資源簡介

專題七 平面向量與解三角形
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標1卷 3 向量的數量積 向量數量積的坐標運算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2023新課標2卷 13 向量的數量積 利用向量數量積求模長
17 解三角形 解三角形的綜合應用
2022新高考1卷 3 平面向量的線性運算 向量的加減及數乘運算
18 解三角形 正弦定理變形、三角恒等變形
2022新高考2卷 4 向量的數量積 向量數量積的坐標運算
18 解三角形 正余弦定理解三角形
2021新高考1卷 10 向量的坐標運算 求向量的模、向量數量積的坐標運算
19 解三角形 正、余弦定理解三角形
2021新高考2卷 15 向量的數量積 向量數量積的運算
18 解三角形 正弦定理解三角形、余弦定理判斷三角形的形狀
2020新高考1卷 7 向量的數量積 求向量數量積的取值范圍
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2020新高考2卷 3 向量的線性運算 向量的加、減法運算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
【2023年真題】
1.（2023·新課標I卷 第3題）已知向量，若，則( )
A. B. C. D.
2. （2023·新課標II卷 第13題）已知向量，滿足，，則__________
3. （2023·新課標I卷 第17題）已知在中，，
求；
設，求AB邊上的高.
4. （2023·新課標II卷 第17題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知面積為，D為BC的中點，且
若，求；
若，求b，
【2022年真題】
5.（2022·新高考I卷 第3題）在中，點D在邊AB上，記，，則( )
A. B. C. D.
6.（2022·新高考II卷 第4題）已知向量，，，若，則實數( )
A. B. C. 5 D. 6
7.（2022·新高考I卷 第18題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知
若，求
求的最小值.
8.（2022·新高考II卷 第18題）記的三個內角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，，且，
求的面積;
若，求
【2021年真題】
9.（2021·新高考I卷 第10題）（多選）已知O為坐標原點，點，，，，則( )
A. B.
C. D.
10.（2021·新高考I卷 第19題 ）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，已知，點D在邊AC上，
證明：
若，求
11.（2021·新高考II卷 第15題）已知向量，，__________.
12.（2021·新高考II卷 第18題）在中，角所對的邊長分別為
若，求的面積；
是否存在正整數a，使得為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

【2020年真題】
13.（2020·新高考I卷 第7題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
14.（2020·新高考II卷 第3題）在中，D是AB邊上的中點，則( )
A. B. C. D.
15.（2020·新高考I卷 第17題、II卷 第17題）)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.
問題：是否存在，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，__________
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案解析】
1.（2023·新課標I卷 第3題）
解：，所以故選
2. （2023·新課標II卷 第13題）
解：將原式平方：
化簡可得：
即，故
3. （2023·新課標I卷 第17題）
解：，，解得
可化為，
即，
展開得：，整理得，
將代入，得，
，
由知，，，
又，，
邊上的高
4. （2023·新課標II卷 第17題）
解：，D為BC的中點，
，即，解得，則
過點A作于點E，則在中，，，
在中，，
在中，，
，
，即，
又，，
，
，，
再將代入，即可解得
【2022年真題】
5.（2022·新高考I卷 第3題）
解：，
6.（2022·新高考II卷 第4題）
解：由已知有，，，，
故，
解得
7.（2022·新高考I卷 第18題）
解：，且，
，，
又A，，，
又，，
由正弦定理，
得，
，令，
則，，
在時遞減，在時遞增，
因此時，
8.（2022·新高考II卷 第18題）
解：邊長為a的正三角形的面積為，
，即，
由得：，，
故
由正弦定理得：，故
9.（2021·新高考I卷 第10題）（多選）
解：根據題意，依次分析選項：
對于A、，A正確；
對于B、，
，B不正確；
對于C、，
，C正確；
對于D、，，D不正確；
故選
10.（2021·新高考I卷 第19題 ）
證明：，，
由正弦定理可知，得，
，
又，
解：，可知，則，
在中，，
在中，，
，，
即，整理得，
又，則，
即，可得或，
當時，，
在中，由余弦定理可得，
當時，，此時，不合實際，則舍去，
故：
11.（2021·新高考II卷 第15題）
解：由已知可得
，
因此，
故答案為：
12.（2021·新高考II卷 第18題）
解：因為，
根據正弦定理可知，
則，故，，
，
所以C為銳角，則，
因此，
顯然，若為鈍角三角形，則C為鈍角，
由余弦定理可得，
又，則，即，
解得，則，
由三角形三邊關系可得，可得，
，故
13.（2020·新高考I卷 第7題）
解：
由投影定義知，當點P與點F重合時，
取最小值
當點P與點C重合時，取最大值
故的取值范圍是
故選
14.（2020·新高考II卷 第3題）
解：在中，D是AB邊上的中點，
則
故選：
15.（2020·新高考I卷 第17題、II卷 第17題）
解： ，由正弦定理得 ，
，由余弦定理得： ，
化簡得 ；
假設三角形存在，
若選①，有，則有，則
故存在滿足題意的三角形，
若選②，有，
則有，
則 ，故 ，
故存在滿足題意的三角形，
若選③，有，由題意有 ，則有，這和矛盾，
故不存在滿足題意的三角形.
