資源簡介

4.2.1　指數函數的概念
【學習目標】　(1)理解指數函數的概念，了解底數的限制條件．(2)了解指數增長型和指數衰減型在實際問題中的應用．
題型 1指數函數的概念
【問題探究1】　問題1：某種細胞分裂時，每次每個細胞分裂為2個細胞，則1個這樣的細胞第1次分裂后變為2個細胞，第2次分裂后變為4個細胞，第3次分裂后變為8個細胞……設第x次分裂后變為y個細胞．
問題2：質量為1的一種放射性物質不斷衰變為其他物質，每經過1年剩余的質量約是原來的60%，設經過x年后剩余的質量為y.
(1)以上兩個問題中，y關于x的函數解析式分別是什么？
(2)以上兩個函數解析式的共同特征是什么？
例1　(1)下列函數中指數函數的個數是(　　)
①y＝2·3x　②y＝3x＋1?、踶＝3x?、躽＝(2a－1)x(a為常數，a>，a≠1)?、輞＝x3?、辻＝　⑦y＝(－4)x
A．1　　　B．2 C．3　　　D．4
(2)若函數y＝(2a－1)x(x是自變量)是指數函數，則a的取值范圍是(　　)
A．(0，1)
C．(，1)，＋∞)
學霸筆記：
指數函數的解析式必須具有三個特征
(1)底數a為大于0且不等于1的常數；
(2)指數位置是自變量x；
(3)ax的系數是1.
跟蹤訓練1　(1)下列函數中為指數函數的是(　　)
A．y＝2·3x B．y＝－3x
C．y＝3－x D．y＝1x
(2)若函數f(x)＝(a2－3)·ax為指數函數，則a＝________．
題型 2求指數函數的解析式或求值
例2　設f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其圖象經過點()．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(2m)＝4，f(n)＝25，求2m＋n的值．
學霸筆記：(1)求指數函數的解析式時，一般采用待定系數法，即先設出函數的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數，從而得到函數的解析式，其中掌握指數函數的概念是解決這類問題的關鍵．
(2)求指數函數的函數值的關鍵是求出指數函數的解析式．
跟蹤訓練2　已知函數f(x)為指數函數，且f(－)＝，則f(－2)＝________．
題型 3指數增長型和指數衰減型函數的實際應用
【問題探究2】　將一張報紙連續對折，折疊次數x與對應的層數y之間存在什么關系？對折后的面積S(設原面積為1)與折疊的次數有怎樣的關系？
例3　光線通過一塊玻璃，強度要損失10%，設光線原來的強度為k，通過x塊這樣的玻璃以后強度為y．
(1)寫出y關于x的函數解析式；
(2)通過20塊這樣的玻璃后，光線強度約為多少？(參考數據：0.920≈0.12)
學霸筆記：
關于函數y＝kax在實際問題中的應用
(1)解決這類問題的關鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時間”內比它在“前單位時間”內的增長(衰減)率．
(2)主要解法用待定系數法，根據條件確定出解析式中的系數后，利用指數運算解題．
跟蹤訓練3　春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長出的荷葉覆蓋水面面積是前一天的2倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積一半時，荷葉已生長了________天．
隨堂練習
1.下列是指數函數的是(　　)
A．y＝－3x B．y＝2x2－1
C．y＝axD．y＝πx
2．若函數f(x)是指數函數，且f(2)＝2，則f(x)＝(　　)
A．()x B．2x
C．()x D．()x
3．若y＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，則有(　　)
A．a＝1或2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
4．某地為了保持水土資源，實行退耕還林，如果2018年退耕8萬公頃，以后每年比上一年增加10%，那么2023年需退耕________．
課堂小結
1.判斷一個函數是指數函數的方法．
2．求指數函數解析式．
3．指數函數在實際問題中的應用．
4．2.1　指數函數的概念
問題探究1　提示：(1)問題1中y＝2x；問題2中y＝0.6x.
(2)函數的解析式是冪的形式，底數是常數，未知數x出現在指數位置上．
例1　解析：(1)對①：指數式的系數為2，不是1，故不是指數函數；
對②：其指數為x＋1，不是x，故不是指數函數；
對③④：滿足指數函數的定義，故都是指數函數；
對⑤：是冪函數，不是指數函數；
對⑥：指數式的系數為－1，不是1，故不是指數函數；
對⑦：指數的底數為－4，不滿足底數大于零且不為1的要求，故不是；
綜上，是指數函數的只有③④.故選B.
(2)依題意得2a－1＞0且2a－1≠1，解得a＞，且a≠1.
答案：(1)B　(2)C
跟蹤訓練1　解析：(1)根據指數函數的定義知，y＝ax(a>0，a≠1)，可得函數y＝2·3x不是指數函數；函數y＝－3x不是指數函數；函數y＝3－x是指數函數；函數y＝1x不是指數函數．故選C.
(2)因為函數f(x)＝(a2－3)·ax為指數函數，所以，解得a＝2.
答案：(1)C　(2)2
例2　解析：(1)因為f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象經過點()，
所以＝，所以a＝10，所以f(x)＝10x.
(2)因為f(2m)＝4，f(n)＝25，
所以102m＝4，10n＝25，
所以102m·10n＝100，
所以102m＋n＝102，
所以2m＋n＝2.
跟蹤訓練2　解析：∵函數f(x)為指數函數，設f(x)＝ax(a>0，且a≠1), 由f(－)＝，
得＝＝＝ ，所以a＝3，即f(x)＝3x，
∴f(－2)＝3－2＝.
答案：
問題探究2　提示：
折疊次數 對應層數 對折后的面積S
x＝1 y＝2＝21 S＝
x＝2 y＝4＝22 S＝＝()2
x＝3 y＝8＝23 S＝＝()3
… … …
由上面的對應關系，我們可以歸納出第x次折疊后對應的層數為y＝2x(x∈N*)，對折后的面積S＝()x(x∈N*)．
例3　解析：(1)光線經過1塊玻璃后強度為(1－10%)k＝0.9k，
光線經過2塊玻璃后強度為(1－10%)·0.9k＝0.92k，
光線經過3塊玻璃后強度為(1－10%)·0.92k＝0.93k，
……
光線經過x塊玻璃后強度為0.9xk，
∴y＝0.9xk(x∈N*)．
(2)將x＝20代入函數解析式，∵0.920≈0.12，∴y＝0.920k≈0.12k，即光線強度約為0.12k.
跟蹤訓練3　解析：設荷葉覆蓋水面的初始面積為a，則x天后荷葉覆蓋水面的面積y＝a·2x(x∈N*)．
根據題意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
答案：19
[隨堂練習]
1．解析：根據指數函數的特征：系數為1，底數滿足a>0且a≠1，自變量在指數位置可知，A，B，C不滿足，D滿足．故選D.
答案：D
2．解析：由題意，設f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因為f(2)＝2，所以a2＝2，解得a＝.所以f(x)＝()x .故選A.
答案：A
3．解析：因為y＝(a2－3a＋3)ax是指數函數，所以，解得a＝2.故選C.
