資源簡介

專題六 數列
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標1卷 7 等差數列 等差數列的判定、等差數列的性質
20 等差數列 求等差數列的通項公式及基本量計算
2023新課標2卷 8 等比數列 等比數列的性質
18 等差數列、數列的綜合應用 求等差數列的通項公式及前n項和、數列的綜合應用（不等式證明）
2022新高考1卷 17 數列的通項公式、數列求和 由遞推公式求通項公式、裂項相消法求和
2022新高考2卷 17 等差數列、等比數列 等差、等比數列的通項公式
2021新高考1卷 16 數列的實際應用 錯位相減法求和
17 數列的通項公式、數列求和 由遞推公式求通項公式、公式法求和
2021新高考2卷 12 等比數列 數列的新定義問題
17 等差數列 求等差數列的通項公式、等差數列求和
2020新高考1卷 14 等差數列 等差數列的性質、等差數列求和
18 等比數列、數列求和 求等比數列的通項公式、數列求和
2020新高考2卷 15 等差數列 求等差數列的通項公式、等差數列求和
18 等比數列 求等比數列的通項公式、等比數列求和
【2023年真題】
1. （2023·新課標I卷 第7題） 記為數列的前n項和，設甲：為等差數列：乙：為等差數列，則( )
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查等差數列的判定、等差數列前n項和、充分必要條件的判定，屬于中檔題．
結合等差數列的判斷方法，依次證明充分性、必要性即可.
【解答】
解：方法
為等差數列，設其首項為，公差為d，
則，，，
故為等差數列，則甲是乙的充分條件，，
反之，為等差數列，即為常數，設為t
即，故故，
兩式相減有：，對也成立，故為等差數列，
則甲是乙的必要條件，
故甲是乙的充要條件，故選
方法
因為甲：為等差數列，設數列的首項，公差為即，
則，故為等差數列，即甲是乙的充分條件．
反之，乙：為等差數列即，
即
當時，
上兩式相減得：，
所以當時，上式成立．
又為常數所以為等差數列．
則甲是乙的必要條件，
故甲是乙的充要條件，故選C .
2. （2023·新課標II卷 第8題） 記為等比數列的前n項和，若，，則 ( )
A. 120 B. 85 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查等比數列的基本性質，屬于中檔題.
利用等比數列前n項和之間差的關系可知，，，成等比數列，列出關系式計算即可得解.
【解答】
解：，，，成等比數列，
從而計算可得
故選
3. （2023·新課標I卷 第20題）設等差數列的公差為d，且令，記，分別為數列的前n項和.
若，，求的通項公式;
若為等差數列，且，求
【答案】解：因為，故，
即，故，所以，，，
又，即，即，故或舍，
故的通項公式為：
方法一：基本量法
若為等差數列，則，即，即，所以或
當時，，，故，，又，
即，即，所以或舍
當時，，，故，，又，
即，即，所以舍或舍
綜上：
方法二：
因為為等差數列且公差為d，所以可得，則
解法一：因為為等差數列，根據等差數列通項公式可知與n的關系滿足一次函數，
所以上式中的分母“”需滿足或者，即或者
解法二：由可得，，，，
因為為等差數列，所以滿足，
即，兩邊同乘化簡得，
解得或者
因為，均為等差數列，所以，，
則等價于，
①當時，，，則，得
，解得或者，
因為，所以
②當時，，，則，化簡得
，解得或者，因為，所以均不取;
綜上所述，
【解析】本題第一問考查數列通項公式的求解，第二問考查等差數列有關性質，等差數列基本量的求解，計算量較大，為較難題.
4. （2023·新課標II卷 第18題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，
求的通項公式；
證明：當時，
【答案】解：設數列的公差為d，
由題意知：，即，解得
由知，
，，
當n為偶數時，
當n為奇數時，，
當n為偶數且時，即時，
，
當n為奇數且時，即時，
當時，
【解析】本題考查了等差數列的通項公式、前n項和公式等.
