資源簡介

第1課時　集合的概念
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)通過實例了解集合的含義，并掌握集合中元素的三個特性．(2)體會元素與集合間的“從屬關(guān)系”．(3)記住常用數(shù)集的表示符號并會應(yīng)用．
題型 1對集合概念的進(jìn)一步理解
【問題探究1】　分別由元素1，2，3和3，2，1組成的兩個集合有何關(guān)系？集合中的元素有沒有先后順序？
　
例1　考察下列每組對象能否構(gòu)成一個集合：
(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；
(2)方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解；
(3)某校2022年在校的所有矮個子同學(xué)；
(4)的近似值的全體．
學(xué)霸筆記：判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)：判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時還要注意集合中元素的互異性、無序性．
跟蹤訓(xùn)練1　考察下列每組對象，能構(gòu)成集合的是(　　)
①中國各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點；③不小于3的自然數(shù)；④截止到2022年1月1日，參與“一帶一路”的國家．
A．③④　　B．②③④　　C．②③　　D．②④
題型 2元素與集合的關(guān)系
【問題探究2】　設(shè)集合A表示“1～10之間的所有奇數(shù)”，3和4與集合A是何關(guān)系？
例2　(1)(多選)下列關(guān)系中，正確的是(　　)
A．－ Z B．π R
C．|－|∈Q D．0∈N
(2)已知集合A含有三個元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，那么a為(　　)
A．2 B．2或4
C．4 D．0
題后師說
判斷元素與集合關(guān)系的2種方法
跟蹤訓(xùn)練2　(1)下列所給關(guān)系中，正確關(guān)系的個數(shù)是(　　)
①π∈Z　②∈Q　③2∈N　④|－4| R
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)已知集合M有兩個元素3和a＋1，且4∈M，則實數(shù)a＝________．
題型 3 集合中元素的特性及應(yīng)用
【問題探究3】　英文單詞good的所有字母能否組成一個集合？若能組成一個集合，則該集合中有幾個元素？為什么？
例3　已知集合A含有兩個元素a和a2，若1∈A，則實數(shù)a的值為________．
一題多變　本例若將條件“1∈A”改為“2∈A”，其他條件不變，求實數(shù)a的值．
題后師說
由集合中元素的特性求解字母取值的一般步驟
跟蹤訓(xùn)練3　已知集合A中含有a－2，a2＋4a，12三個元素，且－3∈A，則a＝(　　)
A．－3或－1 B．－1
C．3 D．－3
隨堂練習(xí)
1.(多選)下列說法中，正確的是(　　)
A．若a∈Z，則－a∈Z
B．R中最小的元素是0
C．的近似值的全體構(gòu)成一個集合
D．一個集合中不可以有兩個相同的元素
2．設(shè)不等式2x－3>0的解構(gòu)成的集合為M，則下列表示正確的是(　　)
A．0∈M，2∈M B．0 M，2∈M
C．0∈M，2 MD．0 M，2 M
3．用“∈”或“ ”填空．
________Q，π________Q，________R，________R.
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構(gòu)成的集合，且2∈A，則實數(shù)m＝________．
課堂小結(jié)
1.研究對象能否構(gòu)成集合，就要看是否有一個確定的標(biāo)準(zhǔn)，能確定一個個體是否屬于這個總體．
2．集合元素的三個特征
(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．
(2)互異性：給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．
(3)無序性：集合中元素沒有順序．
第1課時　集合的概念
問題探究1　提示：兩個集合相等．只有構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．也就是說集合中的元素沒有先后順序(無序性)．
例1　解析：(1)對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合；
(2)能構(gòu)成集合，方程只有兩個實根3和－3；
(3)“矮個子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于某個人算不算矮個子無法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個集合；
(4)“的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：對于①，“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合集合中元素的確定性，∴①中對象不能構(gòu)成集合；對于②③④，每組對象的標(biāo)準(zhǔn)明確，都符合集合中元素的確定性，∴②③④中對象可以構(gòu)成集合．故選B.
答案：B
問題探究2　提示：3是集合A中的元素，即3屬于集合A，記作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不屬于集合A，記作4 A.
例2　解析：(1)因為Z是整數(shù)集，故－ Z，所以A正確；因為R是實數(shù)集，故π∈R，所以B錯誤；因為Q是有理數(shù)集，故|－|＝ Q，所以C錯誤；因為N是自然數(shù)集，故0∈N，所以D正確，故選AD.
(2)集合A含有三個元素2，4，6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，綜上所述，a＝2或4.故選B.
答案：(1)AD　(2)B
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)對于①，π是無理數(shù)，所以π Z，故①錯誤；對于②，是無理數(shù)，所以 Q，故②錯誤；對于③，2∈N，故③正確；對于④，|－4|＝4∈R，故④錯誤．故選A.
(2)因為4∈M，且集合M有兩個元素3和a＋1，所以4＝3或4＝a＋1，又4＝3不成立，所以4＝a＋1，∴a＝3.
答案：(1)A　(2)3
問題探究3　提示：能，因為集合中的元素是確定的(確定性)；3個元素，因為集合中的元素是互不相同的(互異性)．
例3　解析：若1∈A，則a＝1或a2＝1，即a＝±1.
當(dāng)a＝1時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性，∴a≠1；
當(dāng)a＝－1時，集合A含有兩個元素1，－1，符合元素的互異性．∴a＝－1.
答案：－1
一題多變　解析：若a＝2，則a2＝4，符合元素的互異性；若a2＝2，則a＝或a＝－，符合元素的互異性．所以a的取值為2，，－.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：因為－3∈A，當(dāng)a－2＝－3，得a＝－1，則A＝{－3，12}，不合題意，故舍去．
當(dāng)a2＋4a＝－3，故a＝－1(舍去)或a＝－3，此時A＝{－5，－3，12}，滿足．故選D.
答案：D
[隨堂練習(xí)]
1．解析：若a∈Z，則－a也是整數(shù)，即－a∈Z，故A正確；因為實數(shù)集中沒有最小的元素，所以B錯誤；因為“的近似值”不具有確定性，所以不能構(gòu)成集合，故C錯誤；同一集合中的元素是互不相同的，故D正確．故選AD.
答案：AD
2．解析：由2x－3>0得x>，因為0<，2>，所以0 M，2∈M，故選B.
答案：B
3．解析：∈Q，π Q，∈R，∈R.
答案：∈　 　∈　∈
4．解析：由題意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，經(jīng)驗證，當(dāng)m＝0或m＝2時，不滿足集合中元素的互異性，當(dāng)m＝3時，滿足題意，故m＝3.
答案：3第2課時　集合的表示
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)掌握集合的兩種表示方法(列舉法、描述法)．(2)能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．
　
題型 1用列舉法表示集合
【問題探究1】　設(shè)集合M是小于6的正整數(shù)組成的集合，集合M中的元素能一一列舉出來嗎？
例1　用列舉法表示下列集合．
(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；
(2)方程x3＝x的所有實數(shù)解組成的集合；
(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合．
題后師說
用列舉法表示集合的步驟
跟蹤訓(xùn)練1　用列舉法表示下列集合：
(1)方程x2＝2x的所有實數(shù)解組成的集合；
(2)一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D；
(3)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．
題型 2用描述法表示集合
【問題探究2】　你能用列舉法表示不等式x－7<3的解集嗎？該如何表示？
例2　用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的實數(shù)組成的集合；
(2)不等式3x＋4≥2x的所有解；
(3)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的集合．
題后師說
用描述法表示集合的步驟
跟蹤訓(xùn)練2　用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整數(shù)的集合．
(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點的集合．
(3)大于4的所有偶數(shù)．
題型 3集合表示法的綜合應(yīng)用
例3　已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，x∈R，a∈R}．若A中只有一個元素，求a的值，并求集合A.