答案：C
4．解析：根據題意，2018年退耕8萬公頃，記為8(萬公頃)，以后每年比上一年增加10%，即是上一年的1＋10%＝1.1倍， 2019年退耕(8×1.1)萬公頃，2020年退耕(8×1.12)萬公頃，……，2023年退耕(8×1.15)萬公頃．
答案：8×1.15萬公頃第1課時 指數函數的圖象和性質(一)
【學習目標】　(1)理解指數函數的概念和意義，會畫指數函數的圖象．(2)探索并理解指數函數的單調性和特殊點．(3)學會利用指數函數的圖象和性質求函數的定義域、值域．
題型 1指數函數的圖象
【問題探究】　在同一坐標系中用描點法作下列函數圖象(1.列表，2.描點，3.連線)．
(1)y＝2x和y＝3x的圖象．
(2)y＝()x和y＝()x的圖象．
觀察上圖這四個圖象有何特點？
問題1：圖象分別在哪幾個象限？
問題2：圖象的上升、下降與底數a有聯系嗎？
問題3：圖象有哪些特殊的點？
問題4：圖象定義域和值域？
例1　如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為(　　)
A.a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
學霸筆記：
解決指數函數圖象問題應抓住兩點
(1)熟記當底數a＞1和0＜a＜1時，圖象的大體形狀．
(2)在y軸右側，指數函數的圖象“底大圖高”．
跟蹤訓練1　函數①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數：中的一個，則a，b，c，d的值分別是(　　)
A．
B．
C．
D．
題型 2與指數函數有關的定義域、值域問題
例2　求下列函數的定義域與值域．
(1)y＝；(2)y＝()|x|.
題后師說
1．指數型函數y＝af(x)的定義域的求法，函數y＝y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．
2．求指數型函數y＝af(x)的值域的一般步驟
跟蹤訓練2　(1)y＝2x－1的定義域是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)
(2)函數y＝3x＋2的值域是________．
題型 3指數函數圖象的應用
例3　(1)函數f(x)＝2ax－3＋1(a>0，且a≠0)的圖象必經過點________.
(2)若直線y＝2a與函數y＝|2x－1|的圖象有兩個公共點，求實數a的取值范圍．
學霸筆記：與指數函數相關的圖象問題
(1)定點問題：令函數解析式中的指數為0，即可求出橫坐標，再求縱坐標即可．
(2)平移問題：一般遵循“左加右減、上加下減”的原則．
跟蹤訓練3　(1)函數y＝ax＋1－1(a>0，且a≠1)的圖象過定點(　　)
A．(－1，1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(0，0)
(2)若函數g(x)＝()x＋m－3的圖象不經過第一象限，則m的取值范圍為________．
隨堂練習
1.若函數f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，且f(－1)＝0，則實數a，b的值可能為(　　)
A.a＝3，b＝－3
B．a＝，b＝－
C．a＝2，b＝－
D．a＝，b＝－2
2．函數f(x)＝()x－2的圖象不經過(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．函數f(x)＝a2x＋1－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過點的坐標為(　　)
A．(0，1) B．(0，－1)
C．(－，0) D．(－，－1)
4．函數y＝的定義域為________．
課堂小結
1.指數函數的圖象和性質．
2．對于形如y＝af(x)與y＝f(ax)的函數，求其定義域和值域要利用換元的思想方法，結合函數的單調性求解．
3．作指數函數的圖象，要抓住其單調性，過定點等特征，并結合圖象的平移、翻折等變換規則進行．
第1課時　指數函數的圖象和性質(一)
問題探究1　提示：圖象如圖
問題1：圖象分別在第一、二象限．
問題2：有．當a>1時，圖象上升；當0問題3：都過定點(0，1)．
問題4：定義域為R，值域為(0，＋∞)．
例1　解析：由圖象可知③④的底數必大于1，①②的底數必小于1.過點(1，0)作直線x＝1，如圖所示，在第一象限內直線x＝1與各曲線的交點的縱坐標即為各指數函數的底數，則1答案：B
跟蹤訓練1　解析：由題圖，直線x＝1與函數圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而>>>.故選C.
答案：C
例2　解析：(1)因為y＝，所以x≠3，故定義域為{x|x≠3}．
設t＝，因為x≠3，所以t≠0.
因為y＝2t，t≠0，所以y>0且y≠1，故值域為{y|y>0且y≠1}．
(2)函數y＝()|x|，x∈R，所以定義域為R.
設t＝|x|≥0，因為y＝()t，t≥0，所以0跟蹤訓練2　解析：(1)因為y＝2x－1，所以x∈R，故選A.
(2)因為3x>0，
所以y＝3x＋2>2，
所以值域為：y∈(2，＋∞)．
答案：(1)A　(2)(2，＋∞)
例3　解析：(1)因為函數f(x)＝2ax－3＋1，其中a>0，a≠1，
令x－3＝0得x＝3，把x＝3代入函數的解析式得y＝3，
所以函數f(x)＝2ax－3＋1 (a>0，且a≠1)的圖象必經過點的坐標為(3，3)．
(2)y＝|2x－1|＝，
作直線y＝2a與函數y＝|2x－1|的圖象如圖．
要使直線y＝2a與函數y＝|2x－1|的圖象有兩個公共點，
只要0＜2a＜1，可得0＜a＜.
實數a的取值范圍(0，)．
答案：(1)(3，3)　(2)(0，)
跟蹤訓練3　解析：(1)由指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(0，1)，
所以在函數y＝ax＋1－1中，當x＝－1時，恒有y＝0，
所以y＝ax＋1－1(a>0，且a≠1)的圖象過定點(－1，0)．故選B.
(2)由題知g＝x＋m－3，
若函數g(x)單調遞減，其圖象不經過第一象限，必有圖象與y軸交點不在y軸正半軸上，
只需g(0)≤0即可，即()m－3≤0，解得： m≥－1.
答案：(1)B　(2)[－1，＋∞)
[隨堂練習]
1．解析：由函數f(x)＝ax＋b的圖象，可得函數f(x)為單調遞增函數，所以a>1，又由f(－1)＝0，可得a－1＋b＝0，可得ab＝－1，結合選項，只有C項適合．故選C.
答案：C
2．解析：畫出函數f(x)＝()x－2的圖象，由圖可知其圖象不過第一象限．
故選A.
答案：A
3．解析：令2x＋1＝0，解得x＝－，此時y＝0，所以函數f(x)＝a2x＋1－1(a>0，且a≠1)的圖象恒過點的坐標為(－，0)，故選C.
答案：C
4．解析：函數y＝的定義域與函數y＝的定義域相同，又函數y＝的定義域為{x|x≠1}．
答案：{x|x≠1}第2課時　指數函數的圖象和性質(二)
【學習目標】　(1)進一步熟練掌握指數函數的圖象、性質．(2)會求指數形式的函數定義域、值域、最值，以及能判斷與證明單調性．(3)能夠利用指數函數的圖象和性質比較數的大小、解不等式．
題型 1利用指數函數的單調性比較大小
例1　比較下列各組數中兩個值的大小關系：
(1)3.10.5，3.12.3；
(2)()－1.5，()－1.8；
(3)0.62，0.63；
(4)()－0.3，()－0.24；
(5)0.53.2，1.32.1；
(6)2.3－2.5，0.2－0.1.