由已知，，根據等差數列的前n項和公式展開，即可得出等差數列的首項，公差，進而得出通項公式
由知，可得，數列的通項公式，進而，分兩情況討論，當n為偶數時，中含有偶數項，相鄰兩項兩兩一組先求和，得出當n為奇數時，為偶數，此時最后只需證明即可.
【2022年真題】
5.（2022·新高考I卷 第17題）記為數列的前n項和，已知，是公差為的等差數列.
求的通項公式;
證明：
【答案】
解：，
則①，②;
由②-①得：
當且時，
，
又也符合上式，因此
，
，
即原不等式成立.
【解析】本題考查了數列與不等式，涉及裂項相消法求和、等差數列的通項公式、根據數列的遞推公式求通項公式等知識，屬中檔題.
利用進行求解然后化簡可求出的通項公式;
由可求出，然后再利用裂項相消法求和可得.
6.（2022·新高考II卷 第17題）已知為等差數列，為公比為2的等比數列，且
證明：
求集合中元素個數.
【答案】
解：設等差數列公差為d
由，知，故
由，知，
故故，整理得，得證.
由知，由知：
即，即，
因為，故，解得，
故集合中元素的個數為9個.
【解析】本題考查等差、等比數列的通項公式，解指數不等式，集合中元素的個數問題，屬于中檔題.
【2021年真題】
7.（2021·新高考II卷 第12題）（多選）設正整數，其中，記，則( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本題重在對新定義進行考查，合理分析所給條件是關鍵，屬于拔高題.
利用的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.
【解答】
解：對于A選項，，，
則，，A選項正確；
對于B選項，取，，，
而，則，即，B選項錯誤；
對于C選項，，
所以，，
，
所以，，因此，，C選項正確；
對于D選項，，故，D選項正確.
故選
8.（2021·新高考I卷 第16題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為____________________；如果對折次，那么__________
【答案】5 ；
【解析】
【分析】
本題考查實際生活中的數列問題，由特殊到一般的數學思想.
根據題設列舉，可以得到折疊4次時會有五種規格的圖形.由面積的變化關系得到面積通項公式，從而由錯位相減法得到面積和.
【解答】
解：對折3次時，可以得到，，，四種規格的圖形.
對折4次時，可以得到，，，，五種規格的圖形.
對折3次時面積之和，對折4次時面積之和，即，，，，……
得折疊次數每增加1，圖形的規格數增加1，且，
記，
則，
，
得，
，
故答案為5；
9.（2021·新高考I卷 第17題）已知數列滿足，，
記，寫出，，并求數列的通項公式；
求的前20項和.
【答案】
解：⑴，且，則，
，且，則；
，
可得，故是以為首項，為公差的等差數列；
故.
數列的前20項中偶數項的和為
，
又由題中條件有，，，，
故可得的前20項的和
【解析】本題考查了數列遞推關系式運用，等差數列通項公式求法，數列求和，考查了分析和運算能力，屬于中檔題.
結合題干給的遞推關系，可以快速的算出和，同時利用可判斷出數列為等差數列，即可求出數列通項公式;
的前20項的和可分組求和，求出其對應的偶數項的和，再結合奇數項與偶數項的關系求解即可.
10.（2021·新高考II卷 第17題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若，
求數列的通項公式；
求使成立的n的最小值．
【答案】
解：由等差數列的性質可得：，則，
設等差數列的公差為d，從而有，
，
從而，由于公差不為零，故：，
數列的通項公式為：
由數列的通項公式可得，
則，
則不等式即，整理可得，
解得或，又n為正整數，故n的最小值為
【解析】本題考查等差數列基本量的求解，是等差數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等差數列的有關公式并能靈活運用.
由題意首先求得的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；
首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.
【2020年真題】
11.（2020·新高考I卷 第14題、II卷 第15題）將數列與的公共項從小到大排列得到數列，則的前n項和為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查數列的特定項與性質以及等差數列求和.
利用公共項構成首項為 ，公差為的等差數列，利用求和公式即可求出答案.
【解答】
解：數列 的首項是，公差為的等差數列；
數列 的首項是，公差為的等差數列；
公共項構成首項為 ，公差為的等差數列;
故 的前n 項和 為： .
