某活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
題后師說
求解一元二次不等式應用問題的步驟
跟蹤訓練2　制作一個高為20 cm的長方體容器，底面矩形的長比寬多10 cm，并且容積不少于4 000 cm3.問：底面矩形的寬至少應是多少？
題型 3二次函數與一元二次方程、不等式間的關系及應用
例3　已知關于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求關于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
一題多變　將本例中的“不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}”改為“不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|x<2或x>3}”，求關于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
學霸筆記：已知以a，b，c為參數的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：
(1)根據解集來判斷二次項系數的符號；
(2)根據根與系數的關系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；
(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．
跟蹤訓練3　不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1A．{x|－1}
C．{x|x≤2或x>} D．{x|－1隨堂練習
1.不等式≥0的解集為(　　)
A．{x|x≥1或x≤－1}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|x≥1或x<－1}
D．{x|－1≤x<1}
2．已知關于x的不等式2x2－mx＋n<0的解集是(2，3)，則m＋n的值是(　　)
A．－2 B．2
C．22 D．－22
3．某村辦服裝廠生產某種風衣，月銷售量x(件)與售價p(元/件)的關系為p＝300－2x；生產x件的成本r＝500＋30x(元)，為使月獲利不少于8 600元，則月產量x滿足(　　)
A．55≤x≤60 B．60≤x≤65
C．65≤x≤70 D．70≤x≤75
4．已知不等式ax2－x＋6>0的解集為{x|－3課堂小結
1.解簡單分式不等式的關鍵是等價轉化．
2．解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型．
3．二次函數與一元二次方程、不等式間的關系及應用．
第2課時　一元二次不等式的應用
問題探究　提示：<0與(x＋1)(x－1)<0等價，≤0與(x＋1)(x－1)≤0不等價，
≤0的分子可以等于0而分母不能等于0，即≤0 .
例1　解析：(1)原不等式可化為
解得
∴x<－或x≥，
∴原不等式的解集為{x|x<－或x≥}．
(2)原不等式可化為>0，
化簡得>0，即<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3∴原不等式的解集為{x|－3跟蹤訓練1　解析：(1)原不等式為
∴即－＜x≤1.
故原不等式的解集為{x|－(2)原不等式可化為－1＜0，
∴＜0，∴＜0，則x＞－2.
故原不等式的解集為{x|x＞－2}．
例2　解析：設每件定價為t元，依題意得(8－×0.2)t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得：25≤t≤40.
所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．
跟蹤訓練2　解析：設底面矩形的寬為x，
由題意可得20x(x＋10)≥4 000，
整理可得x2＋10x－200≥0，
解得x≤－20(舍)，或x≥10，
所以底面矩形的寬至少為10 cm.
例3　解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2由根與系數的關系可知＝－5，＝6.
由a<0知c<0，＝，
故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，
即x2－x＋>0，解得x<或x>，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為{x|x<或x>}．
方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，
故不等式cx2＋bx＋a<0，
即6ax2－5ax＋a<0 6a(x－)(x－)<0，
故原不等式的解集為{x|x<或x>}．
一題多變　解析：方法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x<2或x>3}可知a>0，
且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，
由根與系數的關系可知＝－5，＝6，
由a>0知b<0，c>0，＝－，
故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋<0，
即x2－x＋<0，解得所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為{x|方法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|x<2或x>3}可知，a>0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＋0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0 6a(x－)(x－)<0，故原不等式的解集為{x|跟蹤訓練3　解析：因為不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1所以－1和2是方程ax2＋bx＋2＝0的兩根，
則，解得，
所以不等式2x2＋bx＋a<0即化為2x2＋x－1<0，所以(2x－1)(x＋1)<0，
解得－1答案：A
[隨堂練習]
1．解析：不等式等價于≤0，即(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，解得－1≤x<1，故不等式的解集為{x|－1≤x<1}．故選D.
答案：D
2．解析：由題意得：2與3是方程2x2－mx＋n＝0的兩個根，故2＋3＝，2×3＝，所以m＋n＝10＋12＝22.故選C.