題后師說
比較冪大小的一般策略
跟蹤訓練1　(1)若a＝，b＝20.3，c＝0.93.1，則(　　)
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>a>b D．a>b>c
(2)設a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．bC．a題型 2利用指數型函數的單調性解不等式
例2　(1)函數y＝的定義域為(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，0] D．[0，1]
(2)若ax＋1＞()5－3x (a＞0，且a≠1)，求x的取值范圍．
題后師說
利用指數函數單調性解不等式的步驟
跟蹤訓練2　(1)函數y＝的定義域為(　　)
A．(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
(2)解關于x的不等式()x－4≥3－2x .
題型 3指數函數圖象和性質的綜合應用
例3　已知函數f(x)＝為奇函數．
(1)求實數a的值；
(2)判斷f(x)在R上的單調性(不必證明)；
(3)解關于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
題后師說
有關指數函數性質綜合問題的求解策略
跟蹤訓練3　設函數f(x)＝ax＋mbx，其中a，m，b∈R.
(1)若a＝2，b＝，且f(x)為R上的偶函數，求實數m的值；
(2)若a＝4，b＝2，且f(x)在R上有最小值，求實數m的取值范圍．
隨堂練習
1.a＝20.7，b＝40.37，c＝()－1.8，則a、b、c的大小關系為(　　)
A．aC．c2．函數y＝的定義域為(　　)
A．(－∞，3] B．[3，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
3．若()4a＋2<()8－3a，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，) B．(－∞，)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
4．已知函數f(x)＝(a>0，且a≠1)為偶函數，則實數a的值為________．
課堂小結
1.比較指數式值大小的方法．
2．解簡單指數不等式．
3．指數函數性質的綜合應用．
第2課時　指數函數的圖象和性質(二)
例1　解析：(1)由題意，由于指數函數y＝3.1x在R上單調遞增，且0.5<2.3，故3.10.5<3.12.3.
(2)由題意，由于指數函數y＝()x在R上單調遞增，
且－1.5>－1.8，故()－1.5>()－1.8.
(3)由題意，由于指數函數y＝0.6x在R上單調遞減，
且2<3，故0.62>0.63.
(4)由題意，由于指數函數y＝()x在R上單調遞減，
且－0.3<－0.24，故()－0.3>()－0.24.
(5)由題意，由于指數函數y＝0.5x在R上單調遞減，y＝在R上單調遞增，故0.53.2<0.50＝1，1.32.1>1.30＝1，故1.32.1>0.53.2.
(6)由題意，由于指數函數y＝2.3x在R上單調遞增，y＝在R上單調遞減，故2.3－2.5<2.30＝1，0.2－0.1>0.20＝1，故0.2－0.1>2.3－2.5.
跟蹤訓練1　解析：(1)因為函數y＝2x在區間(－∞，＋∞)上單調遞增，>0.3>0，所以>20.3>20＝1，函數y＝在區間(－∞，＋∞)上單調遞減，3.1>0，所以0.93.1<0.90＝1，綜上可得>20.3>1>0.93.1，即a>b>c.故選D.
(2)因為函數y＝0.8x為減函數，所以0.81.1<0.80.8<1，即a1，所以a答案：(1)D　(2)C
例2　解析：(1)由題意可得2－()x≥0，即()x≤2＝()－1，∵y＝()x為減函數，∴x≥－1.因此，函數y＝的定義域為[－1，＋∞)．故選B.
(2)因為ax＋1＞()5－3x，所以當a＞1時，y＝ax為增函數，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
當0＜a＜1時，y＝ax為減函數，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
綜上，當a＞1時，x的取值范圍為(－∞，3)，
當0＜a＜1時，x的取值范圍為(3，＋∞)．
答案：(1)B　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)由題意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3.故選D.
(2)不等式()x－4≥3－2x即34－x≥3－2x，
由于y＝3x在R上單調遞增，所以4－x≥－2x，x≥－4，
所以不等式的解集為[－4，＋∞)．
答案：(1)D　(2)見解析
例3　解析：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數，可得 x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，
令x＝0，可得f(0)＝＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，此時滿足f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函數f(x)是奇函數，
所以a＝1.
(2)f(x)在R上單調遞增；
理由如下：因為f(x)＝＝1－，
函數y＝3x＋1單調遞增，函數y＝1－在(0，＋∞)上單調遞增，
所以f(x)＝1－在R上單調遞增．
(3)因為f(x)為奇函數，可得f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(1－2t2)，
又f(x)在R上單調遞增，所以t2－2t<1－2t2，
解得－所以原不等式的解集為.
跟蹤訓練3　解析：(1)當a＝2，b＝時，f(x)＝.
又f(x)在R上是偶函數，所以f(1)＝2＋＝f(－1)＝＋2m，所以m＝1.
此時f(x)＝2x＋()x，則f(－x)＝()x＋2x＝f(x)，所以f(x)為偶函數，符合題意．
綜上，m＝1.
(2)當a＝4，b＝2時，f(x)＝4x＋m·2x.
令t＝2x>0，則g(t)＝t2＋mt在(0，＋∞)上有最小值，所以－>0，得m<0.
所以實數m的取值范圍是(－∞，0)．
[隨堂練習]
1．解析：因為b＝40.37＝(22)0.37＝20.74，c＝()－1.8＝21.8，函數y＝2x在R上為增函數，所以20.7<20.74<21.8，即a答案：A
2．解析：要使得函數y＝有意義，則3x－9≥0，3x≥9，3x≥32，解得x≥2.故函數的定義域為[2，＋∞)．故選D.
答案：D
3．解析：因為函數y＝()x是減函數，且()4a＋2<()8－3a，所以4a＋2>8－3a，解得a>，即實數a的取值范圍是(，＋∞)．故選D.
答案：D
4．解析：因為函數f(x)＝(a>0，且a≠1)為偶函數，所以f(－x)＝＝＝，則有2x＝a2x，所以a＝.
答案：4.3.1　對數的概念
【學習目標】　(1)了解對數、常用對數、自然對數的概念．(2)能進行對數式與指數式的互化．(3)掌握對數的性質，能進行簡單的對數計算．
題型 1指數式與對數式的互化
【問題探究1】　在教材4.2.1的問題1中，通過指數冪運算，我們能從y＝1.11x中求出經過4年后B地景區的游客人次為2001年的倍數y.反之，如果要求經過多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么該如何解決？
例1　將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：
(1)54＝625；(2)log216＝4；(3)10－2＝0.01；＝6.
題后師說
指數式與對數式互化的思路
跟蹤訓練1　(多選)下列指數式與對數式互化正確的一組是(　　)
A．e0＝1與ln 1＝0
B．log39＝2與＝3
＝與log8＝－
D．log77＝1與71＝7
題型 2利用指數式與對數式的關系求值
例2　求下列各式中的x的值．
(1)logx27＝；(2)log2x＝－；
(3)x＝log27；(4)x＝.
學霸筆記：
對數式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想
在一定條件下求對數式的值，或求對數式中參數字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①將對數式化為指數式，構建方程轉化為指數問題．
②利用冪的運算性質和指數的性質計算．
跟蹤訓練2　(1)已知log2m＝2 023，log2n＝2 022，則＝(　　)
A．2 B．
C．10 D．
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m－n＝________．
題型 3利用對數性質求值
例3　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3[log4(log5x)]＝0；
(4)＝9.
