資源簡介

5.1.1　任意角
【學習目標】　(1)理解任意角的概念，學會在平面內建立適當的坐標系來討論任意角．(2)能在指定范圍內，找到一個與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角．(3)能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合．(4)熟練掌握象限角與軸線角的集合表示．(5)會寫出某個區間上角的集合．
題型 1任意角的概念
【問題探究1】　(1)回憶初中我們是如何定義一個角的？所學的角的范圍是什么？
(2)在跳水比賽中，運動員會做出“轉體兩周”“向前翻轉兩周半”等動作，做上述動作時，運動員轉體多少度？轉過的度數還能用0°到360°的角度表示嗎？
例1　將表的分針撥慢30分鐘，則這個過程中時針轉過的角度是(　　)
A．10°　 B．15°
C．30°　 D．－30°
學霸筆記：處理任意角問題的兩個關鍵點
(1)定方向：明確該角是由順時針方向還是逆時針方向旋轉形成的，由逆時針方向旋轉形成的角為正角，否則為負角．
(2)定大小：根據旋轉角度的絕對值確定角的大小．
跟蹤訓練1　經過2個小時，鐘表的時針和分針轉過的角度分別是(　　)
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
題型 2象限角
【問題探究2】　為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？
例2　下列命題中正確的是(　　)
A．第一象限角一定不是負角
B．鈍角一定是第二象限角
C．小于90°的角一定是銳角
D．第一象限角一定是銳角
學霸筆記：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念的關系，需要掌握判斷結論正確與否的技巧，判斷結論正確需要證明，而判斷結論不正確只需要一個反例即可．
跟蹤訓練2　給出四個命題：①－60°是第四象限角；②235°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的有(　　)個．
A．1 B．2
C．3 D．4
題型 3終邊相同的角
【問題探究3】　在同一平面直角坐標系中畫出以下幾個角：30°，－30°，390°，－330°.
我們發現30°，390°，－330°這三個角的終邊都是同一條射線，它們的終邊相同．你還能找出哪些以這一條射線為終邊的角？與30°終邊相同的角與30°有什么關系？與30°終邊相同的角的集合如何表示？
例3　已知α＝－1 845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.
(1)最小的正角；
(2)最大的負角；
(3)－360°～720°之間的角．
題后師說
在某個范圍內找與已知角終邊相同的角的步驟
跟蹤訓練3　(1)下列各角中，與26°角終邊相同的角為(　　)
A．206° B．－334°
C．116° D．－154°
(2)終邊落在x軸上的角的集合為________．
題型 4區域角的表示
例4　寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內的角α的集合．
題后師說
表示區域角的一般步驟
跟蹤訓練4　表示頂點在原點，始邊重合于x軸的正半軸、終邊落在陰影部分內的角的集合(不包含邊界)．
隨堂練習
1.現有如下三個集合，A＝{鈍角}，B＝{第二象限角}，C＝{小于180°的角}，則下列說法正確的是(　　)
A．A＝B B．B＝C
C．A B D．B C
2．與－20°角終邊相同的角是(　　)
A．－300° B．－280°
C．320° D．340°
3．已知角α＝563°，那么α的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．小于360°且終邊與角－45°重合的正角是________．
課堂小結
1.任意角、終邊相同的角的概念．
2．與角α終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋α， k∈Z}，這一結果表示角周而復始的變化規律，同時，它也是研究角之間關系的最為基礎的知識．
5．1.1　任意角
問題探究1　提示：(1)角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形，角的范圍是0°～360°.
(2)“轉體兩周”指順時針旋轉720°或逆時針旋轉720°.“向前翻轉兩周半”指順時針或逆時針旋轉900°，轉的角度不能用0°到360°的角表示．
例1　解析：分針撥慢，則時針逆時針旋轉，故時針轉過的角度為正數．又因為分針撥慢30分鐘，時針逆時針旋轉0.5個小時，所以×360°＝15°.故選B.
答案：B
跟蹤訓練1　解析：鐘表的時針和分針都是順時針旋轉，因此轉過的角度都是負的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時針和分針轉過的角度分別是－60°，－720°.故選B.
答案：B
問題探究2　提示：第一、第二、第三、第四象限或坐標軸上．
例2　解析：對于A，令α＝－300°＝60°－360°，顯然α是第一象限角，同時也是負角，故A錯誤；對于B，不妨設θ是鈍角，則90°<θ<180°，所以θ一定是第二象限角，故B正確；對于C，令β＝－60°，顯然β是小于90°的角，但不是銳角，故C錯誤；對于D，令α＝－300°＝60°－360°，顯然α是第一象限角，但不是銳角，故D錯誤．故選B.
答案：B
跟蹤訓練2　解析：對①：－60°是第四象限角，故①正確；對②：180°<235°<270°，故其為第三象限角，故②正確；對③：475°＝360°＋115°，115°是第二象限角，故475°是第二象限角，③正確；對④：－315°＝－360°＋45°，45°是第一象限角，故－315°是第一象限角，④正確．
故正確的有4個．故選D.
答案：D
問題探究3　提示：與30°、390°、－330°終邊相同的角還有750°，－690°等，這樣的角有無數個，它們之間相差360°的整數倍，所有與30°角終邊相同的角的集合為{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
例3　解析：因為－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，
即－1 845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，
(1)最小的正角為315°.
(2)最大的負角為－45°.
(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.
跟蹤訓練3　解析：(1)與26°角終邊相同的角為θ＝360°·k＋26°，k∈Z，對選項A：取θ＝360°·k＋26°＝206°，k不是整數解，排除；對選項B：取θ＝360°·k＋26°＝－334°，k＝－1，正確；對選項C：取θ＝360°·k＋26°＝116°，k不是整數解，排除；對選項D：取θ＝360°·k＋26°＝－154°，k不是整數解，排除．故選B.
(2)在0°～360°范圍內，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有與180°角終邊相同的角的集合為S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為S＝S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
答案：(1)B　(2){β|β＝k·180°，k∈Z}
例4　解析：先寫出邊界角，再按逆時針順序寫出區域角，則得
①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．
跟蹤訓練4　解析：圖(1)中，330°＝360°－30°，
∴對應為k·360°－30°<θ即對應角的集合為{θ|k·360°－30°<θ圖(2)中，225°＝360°－135°，
∴對應為k·360°－135°<θ即對應角的集合為{θ|k·360°－135°<θ[隨堂練習]
1．解析：鈍角是大于90°，且小于180°的角，一定是第二象限角，故A B；第二象限角的范圍是90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，即第二象限角不一定小于180°，故ABD錯誤，C正確．故選C.
答案：C
2．解析：因為與－20°角終邊相同的角是－20°＋360°k，k∈Z，
當k＝1時，這個角為340°，只有選項D滿足，其他選項不滿足k∈Z.故選D.
答案：D
3．解析：因為α＝563°＝360°＋203°，又180°<203°<270°，所以α的終邊在第三象限．故選C.
答案：C
4．解析：與角－45°終邊相同的角為β＝－45°＋k·360°，k∈Z，
當k＝1時，β＝315°，
因此小于360°且終邊與角－45°重合的正角是315°.
