資源簡介

專題十 平面解析幾何
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標(biāo)1卷 5 橢圓的性質(zhì) 已知橢圓離心率求參
6 直線與圓的位置關(guān)系 求過圓外一點作圓的兩條切線所成角
16 雙曲線的性質(zhì) 求雙曲線的離心率
22 拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系 求軌跡方程、四邊形的周長的最值問題（求弦長）
2023新課標(biāo)2卷 5 直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與橢圓相交時的面積問題
10 拋物線的方程與性質(zhì) 求拋物線的方程、焦點弦問題
15 直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓相交的弦長問題
21 雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求動點的軌跡
2022新高考1卷 11 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì) 拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系
14 圓與圓的位置關(guān)系 求兩圓的公切線方程
16 直線與橢圓位置關(guān)系 橢圓的定義的應(yīng)用、求橢圓中的弦長
21 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線位置關(guān)系 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、交線的斜率，三角形的面積
2022新高考2卷 3 直線的傾斜角與斜率 求直線的斜率
10 拋物線的定義與性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系 求交線的斜率、拋物線定義與性質(zhì)的應(yīng)用
15 直線與圓的位置關(guān)系 求直線方程、已知直線與圓的位置關(guān)系求參
16 直線與橢圓的位置關(guān)系 求與橢圓相交的直線方程
21 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求點的軌跡方程、判斷直線的位置關(guān)系
2021新高考1卷 5 橢圓的定義 求橢圓上的點到兩焦點距離積的最值
11 直線與圓的位置關(guān)系 求點到直線的距離、直線與圓相切的位置關(guān)系中的最值問題
14 拋物線的定義與性質(zhì) 求拋物線的準(zhǔn)線方程
21 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系 求點的軌跡方程、直線與雙曲線位置關(guān)系中的定值問題（斜率之和為定值）
2021新高考2卷 3 拋物線的性質(zhì)、點到直線的距離 求拋物線焦點坐標(biāo)
11 直線與圓的位置關(guān)系 判斷直線與圓的位置關(guān)系
13 雙曲線的性質(zhì) 求雙曲線的漸近線方程
20 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓的弦與圓相切時的弦長
2020新高考1卷 9 圓錐曲線的方程與性質(zhì) 由參數(shù)范圍判斷圓錐曲線的類型及相關(guān)性質(zhì)
13 直線與拋物線的位置關(guān)系 求拋物線的弦長
22 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系 求橢圓的方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定點問題
2020新高考2卷 10 圓錐曲線的方程與性質(zhì) 由參數(shù)范圍判斷圓錐曲線的類型及相關(guān)性質(zhì)
14 直線與拋物線的位置關(guān)系 求拋物線的弦長
【2023年真題】
1.（2023·新課標(biāo)I卷 第5題）設(shè)橢圓，的離心率分別為，若，則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查橢圓中離心率有關(guān)的計算，整體難度不大，利用關(guān)系建立方程求解即可.
【解答】
解：易得，，，得，解得故選
2. （2023·新課標(biāo)I卷 第6題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為則( )
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．
利用切線構(gòu)造直角三角形，由三角函數(shù)定義求出，，再利用二倍角正弦公式即可求解．
【解答】
解：，故圓心，記，設(shè)切點為M，
，，
故，，，
，故選B
3 （2023·新課標(biāo)II卷 第5題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，分別求出兩焦點到直線的距離，建立關(guān)系求解，為中檔題.
【解答】
解：到AB的距離，到AB距離，，，
，或，
又直線與橢圓相交，消y可得，，
，，選
4. （2023·新課標(biāo)II卷 第10題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則( )
A. B.
C. 以MN為直徑的圓與l相切 D. 為等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】
本題考查了直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.
利用直線過拋物線焦點，得出拋物線方程，再結(jié)合拋物線性質(zhì)，可逐項判斷.
【解答】
解：因為過拋物線的焦點，則焦點，，A選項正確；
拋物線，MN的傾斜角，，B選項錯誤；
以MN為直徑的圓一定與準(zhǔn)線相切，C選項正確；
聯(lián)立，解得，設(shè)，
，，，
所以不是等腰三角形，D選項錯誤；
故選：
5. （2023·新課標(biāo)I卷 第16題）已知雙曲線的左右焦點分別為，點A在C上，點B在y軸上，，，則C的離心率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
主要考查了雙曲線的定義以及性質(zhì)、余弦定理，向量共線的充要條件等.屬于一般題.