一題多變　本例(3)中若將“log3[log4(log5x)]＝0”改為“log3[log4(log5x)]＝1”，又如何求解x呢？
學霸筆記：
利用對數的性質求值的方法
(1)求解此類問題時，應根據對數的兩個結論loga1＝0和logaa＝1(a＞0，且a≠1)，進行變形求解，若已知對數值求真數，則可將其化為指數式運算．
(2)已知多重對數式的值，求變量值，應從外到內求，逐步脫去“log”后再求解．
跟蹤訓練3　(1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．
(2)求－＋103lg 3＋的值．
隨堂練習
1.對數式M＝log(a－3)(10－2a)中，實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，5) B．(3，5)
C．(3，＋∞) D．(3，4)
2．2－3＝化為對數式為(　　)
＝＝2
C．log2＝－3 D．log2(－3)＝
3．方程log2x＝的解為(　　)
A． B．
C． D．
4．若＝0，則x＝________．
課堂小結
1.對數的定義和性質．
2．對數和指數的互化．
3．利用對數式與指數式的關系求值．
4．利用對數性質求值．
4．3.1　對數的概念
問題探究　提示：上述問題實際上就是從2＝1.11x，3＝， 4＝1.11x，…中分別求出x，即已知底數和冪的值，求指數．這是本節要學習的對數．
例1　解析：(1)由54＝625得log5625＝4.
(2)由log216＝4得24＝16.
(3)由10－2＝0.01得lg 0.01＝－2.
(4)由＝6得()6＝125.
跟蹤訓練1　解析：對于e0＝1可化為：0＝loge1＝ln 1＝0，A正確；對于log39＝2可化為：32＝9，B不正確；對于＝可化為：log8＝，C不正確；對于log77＝1可化為：71＝7，D正確．故選AD.
答案：AD
例2　解析：(1)由logx27＝，可得＝27，
∴x＝＝＝32＝9.
(2)由log2x＝－，可得x＝，
∴x＝＝＝.
(3)由x＝log27，可得27x＝，
∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝，可得()x＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4.
跟蹤訓練2　解析：(1)m＝22 023，n＝22 022，所以＝＝.故選B.
(2)由已知得am＝2，an＝3，所以a2m－n＝＝＝.
答案：(1)B　(2)
例3　解析：(1)因為log2(log5x)＝0，
所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5.
(2)因為log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3，
所以x＝103＝1 000.
(3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
(4)由3log3＝9可得log3＝2，即＝9，解得x＝81.
一題多變　解析：因為log3[log4(log5x)]＝1，
所以log4(log5x)＝3，則log5x＝43＝64，所以x＝564.
跟蹤訓練3　解析：(1)因為log2[log3(log4x)]＝0，
所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3.
所以x＝43＝64.同理求得y＝16.所以x＋y＝80.
(2)原式＝31×3log36－24×2log23＋(10lg 3)3＋3－2×log34
＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2
＝18－48＋27＋＝－.
[隨堂練習]
1．解析：由題意得，解得3答案：D
2．解析：由指數與對數的互化可知：log2＝－3.故選C.
答案：C
3．解析：方程log2x＝，化為：x＝＝.故選D.
答案：D
4．解析：log2x)＝1 log2x＝，故x＝.
答案：4．3.2　對數的運算
第1課時　對數的運算
【學習目標】　(1)掌握積、商、冪的對數運算性質，理解其推導過程和成立的條件．(2)能熟練運用對數的運算性質進行化簡求值．
題型 1對數運算性質的正用
【問題探究1】　類比指數運算性質能得出其相應對數運算性質，并寫出推導過程．
例1　(1)求值：log2(25×)；
(2)用ln x，ln y，ln z表示ln ；
(3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，試用a，b表示lg 1.2.
學霸筆記：正用對數運算性質化簡求值關鍵是熟記積、商、冪的對數運算公式．
跟蹤訓練1　(1)用logax，logay，logaz表示loga；
(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，試用a，b表示lg .
題型 2對數運算性質的逆用
例2　計算下列各式的值：
(1)；
(2)(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6log62).
學霸筆記：逆用積、商、冪的對數運算公式求值時，嚴格按照公式的要求去運用．
跟蹤訓練2　計算下列各式的值：
(1)2log32＋log3－log36；
(2)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5.
題型 3對數運算性質的綜合應用
例3　計算下列各式的值：
(1)lg lg ＋lg ；
(2).
題后師說
利用對數運算性質求值的2種策略
跟蹤訓練3　計算下列各式的值：
(1)log23＋3log2－log2；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg2)2.
隨堂練習
1.log416＝(　　)
A． B．2
C．4 D．8
．＝(　　)
A．10 B．1
C．2 D．lg 5
3．已知5a＝2，b＝log53，則log518＝(　　)
A．a＋3b B．a＋2b
C．2a＋b D．3a＋b
4．2lg 5＋lg 12－lg 3＝________．
課堂小結
1.在各對數有意義的前提下才能應用運算性質．
2．根據不同的問題選擇公式的正用、逆用．
第1課時　對數的運算
問題探究　提示：(1)設M＝am，N＝an，(a>0，且a≠1)
∵aman＝am＋n，
∴MN＝am＋n，
由對數與指數的關系可得
logaM＝m，logaN＝n，
loga(MN)＝m＋n，
∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)設M＝am，N＝an，(a>0，且a≠1)
∵＝am－n，
∴＝am－n，
∴loga()＝m－n
＝logaM－logaN.
(3)設M＝am，(a>0，且a≠1)
∵(am)n＝amn，
∴Mn＝amn，
∴logaMn＝mn＝nlogaM.
例1　解析：(1)log2(25×)＝＝5＋＝.
(2)ln ＝ln (y4)－ln ＝ln ＋ln y4－ln
＝ln x＋4ln y－ln z.
(3)lg 1.2＝lg ＝lg 3＋2lg 2－1＝2a＋b－1.
跟蹤訓練1　解析：(1)loga＝loga－loga(yz)＝logax－logay－logaz；
(2)lg ＝lg 25－lg 18＝lg 52－lg (32×2)＝2lg 5－lg 32－lg 2＝2lg －2lg 3－lg 2＝2(lg 10－lg 2)－2lg 3－lg 2
＝2lg 10－2lg 2－2lg 3－lg 2
＝2－3a－2b.
例2　解析：(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63
＝(log62＋log63)2＝1.
跟蹤訓練2　解析：(1)2log32＋log3－log36＝log3(22×÷6)＝log3＝－log39＝－2.
(2)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5＝(lg 8＋lg 125)－(lg 2＋lg 5)＝lg (8×125)－lg 10＝lg ＝lg 100＝2.
例3　解析：(1)原式＝
＝(lg 5＋2lg 7)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 5＋lg 7
＝lg 2＋lg 5
＝lg (2×5)＝.
(2)
＝
＝
＝
＝
＝＝－.
跟蹤訓練3　解析：(1)log23＋3log2－log2
＝＋log2()3－log2
＝log2＝log22＝1.
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2
＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋1
＝3.
[隨堂練習]
1．解析：log416＝log442＝2log44＝2，故選B.
答案：B
2．解析：＝lg ()2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故選B.
答案：B
3．解析：因為5a＝2，所以a＝log52.則log518＝log52＋log59＝log52＋2log53，所以log518＝a＋2b.故選B.
答案：B
4．解析：2lg 5＋lg 12－lg 3＝2lg 5＋lg ＝2lg 5＋lg 4＝2(lg 5＋lg 2)＝2lg 10＝2.
