資源簡介

集合的基本運(yùn)算
并集、交集、補(bǔ)集
并集 交集 補(bǔ)集
概念 由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑厮M成的集合，稱為集合與的并集. 由屬于集合且屬于集合的元素所組成的集合，稱為集合與的交集. 對于集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合，稱為集合相對于全集的補(bǔ)集.
記號 (讀作:并) (讀作:交) (讀作:的補(bǔ)集)
符號
圖形 表示
結(jié)論
若，則； 若，則.
3 運(yùn)算律
① 交換律 ，；
② 結(jié)合律 ，；
③ 分配律 ，；
④ 德摩根律 ，.
【典題1】離散型集合運(yùn)算
已知集合，
則的元素個(gè)數(shù)為 .
【典題2】連續(xù)型集合運(yùn)算
已知全集集合則集合
【典題3】設(shè)，其中，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【典題4】已知且，求的取值范圍.
鞏固練習(xí)
1(★) 已知集合，，，則(　　)
A． B．　　C． D．
2(★) 已知集合且，則(　　)
3(★★)設(shè)都是的子集，如果叫做集合的長度，則集合的長度的最小值是(　　)
A． B． C． D．
4(★) 設(shè)集合則 .
(★★) 設(shè)集合，集合中所有元素之和為，則實(shí)數(shù)的取值集合為：　 　．
6(★)已知集合若，
則 .
(★★) 設(shè)其中，如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍　 　．
(★★) 已知集合則實(shí)數(shù)的取值集合為 .
9(★★) 已知集合，集合．
若，求的值；(2)若，求的取值范圍．
10(★★★) 已知集合，或，是否存在實(shí)數(shù)，
使？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
11(★★★) 設(shè)集合
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，．求實(shí)數(shù)的取值范圍．
12(★★★★) 已知集合且．
(1)證明：若則是偶數(shù)；
(2)設(shè)且求實(shí)數(shù)的值；
(3)設(shè)求證：；并求滿足的的值．
13(★★★★) 集合任取
這三個(gè)式子中至少有一個(gè)成立，則的最大值為 .
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21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)集合的基本運(yùn)算
并集、交集、補(bǔ)集
并集 交集 補(bǔ)集
概念 由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑厮M成的集合，稱為集合與的并集. 由屬于集合且屬于集合的元素所組成的集合，稱為集合與的交集. 對于集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合，稱為集合相對于全集的補(bǔ)集.
記號 (讀作:并) (讀作:交) (讀作:的補(bǔ)集)
符號
圖形 表示
結(jié)論
若，則； 若，則.
3 運(yùn)算律
① 交換律 ，；
② 結(jié)合律 ，；
③ 分配律 ，；
④ 德摩根律 ，.
【典題1】離散型集合運(yùn)算
已知集合
則的元素個(gè)數(shù)為 .
【解析】 則
的元素個(gè)數(shù)為．
【典題2】連續(xù)型集合運(yùn)算
已知全集集合則集合 .
【解析】
．
【點(diǎn)撥】關(guān)于集合的運(yùn)算，先看清楚集合的元素，把集合化簡成最簡單的形式，當(dāng)涉及到不等式可以借助數(shù)軸.
【典題3】設(shè)，其中，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】 ，，解得或．
．
，(利用圖理解下這個(gè)結(jié)論)
可能為．
方程的．
①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，適合題意．
②當(dāng)，即時(shí)，得，適合題意．
③當(dāng)，即時(shí)，方程由兩個(gè)不等根，若為，
則必須滿足，解得．(韋達(dá)定理)
綜上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【點(diǎn)撥】遇到子集的問題:，不要漏了的情況.
【典題4】已知且，求的取值范圍.
【解析】 由題意
，
(此時(shí)畫數(shù)軸分析下，會清晰很多
則易知是方程的根，且)
是方程的一個(gè)根，即并且另一個(gè)根在上，
(此時(shí)還是試試畫出滿足條件的函數(shù)圖象，體會下數(shù)形結(jié)合的威力
)
設(shè)函數(shù)則其中
解得.