一題多變　在本例條件下，若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．
學(xué)霸筆記：
根據(jù)已知的集合求參數(shù)的關(guān)注點
(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如例3集合A中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題．
(2)a＝0這種情況極易被忽視，對于方程“ax2＋2x＋1＝0”有兩種情況：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在這種情況下，才能用判別式Δ來解決問題．
跟蹤訓(xùn)練3　已知集合A＝{m－2，2m，m2－4}，若0∈A，求實數(shù)m的值．
隨堂練習(xí)
1.集合{x∈N*|x－3＜2}另一種表示方法為(　　)
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．集合A＝{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}表示的是(　　)
A．第二象限的點
B．第四象限的點
C．第二和第四象限的點
D．不在第一象限也不在第三象限的點
3．設(shè)集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，則實數(shù)a＝________．
4．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；
(2)所有正奇數(shù)組成的集合B；
(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；
(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線y＝x2上的點組成的集合D.
課堂小結(jié)
1.表示集合的要求：
(1)根據(jù)要表示的集合元素的特點，選擇適當(dāng)方法表示集合，一般要符合最簡原則．
(2)一般情況下，元素個數(shù)無限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元素個數(shù)無限的集合，也可以表示元素個數(shù)有限的集合．
2．在用描述法表示集合時應(yīng)注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(點)、還是集合或其他形式．
(2)元素具有怎樣的屬性．當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2課時　集合的表示
問題探究1　提示：能.1，2，3，4，5.
例1　解析：(1)因為不大于10是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0，2，4，6，8，10}．
(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解組成的集合為{0，1，－1}．
(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0，1)，故兩直線的交點組成的集合是{(0，1)}．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，
所以方程的解組成的集合為{0，2}．
(2)由得
所以一次函數(shù)y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點為(1，4)，所以D＝{(1，4)}．
(3)正整數(shù)有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．
問題探究2　提示：不等式x－7<3的解是x<10，因為滿足x<10的實數(shù)有無數(shù)個，所以x－7<3的解集無法用列舉法表示，但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即x是實數(shù)，且x<10，把解集表示為{x∈R|x<10}．
例2　解析：(1)根據(jù)描述用不等式表示出即可，可以表示成{x∈R|1(2)先表示成{x|3x＋4≥2x}，解不等式即{x|x≥－4}．
(3)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點在坐標(biāo)軸的角平分線上，即y＝x，或y＝－x，可以表示成{(x，y)|y＝±x}．
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)因為集合中的元素除以3余數(shù)為1，所以集合表示為：{x|x＝3n＋1，n∈N}；
(2)第一象限內(nèi)的點，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于0，所以集合表示為：{(x，y)|x>0，y>0}；
(3)大于4的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：{x|x＝2n，n≥3，n∈Z}．
例3　解析：當(dāng)a＝0時，集合A＝{x|－3x＋2＝0}＝{}，
當(dāng)a≠0時，Δ＝0，∴9－8a＝0，解得a＝，此時集合A＝{}，
綜上所求，a的值為0或，當(dāng)a＝0時，集合A＝{}，當(dāng)a＝時，集合A＝{}．
一題多變　解析：A中至多有一個元素，即A中有一個元素或沒有元素，當(dāng)A中只有一個元素時，由例題可知，a＝0或a＝.當(dāng)A中沒有元素時，Δ＝9－8a<0，且a≠0，即a>.故當(dāng)A中至多有一個元素時，a的取值范圍為{a|a＝0或a≥}．
跟蹤訓(xùn)練3　解析：分情況討論：
①若m－2＝0，則m＝2，2m＝4，m2－4＝0，不符合集合元素的互異性原則；
②若2m＝0，則m＝0，m－2＝－2，m2－4＝－4，
此時A＝{－2，0，－4}，符合題意；
③若m2－4＝0，則m＝2或－2，
當(dāng)m＝2時，m－2＝0，2m＝4，不符合集合元素的互異性原則；
當(dāng)m＝－2時，m－2＝－4，2m＝－4，不符合集合元素的互異性原則．
綜上：m＝0.
[隨堂練習(xí)]
1．解析：{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1，2，3，4}．故選B.
答案：B
2．解析：A＝{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}的元素滿足xy<0或xy＝0，
當(dāng)xy＝0時，表示兩個坐標(biāo)軸上的點，
當(dāng)xy<0時，表示第二象限或者第四象限的點．故選D.
答案：D
3．解析：由集合相等的概念得解得a＝1.
答案：1
4．解析：(1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，用列舉法表示：A＝{2，3，5，7，11，13，17}；
(2)所有正奇數(shù)有無數(shù)個，用描述法表示：B＝{x|x＝2k＋1，k∈N}；
(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)只有－3，－2，－1，0，1，2，3，用列舉法表示：C＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}；
(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線y＝x2上的點，用描述法表示：D＝{(x，y)|y＝x2}．1.2　集合間的基本關(guān)系
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)理解集合之間的包含和相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．
　
題型 1集合間關(guān)系的判斷
【問題探究1】　集合間的關(guān)系有幾種？
例1　指出下列各對集合之間的關(guān)系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)A＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
題后師說
判斷集合間關(guān)系的3種常用方法
跟蹤訓(xùn)練1　(1)若集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}，則集合A與B的關(guān)系是(　　)
A．A＝B B．A B
C．B A D．不確定
(2)設(shè)A＝{四邊形}，B＝{梯形}，C＝{平行四邊形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A．E?D?C?A B．D?E?C?A
C．D?B?AD．E?D?C?B?A
題型 2子集、真子集的個數(shù)問題
【問題探究2】　請寫出集合{3，5，8}的所有子集和它的真子集．
例2　(1)集合A＝{x∈N|∈N}的真子集個數(shù)為________，非空真子集個數(shù)為________．
(2)已知集合M滿足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，寫出集合M所有的可能情況．
題后師說
(1)求集合子集、真子集個數(shù)的3個步驟
(2)與子集、真子集個數(shù)有關(guān)的3個結(jié)論
假設(shè)集合A中含有n個元素，則有：
①A的子集的個數(shù)為2n個；
②A的真子集的個數(shù)為2n－1個；
③A的非空真子集的個數(shù)為2n－2個．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)集合A＝{x∈N|－5<2x－1<5}的子集個數(shù)為(　　)
A．4 B．7
C．8 D．16
(2)滿足 ?M {1，2，3}的集合M共有(　　)
A．6個 B．7個
C．8個 D．15個
題型 3由集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A B，求實數(shù)m的取值范圍．
一題多變　本例中若將“A B”改為“B A”，其他條件不變，求m的取值范圍．
題后師說
根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的策略
跟蹤訓(xùn)練3　已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1，3，2m－1}，若A B，求實數(shù)m的值．
隨堂練習(xí)
1.下列各式中關(guān)系符號運用正確的是(　　)
A．0＝ B． ∈{0，1，2}
C．1∈{0，1，2} D．{1}∈{0，1，2}
2．已知a＝，A＝{x|x>，x∈R}，則(　　)
A．a(chǎn) AB．{a} A
C．{a}∈A D．{a}＝A
3．已知集合A＝{x|2A．3 B．4
C．7 D．8
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A B，則實數(shù)a的取值范圍是________．
課堂小結(jié)
1.對子集、真子集有關(guān)概念的理解．
2．集合子集的個數(shù)問題．
3．由集合間的關(guān)系求參數(shù)問題．
1．2　集合間的基本關(guān)系
問題探究1　提示：3種．包含、真包含、相等．
例1　解析：(1)集合A的元素是數(shù)，集合B的元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系．
(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故A B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可知A B.