根據(jù)向量的關(guān)系設(shè)參數(shù)t 得到，，的關(guān)系，勾股定理得到
由雙曲線的定義得到，在中用余弦定理得到a 與c的關(guān)系.
【解答】
解：，設(shè)，
由對稱性知又，故，
由雙曲線的定義知，，故
在中，
解得：，故C的離心率為
6. （2023·新課標(biāo)II卷 第15題）已知直線與交于A、B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值__________
【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
設(shè)圓心到直線的距離為d，根據(jù)面積為，求得d的值，再根據(jù)點到直線的距離公式建立方程，即可求出m的值．
【解答】
解：由題知的圓心為，半徑為2，
設(shè)圓心到直線的距離為d，則，
于是，，得或，
若取，則，此時有，解得，
若取，則，此時有，解得，
故答案為：答案不唯一
7. （2023·新課標(biāo)I卷 第22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點的距離，記動點P的軌跡為
求W的方程；
已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于
【答案】解：設(shè)點P的坐標(biāo)為，由題意得，
整理，得，
故W的方程為：
設(shè)矩形的三個頂點，，在軌跡W上，且，，
令，，則，
設(shè)矩形的周長為C，由對稱性不妨設(shè)，，
則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
令
則
令得當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以，
所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
等號不能同時成立，所以
【解析】本題考查軌跡方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長的求解，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于壓軸題.
（1）設(shè)出點P的坐標(biāo)，由距離公式即可求解；
（2）由軌跡方程設(shè)出三點坐標(biāo)，由對稱性結(jié)合弦長公式表示出矩形的周長，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.
8. （2023·新課標(biāo)II卷 第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為
求C的方程：
記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，
M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上.
【答案】解：由題意可得，，
則，，
故C的方程為
設(shè)直線，，，
由知，
則，
聯(lián)立得：，
將代入得，
則，且，得
則有，；
代入式可得，
解得，
故點P在定直線上.
【解析】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的離心率、雙曲線的定直線問題，計算量較大，屬于較難題.
根據(jù)題意得出a，b的值，即可求出結(jié)果；
先設(shè)出直線，，，，，可得到，，聯(lián)立可得式.再將將代入雙曲線方程，由韋達定理可得，再結(jié)合式，即可得定直線.即可證明點P在定直線上.
【2022年真題】
9.（2022·新高考II卷 第3題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，，已知，，成公差為的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為，則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查等差數(shù)列、直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，比例的性質(zhì)，屬于中檔題.
【解答】
解：設(shè)，則，，
由題意得，，
且，
解得
10.（2022·新高考I卷 第11題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則( )
A. C的準(zhǔn)線為 B. 直線AB與C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本題考查了拋物線的方程，性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬較難題.
先求出拋物線的方程，然后再對選項ABCD一一進行分析判斷即可得.
【解答】
解：點在拋物線上，
即，所以準(zhǔn)線為，所以A錯;
直線代入，
得：，，
所以AB與C相切，故B正確.
由題知直線PQ的斜率一定存在，
則可設(shè)直線，，，
則，或，
此時，，
，故C正確;
，故D正確.
11.（2022·新高考II卷 第10題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線的焦點F的直線與C交于A，B兩點，點A在第一象限，點，若，則( )
A. 直線AB的斜率為 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本題考查了拋物線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題。
【解答】
解：選項設(shè)FM中點為N，則，所以
，所以，故
選項所以
所以
選項
選項由選項A，B知，，所以
，所以為鈍角;
又，所以為鈍角，
所以
12.（2022·新高考I卷 第14題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程__________.
【答案】或或填一條即可
【解析】
【分析】
本題考查了圓與圓的公切線問題，涉及圓與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離等知識，屬較難題.
方法設(shè)直線方程為，利用點到直線的距離公式可求出b與c的關(guān)系，然后再進行后面的求解可得.
方法求出兩圓間的位置關(guān)系，然后再利用數(shù)形結(jié)合進行求解可得.
【解答】
解：方法顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是化簡得①，
化簡得，，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可
方法設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點為，設(shè)過該點的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
13.（2022·新高考I卷 第16題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是__________.
【答案】13
【解析】
【分析】
本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用、橢圓的定義以及橢圓中的弦長問題，考查了運算求解能力，屬于中檔題.