答案：315°第1課時　三角函數的概念
【學習目標】　(1)借助單位圓理解三角函數(正弦、余弦、正切)的定義．(2)會利用任意角的三角函數的定義求值．
題型 1利用單位圓法求三角函數
【問題探究1】　(1)角α的始邊在x軸非負半軸，終邊與單位圓交于點P.當α＝時，點P的坐標是什么？當α＝或時，點P的坐標又是什么？它們唯一確定嗎？
(2)一般地，任意給定一個角α，它的終邊OP與單位圓交點P的坐標能唯一確定嗎？
例1　(1)在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角α，β的終邊分別與單位圓交于點()和(－)，那么cos αsin β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)已知α＝π，則sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
題后師說
利用單位圓求三角函數的步驟
跟蹤訓練1　已知角α的終邊與單位圓交于點P(－，y)(y>0)，則sin α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
題型 2利用坐標法求三角函數
【問題探究2】　在平面直角坐標系Oxy中，使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P(不與原點O重合)，作PM⊥x軸于點M.設點P(x，y)．
當|OP|＝r時，sin α，cos α，tan α的值怎樣表示？
例2　已知角α的終邊過點P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
學霸筆記：利用坐標法求三角函數
(1)已知角α的終邊上一點P(x，y)求三角函數值時，先求r＝|OP|，再根據定義sin α＝，cos α＝，tan α＝確定三角函數值；
(2)若條件中含有參數，要注意對參數進行討論．
跟蹤訓練2　設α為第四象限角，其終邊上的一個點是P(x，－)，且cos α＝x，求sin α和tan α.
題型 3三角函數概念的綜合應用
例3　在平面直角坐標系中，角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
學霸筆記：已知終邊位置求值
(1)當角的終邊落在射線上時，在射線上取一個異于端點的點，利用點的坐標求值；
(2)當角的終邊落在直線上時，將直線以原點為端點分為兩條射線，分別在兩條射線上取點求值．
跟蹤訓練3　已知角α的終邊落在直線y＝－3x上，求2sin α＋3cos α的值．
隨堂練習
1.點A(x，y)是60°角的終邊與單位圓的交點，則的值為(　　)
A．　　　B．－ C．　　　D．－
2．已知角θ的終邊經過點P(1，－)，則cos θ的值為(　　)
A．－　　B． C．－　　D．
3．已知角θ的終邊經過點P(x，3)，且cos θ＝－，則x＝(　　)
A．－4　　 B．4 C．－　　D．
4．已知角α的終邊落到射線y＝2x(x≤0)上，求cos α＝________．
課堂小結
1.對三角函數定義的理解．
2．利用單位圓法和坐標法求三角函數．
第1課時　三角函數的概念
問題探究1　提示：(1)當α＝時，點P的坐標為()．
當α＝時，點P的坐標為(0，1)．
當α＝時，點P的坐標為(－)．它們都唯一確定．
(2)點P的橫、縱坐標都能唯一確定．
例1　解析：(1)∵角α，β的終邊分別與單位圓交于點()和(－)，
∴cos α＝，sin β＝，
∴cos αsin β＝＝，故選D.
(2)角α的終邊與單位圓的交點為(－)，
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
答案：(1)D　(2)　－　－
跟蹤訓練1　解析：∵角α的終邊與單位圓交于點P(－，y)(y>0)，
∴(－)2＋y2＝1，求得y＝，
∴sin α＝y＝.故選D.
答案：D
問題探究2　提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝.
例2　解析：r＝＝5|a|，
①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，所以2sin α＋cos α＝＝1.
②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＝－1.
綜上可得2sin α＋cos α的值為±1.
跟蹤訓練2　解析：依題意，α為第四象限角，其終邊上的一個點是P(x，－)，則x>0，
cos α＝＝x，解得x＝，則P(，－)，
所以sin α＝＝＝－，
tan α＝＝－.
例3　解析：當角α的終邊在射線y＝－x(x>0)上時，取終邊上一點P(4，－3)，
所以點P到坐標原點的距離r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－＝－.
當角α的終邊在射線y＝－x(x<0)上時，取終邊上一點P′(－4，3)，
所以點P′到坐標原點的距離r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×＝＝.
綜上，sin α－3cos α＋tan α的值為－或.
跟蹤訓練3　解析：在y＝－3x(x＞0)上取點P1(1，－3)，
|OP1|＝r1＝＝，sin α＝＝－，cos α＝＝，
2sin α＋3cos α＝－＝－，
在y＝－3x(x＜0)上取P2(－1，3)，
|OP2|＝r2＝，sin α＝，cos α＝－，
2sin α＋3cos α＝＝，
于是2sin α＋3cos α＝±.
[隨堂練習]
1．解析：因為tan 60°＝，所以＝.故選A.
答案：A
2．解析：因為角θ的終邊經過點P(1，－)，所以cos θ＝＝.故選D.
答案：D
3．解析：∵角θ的終邊經過點P(x，3)，
∴cos θ＝＝－，∵x＜0，解得：x＝－4.故選A.
答案：A
4．解析：在射線y＝2x(x≤0)取一點P(－1，－2)，
由三角函數的定義可得cos α＝＝－.
答案：－第2課時　三角函數值的符號與公式一
【學習目標】　(1)熟練掌握三角函數值在各象限的符號．(2)掌握誘導公式一，并能運用公式解決相關問題．
題型 1三角函數值符號的應用
【問題探究1】　(1)利用任意角三角函數定義計算下列各角的三角函數值并判斷符號：
角α 45° 135° 225° 315°
sin α
cos α
tan α
(2)觀察題(1)所填制的表格，并且利用任意角三角函數定義判斷三角函數值的正負是由哪些量決定？總結正弦、余弦、正切函數值在各個象限符號的規律．
例1　(1)(多選)給出下列各三角函數值：①sin 100°；②cos (－220°)；③tan (－10)；④cos π.其中符號為負的是(　　)
A．① B．②
C．③　 D．④
(2)若sin αtan α<0，且<0，則角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角　 D．第四象限角
題后師說
判斷三角函數值符號的步驟
跟蹤訓練1　已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
題型 2誘導公式一的應用
【問題探究2】　當角α分別為60°，420°，－300°時，它們的終邊有什么特點？它們的三角函數值呢？
例2　計算下列各式的值：
(1)sin (－1 395°)cos 1 110°＋cos (－1 020°)sin 750°；
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()．
題后師說
利用誘導公式一進行化簡求值的步驟
跟蹤訓練2　計算下列各式的值：
(1)sin 810°＋tan 765°－cos 360°；
(2)sin (－)＋cos tan 4π.
題型 3三角函數值符號與公式一的綜合應用
例3　(1)點P(tan 2 023°，cos 2 023°)位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知角θ＝2kπ－(k∈Z)，則y＝的值為(　　)
A．1　 B．－1
C．3 D．－3
學霸筆記：三角函數值符號與公式一的綜合應用的方法
(1)先應用誘導公式一將負角或大于等于2π的角的三角函數化為0～2π之間的角的同名三角函數；
(2)再應用三角函數值符號法則進行相應的判斷或化簡．
跟蹤訓練3　(1)點P(sin ，cos ())位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)計算log2(4sin 1 110°)的結果是(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
隨堂練習
1.如果角α是三角形的一個內角，那么下列各式中一定正確的是(　　)
A．sin α>0 B．cos α>0
C．tan α>0 D．sin α<0
2．sin 1 140°的值為(　　)
A．－ B．
C．－D．
3．若sin θcos θ>0，則θ在(　　)
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
4．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________．
課堂小結
1.熟記三角函數值在各象限內的符號及其應用．
2．利用公式一化簡求值．
第2課時　三角函數值的符號與公式一
問題探究1　提示：(1)　－　 －　－　 －　 　1　－1　1　－1
(2)三角函數值的正負是由角α的終邊上點的橫、縱坐標(角α的終邊所在象限)決定的．
口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
例1　解析：(1)100°角是第二象限角，所以sin 100°>0；－220°角是第二象限角，所以cos (－220°)＜0；－10∈(－π，－3π)，角－10是第二象限角，所以tan (－10)＜0；cos π＝－1＜0.故選BCD.