/專題七 平面向量與解三角形
真題卷 題號 考點 考向
2023新課標1卷 3 向量的數量積 向量數量積的坐標運算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2023新課標2卷 13 向量的數量積 利用向量數量積求模長
17 解三角形 解三角形的綜合應用
2022新高考1卷 3 平面向量的線性運算 向量的加減及數乘運算
18 解三角形 正弦定理變形、三角恒等變形
2022新高考2卷 4 向量的數量積 向量數量積的坐標運算
18 解三角形 正余弦定理解三角形
2021新高考1卷 10 向量的坐標運算 求向量的模、向量數量積的坐標運算
19 解三角形 正、余弦定理解三角形
2021新高考2卷 15 向量的數量積 向量數量積的運算
18 解三角形 正弦定理解三角形、余弦定理判斷三角形的形狀
2020新高考1卷 7 向量的數量積 求向量數量積的取值范圍
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
2020新高考2卷 3 向量的線性運算 向量的加、減法運算
17 解三角形 正、余弦定理解三角形
【2023年真題】
1.（2023·新課標I卷 第3題）已知向量，若，則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查向量的數量積運算，結合向量垂直，向量的數量積為0，為較易題.
【解答】
解：，所以故選
2. （2023·新課標II卷 第13題）已知向量，滿足，，則__________
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查向量模及向量數量積的運算，屬于基礎題．
將兩等式分別平方，然后化簡計算即可．
【解答】
解：將原式平方：
化簡可得：
即，故
3. （2023·新課標I卷 第17題）已知在中，，
求；
設，求AB邊上的高.
【答案】解：，，解得
可化為，
即，
展開得：，整理得，
將代入，得，
，
由知，，，
又，，
邊上的高
【解析】本題考查了三角恒等變換與解三角形的相關知識，屬于中等題.
根據題意，結合可直接求出C，再將C代入進行恒等變換得，最后再結合同角三角函數的基本關系即可求解；
結合三角恒等變換、正弦定理，分別求出和AC，即可得AB邊上的高的值.
4. （2023·新課標II卷 第17題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知面積為，D為BC的中點，且
若，求；
若，求b，
【答案】解：，D為BC的中點，
，即，解得，則
過點A作于點E，則在中，，，
在中，，
在中，，
，
，即，
又，，
，
，，
再將代入，即可解得
【解析】本題考查了解三角形的綜合應用，屬于中等題.
結合三角形面積和中點關系進行求解；
觀察題目所給條件，結合中線的向量表示和三角形面積進行求解.
【2022年真題】
5.（2022·新高考I卷 第3題）在中，點D在邊AB上，記，，則( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本題主要考查向量的加減及數乘運算，屬于基礎題.
【解答】
解：，
6.（2022·新高考II卷 第4題）已知向量，，，若，則實數( )
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了向量的坐標運算和夾角運算，屬于基礎題。
【解答】
解：由已知有，，，，
故，
解得
7.（2022·新高考I卷 第18題）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知
若，求
求的最小值.
