資源簡介

專題十二 概率統計
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標1卷 9 樣本的數字特征 樣本的平均值、中位數、標準差、極差
21 獨立事件的概率、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列與數字特征 求獨立事件的概率、互斥事件的概率、求離散型隨機變量的期望（概率與數列的綜合應用）
2023新課標2卷 3 隨機抽樣 分層抽樣
12 獨立事件的概率 求獨立事件的概率
19 頻率分布直方圖、概率與函數的綜合應用 利用頻率分布直方圖求概率、概率與函數的綜合應用
2022新高考1卷 5 古典概型 古典概型及其計算
20 獨立性檢驗、條件概率 獨立性檢驗、條件概率的計算、新定義問題
2022新高考2卷 13 正態分布 正態分布求概率
19 概率統計的綜合應用 頻率分布直方圖、求對立事件的概率、求條件概率
2021新高考1卷 8 獨立事件 獨立事件的判斷
9 樣本的數字特征 求樣本的平均數、中位數、標準差、極差
18 離散型隨機變量的分布列、期望 求離散型隨機變量的分布列及期望并作出決策
2021新高考2卷 6 正態分布 求正態分布的概率
9 樣本的數字特征 研究樣本數據的離散程度與集中趨勢
21 離散型隨機變量的期望 求離散型隨機變量的期望、及期望的范圍問題及期望的實際意義
2020新高考1卷 6 事件間的關系 事件間的關系及運算
19 古典概型、獨立性檢驗 古典概型的概率計算、獨立性檢驗
2020新高考2卷 9 統計圖表 折線圖中的數據分析
19 古典概型、獨立性檢驗 古典概型的概率計算、獨立性檢驗
【2023年真題】
1.（2023·新課標II卷 第3題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
2. （2023·新課標I卷 第9題）（多選）一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則( )
A. 的平均數等于的平均數
B. 的中位數等于的中位數
C. 的標準差不小于的標準差
D. 的極差不大于的極差
3.（2023·新課標II卷 第12題）（多選）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次;三次傳輸是指每個信號重復發送3次收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為
A. 采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B. 采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C. 采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D. 當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
4. （2023·新課標I卷 第21題）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為
求第2次投籃的人是乙的概率.
求第i次投籃的人是甲的概率.
已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，，n，則記前n次即從第1次到第n次投籃中甲投籃的次數為Y，求
5.（2023·新課標II卷 第19題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為假設數據在組內均勻分布.以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.
當漏診率時，求臨界值c和誤診率；
設函數當時，求的解析式，并求在區間的最小值.
【2022年真題】
6.（2022·新高考I卷 第5題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為( )
A. B. C. D.
7.（2022·新高考II卷 第13題）隨機變量X服從正態分布，若，則__________.
8.（2022·新高考I卷 第20題）一支醫療團隊研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣衛生習慣分為良好和不夠良好兩類的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例稱為病例組，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人稱為對照組，得到如下數據：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
能否有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異
從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為
證明：
利用該調查數據，給出，的估計值，并利用的結果給出R的估計值.
附：，
k
9.（2022·新高考II卷 第19題）在某地區進行某種疾病調查，隨機調查了100位這種疾病患者的年齡，得到如下樣
本數據頻率分布直方圖.