(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號，從而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α異號，從而α是第三或第四象限角．綜上可知，α是第三象限角．故選C.
答案：(1)BCD　(2)C
跟蹤訓練1　解析：依題意得由tan α＜0知，α是第二、四象限角．當α是第二象限角時，cos α＜0，符合題意；當α是第四象限角時，cos α＞0，不符合題意．故選B.
答案：B
問題探究2　提示：終邊重合　它們的三角函數值相等
例2　解析：(1)原式＝sin (－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝＝＝.
(2)cos (－)＋sin (－)－tan ()
＝cos (－4π＋)＋sin (－12π＋)－tan (6π＋)
＝cos ＋sin －tan
＝＝1－.
跟蹤訓練2　解析：(1)原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (2×360°＋45°)－cos (360°＋0°)＝1＋1－1＝1.
(2)原式＝sin (－2π＋)＋cos (2π＋)tan (4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
例3　解析：(1)因為tan 2 023°＝tan (360°×5＋223°)＝tan 223°＞0，cos 2 023°＝cos (360°×5＋223°)＝cos 223°＜0，所以點P(tan 2 023°，cos 2 023°)位于第四象限．故選D.
(2)依題意知θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，所以y＝－1＋1－1＝－1.故選B.
答案：(1)D　(2)B
跟蹤訓練3　解析：(1)由sin ＝sin (2π＋)＝sin ＞0，cos (－)＝cos (－6π＋)＝cos ＜0，所以點P(sin ，cos ())位于第四象限．故選D.
(2)因為sin 1 110°＝sin (3×360°＋30°)＝sin 30°＝，
所以log2(4sin 1 110°)＝log2(4×)＝log22＝1.故選C.
答案：(1)D　(2)C
[隨堂練習]
1．解析：因為角α是三角形的一個內角，所以0<α<π，
所以sin α>0，cos α無法確定，tan α無法確定．故選A.
答案：A
2．解析：sin 1 140°＝sin (3×360°＋60°)＝sin 60°＝.故選B.
答案：B
3．解析：因為sin θ在第一、二象限為正，第三、四象限為負；cos θ在第一、四象限為正，第二、三象限為負．而sin θcos θ>0，所以θ在第一、三象限．故選A.
答案：A
4．解析：tan 405°－sin 450°＋cos 750°
＝tan (360°＋45°)－sin (360°＋90°)＋cos (720°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
答案：第1課時　誘導公式二、三、四
【學習目標】　(1)借助圓的對稱性理解誘導公式二、三、四的推導過程．(2)掌握誘導公式一～四并能運用誘導公式進行求值、化簡與證明．
　
【問題探究】　(1)①角π＋α與α的終邊有何位置關系？
②角－α與α的終邊有何位置關系？
③角π－α與α的終邊有何位置關系？
(2)已知任意角α的終邊與單位圓相交于點P(x, y)，請同學們思考回答點P關于原點、x軸、y軸對稱的三個點的坐標是什么？
(3)知道了終邊與單位圓的交點坐標，你能根據三角函數的定義寫出角π＋α與α、 角－α與α、角π－α與α的三角函數值之間的關系嗎？
題型 1給角求值
例1　利用公式求三角函數值：
(1)tan 780°cos (－1 140°)；
(2)cos ＋cos ＋tan (－)＋sin .
題后師說
利用誘導公式解決給角求值問題的步驟
跟蹤訓練1　求值：sin (－π)＋cos π·tan 4π.
題型 2給值(式)求值
例2　(1)已知sin (π＋α)＝，且α是第四象限角，則cos (α－2π)的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知cos (－α)＝，求cos (＋α)－sin2(α－)的值．
一題多變　若本例(2)中條件不變，如何求sin2(＋α)－cos(α－)的值？
題后師說
解決給值求值問題的策略
跟蹤訓練2　(1)已知cos (π－α)＝－，且α是第一象限角，則sin (－2π－α)的值是(　　)
A． B．－
C．± D．
(2)若cos (－α)＝，則cos (＋α)＝(　　)
A．－B．
C．D．－
題型 3利用誘導公式化簡
例3　化簡下列各式：
(1)；
(2)sin (2kπ＋)cos (kπ＋)(k∈Z)．
學霸筆記：三角函數式化簡的常用方法
(1)依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為另一個角的三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數．
(3)注意“1”的應用：1＝sin2α＋cos2α＝tan.
(4)用誘導公式進行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進行分類討論，然后再運用誘導公式進行化簡．
跟蹤訓練3　化簡下列各式：
(1)；
(2)(k∈Z)．
隨堂練習
1.sin (－660°)的值是(　　)
A． B．－
C．D．－
2．已知cos (π－θ)＝，則cos (－θ)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
3．化簡的結果為(　　)
A．tan α B．cos α
C．sin α D．－sin α
4．已知cos (－α)＝，則cos (＋α)＝________．
課堂小結
1.誘導公式二、三、四的推導與記憶．
2．利用誘導公式二、三、四求值與化簡．
第1課時　誘導公式二、三、四
問題探究1　提示：(1)①關于原點對稱　②關于x軸對稱　③關于y軸對稱
(2)點P(x，y)關于原點的對稱點的坐標為(－x，－y)；
關于x軸的對稱點的坐標為(x，－y)；
關于y軸的對稱點的坐標為(－x，y)．
(3)見預學案44
例1　解析：(1)原式＝tan 60°cos 60°＝＝.
(2)cos ＋cos ＋tan (－)＋sin
＝cos (4π＋)＋cos (8π＋)＋tan (－6π－)＋sin (π－)＝cos ＋cos ＋tan (－)＋sin
＝－1＋＝.
跟蹤訓練1　解析：原式＝－sin (4π＋)＋cos (2π＋)·tan 0＝－sin ＋cos ×0＝－sin ＝－.
例2　解析：(1)因為sin (π＋α)＝，所以sin α＝－.
又α是第四象限角，所以cos α＝ ＝，所以cos (α－2π)＝cos α＝.故選B.
(2)因為cos (＋α)＝cos [π－(－α)]
＝－cos (－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－＝－.
答案：(1)B　(2)見解析
一題多變　解析：因為cos(＋α)＝cos [π－(－α)]
＝－cos (－α)＝－，
所以sin2(＋α)＝1－cos2(＋α)
＝1－(－)2＝.
又因為cos(α－)＝cos [－(－α)]＝cos (－α)＝，
所以sin2(＋α)－cos(α－)＝＝.
跟蹤訓練2　解析：(1)因為cos (π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，
因為α是第一象限角，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
所以sin (－2π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝－.故選B.
(2)cos (＋α)＝cos ＝－cos (－α)＝－.故選A.
答案：(1)B　(2)A
例3　解析：(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)當k為偶數時，
原式＝sin cos ＝sin (π－)cos (π＋)
＝－sin cos ＝－.
當k為奇數時，原式＝sin cos (π＋)
＝sin (π－)cos (2π＋)＝sin cos ＝.
跟蹤訓練3　解析：(1)原式＝＝＝tan α.
(2)當k＝2n(n∈Z)時，
原式＝
＝＝＝－1.
當k＝2n＋1(n∈Z)時，
原式＝
＝＝＝－1.
綜上，原式＝－1.