根據(jù)可得，，，則：，：，解得交點M坐標(biāo)，直線DE垂直平分，即，，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可求得，即可求得的周長.
【解答】
解：由橢圓離心率為，可得，則，
則橢圓C：，，，，
易得：，：，
可解得與DE的交點，
故直線DE垂直平分，即，，
又，
，
所以的周長
14.（2022·新高考II卷 第15題）設(shè)點，，直線 AB關(guān)于直線的對稱直線為l，已知l與圓有公共點，則a的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查直線關(guān)于直線對稱的直線求法，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.
【解答】
解：因為，所以AB關(guān)于直線的對稱直線為，所以，整理可得解得
15.（2022·新高考II卷 第16題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸y軸分別相交于M，N兩點，且，，則直線l的方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了橢圓的中點弦問題，屬于偏難題。
【解答】
解：取AB的中點為E，因為，所以，設(shè)，
可得，即
設(shè)直線，，，
令，，令，，所以，
所以，，
，，所以直線，即
16.（2022·新高考I卷 第21題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為
求l的斜率；
若，求的面積．
【答案】
解：將點A代入雙曲線方程得，化簡得得：
，故雙曲線方程為
由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，則聯(lián)立直線與雙曲線得：
，，
故，，
，
化簡得：，
故，
即，而直線l不過A點，
故l的斜率
設(shè)直線AP的傾斜角為，由，得，
由，得，即，
聯(lián)立，及得，，
同理，，，
故，
而，，
由，得，
故
【解析】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線中面積問題，屬于較難題.
將點A代入雙曲線方程得，求得，則雙曲線方程為
由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)，代入雙曲線方程，得出關(guān)于x的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及斜率公式求出；
設(shè)直線AP的傾斜角為，由，求出P，Q的坐標(biāo)，而，，，即可求出面積.
17.（2022·新高考II卷 第21題）設(shè)雙曲線的右焦點為，漸近線方程為
求C的方程;
經(jīng)過F的直線與C的漸近線分別交于A，B兩點，點，在C上，且，過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M，從下面三個條件①②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立：①在AB上;②③
【答案】
解：由題意可得，，故，
因此C的方程為
設(shè)直線PQ的方程為，將直線PQ的方程代入C的方程得，
則，，
設(shè)點M的坐標(biāo)為，則
兩式相減，得，而，
故，解得
兩式相加，得，而，故，解得
因此，點M的軌跡為直線，其中k為直線PQ的斜率.
若選擇①②
設(shè)直線AB的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為
則，解得，
同理可得，
此時，
而點M的坐標(biāo)滿足，
解得，，
故M為AB的中點，即
若選擇①③
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，點M即為點，此時M不在直線上，矛盾.
故直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，
并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為
則，解得，
同理可得，
此時，
由于點M同時在直線上，故，解得因此
若選擇②③
設(shè)直線AB的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為
則解得，
同理可得，，
設(shè)AB的中點為，則，
由于，故M在AB的垂直平分線上，即點M在直線上.
將該直線與聯(lián)立，解得，，
即點M恰為AB中點，故點而在直線AB上.
【解析】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查開放探究能力，屬于壓軸題.
【2021年真題】
18.（2021· 新高考I卷 第5題）已知，是橢圓C：的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查橢圓的定義，橢圓中的最值問題，屬于一般題.
利用橢圓的定義，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化求解即可.
【解答】
解：由，是橢圓的兩個焦點，點M在C上，得
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即有最大值
故選
19.（2021·新高考II卷 第3題）拋物線的焦點到直線的距離為，則( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
本題考查了拋物線的基礎(chǔ)知識和點到直線的距離公式，題目較易.
首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得p的值.
【解答】
解：拋物線的焦點坐標(biāo)為，
其到直線的距離為，解得舍去
故選
20.（2021·新高考I卷 第11題）（多選）已知點P在圓上，點，，則( )
A. 點P到直線AB的距離小于10 B. 點P到直線AB的距離大于2
C. 當(dāng)最小時， D. 當(dāng)最大時，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本題考查點到直線的距離公式以及以及直線與圓相切的問題，屬于中檔題.
根據(jù)點和圓的距離范圍判斷AB，根據(jù)直線與圓相切判斷
【解答】
解：由點，，
可得直線AB的方程為
則圓心到直線的距離為，
故P到直線AB的最大距離為，最小距離，所以A正確，B錯誤.