估計該地區這種疾病患者的平均年齡同一組數據用該區間的中點值作代表
估計該地區以為這種疾病患者年齡位于區間的概率;
已知該地區這種疾病患者的患病率為，該地區年齡位于區間的人口數占該地區總人口數的，從該地區選出1人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率精確到
【2021年真題】
10.（2021·新高考I卷 第8題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球、甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則( )
A. 甲與丙相互獨立 B. 甲與丁相互獨立 C. 乙與丙相互獨立 D. 丙與丁相互獨立
11.（2021·新高考II卷 第6題）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是( )
A. 越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B. 越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為
C. 越小，該物理量在一次測量中小于與大于的概率相等
D. 越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
12.（2021·新高考I卷 第9題）（多選）有一組樣本數據，由這組數據得到新樣本數據，其中，c為非零常數，則
A. 兩組樣本數據的樣本平均數相同 B. 兩組樣本數據的樣本中位數相同
C. 兩組樣本數據的樣本標準差相同 D. 兩組樣本數據的樣本極差相同
13.（2021·新高考II卷 第9題）（多選）下列統計量中，能度量樣本的離散程度的是( )
A. 樣本的標準差 B. 樣本的中位數
C. 樣本的極差 D. 樣本的平均數
14.（2021·新高考I卷 第18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。
已知小明能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．
若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．
【答案】
15.（2021·新高考II卷 第21題）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，
已知，求；
設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；
根據你的理解說明問結論的實際含義．
【2020年真題】
16.（2020·新高考I卷 第5題、II卷 第5題）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有的學生喜歡足球或游泳，的學生喜歡足球，的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例為( )
A. B. C. D.
17.（2020·新高考II卷 第9題）（多選）我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是( )
A. 這11天復工指數和復產指數均逐日增加
B. 這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量
C. 第3天至第11天復工復產指數均超過
D. 第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量
18.（2020·新高考I卷 第19題、II卷 第19題）為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的和濃度單位：，得下表：
估計事件“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；
根據所給數據，完成下面的列聯表：
根據中的列聯表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？
附：
k
【答案解析】
1.（2023·新課標II卷 第3題）
解：結合題意初中部和高中部所占的比例為，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽樣結果為 種，故選
2. （2023·新課標I卷 第9題）（多選）
解：對于A：不妨令，
則
故A錯誤；
對于不妨令，則的中位數是；
因為是最小值，是最大值，
故的中位數依然是；故B正確；
對于C：不妨令
則的標準差，
的標準差，故C錯誤；
對于D：設中最小值為，最大值為，則，
則，故D正確；
故選
3.（2023·新課標II卷 第12題）（多選）
解：根據相互獨立事件的概率乘法原理知：采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為，故A對.
B.根據相互獨立事件的概率乘法原理知三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為為，故B對.
C.采用三次傳輸方案，若發送1，譯碼為則收到1的情況有2種，
個個
個
故概率為，故C錯.
D.三次傳輸方案譯碼為0的概率：
單次傳輸方案譯碼為0的概率：，作差
，
，即，故D對.
故選：
4. （2023·新課標I卷 第21題）
解：第二次是乙投籃的概率為
第i次是乙投籃的概率為，，
且
則
故，
則，
當時，
，，
綜上，，
5.（2023·新課標II卷 第19題）
解：因為
依據“患病者”的頻率分布直方圖得，
依據“未患病者”的頻率分布直方圖得
當時，
當時，
故
所以在區間的最小值為：
6.（2022·新高考I卷 第5題）
解：由題可知，總的取法有
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，共種，
互質的數對情況有，，，，，，，，，，，，，共14個，
所以兩個數互質的概率為
7.（2022·新高考II卷 第13題）
解：由題意可知，，故
8.（2022·新高考I卷 第20題）
解：得到列聯表如下：
不夠良好 良好 總計
病例組 40 60 100
對照組 10 90 100
總計 50 150 200
，
有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異;
證明：，，
，，
又，，，
，
，
，，，
，
，
，
即，，R的估計值為
9.（2022·新高考II卷 第19題）
解：平均年齡歲
設一人患這種疾病的年齡在區間，則
設任選一人年齡位于區間任選一人患這種疾病，
則由條件概率公式，得
10.（2021·新高考I卷 第8題）
解：由題意可知，兩次取出的球的數字之和為8的所有可能為：
，，，，，
兩次取出的球的數字之和為7的所有可能為：
，，，，，
可得甲、乙、丙、丁事件發生的概率為：
甲，乙，丙，丁，
又甲丙，甲丁，乙丙，丙丁
所以甲丁甲丁，
故選：B.
11.（2021·新高考II卷 第6題）
解：對于A，為數據的方差，所以越小，數據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；
對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；
對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.