答案：C
3．解析：由題意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，則(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70.故選C.
答案：C
4．解析：因為不等式ax2－x＋6>0的解集為{x|－3答案：{x|－2【學習目標】　掌握與一元二次不等式有關的恒成立問題的解法．
題型 1在R上的恒成立問題
例1　若不等式ax2＋(1－a)x＋a－2≥－2對一切實數x恒成立，求實數a的取值范圍．
學霸筆記：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實數(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c>0；當a≠0時，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實數(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c<0；當a≠0時，
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0的解是全體實數(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c≥0；當a≠0時，
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0的解是全體實數(或恒成立)的條件是：當a＝0時，b＝0，c≤0；當a≠0時，
跟蹤訓練1　已知關于x的不等式2kx2＋kx－<0的解集為R，求實數k的取值范圍．
題型 2在給定范圍內恒成立的問題
例2　當－1≤x≤2時，不等式x2＋(m－4)x－5≤0恒成立，求實數m的取值范圍．
一題多變　當x>0時，不等式x2－5x＋4>kx恒成立，求實數k的取值范圍．
學霸筆記：(1)轉化為對應的二次函數圖象與x軸的交點問題．
①當a>0時，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數值同時小于0.
②當a<0時，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β時的函數值同時大于0.
(2)用分離參數法轉化為相應二次函數的最值或用基本不等式求最值．
跟蹤訓練2　已知關于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上恒成立，求實數a的取值范圍．
題型 3不等式能成立問題
例3　已知關于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上有解，求實數a的取值范圍．
學霸筆記：(1)結合二次函數圖象，將問題轉化為端點值的問題解決．
(2)對一些簡單的問題，可轉化為m>ymin或m跟蹤訓練3　若存在≤x≤2，使得>(k>0)成立，求實數k的取值范圍．
隨堂練習
1. x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，則a的取值范圍為(　　)
A．a<－4 B．a<－4或a＝0
C．a≤－4 D．－42．已知不等式x2－ax＋1≥0，在0A．a≤2 B．a≤1
C．03．若關于x的不等式x2－6x＋11－a<0在2A．a>－2 B．a>3
C．a>6 D．a>2
4．若關于x的不等式x2－x＋m<0的解集是 ，則實數m的取值范圍是____________．
課堂小結
1.會使用判別式法、分離參數法、數形結合等方法解決不等式恒成立、能成立問題．
2．正確區分不等式恒成立與能成立問題．
習題課　不等式恒成立、能成立問題
例1　解析：由題意，ax2＋(1－a)x＋a≥0恒成立，
當a＝0時，不等式可化為x≥0，不滿足題意；
當a≠0時，滿足，
即，解得a≥；
故實數a的取值范圍是a≥.
跟蹤訓練1　解析：不等式2kx2＋kx－<0的解集為R，
若k＝0，不等式為－<0，符合題意；
若k≠0，則有，解得－3所以不等式的解集為R，實數k的取值范圍為－3例2　解析：令y＝x2＋(m－4)x－5，
∵y≤0在－1≤x≤2上恒成立，
y＝0的根一個小于等于－1，一個大于等于2，
如圖可得，即，
∴實數m的取值范圍為{m|0≤m≤}．
一題多變　解析：由題意得，k<在x>0上恒成立，令y＝，只需k由基本不等式得g(x)＝x＋－5≥2－5＝－1，當且僅當x＝，即x＝2時等號成立．
所以k<－1，則k的取值范圍是{k|k<－1}．
跟蹤訓練2　解析：由題可知a令y＝x2＋x－1，只需a所以a<－1.
例3　解析：由x2＋x－a－1>0可得a所以a因為y＝x2＋x－1＝(x＋)2－，0≤x≤1，
所以ymax＝1，所以a<1.
跟蹤訓練3　解析：依題意，存在≤x≤2，使得>成立，由于k>0，
所以3x>x2＋k，k<－x2＋3x，
由于函數y＝－x2＋3x的開口向下，對稱軸為x＝，
所以k<－＋3×＝，
即k的取值范圍是{k|k<}．
[隨堂練習]
1．解析： x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，當a＝0時，顯然不恒成立，所以，解得：a<－4.故選A.