[隨堂練習]
1．解析：sin (－660°)＝sin (－660°＋720°)＝sin 60°＝.故選C.
答案：C
2．解析：由cos (π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－，
所以cos (－θ)＝cos θ＝－.故選B.
答案：B
3．解析：
＝
＝sin α，故選C.
答案：C
4．解析：cos (＋α)＝cos [π－(－α)]＝－cos (－α)＝－.
答案：－第2課時　誘導公式五、六
【學習目標】　(1)了解誘導公式五和公式六的推導方法．(2)能夠準確記憶公式五和公式六．(3)掌握公式五和公式六，并能靈活應用所有誘導公式化簡求值．
【問題探究】　
(1)觀察如圖單位圓及角α與－α的終邊．
①角α的終邊與－α的終邊有何關系？
②若設任意角α的終邊與單位圓的交點P1的坐標為(x，y)，那么角－α的終邊與單位圓的交點P2的坐標是什么？
(2)利用誘導公式五如何推導出角＋α與角α三角函數值之間的關系？
題型 1利用誘導公式化簡
例1　化簡：.
學霸筆記：利用誘導公式化簡時，要特別注意函數名稱和符號的確定．
跟蹤訓練1　化簡：.
題型 2利用誘導公式證明恒等式
例2　求證：＝－tan α.
學霸筆記：在證明時一般從左邊到右邊，或從右邊到左邊，或左右歸一，應遵循化繁為簡的原則．
跟蹤訓練2　求證：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α.
題型3利用誘導公式求值
例3　(1)若sin (α＋)＝，且α是第三象限角，則cos (α＋)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
(2)已知sin (－x)＝，且0一題多變　將本例(2)中的條件不變，求sin (＋x)．
學霸筆記：利用誘導公式求值的策略
(1)對給值求值時，要注意要求角與已知角之間的關系，并結合誘導公式進行轉化，特別要注意角的范圍．
(2)常見的互余的角：－α與＋α，＋α與－α等，常見的互補的角：＋α與－α，＋α與－α，＋α與－α等．
跟蹤訓練3　(1)已知cos (π－α)＝－，則sin (α＋)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
(2)已知sin (α－)＝，則cos (＋α)＝(　　)
A．－B．
C．－ D．
隨堂練習
1.已知sin α＝，則cos (α－)＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
2．已知cos (π－α)＝－，則cos (α＋)＝(　　)
A．± B．±
C．D．
3．已知cos 28°＝a，則cos (－602°)＝(　　)
A．a B．－a
C． D．－
4．化簡：＝________．
課堂小結
1.誘導公式五、六的推導與記憶．
2．利用誘導公式五、六求值與化簡．
第2課時　誘導公式五、六
問題探究1　提示：(1)①兩角的終邊關于直線y＝x對稱．
②點P1與P2關于直線y＝x對稱，點P2的坐標為(y，x)．
(2)以－α代替α，
得sin [－(－α)]＝sin (＋α)＝cos (－α)＝cos α，
cos [－(－α)]＝cos (＋α)＝sin (－α)＝－sin α.
例1　解析：
＝＝.
跟蹤訓練1　解析：原式＝＝1.
例2　解析：左邊＝＝－tan α＝右邊，所以原等式成立．
跟蹤訓練2　證明：左邊＝·[－sin (2π－α)]cos α
＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右邊，故原式成立．
例3　解析：(1)∵sin(α＋)＝－cos α＝，
∴cos α＝－，又α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴cos(α＋)＝－sin α＝.故選C.
(2)cos (＋x)＝cos [－(－x)]
＝sin (－x)＝.
答案：(1)C　(2)見解析
一題多變　解析：sin (－x)＝，0∴cos (－x)＝ ＝，
sin(＋x)＝sin
＝cos (－x)＝.
跟蹤訓練3　解析：(1)因為cos (π－α)＝－，所以－cos α＝－，所以cos α＝，所以sin (α＋)＝cos α＝.故選B.
(2)因為sin (α－)＝，所以cos (＋α)＝sin ＝－sin (α－)＝－.故選A.
答案：(1)B　(2)A
[隨堂練習]
1．解析：cos (α－)＝sin α＝.故選D.
答案：D
2．解析：由cos (π－α)＝－cos α可得cos α＝，
而cos (α＋)＝－sin α，sin α＝±＝±，
所以cos(α＋)＝±.故選A.
答案：A
3．解析：cos (－602°)＝cos (2×360°－602°)＝cos 118°
＝cos (90°＋28°)＝－sin 28°＝－＝－.
故選D.
答案：D
4．解析：原式＝＝－tan α.
答案：－tan α第1課時　正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性
【學習目標】　(1)了解周期函數、周期、最小正周期的意義．(2)會求函數y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的周期．(3)掌握y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，會判斷簡單三角函數的奇偶性．
題型 1函數周期性的判斷
【問題探究1】　(1)觀察f(x)的部分圖象，函數圖象每相隔多少個單位重復出現？
(2)由誘導公式一：sin (x＋2kπ)＝sin x，cos (x＋2kπ)＝cos x．結合正(余)弦曲線，可以看出正(余)弦函數怎樣的特征？圖象變化趨勢是怎樣的？
例1　求下列三角函數的周期：
(1)y＝3sin x，x∈R；
(2)y＝cos 2x；
(3)y＝2sin (x－)；
(4)y＝|cos 2x|.
題后師說
求三角函數最小正周期的3種常用方法
跟蹤訓練1　求下列三角函數的最小周期：
(1)y＝cos 3x；
(2)y＝3sin (2x＋)；
(3)y＝2cos (x－)；
(4)y＝|sin x|.
題型 2三角函數奇偶性的判斷
【問題探究2】　根據誘導公式三可知，對于x∈R，sin (－x)＝－sin x，cos (－x)＝cos x，這說明正弦函數、余弦函數具備怎樣的性質？
例2　 判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝sin (x＋)；
(2)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(3)f(x)＝x2cos (x＋)．
題后師說
判斷三角函數奇偶性的2個策略
跟蹤訓練2　判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝sin x cos x；
(2)f(x)＝.
題型 3三角函數周期性與奇偶性的綜合
例3　(1)下列函數中是奇函數，且最小正周期是π的函數是(　　)
A．y＝cos |2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin (＋2x) D．y＝cos (－2x)
(2)定義在R上的函數f(x)既是偶函數，又是周期函數，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈[0，]時，f(x)＝sin x，則f()＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
一題多變　將本例(2)中的“偶函數”改為“奇函數”，其他條件不變，結果如何？
學霸筆記：三角函數周期性與奇偶性的解題策略
利用函數的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函數值轉化為x的函數值．利用奇偶性，可以找到－x與x的函數值的關系，從而可解決求值和求解析式的問題．
跟蹤訓練3　函數f(x)＝sin (ωx－)(ω≠0)，則f(x)是________(填“奇函數”或“偶函數”)，若f(x)的周期為π，則ω＝________．
隨堂練習
1.函數y＝3sin (－2x＋)最小正周期是(　　)
A．3 B．π
C． D．－π
2．下列函數中是偶函數的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝sin |2x| D．y＝sin 2x＋1
3．下列函數中周期為π，且為偶函數的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin 2x
C．y＝sin D．y＝cos x
4．已知f(x)是R上的奇函數，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，則f(8)＝________．
課堂小結
1.求三角函數周期性常用的方法．
2．三角函數奇偶性的判斷．
3．三角函數周期性與奇偶性的綜合應用．
第1課時　正弦函數、余弦函數的周期性與奇偶性
問題探究1　提示：(1)每相隔1個單位重復出現．
(2)自變量x增加2π的整數倍時，函數值重復出現，圖象發生“周而復始”的變化．
例1　解析：(1)法一：因為3sin (x＋2π)＝3sin x，由周期函數的定義知y＝3sin x的周期為2π.