故選
12.（2021·新高考I卷 第9題）（多選）
解：假設，
對于由樣本平均數定義，A錯誤;
對于由中位數定義，兩組樣本數據樣本中位數不相同， B錯誤;
對于由樣本標準差定義 ，可得兩組樣本數據樣本標準差相同，C正確;
對于由樣本極差定義，第一組數據樣本極差，第二組樣本數據極差， D正確;
故答案為：
13.（2021·新高考II卷 第9題）（多選）
解：由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；
由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；
由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；
由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢；
故選
14.（2021·新高考I卷 第18題）
解：根據條件可知：若小明先回答A類問題，則小明的累計得分X的可能值為0，20，100，
小明能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B類問題的概率為，
；；，
則X的分布列為
X 0 20 100
P
若小明先回答B類問題，則小明的累計得分Y的可能值為0，80，100，
同理可求；；
則此時累計得分的期望值
又由可求得，當小明先回答A類問題時，累計得分的期望值，
，故為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B類問題.
15.（2021·新高考II卷 第21題）
設，
因為，故，
若，則，故
，
因為，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數，在上為減函數，
若，因為在為增函數且，
而當時，因為在上為減函數，故，
故1為的一個最小正實根，
若，因為且在上為減函數，故1為的一個最小正實根，
綜上，若，則
若，則，故
此時，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數，在上為減函數，
而，故，
又，故在存在一個零點p，且
所以p為的一個最小正實根，此時，
故當時，
意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數不超過1，則若干代后必然臨近滅絕，若繁殖后代的平均數超過1，則若干代后還有繼續繁殖的可能.
16.（2020·新高考I卷 第5題、II卷 第5題）
解：由題意可得如下所示韋恩圖：
所求比例為：，
故答案為：
故答案為：
17.（2020·新高考II卷 第9題）（多選）
解：由圖可知，這11天的復工指數和復產指數有增有減，故A錯；
由折線的變化程度可見這11天期間，復產指數增量小于復工指數的增量，故B錯誤；
第3天至第11天復工復產指數均超過，故C正確；
第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量，D正確；
故選：
18.（2020·新高考I卷 第19題、II卷 第19題）
解：用頻率估計概率，從而得到“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；
根據所給數據，可得下面的列聯表：
根據中的列聯表，
由，
，
故有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.
/專題十二 概率統計
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標1卷 9 樣本的數字特征 樣本的平均值、中位數、標準差、極差
21 獨立事件的概率、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列與數字特征 求獨立事件的概率、互斥事件的概率、求離散型隨機變量的期望（概率與數列的綜合應用）
2023新課標2卷 3 隨機抽樣 分層抽樣
12 獨立事件的概率 求獨立事件的概率
19 頻率分布直方圖、概率與函數的綜合應用 利用頻率分布直方圖求概率、概率與函數的綜合應用
2022新高考1卷 5 古典概型 古典概型及其計算
20 獨立性檢驗、條件概率 獨立性檢驗、條件概率的計算、新定義問題
2022新高考2卷 13 正態分布 正態分布求概率
19 概率統計的綜合應用 頻率分布直方圖、求對立事件的概率、求條件概率
2021新高考1卷 8 獨立事件 獨立事件的判斷
9 樣本的數字特征 求樣本的平均數、中位數、標準差、極差
18 離散型隨機變量的分布列、期望 求離散型隨機變量的分布列及期望并作出決策
2021新高考2卷 6 正態分布 求正態分布的概率
9 樣本的數字特征 研究樣本數據的離散程度與集中趨勢
21 離散型隨機變量的期望 求離散型隨機變量的期望、及期望的范圍問題及期望的實際意義
2020新高考1卷 6 事件間的關系 事件間的關系及運算
19 古典概型、獨立性檢驗 古典概型的概率計算、獨立性檢驗
2020新高考2卷 9 統計圖表 折線圖中的數據分析
19 古典概型、獨立性檢驗 古典概型的概率計算、獨立性檢驗
【2023年真題】
1.（2023·新課標II卷 第3題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400和200名學生，則不同的抽樣結果共有
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查比例分配的分層隨機抽樣方法的應用，考查組合數公式的應用，為基礎題.