答案：2第2課時　換底公式
【學習目標】　(1)掌握換底公式及其推論．(2)能熟練運用對數的運算性質、換底公式進行化簡求值．
題型 1對數換底公式的應用
【問題探究】　(1)根據對數的定義，你能利用lg 2，lg 3的值求log23的值嗎？(lg 2，lg 3可利用計算器查得)
(2)把(1)一般化，由對數的定義，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)嗎？
例1　(1)計算：(log32＋log92)(log43＋log23)；
(2)已知log23＝a，log37＝b，試用a，b表示log1456.
題后師說
利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
跟蹤訓練1　(1)計算log25×log32×log53的值；
(2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，試用a、b表示log215.
題型 2對數運算性質與換底公式的綜合應用
例2　設4a＝5b＝m，且＋＝1，求m的值．
一題多變　將本例條件改為“4a＝5b＝10”，求＋的值．
學霸筆記：
利用等式運算性質與換底公式求值的方法
(1)在對數式、指數式的互化運算中，要注意靈活運用定義、性質和運算法則，尤其要注意條件和結論之間的關系，進行正確的相互轉化．
(2)對于連等式可令其等于k(k＞0)，然后將指數式用對數式表示，再由換底公式可將指數的倒數化為同底的對數，從而使問題得解．
跟蹤訓練2　已知2x＝3y＝5z，且＋＋，求x，y，z.
題型 3實際問題中的對數運算
例3　5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：C＝Wlog2(1＋)，它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內信號的平均功率S，信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數里面的1可以忽略不計．按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從2 000提升至12 000，則C大約增加了(參考數據：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)(　　)
A．24% B．30%
C．36% D．45%
學霸筆記：
對數運算在實際問題中的應用
在與對數相關的實際問題中，先將題目中數量關系理清，再將相關數據代入，最后利用對數運算性質，換底公式進行計算．
跟蹤訓練3　根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中某類物質的原子總數N約為1050.則下列各數中與最接近的是(參考數據：lg 3≈0.48)(　　)
A．1093 B．10113
C．10123 D．10133
隨堂練習
1.計算log34·log29的值為(　　)
A．2 B．4
C．6 D．12
2.的值為(　　)
A．2 B．
C．1 D．
3．若3a＝12b＝4，則＝(　　)
A．－B．－1
C．D．1
4．若4x＝3，2y＝，則2x＋y的值為________．
課堂小結
1.利用換底公式化簡求值．
2．利用對數運算性質與換底公式化簡求值．
3．對數運算在實際問題中的應用．
4．3.2　對數的運算
第2課時　換底公式
問題探究　提示：(1)設log23＝p，由對數的定義可得2p＝3，兩邊取以10為底的對數，可得lg 2p＝lg 3，根據對數的性質得p＝，所以log23＝.
(2)logab＝.
例1　解析：(1)原式＝(log32＋log32)(log23＋log23)＝log32·log23＝.
(2)log1456＝＝.
∵log27＝log23·log37＝ab.
∴log1456＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)log25×log32×log53
＝＝1.
(2)log215＝＝＝＝.
例2　解析：由4a＝5b＝m，可得a＝log4m，b＝log5m，
所以＝logm4＋3logm5＝logm(4×53)＝1，解得m＝4×53＝500.
一題多變　解析：由4a＝5b＝10，得a＝log410，b＝log510，
所以＝＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
跟蹤訓練2　解析：令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.
例3　解析： 當＝2 000時，C1＝Wlog2(1＋2 000)≈Wlog22 000，
當＝12 000時，C2＝Wlog2(1＋12 000)≈Wlog212 000，
∴≈＝＝≈1.24，
所以將信噪比從2 000提升至12 000，則C大約增加了24%.故選A.
答案：A
跟蹤訓練3　解析：因為M≈3361，N≈1050，所以lg M≈361×lg 3，lg N≈50，lg ＝lg M－lg N≈361×0.48－50≈123，所以≈10123.故選C.
答案：C
[隨堂練習]
1．解析：由換底公式得log34·log29＝·＝·＝4，故選B.
答案：B
2．解析：＝＝＝.故選D.
答案：D
3．解析：由3a＝12b＝4可知，a＝log34，b＝log124，
即＝＝＝－＝－1.故選B.
答案：B
4．解析：因為4x＝3，所以x＝log43＝log23；又2y＝，所以y＝log2，所以2x＋y＝2×log23＋log2＝log23＋log2＝log2(×3)＝log28＝log223＝3.
答案：34．4.2　對數函數的圖象和性質
第1課時　對數函數的圖象和性質(一)
【學習目標】　(1)通過描點法畫對數函數的圖象，推導對數函數的圖象與性質．(2)能利用對數函數的單調性，比較函數值的大小、解方程、解不等式．
題型 1對數函數的圖象和性質
【問題探究】　請你用列表、描點、連線的方法在同一坐標系中畫出下列函數的圖象：
(1)y＝log2x；(2)y＝log5x；(3)y＝；(4)y＝.
并根據圖象說出這四個函數的圖象特征．
例1　(1)如圖所示的曲線是對數函數y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系為________．
(2)函數y＝loga(2x＋7)－2(a>0，且a≠1)的圖象一定經過的點是________．
題后師說
解決與對數函數圖象有關問題的策略
跟蹤訓練1　(1)
已知函數f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b為常數)的圖象如圖，則下列結論正確的是(　　)
A．a>0，b<－1
B．a>0，－1C．0D．0(2)函數y＝3loga(x－1)＋2過定點(　　)
A．(1，0) B．(2，2)
C．(1，1) D．(2，0)
題型 2比較對數值的大小
例2　比較下列各組值的大?。?br/>(1)，；(2)log1.51.6，log1.51.4；
(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.
題后師說
比較對數值大小的三種常用方法
跟蹤訓練2　比較下列各組中兩個值的大?。?br/>(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；
(3)log50.4，log60.4.
題型 3解簡單對數不等式
例3　解下列關于x的不等式：
(1)log0.7(2x)(2)loga(1－x)一題多變　求函數f(x)＝的定義域．
跟蹤訓練3　(1)log2x(2)y＝.
隨堂練習
1.函數g(x)＝loga(x＋2)(02．已知函數y＝loga(x＋3)＋1(a>0，且a≠1)，則函數恒過定點(　　)
A．(1，0) B．(－2，0)
C．(0，1) D．(－2，1)
3．已知a＝ln 3，b＝log32，c＝，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．aC．a4．函數f(x)＝的定義域為________．
課堂小結
1.在對數函數y＝logax中，底數a對其圖象直接產生影響，學會以分類的觀點認識和掌握對數函數的圖象和性質．
2．利用對數函數的圖象和性質比較大?。?br/>3．利用對數函數的單調性解簡單的對數不等式．
4．4　對數函數
4．4.2　對數函數的圖象和性質
第1課時　對數函數的圖象和性質(一)
問題探究　提示：(1)這四個圖象都在y軸右側，即定義域為(0，＋∞).
(2)y＝log2x與y＝圖象關于x軸對稱，y＝log5x與y＝圖象關于x軸對稱．
(3)函數y＝與y＝的圖象從左到右是下降的，即函數的減區間為(0，＋∞).
(4)這四個圖象均過定點(1，0).
例1　解析：(1)由題圖可知函數y＝logax，y＝logbx的底數a＞1，b＞1，函數y＝logcx，y＝logdx的底數0＜c＜1，0＜d＜1.