(4)因為A＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，
所以集合A與集合B中的元素都是全體奇數(shù)，所以A＝B.
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)B＝{y|y＝6m＋5，m∈Z}＝{x|x＝6m＋5，m∈Z}，任意x∈B，則存在m∈Z，使x＝6m＋5，而x＝6m＋5＝3(2m＋2)－1∈A，故B A，又∵2∈A，2 B，∴A＝B，A B都不正確，故選C.
(2)集合A，B，C，D，E之間的關(guān)系可用Venn圖表示，結(jié)合下圖可知，應(yīng)選A.
答案：(1)C　(2)A
問題探究2　提示：集合{3，5，8}的所有子集為 ，{3}，{5}，{8}，{3，5}，{3，8}，{5，8}，{3，5，8}；
集合{3，5，8}的所有真子集為 ，{3}，{5}，{8}，{3，5}，{3，8}，{5，8}．
例2　解析：(1)∵∈N，x∈N，∴x＝5，4，3，2，0，∴集合A＝{0，2，3，4，5}，∴集合A的真子集個數(shù)為25－1＝31，非空真子集個數(shù)為25－2＝30.
(2)由題意可以確定集合M必含有元素1，2，
且至少含有元素3，4，5中的一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如下：
含有3個元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4個元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5個元素：{1，2，3，4，5}．
故滿足條件的集合M為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
答案：(1)31　30　(2)見解析
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)因為A＝{x∈N|－5<2x－1<5}＝{x∈N|－2(2) ?M {1，2，3}，可按元素個數(shù)分類依次寫出集合M為{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7個．故選B.
答案：(1)C　(2)B
例3　解析：∵A B，∴解得
故3≤m≤4.
∴實數(shù)m的取值范圍是{m|3≤m≤4}．
一題多變　解析：當(dāng)B＝ 時，m－6>2m－1，即m<－5.
當(dāng)B≠ 時，
即m∈ .
故實數(shù)m的取值范圍是{m|m<－5}．
跟蹤訓(xùn)練3　解析：因為A B，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，當(dāng)m＝1時，B＝{－1，3，1}，A＝{3，1}滿足A B.
[隨堂練習(xí)]
1．解析：因為 是集合，0是數(shù)字，所以選項A錯誤；
因為{0，1，2}是集合，所以 {0，1，2}，故選項B錯誤；
因為1是{0，1，2}中的元素，所以選項C正確；
因為{1} {0，1，2}，所以選項D錯誤．故選C.
答案：C
2．解析：因為a＝，A＝{x|x>，x∈R}，所以a∈A或{a} A.故選B.
答案：B
3．解析：集合A＝{x|2答案：D
4．解析：因為集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A B，所以a≤－2.
答案：{a|a≤－2}第1課時　并集、交集
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)掌握并集、交集的定義．(2)會進(jìn)行簡單的并集、交集運算．
題型 1并集的運算
【問題探究1】　某超市進(jìn)了兩次貨，第一次進(jìn)的貨是圓珠筆、鋼筆、橡皮、筆記本、方便面、汽水共6種，第二次進(jìn)的貨是圓珠筆、鉛筆、火腿腸、方便面共4種，我們用集合A表示第一次進(jìn)貨的品種，用集合B表示第二次進(jìn)貨的品種，通過觀察，你能用集合C表示兩次一共進(jìn)貨的品種嗎？并討論集合A，集合B與集合C的關(guān)系．
例1　(1)若集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－2x＝0}，則集合A＝(　　)
A．{－1，2} B．{0，1，2}
C．{0，2} D．{－1，0，2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，則M＝(　　)
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
題后師說
集合并集運算的策略
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈N|x≤2}，則A＝(　　)
A．{2，3} B．{0，1，2，3}
C．{1，2} D．{1，2，3}
(2)已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|2≤x<4}
題型 2交集的運算
【問題探究2】　對于問題探究1中的集合A與集合B，你能用集合D表示兩次進(jìn)貨一樣的品種嗎？并討論集合A，B與集合D的關(guān)系．
例2　(1)設(shè)集合A＝{x|－2A．{2} 　B．{2，3}
C．{3，4} 　D．{2，3，4}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合A＝(　　)
A．{x|x≤3或x>4} 　B．{x|－1C．{x|3≤x<4} 　D．{x|－2≤x<－1}
題后師說
求集合交集的一般步驟
跟蹤訓(xùn)練2　(1)設(shè)集合A＝{x|－1A．{x|0C．{1，2} D．{0，1，2}
(2)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，則A＝(　　)
A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}
C．{x|2＜x＜3} D．{x|2＜x≤3}
題型 3根據(jù)并集與交集運算求參數(shù)范圍
例3　已知集合A＝{x|－3一題多變　把本例中的條件“A＝A”換為“A＝A”，求k的取值范圍．
題后師說
利用并集、交集性質(zhì)求參數(shù)的策略
跟蹤訓(xùn)練3　(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．{a|a<2} B．{a|a>－2}
C．{a|a>－1} D．{a|－1(2)已知集合P＝{x|x≤3}，Q＝{x|x>a}，若P＝R，則a的取值范圍是________．
隨堂練習(xí)
1.已知集合A＝{x|2A．{x|2≤x<4} B．{x|2C．{2，3} D．{3}
2．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|x>1}，則A＝(　　)
A．RB．{x|1C．{x|x<2} D．{x|x>1}
3．設(shè)集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，且A＝{x|－2≤x≤1}，則a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
4．(多選)若集合M N，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．M＝M B．M＝N
C．N (M
課堂小結(jié)
1.對并集、交集概念的理解．
2．對于元素個數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的“交”“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．
3．對于元素個數(shù)無限的集合，進(jìn)行交、并運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點值能否取到．
4．由集合間的運算求參數(shù)范圍問題．
第1課時　并集、交集
問題探究1　提示：A＝{圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水}，B＝{圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面}，則C＝{圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水，鉛筆、火腿腸}，容易發(fā)現(xiàn)集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的．
例1　解析：(1)A＝{－1，2}，B＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，＝{－1，0，2}，故選D.
(2)將集合M和N在數(shù)軸上表示出來，如圖所示，
可知M＝{x|x<－5或x>－3}．故選A.
答案：(1)D　(2)A
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)因為A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，所以＝{0，1，2，3}．故選B.
(2)因為集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2答案：(1)B　(2)C
問題探究2　提示：由A＝{圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水}，B＝{圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面}知，集合D＝{圓珠筆，方便面}，可見，集合D是由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的．
例2　解析：(1)由題設(shè)有A＝{2，3}，故選B.
(2)將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得A＝{x|－2≤x<－1}，故選D.
答案：(1)B　(2)D
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)B＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，2}．故選D.
(2)∵A＝{x|x＜2}，B＝{x|0＜x≤3}，∴A＝{x|0＜x＜2}．故選A.
答案：(1)D　(2)A
例3　解析：∵A＝A，∴B A，
①當(dāng)B＝ 時，k＋1>2k－1，∴k<2.
②當(dāng)B≠ ，則根據(jù)題意如圖所示：
根據(jù)數(shù)軸可得解得2≤k≤.
綜合①②可得k的取值范圍為{k|k≤}．
一題多變　解析：∵A＝A，∴A B.
又A＝{x|－3由數(shù)軸
可知解得k∈ ，
即當(dāng)A＝A時，k不存在．
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)由集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x－1.故選C.