【解答】
解：結合題意初中部和高中部所占的比例為，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽樣結果為 種，故選
2. （2023·新課標I卷 第9題）（多選）一組樣本數據，其中是最小值，是最大值，則( )
A. 的平均數等于的平均數
B. 的中位數等于的中位數
C. 的標準差不小于的標準差
D. 的極差不大于的極差
【答案】BD
【解析】
【分析】
本題考查樣本的數字特征，考查數學運算、數據分析能力，屬于基礎題.
A，C選項，通過取一組特殊值，即可判斷；B選項，設，即可明確兩組數據的中位數；D選項，設中最小值為，最大值為，即可得到
【解答】
解：對于A：不妨令，
則
故A錯誤；
對于不妨令，則的中位數是；
因為是最小值，是最大值，
故的中位數依然是；故B正確；
對于C：不妨令
則的標準差，
的標準差，故C錯誤；
對于D：設中最小值為，最大值為，則，
則，故D正確；
故選
3.（2023·新課標II卷 第12題）（多選）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次;三次傳輸是指每個信號重復發送3次收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為
A. 采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B. 采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C. 采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D. 當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本題考查相互獨立事件的概率乘法原理，屬于綜合題.
根據題設的信號傳遞的概率值利用相互獨立事件的概率乘法原理分別計算每種情況的概率即可求解.
【解答】
解：根據相互獨立事件的概率乘法原理知：采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為，故A對.
B.根據相互獨立事件的概率乘法原理知三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為為，故B對.
C.采用三次傳輸方案，若發送1，譯碼為則收到1的情況有2種，
個個
個
故概率為，故C錯.
D.三次傳輸方案譯碼為0的概率：
單次傳輸方案譯碼為0的概率：，作差
，
，即，故D對.
故選：
4. （2023·新課標I卷 第21題）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲，乙的概率各為
求第2次投籃的人是乙的概率.
求第i次投籃的人是甲的概率.
已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，，n，則記前n次即從第1次到第n次投籃中甲投籃的次數為Y，求
【答案】解：第二次是乙投籃的概率為
第i次是乙投籃的概率為，，
且
則
故，
則，
當時，
，，
綜上，，

【解析】本題主要考查了全概率公式，構造等比數列和等比數列前n項和公式以及求兩點分布的期望，屬于較難題.
根據題意直接運用全概率公式即可得出結論;
由題意可得甲第i次投籃的概率為則第i次是乙投籃的概率為，再根據題意列出關于的遞推關系，運用配湊法可得出，通過化簡即可求出
由隨機變量服從兩點分布，則根據公式即可求出
5.（2023·新課標II卷 第19題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為假設數據在組內均勻分布.以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.
當漏診率時，求臨界值c和誤診率；
設函數當時，求的解析式，并求在區間的最小值.
【答案】解：因為
依據“患病者”的頻率分布直方圖得，
依據“未患病者”的頻率分布直方圖得
當時，
當時，
故
所以在區間的最小值為：
【解析】
本題問考察了頻率分布直方圖頻率的簡單計算，問需結合分段函數解決概率統計的問題.
依據題意理解漏診率即“患病者”的頻率分布直方圖中小于c的各小矩形部分面積，觀察到，故，即可求同理誤診率即“未患病者”的頻率分布直方圖中大于c的各小矩形部分面積，即可求
要求，觀察到在區間和區間小矩形高度不同，故分段考慮分別列式.得時，，時，再利用函數的單調性得到在區間的最小值.
【2022年真題】
6.（2022·新高考I卷 第5題）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查了古典概型及其計算，屬于基礎題.
利用列舉法求出總的取法與滿足條件的取法，再由古典概型的概率計算公式計算即可.
【解答】
解：由題可知，總的取法有
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，共種，
互質的數對情況有，，，，，，，，，，，，，共14個，
所以兩個數互質的概率為
7.（2022·新高考II卷 第13題）隨機變量X服從正態分布，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了正態分布的意義，正態曲線的對稱性及其應用.