法二：因為ω＝1，所以T＝2π.
(2)法一：因為cos 2(x＋π)＝cos (2x＋2π)＝cos 2x，由周期函數的定義知，y＝cos 2x的周期為π.
法二：因為ω＝2，所以T＝＝π.
(3)法一：因為2sin [(x＋4π)－]＝2sin (x＋2π－)＝2sin (x－)，由周期函數的定義知，y＝2sin (x－)的周期為4π.
法二：因為ω＝，所以T＝＝4π.
(4)y＝|cos 2x|的圖象如圖：
由圖象可知y＝|cos 2x|的周期為.
跟蹤訓練1　解析：(1)因為ω＝3，所以T＝.
(2)因為ω＝2，所以T＝＝π.
(3)因為ω＝，所以T＝＝4π.
(4)y＝|sin x|的圖象如圖：
由圖象可知y＝|sin x|的周期為π.
問題探究2　提示：函數y＝sin x是奇函數，函數y＝cos x是偶函數．
例2　解析：(1)f(x)＝sin (x＋)＝－cos x，x∈R.
因為 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－cos (－x)＝－cos x＝f(x)，
所以函數f(x)＝sin (x＋)是偶函數．
(2)函數f(x)＝|sin x|＋cos x的定義域為R，因為 x∈R，都有－x∈R，又f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以函數f(x)＝|sin x|＋cos x是偶函數．
(3)f(x)＝x2cos (x＋)＝－x2sin x，x∈R，
因為 x∈R，都有－x∈R，
又f(－x)＝－(－x)2sin (－x)＝x2sin x＝－f(x)，
所以函數f(x)＝x2cos (x＋)為奇函數．
跟蹤訓練2　解析：(1)函數的定義域為R，關于原點對稱．
∵f(－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f(x)，
∴f(x)＝sin x cos x為奇函數．
(2)由得cos x＝1，
∴函數的定義域為{x|x＝2kπ，k∈Z}，定義域關于原點對稱．
當cos x＝1時，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)，
∴f(x)＝既是奇函數又是偶函數．
例3　解析：(1)y＝cos |2x|是偶函數，y＝|sin 2x|是偶函數，y＝sin (＋2x)＝cos 2x是偶函數，y＝cos (－2x)＝－sin 2x是奇函數，根據公式得其最小正周期T＝π.故選D.
(2)f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin ＝.
答案：(1)D　(2)D
一題多變　解析：f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝－f()＝－sin ＝－.
跟蹤訓練3　解析：f(x)＝sin (ωx－)＝－cos ωx.
∴f(－x)＝－cos (－ωx)＝－cos ωx＝f(x)，
∴f(x)為偶函數，
又T＝π，∴＝π，∴ω＝±2.
答案： 偶函數　±2
[隨堂練習]
1．解析：由y＝3sin (－2x＋)的最小正周期為T＝得T＝π.故選B.
答案：B
2．解析：A、B是奇函數，D是非奇非偶函數，C符合f(－x)＝sin |－2x|＝sin |2x|＝f(x)，
∴y＝sin |2x|是偶函數．
答案：C
3．解析：對于A：y＝cos x為周期為2π的偶函數，故A錯誤；對于B：y＝sin 2x為周期為π的奇函數，故B錯誤；對于C：y＝sin (2x＋)＝cos 2x為周期為π的偶函數，故C正確；對于D：y＝cos x為周期為4π的偶函數，故D錯誤．故選C.
答案：C
4．解析：∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是周期函數，3就是它的一個周期．
又f(－x)＝－f(x)，
∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2第2課時　正弦函數、余弦函數的單調性與最值
【學習目標】　(1)掌握y＝sin x，y＝cos x的單調性，并能利用單調性比較大小．(2)會求函數y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的單調區間．(3)掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值與最小值，并會求簡單函數的值域和最值．
題型 1正弦函數、余弦函數的單調性
【問題探究1】　(1)觀察正弦函數y＝sin x，x∈[－，]的圖象，正弦函數在區間[－]上函數值的變化有什么特點？推廣到整個定義域呢？
(2)觀察余弦函數y＝cos x，x∈[－π，π]的圖象，余弦函數在區間[－π，π]上函數值的變化有什么特點？推廣到整個定義域呢？
例1　求函數f(x)＝2sin (2x－)的單調區間．
一題多變　將函數改為f(x)＝2sin (－2x)，結果如何？
題后師說
求與正、余弦函數有關的單調區間的策略
跟蹤訓練1　(1)函數y＝3sin 的一個遞減區間是(　　)
A． B．
C．D．
(2)求函數y＝cos 的單調區間．
題型 2利用正弦函數、余弦函數的單調性比較大小
例2　利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)sin 3，sin 4；
(2)cos 2，cos 3；
(3)sin ，cos .
題后師說
利用單調性比較三角函數值大小的步驟
跟蹤訓練2　下列各式中正確的是(　　)
A．sin B．cos 2C．cos (－)>cos (－)
D．sin (－)題型 3正弦函數、余弦函數的最值(值域)
【問題探究2】　觀察下圖中的正弦曲線和余弦曲線．
正弦曲線：
余弦曲線：
(1)從正弦曲線、余弦曲線上很容易看出正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集R，值域是什么？
(2)當x取何值時，正弦函數y＝sin x，x∈R分別取得最大值1和最小值－1
例3　(1)函數f(x)＝sin (2x＋)在(－)上的值域為(　　)
A．(0，1] B．(－，0)
C．(－，1] D．[－1，1]
(2)求函數f(x)＝2cos (2x－)，x∈R取得最大值、最小值的自變量x的集合，并求出最大值、最小值．
學霸筆記：三角函數的值域(最值)問題的求解方法
(1)形如y＝A sin x(或y＝A cos x)型，可利用正弦函數、余弦函數的有界性，注意對A正、負的討論．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范圍，最后求得值域(最值)．
(3)求給定區間上最值(值域)的問題，可利用換元思想，設t＝ωx＋φ，轉換成y＝A sin x(或y＝A cos x)型的函數求值．
跟蹤訓練3　求函數f(x)＝3sin (2x＋)在[0，]上的值域．
隨堂練習
1.設a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cos 40°，則(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
2．函數y＝cos x和y＝sin x都是增函數的區間是(　　)
A．[，π] B．[0，]
C．[－，0] D．[－π，－]
3．函數y＝1＋2sin x，x∈[－]的值域是(　　)
A．[－1，1] B．[0，1]
C．[] D．[0，2]
4．函數f(x)＝2cos (－2x)的遞增區間為________________．
課堂小結
1.熟記正、余弦函數的單調區間；正、余弦函數的最值及取最值時自變量x的值．
2．求函數y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的單調區間的一般步驟．
3．利用正弦函數、余弦函數的單調性比較大小．
4．求三角函數最值(值域)常用方法．
第2課時　正弦函數、余弦函數的單調性與最值
問題探究1　提示：(1)觀察圖象可知，當x∈[－]時，曲線逐漸上升，可知y＝sin x在區間[－]上單調遞增，sin x的值由－1增大到1；當x∈[]時，曲線逐漸下降，可知y＝sin x在區間[]上單調遞減，sin x的值由1減小到－1.