(2)由題意，在P＝{x|x≤3}，Q＝{x|x>a}中，P＝R，∴a≤3，∴a的取值范圍為{a|a≤3}．
答案：(1)C　(2){a|a≤3}
[隨堂練習(xí)]
1．解析：B＝{x|2≤x<4，x∈Z}＝{2，3}，又A＝{x|2答案：D
2．解析：由A＝{x|x<2}，B＝{x|x>1}，可得A＝{x|x<2}>1}＝R，故選A.
答案：A
3．解析：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，且A＝{x|－2≤x≤1}．則－＝1，解得a＝－2.故選B.
答案：B
4．解析：∵M(jìn) N，Venn圖如圖所示：
∴M＝M，M＝N，(M故選ABD.
答案：ABD第2課時　補集及綜合應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)理解補集的含義．(2)會求給定子集的補集．
題型 1補集的運算
【問題探究】　如果把我們班每個同學(xué)看成集合的元素，所有同學(xué)組成集合U，男同學(xué)組成集合A，女同學(xué)組成集合B，這三個集合間有何關(guān)系？
例1　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，則集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的補集 UA為(　　)
A．{x∈R|0＜x＜2}
B．{x∈R|0≤x＜2}
C．{x∈R|0＜x≤2}
D．{x∈R|0≤x≤2}
(2)設(shè)U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，則 UA＝________， UB＝________．
題后師說
求解補集的策略
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知全集U＝{x∈N|x≤6}，A＝{1，2，3，4}，則 UA＝(　　)
A．{1，5，6} B．{0，5，6}
C．{2，5，6} D．{1，2，3，4，5，6}
(2)
已知U＝{x|－3≤x<3}，A＝{x|－1≤x<3}，則圖中陰影部分表示的集合是(　　)
A．{x|－3≤x≤－1} B．{x|x<－3或x≥3}
C．{x|x≤0} D．{x|－3≤x<－1}
題型 2并、交、補的綜合運算
例2　已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x<1或x>5}．
(1)若全集U＝R，求A、( UA)；
(2)若全集U＝Z，求A∩( UB)．
題后師說
并、交、補運算的解題策略
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，4}，A＝{0，1，2}，B＝{－2，1，4}，則( UA)＝(　　)
A．{－2，4} B．{－2，1}
C．{－2，1，4} D．{－2，－1，1，4}
(2)集合A＝{x|14}，則集合A∪( RB)＝(　　)
A．R B．{x|2≤x<3}
C．{x|1題型 3與補集有關(guān)的參數(shù)值的求解
例3　設(shè)集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2一題多變　(1)本例將條件“( UA)＝ ”改為“( UA)”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？
(2)本例將條件“( UA)＝ ”改為“( UB)＝R”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？
題后師說
由集合的補集求參數(shù)的策略
跟蹤訓(xùn)練3　已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1} B．{a|a<1}
C．{a|a≥2} D．{a|a>2}
隨堂練習(xí)
1.已知集合A＝{1，4}，全集U＝{1，2，3，4，5}，則 UA＝(　　)
A． B．{1，3}
C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{－1，1，2，4}，那么陰影部分表示的集合為(　　)
A．{－1，4} B．{1，2，4}
C．{1，4} D．{－1，2，4}
3．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|x>3}，B＝{x|－2≤x≤5}，則( UA)＝(　　)
A．{x|3≤x≤5} B．{x|－2≤x<3}
C．{x|04．已知全集U＝{3，7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，則a＝________．
課堂小結(jié)
1.對集合中含參數(shù)的元素，要由條件先求出參數(shù)再作集合的運算．
2．集合是實數(shù)集的真子集時，其交、并、補運算要結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行．
3．有些較復(fù)雜的集合的運算可以先化簡再進(jìn)行．
第2課時　補集及綜合應(yīng)用
問題探究　提示：集合U是我們研究對象的全體，A U，B U，A＝ ，A＝U.其中集合A與集合B有一種“互補”的關(guān)系．
例1　解析：(1)借助數(shù)軸易得 UA＝{x∈R|0＜x≤2}．
故選C.
(2)方法一　在集合U中，因為x∈Z，則x的值為－5，－4，－3，3，4，5，
所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，B＝{－3，3，4}，
所以 UA＝{－5，－4，3，4}， UB＝{－5，－4，5}．
方法二　可用Venn圖表示：
則 UA＝{－5，－4，3，4}， UB＝{－5，－4，5}．
答案：(1)C　(2){－5，－4，3，4}　{－5，－4，5}
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)因為U＝{x∈N|x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，所以 UA＝{0，5，6}，故選B.
(2)由圖可得，所求為集合A關(guān)于全集U的補集 UA，則 UA＝{x|－3≤x<－1}．故選D.
答案：(1)B　(2)D
例2　解析：(1)由題意可得，A＝{x|x≤4或x>5}，
且 UA＝{x|x<－1或x>4}，則( UA)＝{x|x<－1或x>5}．
(2)根據(jù)題意，且U＝Z，則可得 UB＝{1，2，3，4，5}，
則A∩( UB)＝{1，2，3，4}．
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)因為U＝{－2，－1，0，1，2，4}，A＝{0，1，2}，B＝{－2，1，4}，所以 UA＝{－2，－1，4}，( UA)＝{－2，4}．故選A.
(2)由題意，集合B＝{x|x<2或x>4}，可得 RB＝{x|2≤x≤4}，又由A＝{x|1答案：(1)A　(2)C
例3　解析：由已知A＝{x|x≥－m}，
得 UA＝{x|x<－m}，
因為B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范圍是{m|m≥2}．
一題多變　解析：(1)由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)
所以－m>－2，解得m<2.
(2)由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：∵B＝{x|1又∵A＝{x|x∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥2}．故選C.
答案：C
[隨堂練習(xí)]
1．解析： UA＝{2，3，5}．故選C.
答案：C
2．解析：由題圖，陰影部分為( RA)而 RA＝{x|x<0或x>1}，且B＝{－1，1，2，4}，所以( RA)＝{－1，2，4}．故選D.
答案：D
3．解析：因為A＝{x|x>3}，故 UA＝{x|x≤3}，所以( UA)＝{x|－2≤x≤3}．故選D.
答案：D
4．解析：因為U＝{3，7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}， UA＝{5}，所以5∈U，3∈A，則，解得a＝4.
答案：41.4.1　充分條件與必要條件
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)理解充分條件、必要條件的概念．(2)會判斷充分條件、必要條件．
題型 1充分條件的判斷
【問題探究1】　
在如圖所示電路圖中，閉合開關(guān)K1是燈泡L亮的什么條件？
例1　指出下列各題中，p是q的什么條件，并說明原因．
(1)p：x>3，q：x>0；
(2)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0無實根；
(3)p：a>2且b>2，q：a＋b>4，ab>4.
題后師說
充分條件的3種判斷方法
跟蹤訓(xùn)練1　指出下列哪個命題中p是q的充分條件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
題型 2必要條件的判斷
【問題探究2】　
在如圖所示電路圖中，閉合開關(guān)K1是燈泡L亮的什么條件？
例2　指出下列各題中，p是q的什么條件，并說明原因．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)p：一元二次方程x2－2x＋c＝0有兩個實數(shù)根，q：c<0.
題后師說
必要條件的3種判斷方法
跟蹤訓(xùn)練2　指出下列哪些命題中p是q的必要條件？
(1)p：數(shù)a能被3整除，q：數(shù)a能被6整除；
(2)p：xy>0，q：x>0，y>0.