答案：A
2．解析：依題意得x2－ax＋1≥0，ax≤x2＋1，a≤x＋，在0答案：A
3．解析：設y＝x2－6x＋11，開口向上，對稱軸為直線x＝3，所以要使不等式x2－6x＋11－a<0在2ymin即可，即a>f(3)＝2，得a>2，所以實數a的取值范圍為a>2.故選D.
答案：D
4．解析：因為不等式x2－x＋m<0的解集是 ，∴x2－x＋m≥0在x∈R上恒成立，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≤0，即m≥.
答案：{m|m≥}第二章　章末復習課
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考點一　不等式性質的應用
1．利用不等式的性質可以比較兩個數或式的大小，可以證明不等式等．另外，作差法、作商法也是常用的比較大小和證明不等式的方法．
2．通過對不等式性質的考查，提升學生的邏輯推理素養．
例1　(多選)下列不等式中不成立的是(　　)
A．若a>b>0，則ac2>bc2
B．若a>b>0，則a2>b2
C．若aD．若a
跟蹤訓練1　已知a、b、c、d∈R，下列命題正確的是(　　)
A．若a>b，則ac>bc
B．若a>b，c>d，則ac>bd
C．若a>b，則<
D．若<，則|a|>|b|
考點二　基本不等式
1．基本不等式為，其變式為ab≤等．基本不等式可用來比較代數式的大小、證明不等式、求函數的最值、求字母參數的取值范圍、解實際應用題等．
2．通過對基本不等式考查，提升學生的邏輯推理、數學運算素養．
例2　(多選)下列結論中，所有正確的結論是(　　)
A．當x>0時，≥2
B．當x<0時，x＋的最小值是－2
C．當x>－3時，y＝x＋的最小值為－1
D．當x<時，y＝4x－2＋的最小值是5
跟蹤訓練2　已知x，y都是正實數，且x＋2y＝xy，則x＋y的最小值為________．
考點三　一元二次不等式的解法
1．解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函數和一元二次不等式三者之間的關系，其中二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標是聯系這三個“二次”的樞紐．
(1)確定ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在判別式Δ＞0時解集的結構是關鍵．在未確定a的取值情況下，應先分a＝0和a≠0兩種情況進行討論．
(2)若給出了一元二次不等式的解集，則可知二次項系數a的符號和方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，再由根與系數的關系就可知a，b，c之間的關系．
(3)解含有參數的一元二次不等式，要注意對參數的取值進行討論：①對二次項系數與0的大小進行討論；②在轉化為標準形式的一元二次不等式后，對判別式與0的大小進行討論；③當判別式大于0，但兩根的大小不確定時，對兩根的大小進行討論．
2．通過對一元二次不等式解法的考查，提升學生邏輯推理、數學運算素養．
例3　(1)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解是αα>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集；
(2)解關于x的不等式ax2－(a＋4)x＋4<0(a∈R)．
跟蹤訓練3　已知關于x的不等式x2－x＋a－a2≤0.
(1)若a＝2時，求不等式的解集；
(2)求不等式的解集．
考點四　不等式恒成立問題
1．熟練掌握一元二次不等式恒成立的等價條件，理解不等式恒成立與最值的關系，對于含參的不等式要注意對參數進行討論，做到不重不漏．
2．通過對不等式恒成立問題的考查，提升學生邏輯推理和數學運算素養．
例4　已知關于x的不等式mx2＋mx－2<0.
(1)當x∈R時不等式恒成立，求實數m的取值范圍．
(2)當x∈{x|－3≤x≤－1}時不等式恒成立，求實數m的取值范圍．
跟蹤訓練4　已知函數y＝x2＋ax＋2.