由題意可知，當(dāng)直線PB與圓相切時，最大或最小，
由于圓心到B的距離為，
此時，故C，D都正確.
故選
21.（2021·新高考II卷 第11題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是( )
A. 若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B. 若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C. 若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D. 若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.
轉(zhuǎn)化點與圓、點與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.
【解答】
解：圓心到直線l的距離，
若點在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點在圓C內(nèi)，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯誤；
若點在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選
22.（2021·新高考I卷 第14題）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且若，則C的準(zhǔn)線方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題主要考查直線與拋物線的綜合問題，考查拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于中檔題.
根據(jù)題意設(shè)點P在第一象限，得出點P坐標(biāo)為，由于PF與x軸垂直，，得出∽，根據(jù)相似比得出p的值，從而得到答案.
【解答】
解：與x軸垂直，設(shè)點P在第一象限，
點P坐標(biāo)為，
又，∽，，
則，
，即，故，則準(zhǔn)線方程為，
故答案為
23.（2021·新高考II卷 第13題）已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了雙曲線離心率的應(yīng)用及漸近線的求解，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
由雙曲線離心率公式可得，再由漸近線方程即可得解.
【解答】
解：因為雙曲線的離心率為2，
所以，所以，
所以該雙曲線的漸近線方程為
故答案為：
24.（2021·新高考I卷 第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，，點M滿足記M的軌跡為
求C的方程；
設(shè)點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.
【答案】
解：由題意知點 M的軌跡 C是焦點在 x軸上的雙曲線的右支，且，，
，
的方程為
設(shè)，設(shè)直線AB的方程為，，，
由，得，
整理得，
，，
，
設(shè)，同理可得，
由，得，
，
，，，
【解析】本題考查雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于拔高題.
由題意知點M的軌跡C是焦點在x軸上的雙曲線的右支，且，，由此可求得曲線C的方程；
設(shè)，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式可求出，設(shè)，同理可表示出，再結(jié)合，可得出直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.
25.（2021·新高考II卷 第20題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為
求橢圓C的方程；
設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是
【答案】
解：由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
證明：由得，曲線為，
當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線，不滿足M，N，F(xiàn)三點共線；
當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點共線，可設(shè)直線即，
由直線MN與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，，
所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
設(shè)直線即，
由直線MN與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，，
所以，
所以
，
化簡得，所以，
所以或，
所以直線或，
所以直線MN過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；
所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是
【解析】本題考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應(yīng)用，注意運算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.
由離心率公式可得，進而可得，即可得解；
必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；
充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長公式可得，進而可得，即可得解.
【2020年真題】
26.（2020·新高考I卷 第9題、 II卷 第10題）（多選）已知曲線，則( )
A. 若，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B. 若，則C是圓，其半徑為
C. 若，則C是雙曲線，其漸近線方程為
D. 若，，則C是兩條直線
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本題考查圓錐曲線的相關(guān)概念，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.
根據(jù)m，n的范圍，結(jié)合橢圓、雙曲線、圓及直線的標(biāo)準(zhǔn)方程一一判斷即可.
【解答】
解：當(dāng)時，可化為，
若，則，故表示焦點在y軸的橢圓，故A正確；
若，可化為，表示圓心為原點，半徑為的圓，故B錯誤；
若，則C是雙曲線，令故其漸近線方程為，故C正確；
若，，可化為，即，表示兩條直線，故D正確.
故選
27.（2020·新高考I卷 第13題、II卷 第14題）斜率為的直線過拋物線的焦點，且與C交于A，B兩點，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線中的弦長問題，屬于基礎(chǔ)題.
先求出拋物線的焦點坐標(biāo)，從而求出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系從而可求得答案.
【解答】
解：拋物線的焦點為，
則直線AB的方程為，
聯(lián)立得，
所以，
從而 ，
故答案為：
28.（2020·新高考I卷 第22題）已知橢圓的離心率為，且過點
求C的方程;
點M，N在C上，且，，D為垂足.證明：存在定點Q，使得為定值.