題型 3充分條件與必要條件的應(yīng)用
例3　已知p：－1一題多變　本例中條件不變，若p是q的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．
題后師說
利用充分條件、必要條件求參數(shù)范圍的一般步驟
跟蹤訓(xùn)練3　已知p：x>2，q：x>m.若p的一個充分不必要條件是q，則實數(shù)m的取值范圍是________．
隨堂練習(xí)
1.(多選)如果命題：p q是真命題，那么下列說法一定正確的是(　　)
A．p是q的充分條件 B．p是q的必要條件
C．q是p的必要條件 D．q是p的充分條件
2．設(shè)a∈R，則“a＝－1”是“a2＝1”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既是充分條件又是必要條件
D．既不充分也不必要條件
3．在△ABC中，“△ABC是鈍角三角形”是“∠A＋∠C<90°”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既是充分條件又是必要條件
D．既不充分也不必要條件
4．若“x>k”是“－3≤x<2”的必要不充分條件，則實數(shù)k的取值范圍是________．
課堂小結(jié)
1.對充分條件、必要條件概念理解．
2．充分條件、必要條件的判斷．
3．充分條件、必要條件的應(yīng)用．
1．4.1　充分條件與必要條件
問題探究1　提示：閉合開關(guān)K1或閉合開關(guān)K2，都可以使燈泡L亮；反之，若要燈泡L亮，不一定非要閉合開關(guān)K1.因此，閉合開關(guān)K1是燈泡L亮的充分不必要條件．
例1　解析：(1)x>3則x>0一定成立，即p q，qp；故p是q的充分不必要條件．
(2)∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0無實根，但1＋4m<0即m<－時不一定m<－2，∴p是q的充分不必要條件．
(3)由a>2且b>2 a＋b>4，ab>4，但a＋b>4，ab>4時，取a＝，b＝9，a>2且b>2不成立，∴p是q的充分不必要條件．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)在△ABC中，由大角對大邊知，∠B>∠C AC>AB，
所以p是q的充分條件．
(2)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分條件．
故(1)(2)命題中p是q的充分條件．
問題探究2　提示：閉合開關(guān)K1而不閉合開關(guān)K2，燈泡L不亮；反之，若要燈泡L亮，開關(guān)K1必須閉合，說明閉合開關(guān)K1是燈泡L亮的必要不充分條件．
例2　解析：(1)由于pq，q p，p是q的必要不充分條件．
(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0，因此，p是q的必要不充分條件．
(3)對于p，一元二次方程x2－2x＋c＝0有兩個實數(shù)根，則Δ＝4－4c≥0，c≤1，
所以p是q的必要不充分條件．
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)“數(shù)a能被6整除”能推出“數(shù)a能被3整除”，所以q p，所以p是q的必要條件．
(2)若x>0，y>0，則xy>0，故q p，
所以p是q的必要條件．
例3　解析：設(shè)A＝{x|－1可得，解之得m≥3，則實數(shù)m的取值范圍為m≥3.
一題多變　解析：當(dāng)m<－1時，1－m>3＋m，q：x∈ ，此時，p是q的必要條件，符合要求；
當(dāng)m≥－1時，由p是q的必要條件，
可得，解之得－1≤m<2，
綜上，實數(shù)m的取值范圍為m<2.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：由題意，在p：x>2，q：x>m中，p的一個充分不必要條件是q，∴m>2.
答案：m>2
[隨堂練習(xí)]
1．解析：因為命題“p q是真命題，所以p是q的充分條件，q是p的必要條件，故A、C正確，B、D錯誤．故選AC.
答案：AC
2．解析：由a2＝1，可得a＝±1，故“a＝－1”是“a2＝1”的充分不必要條件．故選A.
答案：A
3．解析：由∠A＋∠C<90°，得∠B>90°，可以推出△ABC是鈍角三角形，由△ABC是鈍角三角形，不能推出∠A＋∠C<90°，如∠A為鈍角，則∠A＋∠C>90°，所以“△ABC是鈍角三角形”是“∠A＋∠C<90°”的必要不充分條件．故選B.
答案：B
4．解析：根據(jù)題意，{x|－3≤x<2}是{x|x>k}的真子集，故可得k<－3.
答案：k<－31.4.2　充要條件
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)理解充要條件的意義．(2)會判斷一些簡單的充要條件問題．(3)能對充要條件進(jìn)行證明．
　
【問題探究】　
在如圖所示電路圖中，閉合開關(guān)K1是燈泡L亮的什么條件？
題型 1充要條件的判斷
例1　指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”)．
(1)p：x＝1，q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；
(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(4)p：a是自然數(shù)；q：a是正數(shù)．
題后師說
判定充要條件常用方法
跟蹤訓(xùn)練1　(1)三角形兩邊上的高相等是這個三角形為等腰三角形的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(多選)下列命題中為假命題的是(　　)
A．“x>4”是“x>5”的必要不充分條件
B．“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的既不充分也不必要條件
C．“關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”的充要條件是“Δ＝b2－4ac>0”
D．若集合A B，則“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件
題型 2充要條件的證明
例2　求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.
學(xué)霸筆記：有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件 結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論 條件”是證明命題的必要性．證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是證明充分性；二是證明必要性．
跟蹤訓(xùn)練2　求證：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.
題型 3充分不必要、必要不充分、充要條件的應(yīng)用
例3　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
一題多變　本例中p，q不變，是否存在實數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
題后師說
應(yīng)用充分不必要、必要不充分及充要條件
求參數(shù)值(范圍)的一般步驟
跟蹤訓(xùn)練3　請在①充分不必要條件；②必要不充分條件；③充要條件．這三個條件中任選一個補充在下面問題中的橫線部分．若問題中的a存在，求出a的取值范圍，若問題中的a不存在，請說明理由．
問題：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在實數(shù)a，使得x∈A是x∈B成立的________？
隨堂練習(xí)
1.“x∈Q”是“x∈N”的(　　)
A．必要不充分條件 B．充要條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．設(shè) “－1A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．已知a∈R，則“a2>4”是“a≥2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．若“不等式x－m<1成立”的充要條件為“x<2”，則實數(shù)m的值為________．
課堂小結(jié)
1.對充要條件概念的理解．
2．充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明．
3．充分不必要、必要不充分、充要條件的應(yīng)用．
1．4.2　充要條件
問題探究　提示：閉合開關(guān)K1可使燈泡L亮；而燈泡L亮，開關(guān)K1一定是閉合的．因此，閉合開關(guān)K1是燈泡L亮的充要條件．
例1　解析：(1)當(dāng)x＝1時，x－1＝成立；
當(dāng)x－1＝時，x＝1或x＝2.
∴p是q的充分不必要條件．
(2)∵－1≤x≤5 x≥－1且x≤5，
∴p是q的充要條件．
(3)由q：(x＋2)2≠y2，
得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，
故p是q的必要不充分條件．
(4)0是自然數(shù)，但0不是正數(shù)，故pD /q；又是正數(shù)，但不是自然數(shù)，故qD /p.故p是q的既不充分也不必要條件．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)當(dāng)三角形兩邊上的高相等時，由三角形面積公式可得這兩邊也相等，所以這個三角形為等腰三角形，當(dāng)三角形為等腰三角形時，同樣由三角形的面積公式可知，兩腰上的高相等，所以三角形兩邊上的高相等是這個三角形為等腰三角形的充要條件，故選C.
(2)“x>4”不能推出“x>5”，故充分性不成立；“x>5”則一定有“x>4”，故必要性成立，所以“x>4”是“x>5”的必要不充分條件，所以A正確；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分不必要條件，故B錯誤；“關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”的充要條件是“Δ＝b2－4ac≥0，故C錯誤；當(dāng)集合A＝B時，應(yīng)為充要條件，故D錯誤．故選BCD.
答案：(1)C　(2)BCD
例2　證明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩不相等的實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．
必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根，
∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，∴ac<0.