推廣到整個定義域可得，
當x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)時，正弦函數y＝sin x，x∈R單調遞增，函數值由－1增大到1；
當x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)時，正弦函數y＝sin x，x∈R單調遞減，函數值由1減小到－1.
(2)觀察圖象可知，當x∈[－π，0]時，曲線逐漸上升，函數y＝cos x在區間[－π，0]上單調遞增，cos x的值由－1增大到1；
當x∈[0，π]時，曲線逐漸下降，函數y＝cos x在區間[0，π]上單調遞減，cos x的值由1減小到－1.
推廣到整個定義域可得，
當 ∈[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z時，余弦函數y＝cos x單調遞增，函數值由－1增大到1；
當x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z時，余弦函數y＝cos x單調遞減，函數值由1減小到－1.
例1　解析：因為f(x)的單調遞增區間滿足
－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即單調遞增區間是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因為f(x)的單調遞減區間滿足
＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即單調遞減區間是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
一題多變　解析：f(x)＝2sin (－2x)＝－2sin (2x－)
所以f(x)的單調遞增區間滿足＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即單調遞增區間是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因為f(x)的單調遞減區間滿足－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即單調遞減區間是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
跟蹤訓練1　解析：(1)對于函數y＝3sin (x＋)，令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，求得2kπ＋≤x≤2kπ＋，可得函數的減區間為[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，
當 k＝0時，可得該函數的一個減區間為[]，故選B.
(2)當－π＋2kπ≤≤2kπ，k∈Z時，
解得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z，
故函數的單調遞增區間是[－＋4kπ，－＋4kπ]，k∈Z；
令2kπ≤≤π＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
故函數的單調遞減區間是，k∈Z.
答案：(1)B　(2)見解析
例2　解析：(1)因為0<3<π，π<4<，所以sin 3>0，sin 4<0，故sin 3>sin 4.
(2)因為<2<3<π，且y＝cos x在(，π)上單調遞減，故cos 2>cos 3；
(3)sin ＝sin (＋π)＝－sin ，
cos ＝cos (＋π)＝－cos ＝－sin ，
因為0<<<，且y＝sin x在(0，)上單調遞增，
所以sin －sin ，故sin >cos .
跟蹤訓練2　解析：由于y＝sin x在(0，)上遞增，
所以sin ＝sin (π－)＝sin >sin ，A選項錯誤．
由于y＝cos x在(，π)上遞減，
所以cos 2>cos 3，B選項錯誤．
cos (－)＝cos ＝cos (4π＋)＝cos >0，
cos (－)＝cos ＝(4π＋)＝cos <0，
所以cos (－)>cos (－)，C選項正確．
y＝sin x在(－，0)上遞增，
所以sin (－)>sin (－)，D選項錯誤．故選C.
答案：C
問題探究2　提示：(1)[－1，1]
(2)當且僅當x＝＋2kπ，k∈Z時，函數取得最大值1；當且僅當x＝－＋2kπ，k∈Z時，函數取得最小值－1.
例3　解析：(1)當x∈(－)時，2x＋∈(－，π)，當2x＋＝時，即x＝時，f(x)＝sin (2x＋)取最大值1，當2x＋＝－，即x＝－時，f(x)＝sin (2x＋)取最小值大于－，故值域為(－，1].故選C.
(2)對于函數f(x)＝2cos (2x－)，x∈R，
當2x－＝2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}時，函數f(x)取得最大值2；
當2x－＝π＋2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}時，函數f(x)取得最小值－2.
答案：(1)C　(2)見解析
跟蹤訓練3　解析：令t＝2x＋，由0≤x≤可得≤t≤，
又因為函數y＝sin t在[]單調遞增，在(]單調遞減，
所以y＝sin t在t＝時有最大值1，
又sin ＝sin ＝，
所以sin t∈[，1]，所以函數f(x)在[0，]上的值域為[，3].
[隨堂練習]
1．解析：因為函數y＝sin x在(0，)上單調遞增，又c＝cos 40°＝sin 50°，且50°>35°>33°，則sin 50°>sin 35°>sin 33°，即c>b>a.故選C.
答案：C
2．解析：函數y＝cos x和y＝sin x在[－π，π]上的圖象如圖所示，
則由圖象可知C選項符合題意，故選C.
答案：C
3．解析：∵－≤x≤，∴－≤sin x≤，∴0≤1＋2sin x≤2，所以函數的值域為[0，2].故選D.
答案：D
4．解析：因為f(x)＝2cos (－2x)＝2cos (2x－)，
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以遞增區間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
答案：[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z5.4.3　正切函數的性質與圖象
【學習目標】　(1)了解正切函數圖象的畫法．(2)理解并掌握正切函數的性質．(3)能夠利用正切函數的性質與圖象解決相關問題．
題型 1周期函數的周期性與奇偶性
【問題探究1】　(1)正切函數的定義域是什么？
(2)誘導公式tan (π＋x)＝tan x，說明了正切函數的什么性質？
(3)誘導公式tan (－x)＝－tan x，說明了正切函數的什么性質？
例1　(1)函數y＝2tan (3x＋)的定義域是(　　)
A．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
B．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
C．{x|x≠，k∈Z}
D．{x|x≠，k∈Z}
(2)函數f(x)＝2tan ()的最小正周期為(　　)
A．　　　B．π C．2π　　　D．4π
(3)函數f(x)＝(　　)
A．是奇函數
B．是偶函數
C．既是奇函數又是偶函數
D．既不是奇函數也不是偶函數
題后師說
1．求與正切函數有關的函數定義域的方法
除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數y＝tan x有意義，即x≠＋kπ，k∈Z.
2．求與正切函數有關的函數的周期性、奇偶性問題的解決策略
跟蹤訓練1　(1)函數y＝3tan (ωx＋)的最小正周期是，則ω＝(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．2或－2
(2)函數y＝tan (2x＋)的定義域是____________．
題型 2正切函數的圖象
【問題探究2】　如何畫出函數y＝tan x的圖象？
例2　(1)函數y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在(－)上的大致圖象依次是________(填序號)．
(2)借助正切函數的圖象，不等式|tan x|≤的解集是____________________．
學霸筆記：正確畫出正切函數y＝tan x，x∈(－)的簡圖是解題的關鍵．
跟蹤訓練2　(1)與函數y＝tan (2x＋)的圖象不相交的一條直線是(　　)
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
(2)在(0，π)內，使tan x>－成立的x的取值范圍為(　　)
A．()
B．(0，，π)
C．(0，)
D．(0，)
題型 3正切函數的單調性與值域
【問題探究3】　觀察正切曲線，寫出正切函數的單調區間及值域．
例3　(1)比較大小：tan ________tan .
(2)求函數y＝3tan ()的單調區間．
一題多變　將本例(2)中的函數改為y＝3tan ()，其單調區間如何？
題后師說
(1)利用正切函數單調性比較大小的步驟
(2)求函數y＝tan (ωx＋φ)的單調區間的策略
跟蹤訓練3　若有函數f(x)＝tan (x＋)，
(1)寫出函數的單調區間；
(2)比較f(－1)、f(0)、f(1)的大小．
隨堂練習
1.y＝a(a為常數)與y＝tan 3x圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為(　　)
A．π B．
C． D．
2．函數f(x)＝tan (x＋)的單調區間是(　　)
A．(－＋2k，＋2k)(k∈Z)
B．[－＋2k，＋2k](k∈Z)
C．(－＋4k，＋4k)(k∈Z)
D．[－＋4k，＋4k](k∈Z)
3．設a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．a>c>b B．aC．a>b>c D．a4．不等式1＋tan x≥0的解集是________________．
課堂小結
1.正切函數的圖象
正切函數有無數多條漸近線，漸近線方程為x＝kπ＋，k∈Z，相鄰兩條漸近線之間都有一支正切曲線，且單調遞增．
2．正切函數的性質
(1)正切函數y＝tan x的定義域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函數y＝tan x的最小正周期是π，函數y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的周期為T＝.