【答案】
解：由題意可知，，，
解得，，
所以橢圓方程為
證明：設(shè)點，，
因為，所以，
所以，①
當(dāng)k存在的情況下，設(shè)，
聯(lián)立得，
由，得，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以，
，
代入①式化簡可得，
即，
所以或，
所以直線方程為或，
所以直線過定點或，
又因為和A點重合，故舍去，
所以直線過定點，
所以AE為定值，又因為為直角三角形，AE為斜邊，
所以AE中點Q滿足為定值，此時
【解析】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題.
根據(jù)條件列方程求解即可.
聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩直線的斜率之積為化簡即可證明.
29.（2020·新高考II卷 第21題）已知橢圓C：過點，點A為其左頂點，且AM的斜率為
求C的方程；
點N為橢圓上任意一點，求的面積的最大值．
【答案】
解：由題意可知直線AM的方程為：，即，
當(dāng)時，解得，所以，橢圓C：過點，
可得，解得，
所以C的方程：
設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時的面積取得最大值．
將與橢圓方程：聯(lián)立，
化簡可得：，
所以，
即，解得，
與AM距離比較遠的直線方程為：，
利用平行線之間的距離為：，
又，，所以
所以的面積的最大值：
【解析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，屬于拔高題．
利用已知條件求出a，然后求解b，得到橢圓方程．
設(shè)出與直線AM平行的直線方程，與橢圓聯(lián)立，利用判別式為0，求出橢圓的切線方程，然后求解三角形的最大值．
/專題十 平面解析幾何
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標(biāo)1卷 5 橢圓的性質(zhì) 已知橢圓離心率求參
6 直線與圓的位置關(guān)系 求過圓外一點作圓的兩條切線所成角
16 雙曲線的性質(zhì) 求雙曲線的離心率
22 拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系 求軌跡方程、四邊形的周長的最值問題（求弦長）
2023新課標(biāo)2卷 5 直線與橢圓的位置關(guān)系 直線與橢圓相交時的面積問題
10 拋物線的方程與性質(zhì) 求拋物線的方程、焦點弦問題
15 直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓相交的弦長問題
21 雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求動點的軌跡
2022新高考1卷 11 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì) 拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系
14 圓與圓的位置關(guān)系 求兩圓的公切線方程
16 直線與橢圓位置關(guān)系 橢圓的定義的應(yīng)用、求橢圓中的弦長
21 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線位置關(guān)系 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、交線的斜率，三角形的面積
2022新高考2卷 3 直線的傾斜角與斜率 求直線的斜率
10 拋物線的定義與性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系 求交線的斜率、拋物線定義與性質(zhì)的應(yīng)用
15 直線與圓的位置關(guān)系 求直線方程、已知直線與圓的位置關(guān)系求參
16 直線與橢圓的位置關(guān)系 求與橢圓相交的直線方程
21 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求點的軌跡方程、判斷直線的位置關(guān)系
2021新高考1卷 5 橢圓的定義 求橢圓上的點到兩焦點距離積的最值
11 直線與圓的位置關(guān)系 求點到直線的距離、直線與圓相切的位置關(guān)系中的最值問題
14 拋物線的定義與性質(zhì) 求拋物線的準(zhǔn)線方程
21 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系 求點的軌跡方程、直線與雙曲線位置關(guān)系中的定值問題（斜率之和為定值）
2021新高考2卷 3 拋物線的性質(zhì)、點到直線的距離 求拋物線焦點坐標(biāo)
11 直線與圓的位置關(guān)系 判斷直線與圓的位置關(guān)系
13 雙曲線的性質(zhì) 求雙曲線的漸近線方程
20 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓的弦與圓相切時的弦長
2020新高考1卷 9 圓錐曲線的方程與性質(zhì) 由參數(shù)范圍判斷圓錐曲線的類型及相關(guān)性質(zhì)
13 直線與拋物線的位置關(guān)系 求拋物線的弦長
22 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系 求橢圓的方程、直線與橢圓位置關(guān)系中的定點問題
2020新高考2卷 10 圓錐曲線的方程與性質(zhì) 由參數(shù)范圍判斷圓錐曲線的類型及相關(guān)性質(zhì)
14 直線與拋物線的位置關(guān)系 求拋物線的弦長
【2023年真題】
1.（2023·新課標(biāo)I卷 第5題）設(shè)橢圓，的離心率分別為，若，則( )
A. B. C. D.
2. （2023·新課標(biāo)I卷 第6題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為則( )
A. 1 B. C. D.
3 （2023·新課標(biāo)II卷 第5題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則( )
A. B. C. D.
4. （2023·新課標(biāo)II卷 第10題）（多選）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則( )
A. B.
C. 以MN為直徑的圓與l相切 D. 為等腰三角形
5. （2023·新課標(biāo)I卷 第16題）已知雙曲線的左右焦點分別為，點A在C上，點B在y軸上，，，則C的離心率為__________.