綜上可知，關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.
跟蹤訓(xùn)練2　證明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0時y＝0，函數(shù)圖象過原點．
②必要性：因為y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點，
所以x＝0時y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
綜上，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.
例3　解析：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因為p是q的必要不充分條件，
所以q是p的充分不必要條件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.又m>0，
所以實數(shù)m的取值范圍為{m|0一題多變　解析：因為p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要條件，則方程組無解．
故不存在實數(shù)m，使得p是q的充要條件．
跟蹤訓(xùn)練3　解析：選①，則A是B的真子集，則1－a≤0且1＋a≥4(兩等號不同時取)，
又a>0，解得a≥3，
∴存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}．
選②，則B是A的真子集，則1－a≥0且1＋a≤4(兩等號不同時取)，
又a>0，解得0∴存在a，a的取值集合M＝{a|0選③，則A＝B，則1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程組無解．
∴不存在滿足條件的a.
[隨堂練習(xí)]
1．解析：因為x∈Q不能推出x∈N，且x∈N可以推出x∈Q，所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分條件，故選A.
答案：A
2．解析：因為|x|<1 －1答案：A
3．解析：a2>4 a>2或a<－2，因此a2>4是a≥2的既不充分也不必要條件，故選D.
答案：D
4．解析：解不等式x－m<1得x答案：11.5.1　全稱量詞與存在量詞
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義．(2)理解存在量詞、存在量詞命題的定義．(3)會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假．
　
題型 1全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析
【問題探究1】　下列語句是命題嗎？比較(1)和(3)，(2)和(4)，它們之間有什么關(guān)系？
(1)2x＋1是整數(shù)；
(2)x能被2和3整除；
(3)對任意一個x∈Z，2x＋1是整數(shù)；
(4)至少有一個x∈Z，x能被2和3整除．
例1　判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題．
(1)存在x，使得x－2≤0；
(2)矩形的對角線互相垂直平分；
(3)三角形的兩邊之和大于第三邊；
(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)．
題后師說
判斷一個語句是全稱量詞命題
還是存在量詞命題的一般步驟
跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題，用量詞符號“ ”“ ”表示下列命題．
(1)自然數(shù)的平方大于零；
(2)存在一對整數(shù)x0，y0，使2x0＋4y0＝3；
(3)存在一個無理數(shù)，它的立方是有理數(shù)．
題型 2全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷
【問題探究2】　對于【問題探究1】中的(3)(4)，你能判斷真假嗎？
例2　判斷下列命題的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一個四邊形不是平行四邊形；
(3)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應(yīng)一點P；
(4) x∈N，x2>0.
題后師說
判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路
跟蹤訓(xùn)練2　(多選)下列命題中假命題是(　　)
A． x∈Z，x4≥1
＝3
C． x∈R，x2－x－1>0
D． x0∈N，|x0|≤0
題型 3根據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .若命題p：“ x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍．
一題多變　本例中的條件不變，若命題p改為q：“ x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．
題后師說
根據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)范圍的策略
跟蹤訓(xùn)練3　若命題“ x∈R，x2－4x＋a＝0”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．
隨堂練習(xí)
1.已知命題：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．a(chǎn)<4 B．a(chǎn)≤4
C．a(chǎn)>4 D．a(chǎn)≥4
2．下列語句不是存在量詞命題的是(　　)
A．至少有一個x，使x2＋x＋1＝0成立
B．有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)
C．存在x∈R，3x＋2是偶數(shù)
D．梯形有兩邊平行
3．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(　　)
A． x∈R，x2＋2x＋1>0
B．所有菱形的4條邊都相等
C．若2x為偶數(shù)，則x∈N
D．π是無理數(shù)
4．對每一個x1∈R，x2∈R，且x1課堂小結(jié)
1.對全稱量詞、全稱量詞命題、存在量詞、存在量詞命題概念的理解．
2．含量詞的命題的真假的判斷．
3．依據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)的范圍．
1．5.1　全稱量詞與存在量詞
問題探究1　提示：語句(1)(2)中含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷他們的真假，所以他們不是命題．語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“任意一個”對變量x進(jìn)行限定，從而使(3)成為可以判斷真假的語句，因此(3)是命題．語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個”對變量x的取值進(jìn)行限定，從而使(4)成為可以判斷真假的語句，因此(4)是命題．
例1　解析：(1)命題：“存在x，使得x－2≤0”中含有存在量詞“存在”，它是存在量詞命題；
(2)命題：“矩形的對角線互相垂直平分”省略了全稱量詞“所有”，它是全稱量詞命題；
(3)命題：“三角形的兩邊之和大于第三邊”省略了全稱量詞“所有”，它是全稱量詞命題；
(4)命題：“有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)”中含有存在量詞“有些”，它是存在量詞命題．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)全稱量詞命題， x∈N，x2>0.
(2)存在量詞命題， x0，y0∈Z，2x0＋4y0＝3.
(3)存在量詞命題， x0∈{無理數(shù)∈Q.
問題探究2　提示：(3)中，任意x∈Z，則2x為整數(shù)，所以2x＋1是整數(shù)，是真命題；(4)是真命題．
例2　解析：(1)因為－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命題．
(2)真命題，如梯形．
(3)由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點的對應(yīng)關(guān)系知，它是真命題．
(4)因為0∈N，02＝0，所以命題“ x∈N，x2>0”是假命題．
跟蹤訓(xùn)練2　解析：對于A，取x＝0，可知04<1，即A錯誤；
對于B，由＝3，可得x0＝±，顯然±不是有理數(shù)，即B錯誤；
對于C，因為在一元二次不等式x2－x－1>0中，Δ＝2＋4>0，所以該不等式存在解，不是恒成立，比如取x＝0時，不等式不成立，即C錯誤；
對于D，當(dāng)x0＝0時，|x0|≤0成立，即D正確．故選ABC.
答案：ABC
例3　解析：由于命題p：“ x∈B，x∈A”是真命題，
所以B A，B≠ ，
所以解得2≤m≤3.
一題多變　解析：q為真，則A
因為B≠ ，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
跟蹤訓(xùn)練3　解析：∵命題“ x∈R，x2－4x＋a＝0”為真命題，
∴方程x2－4x＋a＝0存在實數(shù)根，
則Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
即實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤4}．
[隨堂練習(xí)]
1．解析：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，故Δ＝16－4a≥0，解得：a≤4.
答案：B
2．解析：對于A，至少有一個x，使x2＋x＋1＝0成立，有存在量詞“至少有一個”，是存在量詞命題；對于B，有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)，有存在量詞“有的”，是存在量詞命題；對于C，存在x∈R，3x＋2是偶數(shù)，有存在量詞“存在”，是存在量詞命題；對于D，梯形有兩邊平行，為梯形幾何性質(zhì)，省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題．故選D.
答案：D
3．解析：四個選項中AB是全稱量詞命題，對于A： x∈R，x2＋2x＋1>0，當(dāng)x＝－1時，不成立，為假命題．對于B：根據(jù)菱形定義知：所有菱形的4條邊都相等，為真命題．故選B.
答案：B
4．解析：含有全稱量詞“每一個”，是全稱量詞命題，令x1＝－1，x2＝0，則，故此命題是假命題．
答案：全稱　假1.5.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】　(1)能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定．(2)能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定．
題型 1全稱量詞命題的否定
【問題探究1】　寫出下列命題的否定：
(1)所有的矩形都是平行四邊形；
(2)每一個素數(shù)都是奇數(shù)；
(3) x∈R，x＋|x|≥0.