(1)若對 x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)若 x∈{x|1≤x≤2}，有x2＋ax＋2≥－2成立，求實數a的取值范圍．
考點五　不等式在實際問題中的應用
1．不等式的實際問題常以函數為背景，多以解決實際生活、生產中的優化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值．
2．通過對不等式實際問題的考查，提升學生數學建模和數學運算素養．
例5　某市為推動美麗鄉村建設，發展農業經濟，鼓勵某食品企業生產一種飲料，該飲料每瓶成本為10元，售價為15元，月銷售8萬瓶．
(1)據市場調查，若每瓶售價每提高1元，月銷售量將減少8 000瓶，要使下月總利潤不低于原來的月總利潤，該飲料每瓶售價最多為多少元？
(2)為提高月總利潤，企業決定下月調整營銷策略，計劃每瓶售價x(x≥16)元，并投入(x－16)萬元作為調整營銷策略的費用．據市場調查，每瓶售價每提高1元，月銷售量將相應減少萬瓶，則當每瓶售價x為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月的最大總利潤．(提示：月總利潤＝月銷售總收入－月總成本)
跟蹤訓練5　
某學校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍(斜線部分)均種滿寬度相同的鮮花．已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米．
(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；
(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值．
章末復習課
考點聚焦·分類突破
例1　解析：A.若a>b>0，當c＝0時，ac2＝bc2，故A滿足題意；
B．若a>b>0，則a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，故B不滿足題意；
C．若aab，ab>b2，即a2>ab>b2，故C滿足題意；
D．若a0，即>，故D不滿足題意．故選AC.
答案：AC
跟蹤訓練1　解析：對于A，當c≤0時不成立；
對于B，當a＝1，b＝－2，c＝0，d＝－1時，顯然不成立；
對于C，當a＝1，b＝－2時不成立；
對于D，因為0<<，所以有|a|>|b|>0，即|a|>|b|成立．故選D.
答案：D
例2　解析：對于A，因為x>0，所以≥2當且僅當x＝1時取等號，故選項A正確；
對于B，因為x<0，所以x＋＝－(－x)－
≤－2 ＝－2，當且僅當x＝－1時取等號，則x＋的最大值是－2，故選項B錯誤；
對于C，因為x>－3，則x＋3>0，所以y＝x＋＝x＋3＋－3≥2 －3＝－1當且僅當x＋3＝，即x＝－2時取等號，所以當x>－3時y＝x＋的最小值為－1，故選項C正確；
對于D，因為x<，則4x－5<0，所以y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝－(5－4x)－＋3≤
－2 ＋3＝1當且僅當5－4x＝，即x＝1時取等號，所以當x<時，y＝4x－2＋的最大值是1，故選項D錯誤．故選AC.
答案：AC
跟蹤訓練2　解析：因為x＋2y＝xy，x，y都是正實數，所以＝1，所以x＋y＝(x＋y)()＝2＋＋1≥3＋2，當且僅當＝，x＋2y＝xy時等號成立，即x＝2＋，y＝＋1時等號成立；所以x＋y的最小值為3＋2.