(3)正切函數在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上遞增，不能寫成閉區間．正切函數無單調減區間．
5．4.3　正切函數的性質與圖象
問題探究1　提示：(1){x|x≠kπ＋，k∈Z}
(2)周期性，周期為π
(3)奇偶性，為奇函數
例1　解析：(1)由3x＋≠kπ＋，解得x≠，所以函數的定義域是{x|x≠，k∈Z}．故選D.
(2)函數f(x)＝2tan ()的最小正周期為＝2π.故選C.
(3)要使f(x)有意義，必須滿足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函數f(x)的定義域關于原點對稱．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)＝是奇函數．故選A.
答案：(1)D　(2)C　(3)A
跟蹤訓練1　解析：(1)y＝3tan (ωx＋)的最小正周期是，所以＝，解得ω＝±2.故選D.
(2)函數y＝tan (2x＋)的定義域滿足2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠kπ＋，k∈Z，所以函數y＝tan (2x＋)的定義域為{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
答案：(1)D　(2){x|x≠kπ＋，k∈Z}
問題探究2　提示：如圖，先畫出y＝tan x，x∈[0，)內的圖象，然后根據正切函數是奇函數，得到關于原點對稱的y＝tan x，x∈(－，0)的圖象，再根據函數的周期性，只要把函數y＝tan x，x∈(－)的圖象向左、右平移，每次平移π個單位，就可得到正切函數y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的圖象，我們把它叫做正切曲線．
例2　解析：(1)∵|tan x|≥0，∴圖象在x軸上方，∴y＝|tan x|對應①；
∵tan |x|是偶函數，∴圖象關于y軸對稱，∴y＝tan |x|對應③；
而y＝tan (－x)與y＝tan x關于y軸對稱，∴y＝tan (－x)對應④，
y＝tan x對應②，
故四個圖象依次是①②④③.
(2)|tan x|≤，則－≤tan x≤，
則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：(1)①②④③　(2){x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}
跟蹤訓練2　解析：(1)由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，令k＝0，得x＝.所以，函數y＝tan (2x＋)的圖象的一條漸近線為直線x＝，即直線x＝與函數y＝tan (2x＋)的圖象不相交．故選C.
(2)畫出y＝tan x(0由圖象可得tan x>－，在(0，π)上解集為(0，，π)，故選B.
答案：(1)C　(2)B
問題探究3　提示：單調增區間為(kπ－，kπ＋)(k∈Z)，無減區間　R
例3　解析：(1)根據三角函數的誘導公式，可得tan ＝tan (3π＋)＝tan ，tan ＝tan (3π＋)＝tan ，因為0<<<，且函數y＝tan x在[0，)上為單調遞增函數，所以tan (2)由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ∴函數y＝3tan ()的單調遞增區間為(－＋4kπ，＋4kπ)，k∈Z，無減區間．
答案：(1)<　(2)見解析
一題多變　解析：∵y＝3tan ()＝－3tan ()，
∴－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ∴函數y＝3tan ()的單調遞減區間為(－＋4kπ，＋4kπ)，k∈Z，無增區間．
跟蹤訓練3　解析：(1)由kπ－得函數的單調增區間為(kπ－，kπ＋)，k∈Z，無單調減區間．
(2)f(0)＝tan ＝1>0，
∵－<－1＋<0，0<<，
∴f(－1)＝tan (－1＋)＝－tan <0，
∵<1＋<π，0<<，
∴f(1)＝tan (1＋)＝－tan (π－1－)＝－tan <0，
∵>0，
y＝tan x在(0，)上是增函數，
∴tan >tan ，
∴－tan <－tan ，
即f(1)f(－1)>f(1)．
[隨堂練習]
1．解析：函數y＝tan 3x的最小正周期為，所以y＝a(a為常數)與y＝tan 3x的圖象相交時，相鄰兩交點間的距離為.故選C.
答案：C
2．解析：由－＋kπ解得x∈(－＋2k，＋2k)，k∈Z，
所以函數f(x)＝tan (x＋)的單調區間是(－＋2k，＋2k)(k∈Z)．故選A.
答案：A
3．解析：由題意得，函數y＝tan x在(0，)上單調遞增且tan x>0，在(，π)上單調遞增且tan x<0，因為<1<<2<3<π，所以tan 20，所以a>c>b.故選A.
答案：A
4．解析：由題設，tan x≥－1，則解集為{x|kπ－≤x答案：{x|kπ－≤x【學習目標】　(1)了解兩角差的余弦公式的推導過程，知道兩角差的余弦公式的意義．(2)能利用兩角差的余弦公式進行化簡、求值、證明．
【問題探究】　如圖所示，設單位圓與x軸的正半軸相交于點A(1，0)，以x軸非負半軸為始邊作角α，β，α－β，它們的終邊分別與單位圓相交于點P1、A1、P.
請問P1、A1、P點的坐標如何表示？線段AP和A1P1有什么關系？
題型 1兩角差的余弦公式的簡單應用
例1　求下列各式的值：
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；
(2).
題后師說
利用兩角差的余弦公式求值的2個策略
跟蹤訓練1　(1) cos 的值是(　　)
A． B．
C． D．
(2)sin 75°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝________．
題型 2給值求值
例2　(1)已知cos α＝，α∈(，2π)，求cos (α－).
(2)已知cos α＝，cos (α－β)＝且0<β<α<，求cos β.
一題多變　將本例(1)改為：已知cos (α＋)＝－，且α∈(0，)，求cos α.
題后師說
給值求值問題的解題策略
跟蹤訓練2　已知α，β∈(π，π)，sin (α＋β)＝－，sin (β－)＝，求cos (α＋)的值．
題型 3給值求角
例3　已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，求β的值．
題后師說
給值求角的解題步驟
跟蹤訓練3　已知α，β均為銳角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
隨堂練習
1.cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)的值為(　　)
A．－B．
C．－ D．
2．sin α＝，α∈(，π)，則cos (－α)的值為(　　)
A．－B．－
C．－ D．－
3.＝(　　)
A．B．
C． D．
4．已知α，β均為銳角，且sin α＝，sin β＝，則α－β＝________．
課堂小結
1.熟記兩角差的余弦公式，既可以正用，又可以逆用．
2．“給值求值”問題，關鍵在于“變式”或“變角”，使“目標角”換成“已知角”．
3．“給值求角”問題，實際上可轉化為“給值求值”問題．
第1課時　兩角差的余弦公式
問題探究　提示：P1(cos α，sin α)、A1(cos β，sin β)、P(cos (α－β)，sin (α－β))　AP＝A1P1
例1　解析：(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°
＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°
＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos (60°－45°)＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)cos ＝cos ()＝cos cos ＋sin sin ＝＝.故選D.
(2)原式＝cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos (15°－105°)＝cos (－90°)＝cos 90°＝0.
答案：(1) D　(2)0
例2　解析：(1)∵cos α＝，α∈(，2π)，∴sin α＝－.
∴cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝＝.
(2)因為0<β<α<，所以0<α－β<，
因為cos α＝，所以sin α＝＝，
又cos(α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝＝.