故答案為
12.（2020·新高考I卷 第18題）已知公比大于1的等比數列滿足
求的通項公式；
記為在區間中的項的個數，求數列的前100項和
【答案】
解：設等比數列的公比為q，且，
，，
，
解得舍或，
數列的通項公式為
由知，，，，，，，
則當時，，當時，，
以此類推，，，
，，
，，

【解析】本題考查了數列求和及等比數列通項公式，屬中檔題．
根據等比數列通項公式列出方程，求出首項和公比，即可求出通項公式;
根據等比數列通項公式，歸納數列的規律，從而求出其前100項和．
13.（2020·新高考II卷 第18題）已知公比大于1的等比數列滿足，
求的通項公式；
求…
【答案】
解：設等比數列的公比為，
則，
，，
…
…，
【解析】本題考查等比數列的通項公式，前n項求和公式，考查轉化思想和方程思想，屬于基礎題．
根據題意，列方程組，解得和q，然后求出的通項公式；
根據條件，可知，，…，是以為首項，為公比的等比數列，由等比數列求和公式，即可得出答案．
/專題六 數列
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標1卷 7 等差數列 等差數列的判定、等差數列的性質
20 等差數列 求等差數列的通項公式及基本量計算
2023新課標2卷 8 等比數列 等比數列的性質
18 等差數列、數列的綜合應用 求等差數列的通項公式及前n項和、數列的綜合應用（不等式證明）
2022新高考1卷 17 數列的通項公式、數列求和 由遞推公式求通項公式、裂項相消法求和
2022新高考2卷 17 等差數列、等比數列 等差、等比數列的通項公式
2021新高考1卷 16 數列的實際應用 錯位相減法求和
17 數列的通項公式、數列求和 由遞推公式求通項公式、公式法求和
2021新高考2卷 12 等比數列 數列的新定義問題
17 等差數列 求等差數列的通項公式、等差數列求和
2020新高考1卷 14 等差數列 等差數列的性質、等差數列求和
18 等比數列、數列求和 求等比數列的通項公式、數列求和
2020新高考2卷 15 等差數列 求等差數列的通項公式、等差數列求和
18 等比數列 求等比數列的通項公式、等比數列求和
【2023年真題】
1. （2023·新課標I卷 第7題） 記為數列的前n項和，設甲：為等差數列：乙：為等差數列，則( )
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2. （2023·新課標II卷 第8題） 記為等比數列的前n項和，若，，則 ( )
A. 120 B. 85 C. D.
3. （2023·新課標I卷 第20題）設等差數列的公差為d，且令，記，分別為數列的前n項和.
若，，求的通項公式;
若為等差數列，且，求
4. （2023·新課標II卷 第18題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，
求的通項公式；
證明：當時，
【2022年真題】
5.（2022·新高考I卷 第17題）記為數列的前n項和，已知，是公差為的等差數列.
求的通項公式;
證明：
6.（2022·新高考II卷 第17題）已知為等差數列，為公比為2的等比數列，且
證明：
求集合中元素個數.
【2021年真題】
7.（2021·新高考II卷 第12題）（多選）設正整數，其中，記，則( )
A. B.
C. D.
8.（2021·新高考I卷 第16題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折．規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為____________________；如果對折次，那么__________
9.（2021·新高考I卷 第17題）已知數列滿足，，
記，寫出，，并求數列的通項公式；
求的前20項和.
10.（2021·新高考II卷 第17題）記是公差不為0的等差數列的前n項和，若，
求數列的通項公式；
求使成立的n的最小值．
【2020年真題】
11.（2020·新高考I卷 第14題、II卷 第15題）將數列與的公共項從小到大排列得到數列，則的前n項和為__________.