答案：3＋2
例3　解析：(1)由已知不等式可得a<0，α、β為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，
所以，
由cx2＋bx＋a<0得x2＋x＋1>0，
則有αβx2－(α＋β)x＋1>0即(αx－1)(βx－1)>0，
因為β>α>0，所以0<<，
所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為{x|x<或x>}．
(2)不等式ax2－(a＋4)x＋4<0等價于(ax－4)(x－1)<0，其中a∈R，
當a＝0時，不等式化為4x－4>0，解得x>1，則不等式的解集為{x|x>1}；
當a>0時，不等式等價于(x－)(x－1)<0，
若>1，即0若＝1，即a＝4，不等式的解集為空集；
若0<<1，即a>4，不等式的解集為{x|當a<0時，不等式等價于(x－)(x－1)>0，且<0<1，則不等式的解集為{x|x<或x>1}，
綜上所述，當a<0時，不等式的解集為{x|x<或x>1}；
當a＝0時，不等式的解集為{x|x>1}；
當0當a＝4時，不等式的解集為空集；
當a>4時，不等式的解集為{x|跟蹤訓練3　解析：(1)當a＝2時，x2－x－2≤0，(x＋1)(x－2)≤0，得－1≤x≤2，
所以不等式的解集為{x|－1≤x≤2}．
(2)由x2－x＋a－a2≤0，得(x－a)[x－(1－a)]≤0，
當a<1－a，即a<時，不等式的解集為{x|a≤x≤1－a}，
當a＝1－a，即a＝時，不等式的解集為，
當a>1－a，即a>時，不等式的解集為{x|1－a≤x≤a}，
綜上，當a<時，不等式的解集為{x|a≤x≤1－a}，當a＝時，不等式的解集為，當a>時，不等式的解集為{x|1－a≤x≤a}．
例4　解析：(1)∵關于x的不等式mx2＋mx－2<0，當x∈R時不等式恒成立，
∴當m＝0時，－2<0，顯然成立；
當m≠0時，要使x∈R時不等式恒成立，
∴，解得－8綜上所述，實數m的取值范圍為{m|－8(2)當－3≤x≤－1時，關于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，
(ⅰ)當m＝0時，－2<0，顯然成立；
(ⅱ)當m≠0時，①當m>0時，令y＝mx2＋mx－2，二次函數f(x)的圖象開口向上，且對稱軸為直線x＝－，
∴y在－3≤x≤－1上隨x的增大而減小，
要使當－3≤x≤－1時，關于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，則即9m－3m－2<0，解得0②當m<0時，令y＝mx2＋mx－2，二次函數f(x)的圖象開口向下，且對稱軸為直線x＝－，
∴y在－3≤x≤－1上隨x的增大而增大，
要使當－3≤x≤－1時，關于x的不等式mx2＋mx－2<0恒成立，即m－m－2<0，顯然恒成立，
綜上所述，實數m的取值范圍為{m|m<}．
跟蹤訓練4　解析：(1)依題意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}恒成立，
所以a≥－＝－(x＋)在1≤x≤2上恒成立，
所以a≥，
由－(x＋)≤－4，當且僅當x＝2時等號成立，
所以a≥－4，即a∈{a|a≥－4}．
(2)依題意x2＋ax＋4≥0在x∈{x|1≤x≤2}有解，
所以a≥－＝－(x＋)在1≤x≤2上有解，
所以a≥，
所以當x＝1時，＝－5，
所以a≥－5，即a∈{a|a≥－5}．
例5　解析：(1)設提價a元，由題意，每瓶飲料的利潤為(a＋5)元，月銷售量為(8－0.8a)萬瓶，
所以提價后月銷售總利潤為(a＋5)(8－0.8a)萬元．
因為原來月銷售總利潤為5×8＝40(萬元)，月利潤不低于原來月利潤，
所以(a＋5)(8－0.8a)≥40，即a2－5a≤0，
所以0≤a≤5，所以售價最多為5＋15＝20(元)，
故該飲料每瓶售價最多為20元．
(2)由題意，每瓶利潤為(x－10)元，月銷售量為8－(x－15)＝(8－)萬瓶，設下月總利潤為y＝(x－10)(8－)－(x－16)，x≥16，
整理得y＝－x－＋51.2
＝－[(x－15)＋]＋47.45，
因為x≥16，所以x－15≥1，
所以y≤－2＋47.45＝45.45，
當且僅當x＝19時取到等號，
故當每瓶售價為19元時，下月的最大總利潤為45.45萬元．
跟蹤訓練5　解析：(1)設草坪的寬為x米，長為y米，由面積均為200平方米，得y＝，
因為矩形草坪的長比寬至少多10米，
所以≥x＋10，又x>0，
所以x2＋10x－200≤0，解得0所以寬的最大值為10米．
(2)記整個綠化面積為S平方米，由題意得，
S＝(2x＋6)(y＋4)＝(2x＋6)(＋4)＝424＋8(x＋)≥424＋80，當且僅當x＝5米時，等號成立，所以整個綠化面積的最小值為(424＋80)平方米．

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