過點(0，1)作平行于x軸的直線，則直線與四條曲線交點的橫坐標從左向右依次為c，d，a，b，顯然b＞a＞1＞d＞c.
(2)由題意得：
令2x＋7＝1，解得x＝－3，
所以y＝－2，
故圖象一定經過定點(－3，－2).
答案：(1)b>a>1>d>c　(2)(－3，－2)
跟蹤訓練1　解析：(1)因為函數f(x)＝loga(x－b)為減函數，所以00，即b>－1，又因為函數圖象與y軸有交點，所以b<0，所以－1(2)因為loga1＝0(a>0，且a≠1)，所以要求y＝3loga(x－1)＋2恒過定點，則滿足解得，所以y＝3loga(x－1)＋2恒過定點(2，2).故選B.
答案：(1)D　(2)B
例2　解析：(1)因為函數y＝是(0，＋∞)上的減函數，且0.5<0.6，
所以>.
(2)因為函數y＝log1.5x是(0，＋∞)上的增函數，且1.6>1.4，
所以log1.51.6>log1.51.4.
(3)因為0>log70.6>log70.5，所以<，
即log0.67(4)因為log3π>log31＝0，
log20.8log20.8.
跟蹤訓練2　解析：(1)因為y＝log3x在(0，＋∞)上遞增，所以log31.9(2)因為log23>log21＝0，log0.32log0.32.
(3)在同一直角坐標系中，作出y＝log5x，y＝log6x的圖象，再作出直線x＝0.4，
觀察圖象可得log50.4例3　解析：(1)因為函數y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數，
所以，解得x>1.
所以不等式的解集為(1，＋∞).
(2)當a>1時，，解得當0當a>1時，不等式的解集為(，1)；當0一題多變　解析：由函數f(x)＝，則，解得x≤3，
所以函數f(x)＝的定義域為(－∞，3].
跟蹤訓練3　解析：(1)由log2x解得x>4，所以不等式的解集為(4，＋∞).
(2)由題設有－1≥0即≥＝1即0故函數的定義域為(0,].
[隨堂練習]
1．解析：當00得x>－2，即函數的定義域為(－2，＋∞)，排除C，故選A.
答案：A
2．解析：令x＋3＝1，解得x＝－2，y＝1，所以函數恒過定點(－2，1)，故選D.
答案：D
3．解析：因為a＝ln 3>ln e＝1，0＝log31答案：B
4．解析：要使y＝有意義，
則，即，解得1答案：(1，2]第2課時　對數函數的圖象和性質(二)
【學習目標】　(1)進一步掌握對數函數的圖象和性質．(2)了解反函數的概念和圖象特點．
題型 1反函數
【問題探究】　在同一坐標系下，畫出函數y＝2x與y＝log2x的圖象，觀察兩個函數圖象的關系．
例1　已知函數f(x)是函數y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數，且f(x)的圖象過點(5，2)，則a＝________.
學霸筆記：(1)現行教材反函數只要求同底數的指數函數與對數函數．
(2)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性，圖象關于直線y＝x對稱，定義域與值域互換．
跟蹤訓練1　已知函數f(x)＝log3x與g(x)的圖象關于y＝x對稱，則g(－1)＝(　　)
A．3 B．
C．1 D．－1
題型 2對數型函數的值域(最值)
例2　已知函數f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)．
(1)求f(x)的定義域；
(2)求f(x)的值域．
題后師說
求對數型函數y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)
的值域(最值)的步驟
跟蹤訓練2　已知函數f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函數f(x)的定義域；
(2)若函數f(x)的最小值為－2，求a的值．
題型 3對數函數性質的綜合應用
例3　已知函數f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求函數f(x)的定義域；
(2)判斷函數f(x)的奇偶性并給出證明；
(3)求使f(x)>0成立的x的取值范圍．
學霸筆記：對數函數的綜合問題，常以對數函數為依托，著重考慮對數的運算、對數函數的圖象與性質、函數的單調性、奇偶性、值域與最值等，熟悉對數函數的圖象與性質及求解函數問題的一般規律和方法是解答這類問題的前提．
跟蹤訓練3　設f(x)＝為奇函數， a為常數．
(1)求a的值；
(2)證明f(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增．
隨堂練習
1.下列四個函數中，在整個定義域內單調遞減的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝D．f(x)＝ex
2．函數y＝log3x的反函數為y＝f(x)，則f(2)＝(　　)
A．9 B．18
C．32 D．36
3．函數f(x)＝log2(3x＋1)的值域為(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．若函數f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在區間[2，4]上的最大值與最小值之差為2，則a＝________．
課堂小結
1.與對數函數有關的復合函數的最值或值域．
2．與對數函數有關的復合函數的單調性、奇偶性等的判斷方法．
第2課時　對數函數的圖象和性質(二)
問題探究　提示：
兩個函數圖象關于直線y＝x對稱．
例1　解析：因為y＝ax(a>0，a≠1)的反函數為f(x)＝logax(a>0，a≠1)，又f(x)的圖象過點(5，2)，所以loga5＝2，a2＝5，即a＝.
答案：
跟蹤訓練1　解析：由題知g(x)是f(x)＝log3x的反函數，所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝.故選B.
答案：B
例2　解析：(1)因為f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)，
所以，解得x>4，
所以f(x)的定義域為(4，＋∞)．
(2)因為f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)
＝log2＝log2＝log2(1－)，
由(1)知f(x)的定義域為(4，＋∞)，
所以x－2>2，0<<1，0<1－<1，
因為y＝log2x是增函數，所以f(x)故f(x)的值域為(－∞，0)．
跟蹤訓練2　解析：(1)對于函數f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0因此，函數f(x)的定義域為(－3，3)．
(2)因為f(x)＝loga(9－x2)，且－3因為0故f(x)min＝loga9＝－2，可得a－2＝9，∵0例3　解析：(1)由題意可知，解得－5所以函數f(x)的定義域為(－5，5)．
(2)函數f(x)為奇函數；
證明：因為f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)的定義域為(－5，5)，
設 x∈(－5，5)，則－x∈(－5，5)，
所以f(－x)＝loga(5－x)－loga(5＋x)＝－f(x)，
所以函數f(x)為奇函數．
(3)因為f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)＝loga，
當a>1時，若f(x)>0，則loga>0，
即>1且x∈(－5，5)，解得x∈(0，5)；
當00，則loga>0，
即0<<1且x∈(－5，5)，解得x∈(－5，0)；
綜上所述，當a>1時，使f(x)>0的x的取值范圍為(0，5)；
當00的x的取值范圍為(－5，0)．
跟蹤訓練3　解析：(1)因為f(x)為奇函數，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以＝＝.所以＝，
即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，所以a＝－1或a＝1，
當a＝1時，f(x)＝，此時不成立，故a＝－1.
(2)證明：由(1)可知f(x)＝＝1＋)，
令u(x)＝1＋， x1，x2∈(1，＋∞)，且x1則u(x1)－u(x2)＝(1＋)－(1＋)＝.