12.（2020·新高考I卷 第18題）已知公比大于1的等比數列滿足
求的通項公式；
記為在區間中的項的個數，求數列的前100項和
13.（2020·新高考II卷 第18題）已知公比大于1的等比數列滿足，
求的通項公式；
求…
【答案解析】
1. （2023·新課標I卷 第7題）
解：方法
為等差數列，設其首項為，公差為d，
則，，，
故為等差數列，則甲是乙的充分條件，，
反之，為等差數列，即為常數，設為t
即，故故，
兩式相減有：，對也成立，故為等差數列，
則甲是乙的必要條件，
故甲是乙的充要條件，故選
方法
因為甲：為等差數列，設數列的首項，公差為即，
則，故為等差數列，即甲是乙的充分條件．
反之，乙：為等差數列即，
即
當時，
上兩式相減得：，
所以當時，上式成立．
又為常數所以為等差數列．
則甲是乙的必要條件，
故甲是乙的充要條件，故選C .
2. （2023·新課標II卷 第8題）
解：，，，成等比數列，
從而計算可得
故選
3. （2023·新課標I卷 第20題）
解：因為，故，
即，故，所以，，，
又，即，即，故或舍，
故的通項公式為：
方法一：基本量法
若為等差數列，則，即，即，所以或
當時，，，故，，又，
即，即，所以或舍
當時，，，故，，又，
即，即，所以舍或舍
綜上：
方法二：
因為為等差數列且公差為d，所以可得，則
解法一：因為為等差數列，根據等差數列通項公式可知與n的關系滿足一次函數，所以上式中的分母“”需滿足或者，即或者
解法二：由可得，，，，因為為等差數列，
所以滿足，即，兩邊同乘化簡得，
解得或者
因為，均為等差數列，所以，，則等價于，
①當時，，，則，得
，解得或者，因為，所以
②當時，，，則，化簡得
，解得或者，因為，所以均不取;
綜上所述，
4. （2023·新課標II卷 第18題）
解：設數列的公差為d，
由題意知：，即，解得
由知，
，，
當n為偶數時，
當n為奇數時，，
當n為偶數且時，即時，
，
當n為奇數且時，即時，
當時，
5.（2022·新高考I卷 第17題）
解：，
則①，②;
由②-①得：
當且時，
，
又也符合上式，因此
，
，
即原不等式成立.
6.（2022·新高考II卷 第17題）
解：設等差數列公差為d
由，知，故
由，知，
故故，整理得，得證.
由知，由知：
即，即，
因為，故，解得，
故集合中元素的個數為9個.
7.（2021·新高考II卷 第12題）（多選）
解：對于A選項，，，
則，，A選項正確；
對于B選項，取，，，
而，則，即，B選項錯誤；
對于C選項，，
所以，，
，
所以，，因此，，C選項正確；
對于D選項，，故，D選項正確.
故選
8.（2021·新高考I卷 第16題）
解：對折3次時，可以得到，，，四種規格的圖形.
對折4次時，可以得到，，，，五種規格的圖形.
對折3次時面積之和，對折4次時面積之和，即，，，，……
得折疊次數每增加1，圖形的規格數增加1，且，
記，
則，
，
得，
，
故答案為5；
9.（2021·新高考I卷 第17題）
解：⑴，且，則，
，且，則；
，
可得，故是以為首項，為公差的等差數列；
故.
數列的前20項中偶數項的和為
，
又由題中條件有，，，，
故可得的前20項的和
10.（2021·新高考II卷 第17題）
解：由等差數列的性質可得：，則，
設等差數列的公差為d，從而有，
，
從而，由于公差不為零，故：，
數列的通項公式為：
由數列的通項公式可得，
則，
則不等式即，整理可得，
解得或，又n為正整數，故n的最小值為
11.（2020·新高考I卷 第14題、II卷 第15題）
解：數列 的首項是，公差為的等差數列；
數列 的首項是，公差為的等差數列；
公共項構成首項為 ，公差為的等差數列;
故 的前n 項和 為： .
故答案為
12.（2020·新高考I卷 第18題）
解：設等比數列的公比為q，且，
，，
，
解得舍或，
數列的通項公式為
由知，，，，，，，
則當時，，當時，，
以此類推，，，
，，
，，

13.（2020·新高考II卷 第18題）
解：設等比數列的公比為，
則，
，，
…
…，
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