它們與原命題在形式上有什么變化？
例1　寫出下列全稱量詞命題的否定，并判斷所得命題真假．
(1)所有的矩形都是平行四邊形；
(2)三角形的兩邊之和大于第三邊；
(3) m>0，方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根．
學(xué)霸筆記：(1)全稱量詞命題： x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)．
(2)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題時，對省略全稱量詞的全稱量詞命題可補上量詞后進(jìn)行否定．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)命題p：所有的等邊三角形都是等腰三角形，則p的否定為(　　)
A．所有的等邊三角形都不是等腰三角形
B．有的等邊三角形不是等腰三角形
C．有的等腰三角形不是等邊三角形
D．不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形
(2)若命題p： x∈R，x2>0，則命題p的否定是(　　)
A． x∈R，x2≤0 B． x∈R，x2≤0
C． x∈R，x2>0 D． x R，x2≤0
(3)若命題p： x>0，x2＋x－1>0，則p的否定形式為________________．
題型 2存在量詞命題的否定
【問題探究2】　寫出下列命題的否定：
(1)存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)；
(2)有些平行四邊形是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3＝0.
它們與原命題在形式上有什么變化？
例2　寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷所得命題真假．
(1)實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)；
(2)矩形的對角線相等；
(3) x∈R，x2＋1<0.
學(xué)霸筆記：(1)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞，即 x∈M，p(x)，它的否定： x∈M， p(x)．
(2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，對省略存在量詞的存在量詞命題可補上量詞后進(jìn)行否定．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)命題“存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°”的否定形式是(　　)
A．任何一個三角形，它的內(nèi)角和不大于180°
B．存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180°
C．任何一個三角形，它的內(nèi)角和不小于180°
D．存在一個三角形，它的內(nèi)角和不小于180°
(2)命題“ x≥3，x2－2x＋3<0”的否定是(　　)
A． x≥3，x2－2x＋3>0
B． x≥3，x2－2x＋3≥0
C． x<3，x2－2x＋3≥0
D． x<3，x2－2x＋3≥0
(3)命題“ x∈R，x2＋1>3x”的否定是________________．
題型 3含有量詞命題的否定的應(yīng)用
例3　若“ x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命題，求實數(shù)m的取值范圍．
學(xué)霸筆記：(1)命題和它的否定的真假性只能一真一假，解決問題時可以相互轉(zhuǎn)化．
(2)求參數(shù)范圍問題，通常根據(jù)有關(guān)全稱量詞和存在量詞命題的意義列不等式求范圍．
跟蹤訓(xùn)練3　命題“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．
隨堂練習(xí)
1.命題“對任意一個實數(shù)x，都有3x＋5≥0”的否定是(　　)
A．存在實數(shù)x，使得3x＋5<0
B．對任意一個實數(shù)x，都有3x＋5≤0
C．存在實數(shù)x，使得3x＋5≤0
D．對任意一個實數(shù)x，都有3x＋5<0
2．命題“ x∈R，x2≠1”的否定是(　　)
A． x∈R，x2＝1 B． x R，x2＝1
C． x∈R，x2＝1 D． x R，x2＝1
3．下列說法正確的是(　　)
A．命題“ n∈N，n∈Z”是假命題
B．命題“ n∈N，n∈Z”的否定是“ n∈N，n∈Z”
C．命題“ x∈R，x－1<0”是真命題
D．命題“ x∈R，x－1<0”的否定是“ x∈R，x－1>0”
4．用符號語言表示命題：對于所有的正實數(shù)x，滿足x2－x＋1＝0：________________；該命題的否定為：________________．
課堂小結(jié)
1.全稱量詞命題、存在量詞命題的否定．
2．含量詞命題的否定的應(yīng)用．
1．5.2　全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
問題探究1　提示：上面三個命題都是全稱量詞命題，即具有“ x∈M，p(x)”的形式．其中命題(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四邊形”，也就是說，存在一個矩形不是平行四邊形；命題(2)的否定是“并非每一個素數(shù)都是奇數(shù)”，也就是說，存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；命題(3)的否定是“并非所有的x∈R，x＋|x|≥0”，也就是說， x∈R，x＋|x|<0.從命題形式看，這三個全稱量詞命題的否定都變成了存在量詞命題．
例1　解析：(1)命題的否定：有些矩形不是平行四邊形．它為假命題．
(2)“三角形的兩邊之和大于第三邊”可改寫為“任意三角形的兩邊之和都大于第三邊”，故它的否定是“存在一個三角形的兩邊之和不大于第三邊”．它為假命題．
(3)命題的否定： m>0，方程x2＋x－m＝0沒有實數(shù)根．它為假命題．
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題p的否定為：有的等邊三角形不是等腰三角形．故選B.
(2)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，命題p的否定是： x∈R，x2≤0.故選B.
(3)根據(jù)全稱量詞命題的否定形式，命題p： x>0，x2＋x－1>0的否定為： x>0，x2＋x－1≤0.
答案：(1)B　(2)B　(3) x>0，x2＋x－1≤0
問題探究2　提示：這三個命題都是存在量詞命題，即具有“ x∈M，p(x)”的形式．其中命題(1)的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，也就是說，所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)；命題(2)的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，也就是說，每一個平行四邊形都不是菱形；命題(3)的否定是“不存在x∈R，x2－2x＋3＝0”，也就是說， x∈R，x2－2x＋3≠0.從命題形式看，這三個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題．
例2　解析：(1)命題“實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)”可改寫成“所有實數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)”，所以它的否定為“存在一個實數(shù)，它的絕對值不是非負(fù)數(shù)”．它為假命題；
(2)命題“矩形的對角線相等”可改寫成“所有矩形的對角線都相等”，所以它的否定為“存在一個矩形，它的對角線不相等”．它為假命題；
(3)命題的否定是“ x∈R，x2＋1≥0”．它為真命題．
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)由題意得“存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°”的否定是“任何一個三角形，它的內(nèi)角和不小于180°”，故選C.
(2)因為命題“ x≥3，x2－2x＋3<0”為存在量詞命題，所以其否定為： x≥3，x2－2x＋3≥0.故選B.
(3)“ x∈R，x2＋1>3x”的否定是 x∈R，x2＋1≤3x.
答案：(1)C　(2)B　(3) x∈R，x2＋1≤3x
例3　解析：因為“ x∈R，x2＋2x＋2＝m”的否定是假命題，
所以“ x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命題，
因此關(guān)于x的方程x2＋2x＋2－m＝0有實根，
所以Δ＝22－4×1×(2－m)≥0，解得m≥1.
因此實數(shù)m的取值范圍是{m|m≥1}．
跟蹤訓(xùn)練3　解析：因為命題“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命題，
所以此命題的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命題，
因為對任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.
所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}．
[隨堂練習(xí)]
1．解析：命題“對任意一個實數(shù)x，都有3x＋5≥0”的否定是：存在實數(shù)x，使得3x＋5<0.故選A.
答案：A
2．解析：根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，可知命題“ x∈R，x2≠1”的否定是“ x∈R，x2＝1”．故選A.
答案：A
3．解析：A選項，自然數(shù)都是整數(shù)，所以命題“ n∈N，n∈Z”是真命題，A選項錯誤．
B選項，命題“ n∈N，n∈Z”的否定是“ n∈N，n Z”，B選項錯誤．
C選項，當(dāng)x＝0時，x－1＝－1<0，所以“ x∈R，x－1<0”是真命題，C選項正確．
D選項，命題“ x∈R，x－1<0”的否定是“ x∈R，x－1≥0”，D選項錯誤．故選C.
答案：C
4．解析：用符號語言表示原命題為： x>0，x2－x＋1＝0，該命題的否定為： x>0，x2－x＋1≠0.