因為10，x2－1>0，x2－x1>0，
所以>0，即u(x1)－u(x2)>0，
所以函數u(x)＝1＋在(1，＋∞)上是減函數．
又因為函數y＝在(0，＋∞)上是減函數，
所以f(x)＝在(1，＋∞)上為增函數．
[隨堂練習]
1．解析：對于A選項，函數f(x)＝在定義域(－∞，0)上不單調，A錯；對于B選項，函數f(x)＝在定義域R上為增函數，B錯；對于C選項，函數f(x)＝在定義域(0，＋∞)上為減函數，C對；對于D選項，函數f(x)＝ex在定義域R上為增函數，D錯．故選C.
答案：C
2．解析：函數y＝log3x的反函數為f(x)＝3x，所以f(2)＝32＝9，故選A.
答案：A
3．解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0，∴函數f(x)的值域為(0，＋∞)．故選A.
答案：A
4．解析：當01時，loga4－loga2＝2，解得a＝，故a的值為或.
答案：或4.4.3　不同函數增長的差異
【學習目標】　(1)了解常用的描述現實世界中不同增長規律的函數模型．(2)理解對數增長、直線上升、指數爆炸的含義．(3)能根據具體問題選擇合適的函數模型．
題型 1幾類函數模型增長差異的比較
【問題探究】　在同一直角坐標系中畫出函數y＝2x，y＝2x，y＝log2x的圖象，觀察圖象，當x趨于無窮大時，哪一個函數增長的速度最快？哪一個最慢？
例1　(1)當x越來越大時，下列函數中，增長速度最快的應該是(　　)
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
(2)三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
則關于x分別呈對數函數、指數函數、冪函數變化的變量依次為(　　)
A．y1，y2，y3 B．y3，y2，y1
C．y2，y1，y3 D．y1，y3，y2
題后師說
比較函數增長情況的3種方法
跟蹤訓練1　下列函數中，增長速度越來越慢的是(　　)
A.y＝6x B．y＝log6x
C．y＝x6D．y＝6x
題型 2函數增長速度的比較
例2　
函數f(x)＝2x和g(x)＝x3，x≥0的圖象，如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；
(2)結合函數圖象，比較f(8)，g(8)，f(2 023)，g(2 023)的大小．
學霸筆記：
由圖象判斷指數函數、對數函數和冪函數的方法
根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和冪函數時，通常是觀察函數圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數是指數函數，圖象趨于平緩的函數是對數函數．
跟蹤訓練2　已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的圖象如圖所示．
(1)指出圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；
(2)借助圖象，比較f(x)和g(x)的大?。?br/>題型 3函數模型的選擇
例3　某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5～8千美元的地區銷售該公司A飲料的情況調查時發現：該飲料在人均GDP處于中等的地區銷售量最多，然后向兩邊遞減．
(1)下列幾個模擬函數：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，單位：千美元，y表示年人均A飲料的銷售量，單位：L)．用哪個模擬函數來描述人均A飲料銷售量與地區的人均GDP關系更合適？說明理由；
(2)若人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷售量為2 L，人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷售量為5 L，把(1)中你所選的模擬函數求出來，并求出各個地區年人均A飲料的銷售量最多是多少．
題后師說
不同函數模型的選取標準
跟蹤訓練3　某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？
隨堂練習
1.下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是(　　)
A.y＝ex B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
2．某種植物生長發育的數量y與時間x的關系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函數關系式中，能表達這種關系的是(　　)
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
3．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
4．某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，則投資500元，1 000元，1 500元時，應分別選擇________方案．
課堂小結
1.三類函數y＝kx(k>0)，y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)模型增長的差異．
2．線性函數增長模型、指數型函數增長模型、對數型函數增長模型的選取．
4．4.3　不同函數增長的差異
問題探究　提示：從圖象看，指數函數y＝2x增長的速度最快，對數函數y＝log2x增長的速度最慢．
例1　解析：(1)根據函數特點可知，指數函數是幾何級數增長，增長速度最快．故選D.
(2)從題設表格中的數據可以看出，三個變量y1，y2，y3都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，呈指數函數變化，變量y3的增長速度變慢，呈對數型函數的變化．故選B.
答案：(1)D　(2)B
跟蹤訓練1　解析：函數的增長速度，指數函數y＝6x的增長速度越來越快，對數函數y＝log6x增長速度越來越慢，冪函數y＝x6的增長速度越來越快，一次函數y＝6x勻速增長．
故選B.
答案：B
例2　解析：(1)C1對應的函數為g(x)＝x3，x≥0，C2對應的函數為f(x)＝2x.
(2)因為g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)．
所以1由圖象知，當x1當x>x2時，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
所以g(8)所以f(2 023)>g(2 023)>g(8)>f(8)．
跟蹤訓練2　解析：(1)C1對應的函數為g(x)＝0.5x－1，
C2對應的函數為f(x)＝ln x.
(2)當x∈(0，x1)時，g(x)>f(x)；
當x∈(x1，x2)時，g(x)當x∈(x2，＋∞)時，g(x)>f(x)；
當x＝x1或x2時，g(x)＝f(x)．
綜上，當x＝x1或x2時，g(x)＝f(x)；
當x∈(x1，x2)時，g(x)當x∈(0，x1)或(x2，＋∞)時，g(x)>f(x)．
例3　解析：(1)用①來模擬比較合適．因為該飲料在人均GDP處于中等的地區銷售量最多，
然后向兩邊遞減，而②③④表示的函數在區間[0.5，8]上均是單調函數，所以②③④都不合適，
故用①來模擬比較合適．
(2)因為人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷售量為2 L，人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷售量為5 L，所以把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得
解得所以函數的解析式為y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])．
因為y＝－x2＋x＝－(x－)2＋，
所以當x＝時，年人均A飲料的銷售量最多，最多是 L．
跟蹤訓練3　解析：作出函數y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求．
[隨堂練習]
1．解析：∵y＝e－x＝()x，
又0<<1，
所以y＝e－x隨x的增大而減小，
故D不正確；
又y＝ex與y＝ln x它們都是增函數，
因為y＝ex為指數函數，y＝ln x為對數函數，
則隨x的增大而增大且速度最快的是y＝ex.故選A.
答案：A
2．解析：由表格中數據知，
選項A：當x＝2時，y＝log23≠2,
選項B：當x＝2時，y＝22－1＝3≠2，
選項C：當x＝2時，y＝2×2－1＝3≠2，
選項D：都滿足．故選D.
答案：D
3．解析：由函數性質可知，在(4，＋∞)區間，指數函數g(x)＝2x增長最快，對數函數h(x)＝log2x增長最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)，故選B.