一題多變　解析：∵cos (α＋)＝－，且α∈(0，)，
∴sin (α＋)＝.
∵α＝(α＋)－，
∴cos α＝cos [(α＋)－]
＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin
＝－＝.
跟蹤訓練2　解析：因為α，β∈(π，π)，sin (α＋β)＝－，sin (β－)＝，α＋β∈(π，2π)，β－∈(π)，
所以cos (α＋β)＝，cos (β－)＝－，
cos (α＋)＝cos [(α＋β)－(β－)]
＝cos (α＋β)cos (β－)＋sin (α＋β)sin (β－)
＝＝－.
例3　解析：∵α，β∈(0，)且cos α＝，cos (α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝＝.
又∵β∈(0，)，∴β＝.
跟蹤訓練3　解析：∵α，β均為銳角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝＝.
又sin α[隨堂練習]
1．解析：由余弦的差角公式得cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝，故選B.
答案：B
2．解析：∵sin α＝且α∈(，π)，∴cos α＝－，∴cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝－.故選B.
答案：B
3．解析：＝
＝＝.故選A.
答案：A
4．解析：因為α，β均為銳角，且sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝＝＝，cos β＝＝＝.
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝.
因為α，β均為銳角，且sin α＝，sin β＝，所以α>β，
所以0<α－β<，所以α－β＝.
答案：第2課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
【學習目標】　(1)能由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式及正切公式，了解它們的內在聯系．(2)掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并能靈活運用這些公式進行簡單的化簡、求值．
【問題探究】　(1)在兩角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，以－β代換β，你會得到什么公式？
(2)在兩角差的余弦公式cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中，以－α代換α，你會得到什么公式？
(3)在兩角和的正弦公式中，sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，以－β代換β，你會得到什么公式？
(4)請你用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡和，結果都用正切表示．
題型 1公式的簡單應用
例1　求下列各式的值：
(1)；
(2)sin 110°·cos 40°－cos 70°·sin 40°；
(3)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°.
題后師說
給角求值問題的解題策略
跟蹤訓練1　(1)已知黃金三角形是一個等腰三角形，其底與腰的長度的比值為黃金比值(即黃金分割值，該值恰好等于2sin 18°)，則下列式子的結果不等于的是(　　)
A．sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°
B．cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°
C．sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°
D．sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°
(2)計算：＝________．
題型 2給值求值
例2　(1)已知tan α＝2，tan β＝4，則tan (α＋β)＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
(2)已知sin (＋α)＝，cos (－β)＝，且0<α<<β<，求cos (α＋β).
一題多變　本例(2)條件不變，求sin (α－β).
題后師說
給值求值的解題策略
跟蹤訓練2　已知α為鈍角，β為銳角，sin α＝，cos (α－β)＝.
(1)求tan α，tan (α－)；
(2)求sin β.
題型 3給值求角
例3　已知sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，求角α＋β的大小．
學霸筆記：給值求角的方法
一般先求出該角的某個三角函數值，再確定該角的取值范圍，最后得出該角的大小．至于求該角的哪一個三角函數值，這要取決于該角的取值范圍，然后結合三角函數值在不同象限的符號來確定，一般地，若θ∈(0，π)，則通常求cos θ，若θ∈(－，)，則通常求sin θ，否則容易導致增解．
跟蹤訓練3　已知α，β均為銳角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，求α＋β.
隨堂練習
1.sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝(　　)
A．－1 B．1
C．0 D．－cos 10°
2．若cos θ＝－且θ∈(，π)，則sin (θ＋)的值為(　　)
A．B．－
C． D．
3. sin 15°＋cos 15°＝(　　)
A． B．
C． D．1
4．已知tan (α－β)＝－2，tan (β＋)＝3，則tan (＋α)＝________．
課堂小結
1.使用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，要先從化簡式子的結構出發，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換．
2．利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式主要解決給角求值、給值求值、給值求角．
第2課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
問題探究　提示：(1)cos (α＋β)＝cos αcos (－β)＋sin αsin (－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
(2)sin (α＋β)＝cos [(－α)－β]＝cos (－α)cos β＋sin (－α)sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.
(3)sin (α－β)＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)＝
＝＝，
即tan (α＋β)＝.
同理可得tan (α－β)＝.
例1　解析：(1)∵sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，
∴原式＝＝sin 30°＝.
(2)sin 110°·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin (180°－70°)·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin 70°·cos 40°－cos 70°·sin 40°
＝sin (70°－40°)＝sin 30°＝.
(3)∵＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
跟蹤訓練1　解析：(1)對于A，sin 10°cos 8°＋cos 10°sin 8°＝sin (10°＋8°)＝sin 18°＝，A正確；
對于B，cos 40°cos 32°－sin 40°sin 32°＝cos (40°＋32°)＝cos 72°＝sin 18°＝，B正確；
對于C，sin 100°cos 26°＋cos 100°sin 26°＝sin (100°＋26°)＝sin 126°＝sin 54°≠，C錯誤；
對于D，sin 92°sin 16°－cos 92°cos 16°＝－cos (92°＋16°)＝－cos 108°＝sin 18°＝，D正確．故選C.
(2)＝＝tan (45°－15°)＝.
答案：(1)C　(2)
例2　解析：(1)因為tan α＝2，tan β＝4，所以tan (α＋β)＝＝＝－.故選B.
(2)∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin (＋α)＝，cos (－β)＝，
∴cos (＋α)＝－，sin (－β)＝－.
∴cos (α＋β)＝sin [＋(α＋β)]
＝sin [(＋α)－(－β)]
＝sin (＋α)cos (－β)－cos (＋α)sin (－β)
＝＝－.
答案：(1)B　(2)見解析
一題多變　解析：由本例(2)知，
sin (α－β)＝－sin [(＋α)＋(－β)]
＝－[sin (＋α)cos (－β)＋cos (＋α)sin (－β)]
＝－[＋(－)×(－)]＝－.
跟蹤訓練2　解析：(1)∵<α<π，sin α＝，
∴cos α＝－＝－，∴tanα＝＝－，
∴tan (α－)＝＝＝7.
(2)∵<α<π，0<β<，
∴0<α－β<π，又cos (α－β)＝，
∴sin (α－β)＝＝，
∴sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)
＝＝.
例3　解析：∵sin α＝，sin β＝，且α，β∈(0，)，
∴cos α＝＝，cosβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝＝，
又由已知可得α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
跟蹤訓練3　解析：由(1－tan α)(1－tan β)＝4，
得1－tan β－tan α＋3tan αtan β＝4，
所以－(tan β＋tan α)＝3(1－tan αtan β)，
所以＝－＝－，
所以tan (α＋β)＝－，
因為α，β∈(0，)，所以(α＋β)∈(0，π)，
所以α＋β＝.
[隨堂練習]
1．解析：由兩角和的余弦公式得：sin 40°sin 50°－cos 40°cos 50°＝－(cos 40°cos 50°－sin 40°sin 50°)＝－cos (40°＋50°)＝－cos 90°＝0，故選C.
答案：C
2．解析：θ∈(，π)，故sin θ>0，因為cos θ＝－，所以sin θ＝＝，所以sin(θ＋)＝sin θcos ＋cos θsin ＝＝.故選A.
答案：A
3．解析：由兩角和正弦公式，可得sin 15°＋cos 15°＝cos 30°sin 15°＋sin 30°cos 15°＝sin (15°＋30°)＝sin 45°＝.故選C.
答案：C
4．解析：tan (＋α)＝tan [(α－β)＋(β＋)]
＝
＝＝.
答案：

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