【點(diǎn)撥】在處理類似本題集合綜合運(yùn)算時(shí)，多結(jié)合圖象進(jìn)行思考.
鞏固練習(xí)
1(★) 已知集合，，，則(　　)
A． B．　　C． D．
【答案】 B
【解析】 選B.由，，，
得，，，，選B.
2(★) 已知集合且，則(　　)
【答案】
【解析】 ，，
或，
或，
①時(shí)，，，集合錯(cuò)誤，不滿足集合元素的互異性，
；
②時(shí)，，，滿足，即成立；
③時(shí)，，，，不成立，
綜上得，，．
故選：．
3(★★)設(shè)都是的子集，如果叫做集合的長度，則集合的長度的最小值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，且，求出]，
由，且，求出，
分別把的兩端值代入求出：，
或，，
所以，或．
所以或
綜上所述，集合的長度的最小值是．
故選：．
4(★) 設(shè)集合則 .
【答案】
【解析】解不等式，得，
集合，
又集合，
.
(★★) 設(shè)集合，集合中所有元素之和為，則實(shí)數(shù)的取值集合為：　 　．
【答案】
【解析】求解一元二次方程可得，，且，
當(dāng)，或時(shí)，結(jié)合集合的互異性，可知中所有元素之和為，
否則，解得：，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
6(★)已知集合若，則 .
【答案】
【解析】，且，
，
，
．
(★★) 設(shè)其中，如果，則實(shí)數(shù)的取值范圍　 　．
【答案】
【解析】由中方程變形得：，
解得：或，即，
由，其中，且，
分兩種情況考慮：
若時(shí)，，即，滿足題意；
若時(shí)，，即，
此時(shí)把代入得：，即或(舍去)；
把代入得：或，
綜上，的范圍為．
(★★) 已知集合則實(shí)數(shù)的取值集合為 .
【答案】
【解析】集合2或．
．
若，即時(shí)，滿足條件．
若，即m≠0時(shí)，集合，
要使．則
解得或m．
故或或．
9(★★) 已知集合，集合．
(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)，，
，，
或，即或，
時(shí)，，，不滿足，舍去，
；
(2)，，
解得，
的取值范圍為．
10(★★★) 已知集合，或，是否存在實(shí)數(shù)，
使？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】 或
【解析】若，分和討論：
(1)若，則，解得，此時(shí)．
(2)若，要使，則應(yīng)有
即，所以．
綜上，當(dāng)時(shí)，或；
當(dāng)或時(shí)，．
11(★★★) 設(shè)集合
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，．求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】 (1) 或 (2)
【解析】由得或，故集合．
（1）　，代入中的方程，得，
或;
當(dāng)時(shí)，滿足條件；
當(dāng)時(shí)，滿足條件；
綜上，的值為或．
（2），，
①若，則適合；
②若，則時(shí)，，，不合題意；
當(dāng)，此時(shí)需且
將代入的方程得；
將代入的方程得
綜上，的取值范圍是
或或．
12(★★★★) 已知集合且．
(1)證明：若則是偶數(shù)；
(2)設(shè)且求實(shí)數(shù)的值；
(3)設(shè)求證：；并求滿足的的值．
【解析】 (1)因不妨設(shè)
則
由 可得 因?yàn)樗詾榕紨?shù)．
(2)因?yàn)椴环猎O(shè)由可得
由(1)可得 所以即
又因?yàn)?則或者
當(dāng)時(shí) 不符合，當(dāng)時(shí) 符合題意 即
(3)證明：因?yàn)閯t設(shè)
則
顯然此時(shí)符合集合定義，
因?yàn)橥瞥? 可得
故．
13(★★★★) 集合任取
這三個(gè)式子中至少有一個(gè)成立，則的最大值為 .
【解析】 不妨假設(shè)若集合中的正數(shù)個(gè)數(shù)大于等于，
由于和均大于于是有從而矛盾！
所以集合中至多有3個(gè)正數(shù)，同理集合中最多有個(gè)負(fù)數(shù)，
取滿足題意，所以的最大值為.
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