6. （2023·新課標(biāo)II卷 第15題）已知直線與交于A、B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值__________
7. （2023·新課標(biāo)I卷 第22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點的距離，記動點P的軌跡為
求W的方程；
已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于
8. （2023·新課標(biāo)II卷 第21題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為
求C的方程：
記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，
M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上.
【2022年真題】
9.（2022·新高考II卷 第3題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，，，，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中，，，是舉，，，，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，，，，已知，，成公差為的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為，則( )
A. B. C. D.
10.（2022·新高考I卷 第11題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則( )
A. C的準(zhǔn)線為 B. 直線AB與C相切
C. D.
11.（2022·新高考II卷 第10題）（多選）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線的焦點F的直線與C交于A，B兩點，點A在第一象限，點，若，則( )
A. 直線AB的斜率為 B.
C. D.
12.（2022·新高考I卷 第14題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程__________.
13.（2022·新高考I卷 第16題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是__________.
14.（2022·新高考II卷 第15題）設(shè)點，，直線 AB關(guān)于直線的對稱直線為l，已知l與圓有公共點，則a的取值范圍為__________.
15.（2022·新高考II卷 第16題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸y軸分別相交于M，N兩點，且，，則直線l的方程為__________.
16.（2022·新高考I卷 第21題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為
求l的斜率；
若，求的面積．
17.（2022·新高考II卷 第21題）設(shè)雙曲線的右焦點為，漸近線方程為
求C的方程;
經(jīng)過F的直線與C的漸近線分別交于A，B兩點，點，在C上，且，過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M，從下面三個條件①②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立：①在AB上;②③
【2021年真題】
18.（2021· 新高考I卷 第5題）已知，是橢圓C：的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為( )
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
19.（2021·新高考II卷 第3題）拋物線的焦點到直線的距離為，則( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
20.（2021·新高考I卷 第11題）（多選）已知點P在圓上，點，，則( )
A. 點P到直線AB的距離小于10 B. 點P到直線AB的距離大于2
C. 當(dāng)最小時， D. 當(dāng)最大時，
21.（2021·新高考II卷 第11題）（多選）已知直線與圓，點，則下列說法正確的是( )
A. 若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B. 若點A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C. 若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D. 若點A在直線l上，則直線l與圓C相切
22.（2021·新高考I卷 第14題）已知O為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且若，則C的準(zhǔn)線方程為__________.
23.（2021·新高考II卷 第13題）已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________.
24.（2021·新高考I卷 第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點，，點M滿足記M的軌跡為
求C的方程；
設(shè)點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.
25.（2021·新高考II卷 第20題）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為
求橢圓C的方程；
設(shè)M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是
【2020年真題】
26.（2020·新高考I卷 第9題、 II卷 第10題）（多選）已知曲線，則( )
A. 若，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B. 若，則C是圓，其半徑為
C. 若，則C是雙曲線，其漸近線方程為
D. 若，，則C是兩條直線
27.（2020·新高考I卷 第13題、II卷 第14題）斜率為的直線過拋物線的焦點，且與C交于A，B兩點，則__________.
28.（2020·新高考I卷 第22題）已知橢圓的離心率為，且過點
求C的方程;
點M，N在C上，且，，D為垂足.證明：存在定點Q，使得為定值.