【解答】
解：由題意可知，，故
8.（2022·新高考I卷 第20題）一支醫療團隊研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣衛生習慣分為良好和不夠良好兩類的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例稱為病例組，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人稱為對照組，得到如下數據：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
能否有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異
從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為
證明：
利用該調查數據，給出，的估計值，并利用的結果給出R的估計值.
附：，
k
【答案】
解：得到列聯表如下：
不夠良好 良好 總計
病例組 40 60 100
對照組 10 90 100
總計 50 150 200
，
有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異;
證明：，，
，，
又，，，
，
，
，，，
，
，
，
即，，R的估計值為
【解析】本題考查了獨立性檢驗和條件概率的計算，屬中檔題.
列出列聯表，計算求解即可；
利用條件概率的計算公式即可證明；
將數據代入公式即可求解.
9.（2022·新高考II卷 第19題）在某地區進行某種疾病調查，隨機調查了100位這種疾病患者的年齡，得到如下樣
本數據頻率分布直方圖.
估計該地區這種疾病患者的平均年齡同一組數據用該區間的中點值作代表
估計該地區以為這種疾病患者年齡位于區間的概率;
已知該地區這種疾病患者的患病率為，該地區年齡位于區間的人口數占該地區總人口數的，從該地區選出1人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率精確到
【答案】
解：平均年齡歲
設一人患這種疾病的年齡在區間，則
設任選一人年齡位于區間任選一人患這種疾病，
則由條件概率公式，得
【解析】本題考查了平均數，概率的求法，考查頻率分布直方圖、條件概率等知識.
【2021年真題】
10.（2021·新高考I卷 第8題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球、甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則( )
A. 甲與丙相互獨立 B. 甲與丁相互獨立 C. 乙與丙相互獨立 D. 丙與丁相互獨立
【答案】B
【解析】
【分析】
本題考查相互獨立事件的概念，屬于中檔題.
若，則A與B相互獨立，即可得答案.
【解答】
解：由題意可知，兩次取出的球的數字之和為8的所有可能為：
，，，，，
兩次取出的球的數字之和為7的所有可能為：
，，，，，
可得甲、乙、丙、丁事件發生的概率為：
甲，乙，丙，丁，
又甲丙，甲丁，乙丙，丙丁
所以甲丁甲丁，
故選：B.
11.（2021·新高考II卷 第6題）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是( )
A. 越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B. 越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為
C. 越小，該物理量在一次測量中小于與大于的概率相等
D. 越小，該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查了正態分布的相關知識，屬于中檔題.
由正態分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.
【解答】
解：對于A，為數據的方差，所以越小，數據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；
對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；
對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.
故選
12.（2021·新高考I卷 第9題）（多選）有一組樣本數據，由這組數據得到新樣本數據，其中，c為非零常數，則
A. 兩組樣本數據的樣本平均數相同 B. 兩組樣本數據的樣本中位數相同
C. 兩組樣本數據的樣本標準差相同 D. 兩組樣本數據的樣本極差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】
本題考查集中趨勢參數平均數、中位數及離散程度參數標準差、極差.
利用平均數、中位數、標準差、極差定義即可求解.
【解答】
解：假設，
對于由樣本平均數定義，A錯誤;
對于由中位數定義，兩組樣本數據樣本中位數不相同， B錯誤;
對于由樣本標準差定義 ，可得兩組樣本數據樣本標準差相同，C正確;
對于由樣本極差定義，第一組數據樣本極差，第二組樣本數據極差， D正確;
故答案為：
13.（2021·新高考II卷 第9題）（多選）下列統計量中，能度量樣本的離散程度的是( )
A. 樣本的標準差 B. 樣本的中位數
C. 樣本的極差 D. 樣本的平均數
【答案】AC
【解析】
【分析】
本題考查了離散程度與集中趨勢的相關知識，屬于基礎題.