【答案】
解：，且，
，，
又A，，，
又，，
由正弦定理，
得，
，令，
則，，
在時遞減，在時遞增，
因此時，
【解析】本題主要考查三角恒等變換的綜合應用及利用余弦定理和對勾函數解決最值問題，屬于中檔題.
由二倍角公式，同角三角函數的基本關系，兩角差的正切函數公式化簡得，即可求B；
由正弦定理，二倍角公式化簡得，令，利用對勾函數性質即可得解.
8.（2022·新高考II卷 第18題）記的三個內角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，，且，
求的面積;
若，求
【答案】
解：邊長為a的正三角形的面積為，
，即，
由得：，，
故
由正弦定理得：，故
【解析】本題考查利用正余弦定理解三角形
利用余弦定理與正三角形的面積求得ac，繼而利用面積公式求解
利用正弦定理進行變形，即可求解
【2021年真題】
9.（2021·新高考I卷 第10題）（多選）已知O為坐標原點，點，，，，則( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】
本題考查向量的坐標運算，及三角恒等變換，屬于中檔題．
根據題意，由向量的坐標運算公式及三角恒等變換公式依次分析選項，即可得答案．
【解答】
解：根據題意，依次分析選項：
對于A、，A正確；
對于B、，
，B不正確；
對于C、，
，C正確；
對于D、，，D不正確；
故選
10.（2021·新高考I卷 第19題 ）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，已知，點D在邊AC上，
證明：
若，求
【答案】
證明：，，
由正弦定理可知，得，
，
又，
解：，可知，則，
在中，，
在中，，
，，
即，整理得，
又，則，
即，可得或，
當時，，
在中，由余弦定理可得，
當時，，此時，不合實際，則舍去，
故：
【解析】本題考查了正弦定理和余弦定理，屬中檔題．
由題可得，再借助正弦定里即可得證；
根據，即，分別在和中，利用余弦定理可建立等式，又由，則，可得或，進而分類討論求解
11.（2021·新高考II卷 第15題）已知向量，，__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了向量數量積的運算，合理轉化是關鍵，屬于中檔題.
由已知可得，展開化簡后可得結果.
【解答】
解：由已知可得
，
因此，
故答案為：
12.（2021·新高考II卷 第18題）在中，角所對的邊長分別為
若，求的面積；
是否存在正整數a，使得為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
【答案】
解：因為，
根據正弦定理可知，
則，故，，
，
所以C為銳角，則，
因此，
顯然，若為鈍角三角形，則C為鈍角，
由余弦定理可得，
又，則，即，
解得，則，
由三角形三邊關系可得，可得，
，故
【解析】本題考查了正余弦定理與同角三角函數的基本關系，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.
由正弦定理可得出，結合已知條件求出a的值，進一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函數的基本關系求出，再利用三角形的面積公式可求得結果；
分析可知，角C為鈍角，由結合三角形三邊關系可求得整數a的值.
【2020年真題】
13.（2020·新高考I卷 第7題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查向量數量積，屬于綜合題.
根據投影的幾何意義即可解答.
【解答】
解：
由投影定義知，當點P與點F重合時，
取最小值
當點P與點C重合時，取最大值
故的取值范圍是
故選
14.（2020·新高考II卷 第3題）在中，D是AB邊上的中點，則( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查向量的表示，考查向量加法減法法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
利用向量加法減法法則直接求解．
【解答】
解：在中，D是AB邊上的中點，
則
故選：
15.（2020·新高考I卷 第17題、II卷 第17題）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.
問題：是否存在，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，__________
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】
解： ，由正弦定理得 ，
，由余弦定理得： ，
化簡得 ；
假設三角形存在，
若選①，有，則有，則
故存在滿足題意的三角形，
若選②，有，
則有，
則 ，故 ，
故存在滿足題意的三角形，
若選③，有，由題意有 ，則有，這和矛盾，
故不存在滿足題意的三角形.
【解析】本題考查解三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，判斷三個邊的關系與求值，是中檔題.
，由正弦定理得 ， ，由余弦定理得；
若選①，代入 求解a，b，c的值即可.
若選②，求出 ，，從而求出a，b，c的值.
若選③，，這和矛盾，從而無此三角形.
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