資源簡介

最短路徑問題
【學習目標】
體會利用作圖解決最短路徑問題
【學習重點】
體會利用作圖解決最短路徑問題
【學習難點】
體會利用作圖解決最短路徑問題
【學法指導】
1. 最短路徑問題，通過轉化為兩點之間線段最短加以解決。
2. 樹立轉化思想，考慮三角形兩邊之和大于第三邊。
3. 通常考慮平移和軸對稱來實現轉化。
【學習過程】
一、預習導學
1．如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？
二、合作探究
探究一
1．兩點在一條直線異側
已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。
思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢？
2．到同側兩點距離和最短
如圖所示，要在街道旁修建一個奶站P，向居民區A、B提供牛奶，奶站P應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短。
。B
A 。
思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢？
探究二
3.造橋選址問題中的最短路徑問題
如圖，A和B連地在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）
思考：
①怎樣將實際問題轉化為實際問題？
②若直線重合，最短路徑是什么？
③若將直線平移開，怎樣思考該問題？
④怎樣解決造橋選址問題？
歸納總結：在解決最短路徑問題是，我們通常利用 、 等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。
4.已知點A．點B分別在直線L的兩側，在直線L上找一點、使這點到點A．點B的距離最短，這樣的點有（ ）
A．唯一一點 B．兩點 C．三點 D．無數點
探究三
5.某班舉行晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D處座位上，，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？
三、交流展示
1．組內交流，并展示討論的結果；
2．我們小組還有什么問題嗎？請提出來！
【達標檢測】
1．要在燃氣管道上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮供氣。泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？
2．如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。
3．如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑。
【學習拓展】
迷宮最短路徑問題
有一個二維數組，0表示路，-1表示墻，求其中任意兩點的最短路徑。
我們先看，怎么求一條路徑：求兩點路徑是一個數據結構上的典型的迷宮問題，很多數據結構的書上都有介紹，解決辦法如下：
從一點開始出發，向四個方向查找，每走一步，把走過的點的值+1(即本節點值+1)，防止重復行走，并把走過的點壓入堆棧(表示路徑)，如果遇到墻、或者已走過的點則不能前進，如果前方已經無路可走，則返回，路徑退棧，這樣遞歸調用，直到找到終點為止。迷宮如下圖所示：
①
②
③
B
C． 。.
D.． 。.
O
A
（2）
B
A
（1）
D
C
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