答案： x>0，x2－x＋1＝0　 x>0，x2－x＋1≠0第一章 章末復(fù)習(xí)課
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考點一　集合的基本概念
1．與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略：
(1)確定集合中元素具有的屬性，即是數(shù)集還是點集．
(2)看元素是否具有相應(yīng)的限制條件．
(3)根據(jù)限制條件確定參數(shù)的值或元素的個數(shù)時，注意對元素互異性的檢驗．
2．通過對集合基本概念的理解和應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例1　(1)已知集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}，則M中元素的個數(shù)為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．0
(2)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為(　　)
A．6 B．12
C．16 D．20
跟蹤訓(xùn)練1　(1)集合{x||x|＝2或x2－5x＋6＝0}中元素的個數(shù)為(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
(2)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，則M中所有元素之和為(　　)
A．3 B．1
C．－3 D．－1
考點二　集合間的關(guān)系
1．集合與集合間的關(guān)系是包含(真包含)和相等關(guān)系，判斷兩集合之間的關(guān)系，可從元素特征入手，并注意代表元素；應(yīng)用兩集合間的關(guān)系時注意對細(xì)節(jié)的把握，不要忽略掉特殊情況，如已知A B的情況下，不要忽略掉A＝ 的情況．
2．通過對集合間的關(guān)系的應(yīng)用，提升學(xué)生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)．
例2　(1)已知集合A滿足{1} A?{1，2，3，4}，這樣的集合A有(　　)個．
A．5　　　B．6 C．7　　　D．8
(2)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B A，則實數(shù)a的取值范圍為________．
跟蹤訓(xùn)練2　設(shè)集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，若A B，則a的取值范圍為(　　)
A．a(chǎn)≥4 B．－1≤a≤4
C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)≤－1
考點三　集合的運算
1．集合的運算有交(、并(、補( UA)這三種常見的運算，它是本章核心內(nèi)容之一，在進(jìn)行集合的交集、并集、補集運算時，往往由于運算能力差或考慮不全面而極易出錯，此時，數(shù)軸分析法(或Venn圖)是個好幫手，能將復(fù)雜問題直觀化，是數(shù)形結(jié)合思想具體應(yīng)用之一．在具體應(yīng)用時要注意端點值是否符合題意，以免增解或漏解．
2．通過對集合運算的掌握，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例3　已知全集U＝R，集合A＝{x|0(1)若m＝，求B∩( UA)；
(2)若A＝B，求實數(shù)m的取值范圍．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)設(shè)集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A＝{2}，則A＝(　　)
A．{0，2} B．{0，5}
C．{0，2，2，5} D．{0，2，5}
(2)已知集合A＝{x|－3A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|a>－3} D．{a|a≤－3}
考點四　充分條件與必要條件
1．充要條件是數(shù)學(xué)中較為重要的一個概念，在高考中經(jīng)常有所考查，以數(shù)學(xué)的其他知識為載體，考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷或?qū)で蟪湟獥l件的成立性．
2．通過對充分條件與必要條件的掌握，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例4　已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1，a∈R}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
跟蹤訓(xùn)練4　設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<5}，非空集合B＝{x|2≤x≤1＋2a}，其中a∈R.若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍．
考點五　全稱量詞命題與存在量詞命題
1．解題策略：
(1)全稱量詞命題的真假判定：要判定一個全稱量詞命題為真，必須對限定集合M中每一個x驗證p(x)成立，一般用代數(shù)推理的方法加以證明．要判定一個全稱量詞命題為假，只需舉出一個反例即可．
(2)存在量詞命題的真假判定：要判定一個存在量詞命題為真，只要在限定集合M中，能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可．否則，這一存在量詞命題為假．
(3)已知含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍，實質(zhì)上是對命題意義的考查．解決此類問題，一定要辨清參數(shù)，合理選取主元，確定解題思路，利用函數(shù)、方程、不等式等知識求解參數(shù)的取值范圍．解題過程中要注意相關(guān)條件的限制．
2．通過對全稱量詞命題與存在量詞命題的掌握，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
例5　(1)命題“ x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是(　　)
A． x≤2，x2＋2x－8≤0
B． x>2，x2＋2x－8>0
C． x≤2，x2＋2x－8>0
D． x>2，x2＋2x－8>0
(2)命題“ x∈R，x<1或x>2”的否定是________________．
跟蹤訓(xùn)練5　(1)命題“有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根是正整數(shù)”的否定是______________________．
(2)已知命題p： x∈R，|x＋3|>0，則 p是________命題．(填“真”或“假”)
章末復(fù)習(xí)課
考點聚焦·分類突破
例1　解析：(1)集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}＝{(1，1)}，M中只有1個元素．故選A.
(2)B中元素：
x＝1，y＝2，3，4，5，即：(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)
x＝2，y＝1，3，4，5，即：(2，1)、(2，3)、(2，4)、(2，5)
x＝3，y＝1，2，4，5，即：(3，1)、(3，2)、(3，4)、(3，5)
x＝4，y＝1，2，3，5，即：(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，5)
x＝5，y＝1，2，3，4，即：(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)
所以B中元素共有20個．故選D.
答案：(1)A　(2)D
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)|x|＝2，解得x＝±2，x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.所以由集合元素的互異性可知集合為{－2，2，3}，元素個數(shù)為3.故選C.
(2)若a＝1，則2a－1＝1，矛盾；若2a－1＝1，則a＝1，矛盾，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，元素之和為－3，故選C.
答案：(1)C　(2)C
例2　解析：(1)由題得集合A＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}．故選C.
(2)用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如圖所示，
或
要使B A，只需a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.所以實數(shù)a的取值范圍為{a|a<－8或a≥3}．
答案：(1)C　(2){a|a<－8或a≥3}
跟蹤訓(xùn)練2　解析：因為集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，A B，所以a≤－1.故選D.
答案：D
例3　解析：(1)若m＝，則B＝{x|－因為U＝R，A＝{x|0所以B∩( UA)＝{x|－(2)若A＝B，則A B，
需滿足，解得0≤m≤1，所以實數(shù)m的取值范圍為{m|0≤m≤1}．
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)A＝{2}，則2∈A，2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，則b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，于是有A＝{0，2，5}．故選D.
(2)由集合A＝{x|－3－3，∴實數(shù)a的取值范圍為{a|a>－3}．故選C.
答案：(1)D　(2)C
例4　解析：(1)當(dāng)a＝3時，P＝{x|4≤x≤7}，Q＝{x|－2≤x≤5}，
則 RP＝{x|x<4，或x>7}，( RP)＝{x|－2≤x<4}．
(2)由題意得P是Q的真子集，
當(dāng)P是空集時，
a＋1>2a＋1，解得a<0；
當(dāng)P是非空集合時，
則且a＋1＝－2與2a＋1＝5不同時成立，
解得0≤a≤2，
故a的取值范圍是{a|a≤2}．
跟蹤訓(xùn)練4　解析：若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，則B A，
又集合B為非空集合，故有解得≤a<2，
所以a的取值范圍{a}．
例5　解析：(1)命題“ x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是： x≤2，x2＋2x－8≤0.故選A.
(2)“ x∈R，x<1或x>2”的否定是“ x∈R，1≤x≤2”．
答案：(1)A　(2) x∈R，1≤x≤2
跟蹤訓(xùn)練5　解析：(1)命題“有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根是正整數(shù)”的否定是：“所有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根不是正整數(shù)”．
(2)命題p： x∈R，|x＋3|>0，則 p： x∈R，|x＋3|≤0，則 x＝－3，使得|－3＋3|＝0≤0成立，所以 p是真命題．
答案：(1)所有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根不是正整數(shù)　(2)真

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