29.（2020·新高考II卷 第21題）已知橢圓C：過點，點A為其左頂點，且AM的斜率為
求C的方程；點N為橢圓上任意一點，求的面積的最大值．
【答案解析】
1.（2023·新課標(biāo)I卷 第5題）
解：易得，，，得，解得故選
2. （2023·新課標(biāo)I卷 第6題）
解：，故圓心，記，設(shè)切點為M，
，，
故，，，
，故選B
3 （2023·新課標(biāo)II卷 第5題）
解：到AB的距離，到AB距離，，，
，或，
又直線與橢圓相交，消y可得，，
，，選
4. （2023·新課標(biāo)II卷 第10題）（多選）
解：因為過拋物線的焦點，則焦點，，A選項正確；
拋物線，MN的傾斜角，，B選項錯誤；
以MN為直徑的圓一定與準(zhǔn)線相切，C選項正確；
聯(lián)立，解得，設(shè)，
，，，
所以不是等腰三角形，D選項錯誤；
故選：
5.（2023·新課標(biāo)I卷 第16題）
解：，設(shè)，
由對稱性知又，故，
由雙曲線的定義知，，故
在中，
解得：，故C的離心率為
6. （2023·新課標(biāo)II卷 第15題）
解：由題知的圓心為，半徑為2，
設(shè)圓心到直線的距離為d，則，
于是，，得或，
若取，則，此時有，解得，
若取，則，此時有，解得，
故答案為：答案不唯一
7. （2023·新課標(biāo)I卷 第22題）
解：設(shè)點P的坐標(biāo)為，由題意得，
整理，得，
故W的方程為：
設(shè)矩形的三個頂點，，在軌跡W上，且，，
令，，則，
設(shè)矩形的周長為C，由對稱性不妨設(shè)，，
則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
令
則
令得當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以，
所以，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
等號不能同時成立，所以
【解析】本題考查軌跡方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長的求解，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于壓軸題.
（1）設(shè)出點P的坐標(biāo)，由距離公式即可求解；
（2）由軌跡方程設(shè)出三點坐標(biāo)，由對稱性結(jié)合弦長公式表示出矩形的周長，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.
8. （2023·新課標(biāo)II卷 第21題）
解：由題意可得，，
則，，
故C的方程為
設(shè)直線，，，
由知，
則，
聯(lián)立得：，
將代入得，
則，且，得
則有，；
代入式可得，
解得，
故點P在定直線上.
【解析】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的離心率、雙曲線的定直線問題，計算量較大，屬于較難題.
根據(jù)題意得出a，b的值，即可求出結(jié)果；
先設(shè)出直線，，，，，可得到，，聯(lián)立可得式.再將將代入雙曲線方程，由韋達定理可得，再結(jié)合式，即可得定直線.即可證明點P在定直線上.
9.（2022·新高考II卷 第3題）
解：設(shè)，則，，
由題意得，，
且，
解得
10.（2022·新高考I卷 第11題）（多選）
解：點在拋物線上，
即，所以準(zhǔn)線為，所以A錯;
直線代入，
得：，，
所以AB與C相切，故B正確.
由題知直線PQ的斜率一定存在，則可設(shè)直線，，，
則，或，
此時，，
，故C正確;
，故D正確.
11.（2022·新高考II卷 第10題）（多選）
解：選項設(shè)FM中點為N，則，所以
，所以，故
選項所以
所以
選項
選項由選項A，B知，，所以
，所以為鈍角;
又，所以為鈍角，
所以
12.（2022·新高考I卷 第14題）
解：方法顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是化簡得①，
化簡得，，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可
方法設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點為，設(shè)過該點的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
13.（2022·新高考I卷 第16題）
解：由橢圓離心率為，可得，則，
則橢圓C：，，，，
易得：，：，
可解得與DE的交點，
故直線DE垂直平分，即，，
又
，
，
所以的周長
14.（2022·新高考II卷 第15題）
解：因為，所以AB關(guān)于直線的對稱直線為，所以，整理可得解得
15.（2022·新高考II卷 第16題）
解：取AB的中點為E，因為，所以，設(shè)，
可得，即
設(shè)直線，，，
令，，令，，所以，
所以，，
，，所以直線，即
16.（2022·新高考I卷 第21題）
解：將點A代入雙曲線方程得，化簡得得：
，故雙曲線方程為
由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)，設(shè)，，則聯(lián)立直線與雙曲線得：
，，
故，，
，
化簡得：，
故，
即，而直線l不過A點，
故l的斜率
設(shè)直線AP的傾斜角為，由，得，
由，得，即，
聯(lián)立，及得，，
同理，，，
故，
而，，
由，得，
故
17.（2022·新高考II卷 第21題）
解：由題意可得，，故，
因此C的方程為
設(shè)直線PQ的方程為，將直線PQ的方程代入C的方程得，
則，，
設(shè)點M的坐標(biāo)為，則
兩式相減，得，而，
故，解得
兩式相加，得，而，故，解得
因此，點M的軌跡為直線，其中k為直線PQ的斜率.