判斷所給的選項哪些是考查數據的離散程度，哪些是考查數據的集中趨勢即可確定正確選項.
【解答】
解：由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；
由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；
由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；
由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢；
故選
14.（2021·新高考I卷 第18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分。
已知小明能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．
若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．
【答案】
解：根據條件可知：若小明先回答A類問題，則小明的累計得分X的可能值為0，20，100，
小明能正確回答A類問題的概率為，能正確回答B類問題的概率為，
；；，
則X的分布列為
X 0 20 100
P
若小明先回答B類問題，則小明的累計得分Y的可能值為0，80，100，
同理可求；；
則此時累計得分的期望值
又由可求得，當小明先回答A類問題時，累計得分的期望值，
，故為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B類問題.
【解析】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，相互獨立事件、對立事件的概率和求解辦法，考查用概率知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．
根據題意，列舉小明先回答A類問題累計得分X的可能值，由于每題答題結果相互獨立，根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到X取不同值的概率．
同的方法可求出小明先回答B類問題，小明的累計得分Y取的不同值以及對應概率值，再根據期望公式分別求出小明先回答A類問題和小明先回答B類問題的期望值，即可判斷出小明應先回答哪類問題．
15.（2021·新高考II卷 第21題）一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，
已知，求；
設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；
根據你的理解說明問結論的實際含義．
【答案】
設，
因為，故，
若，則，故
，
因為，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數，在上為減函數，
若，因為在為增函數且，
而當時，因為在上為減函數，故，
故1為的一個最小正實根，
若，因為且在上為減函數，故1為的一個最小正實根，
綜上，若，則
若，則，故
此時，，
故有兩個不同零點，且，
且時，；時，；
故在，上為增函數，在上為減函數，
而，故，
又，故在存在一個零點p，且
所以p為的一個最小正實根，此時，
故當時，
意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數不超過1，則若干代后必然臨近滅絕，若繁殖后代的平均數超過1，則若干代后還有繼續繁殖的可能.
【解析】本題是對離散型隨機變量和導數的綜合考查，屬于拔高題.
利用公式計算可得
利用導數討論函數的單調性，結合及極值點的范圍可得的最小正零點.
利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.
【2020年真題】
16.（2020·新高考I卷 第5題、II卷 第5題）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有的學生喜歡足球或游泳，的學生喜歡足球，的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查韋恩圖的應用，熟練掌握韋恩圖中各集合的關系是解題關鍵.
根據韋恩圖中集合的關系運算即可.
【解答】
解：由題意可得如下所示韋恩圖：
所求比例為：，
故答案為：
故答案為：
17.（2020·新高考II卷 第9題）（多選）我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是( )
A. 這11天復工指數和復產指數均逐日增加
B. 這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量
C. 第3天至第11天復工復產指數均超過
D. 第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量
【答案】CD
【解析】
【分析】
本題考查折線圖表示的函數的認知和理解，屬于基礎題．
通過復工和折線圖中都有遞減的部分來判斷A；根據第一天和第十一天兩者指數差的大小來判斷B；根據圖象結合復工復產指數的意義和增量的意義可判斷CD；
【解答】
解：由圖可知，這11天的復工指數和復產指數有增有減，故A錯；
由折線的變化程度可見這11天期間，復產指數增量小于復工指數的增量，故B錯誤；
第3天至第11天復工復產指數均超過，故C正確；
第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量，D正確；
故選：
18.（2020·新高考I卷 第19題、II卷 第19題）為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的和濃度單位：，得下表：
估計事件“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；
根據所給數據，完成下面的列聯表：
根據中的列聯表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？
附：
k
【答案】
解：用頻率估計概率，從而得到“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；
根據所給數據，可得下面的列聯表：
根據中的列聯表，
由，
，
故有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.
【解析】本題考查了獨立性檢驗的應用，用頻率估計概率，屬于基礎題．
用頻率估計概率，從而得到“該市一天空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；
根據題目所給的數據填寫列聯表即可；
計算，對照題目中的表格，得出統計結論．
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