答案：B
4．解析：根據題意，列出當x＝500，1 000，1 500時，對應的函數值如下所示：
x 500 1 000 1 500
甲：y＝0.2x 100 200 300
乙：y＝ log2x＋100 約等于 108．96 約等于 109．96 約等于 110．55
丙：y＝ 1．005x 約等于 12．1 約等于 146．57 約等于 1 774.57
根據表中數據可知：
當投資500，1 000，1 500時，應分別選擇乙，甲，丙方案．
答案：乙、甲、丙4.5.1　函數的零點與方程的解
【學習目標】　(1)了解函數的零點、方程的根與圖象交點三者之間的聯系．(2)會借助零點存在性定理判斷函數的零點所在的大致區間．(3)能借助零點與根的關系判斷方程根的個數．
題型 1求函數的零點
【問題探究1】　我們已學過二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點，它是指使得ax2＋bx＋c＝0的實數x.那么對于下列函數：(1)f(x)＝2x－5；(2)g(x)＝2x－1；(3)h(x)＝ln (x－2)．它們是否都存在使得其函數值等于0的實數x？它們的零點分別是什么？它們的圖象與x軸交點的坐標分別是什么？
例1　求下列函數的零點：
(1)f(x)＝x3＋8；
(2)f(x)＝
題后師說
求函數零點的2種方法
跟蹤訓練1　求下列函數的零點．
(1)f(x)＝3x－9；
(2)f(x)＝
題型 2判斷零點所在的區間
【問題探究2】　對于二次函數f(x)＝x2－2x－3，觀察它的圖象(如圖)，發現它在區間[2，4]上有零點．這時，函數圖象與x軸有什么關系？在區間[－2，0]上是否也有這種關系？你認為應如何利用函數f(x)的取值規律來刻畫這種關系？
例2　(1)在下列區間中，函數f(x)＝ex＋2x－3的零點所在的區間為(　　)
A．(0，) B．()
C．() D．(，1)
(2)f(x)＝x＋3x的零點所在區間為(a，a＋1)，(a∈Z)，則a＝________．
題后師說
判斷函數零點所在區間的一般步驟
跟蹤訓練2　函數 f(x)＝log2x＋2x－1 的零點所在區間為(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
題型 3函數零點個數問題
例3　(1)函數f(x)＝x3－()x的零點個數為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知函數f(x)＝，若函數g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數m的取值范圍是________．
一題多變　將本例(2)中的條件改為“若函數f(x)＝x2－6x＋2＋a在區間(1，4)內有零點”，求實數a的取值范圍．
題后師說
(1)判斷函數零點的個數的3種方法
(2)根據函數零點個數求參數范圍的方法：將函數零點問題轉化為圖象交點問題，畫出函數的圖象，從而確定參數的范圍．
跟蹤訓練3　(1)函數y＝的零點個數為________．
(2)若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________．
隨堂練習
1.函數y＝1＋的零點是(　　)
A．(－1，0) B．x＝－1
C．(0，1) D．x＝0
2．函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點的個數為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3．函數f(x)＝2x＋2x－7的零點所在的區間為(　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
4．函數f(x)＝，若函數y＝f(x)－m，有三個不同的零點，則實數m的取值范圍是________.
課堂小結
1.函數的零點與方程的解的關系．
2．利用零點存在定理判斷零點所在的區間以及根據零點的個數求參數的范圍．
4．5.1　函數的零點與方程的解
問題探究1　提示：f(x)，g(x)，h(x)存在函數值等于0的實數x；它們的零點分別是，0，3；它們的圖象與x軸的交點分別是(，0)，(0，0)，(3，0)．
例1　解析：(1)令x3＋8＝0，得x＝－2，所以函數f(x)＝x3＋8的零點為－2.
(2)當x≤0時，令2－x－4＝0，得x＝－2，滿足要求；當x＞0時，令lg x＝0，得x＝1，滿足要求．
所以函數f(x)的零點是－2，1.
跟蹤訓練1　解析：(1)令3x－9＝0，解得x＝2，
故函數y＝3x－9的零點為2.
(2)令f(x)＝0，即或，
解得x＝1或x＝2，
所以f(x)的零點為1和2.
問題探究2　提示：f(x)在[2，4]上有零點，它在x軸上與x軸有一個交點；在[－2，0]上有零點，它在x軸上與x軸有一個交點．
函數零點存在定理．
例2　解析：(1)函數f(x)＝ex＋2x－3的定義域為R.
因為函數y＝ex，y＝2x－3均為增函數，所以f(x)＝ex＋2x－3為R上的增函數．
又f(0)＝e0＋2×0－3＝－2<0，f()＝＝<0，
f()＝＋2×－3＝－2<0，f()＝＋2×－3＝>>0.
由零點存在定理可得：f(x)的零點所在的區間為()．
故選C.
(2)因為 f(x)是定義域為R的連續函數，且 y＝x與 y＝3x在R上均為增函數，
所以 f(x)在R上為增函數，
又f(－1)<0，f(0)>0 ，
所以f(－1)f(0)<0 ，即零點在區間(－1，0)內，
所以a＝－1.
答案：(1)C　(2)－1
跟蹤訓練2　解析：函數f(x)＝log2x＋2x－1可看成兩個函數y＝log2x(x＞0)和y＝2x－1組成，
兩函數在(0，＋∞)上都是增函數，
故函數f(x)＝log2x＋2x－1在(0，＋∞)上也是單調遞增的，
所以f()＝log2＋2×－1＝－1＋1－1＝－1＜0，
而f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝1＞0，
由零點存在性定理可得，函數f(x)＝log2x＋2x－1零點所在區間為(，1)．故選B.
答案：B
例3　解析：(1)根據題意，x3－()x＝0，故x3＝()x，
故函數y＝x3與y＝()x的圖象如圖，
由于函數y＝x3與y＝()x的圖象只有一個交點，
所以方程x3＝()x有且只有一個實數根，
所以函數f(x)＝x3－()x的零點個數為1個．故選B.
(2)問題可以轉化為函數f(x)＝的圖象與直線y＝m有3個交點，如圖所示：
所以m∈(－1，0]時滿足題意．
答案：(1)B　(2)(－1，0]
一題多變　解析：由題意得f(x)＝x2－6x＋2＋a＝(x－3)2＋a－7為連續函數，
且在(1，3)上單調遞減，在(3，4)上單調遞增，
故f(3)＝a－7，f(1)＝1－6＋2＋a＝a－3，f(4)＝16－24＋2＋a＝a－6，
所以只需或，
解得3故實數a的取值范圍是(3，7].
跟蹤訓練3　解析：(1)當x≤0時，x2＋2x－1＝0 x1＝－－1，x2＝－1，
∵x2＞0，故此時零點為x1＝－－1；
當x＞0時，y＝lg x＋2x－3在(0，＋∞)上單調遞增，
當x＝1時，y＜0，當x＝2時，y＞0，故在(1，2)之間有唯一零點；
綜上，函數y在R上共有2個零點．
(2)令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由題意可知函數y＝|2x－2|與y＝b的圖象有兩個交點，結合函數圖象(如圖所示)可知，0答案：(1)2　(2)(0，2)
[隨堂練習]
1．解析：令y＝1＋＝0，∴x＝－1.
所以函數y＝1＋的零點是x＝－1.
故選B.
答案：B
2．解析：由于函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，且f(1)＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，
故函數在(1，3)上有唯一零點，也即在(0，＋∞)上有唯一零點．故選B.
答案：B
3．解析：因為函數y＝2x、y＝2x－7在R上均為增函數，故函數f(x)在R上為增函數，
因為f(1)＝－3<0，f(2)＝1>0，
由零點存在定理可知，函數f(x)的零點所在的區間為(1，2)．故選A.
答案：A
4．解析：當x>0時，根據對勾函數可得f(x)＝x＋在(1，＋∞)上單調遞增，在(0，1)上單調遞減，故此時最小值f(1)＝2；
當x≤0時，根據f(x)＝2－x在(－∞，0]上單調遞減，故此時最小值f(0)＝1；
作出對應的圖象，如圖所示
函數y＝f(x)－m有三個不同的零點，可看作f(x)與y＝m有三個不同的交點，
從圖象可得到實數m的取值范圍是(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)

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