若選擇①②
設(shè)直線AB的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為
則，解得，
同理可得，
此時，
而點M的坐標(biāo)滿足，
解得，，
故M為AB的中點，即
若選擇①③
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，點M即為點，此時M不在直線上，矛盾.
故直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，
并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為
則，解得，
同理可得，
此時，
由于點M同時在直線上，故，解得因此
若選擇②③
設(shè)直線AB的方程為，并設(shè)A的坐標(biāo)為，B的坐標(biāo)為
則解得，
同理可得，，
設(shè)AB的中點為，則，
由于，故M在AB的垂直平分線上，即點M在直線上.
將該直線與聯(lián)立，解得，，
即點M恰為AB中點，故點而在直線AB上.
18.（2021· 新高考I卷 第5題）
解：由，是橢圓的兩個焦點，點M在C上，得
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即有最大值
故選
19.（2021·新高考II卷 第3題）
解：拋物線的焦點坐標(biāo)為，
其到直線的距離為，
解得舍去
故選
20.（2021·新高考I卷 第11題）（多選）
解：由點，，
可得直線AB的方程為
則圓心到直線的距離為，
故P到直線AB的最大距離為，最小距離，所以A正確，B錯誤.
由題意可知，當(dāng)直線PB與圓相切時，最大或最小，
由于圓心到B的距離為，
此時，故C，D都正確.
故選
21.（2021·新高考II卷 第11題）（多選）
解：圓心到直線l的距離，
若點在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點在圓C內(nèi)，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯誤；
若點在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選
22.（2021·新高考I卷 第14題）
解：與x軸垂直，設(shè)點P在第一象限，
點P坐標(biāo)為，
又，∽，，
則，
，即，故，則準(zhǔn)線方程為，
故答案為
23.（2021·新高考II卷 第13題）
解：因為雙曲線的離心率為2，
所以，
所以，
所以該雙曲線的漸近線方程為
故答案為：
24.（2021·新高考I卷 第21題）
解：由題意知點 M的軌跡 C是焦點在 x軸上的雙曲線的右支，且，，
，
的方程為
設(shè)，設(shè)直線AB的方程為，，，
由，得，
整理得，
，，
，
設(shè)，同理可得，
由，得，
，，，，
25.（2021·新高考II卷 第20題）
解：由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
證明：由得，曲線為，
當(dāng)直線MN的斜率不存在時，直線，不滿足M，N，F(xiàn)三點共線；
當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點共線，可設(shè)直線即，
由直線MN與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，，
所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
設(shè)直線即，
由直線MN與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，，
所以，
所以
，
化簡得，所以，
所以或，
所以直線或，
所以直線MN過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；
所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是
【2020年真題】
26.（2020·新高考I卷 第9題、 II卷 第10題）（多選）
解：當(dāng)時，可化為，
若，則，故表示焦點在y軸的橢圓，故A正確；
若，可化為，表示圓心為原點，半徑為的圓，故B錯誤；
若，則C是雙曲線，令故其漸近線方程為，故C正確；
若，，可化為，即，表示兩條直線，故D正確.
故選
27.（2020·新高考I卷 第13題、II卷 第14題）
解：拋物線的焦點為，
則直線AB的方程為，
聯(lián)立得，
所以，
從而 ，
故答案為：
28.（2020·新高考I卷 第22題）
解：由題意可知，，，
解得，，所以橢圓方程為
證明：設(shè)點，，
因為，所以，
所以，①
當(dāng)k存在的情況下，設(shè)，
聯(lián)立得，
由，得，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以，
，
代入①式化簡可得，
即，
所以或，
所以直線方程為或，
所以直線過定點或，
又因為和A點重合，故舍去，
所以直線過定點，
所以AE為定值，又因為為直角三角形，AE為斜邊，
所以AE中點Q滿足為定值，此時
29.（2020·新高考II卷 第21題）
解：由題意可知直線AM的方程為：，即，
當(dāng)時，解得，所以，橢圓C：過點，
可得，解得，
所以C的方程：
設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時的面積取得最大值．
將與橢圓方程：聯(lián)立，
化簡可得：，
所以，
即，解得，
與AM距離比較遠的直線方程為：，
利用平行線之間的距離為：，
又，，所以
所以的面積的最大值：
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