資源簡介

1.4 充分條件與必要條件
1.5 全稱量詞和存在量詞
1充分條件與必要條件
概念
一般地，若，則為真命題，是指以為已知條件通過推理可以得出.
這時，我們就說，由可以推出，記作，并且說，是的充分條件，是的必要條件.
如果若，則和它的逆命題若，則均是真命題，
即既有，又有，就記作，
此時即是的充分條件也是必要條件，我們說是的充要條件.
② 是的______條件(填寫是否充分、必要)
完成此題型，可思考
從左到右，若則充分，若則不充分；
從右到左，若則必要，若則不必要.
Eg：帥哥是男人的______條件.
從左到右，顯然若是個帥哥，那他肯定是男人，即充分；
從右到左，若是男人，他不一定是帥哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 從集合的角度理解－－小范圍推得出大范圍
命題對應集合，
若，則，即是的充分條件；若，則，即不是的充分條件.
備注 若，則稱為小范圍，為大范圍.
Eg1：帥哥是男人的______條件.
設集合帥哥，集合男人，顯然，帥哥是小范圍，推得出男人這個大范圍，即充分條件；故答案是充分不必要條件.
Eg2：是的不充分必要條件，因為.
結論
① 若是的充分不必要條件，則；② 若是的必要不充分條件，則；
③ 若是的充分條件，則； ④ 若是的必要條件，則；
⑤ 若是的充要條件，則.
2 全稱量詞與存在量詞
① 全稱量詞
短語對所有的、對任意一個在邏輯中通常稱為全稱量詞，用表示．
含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．
全稱命題對中任意一個，有成立，記作．
Eg：對所有末位數是的數能被整除，.
② 存在量詞
短語存在一個、至少有一個在邏輯中通常稱為存在量詞，用表示．
含有存在量詞的命題稱為特稱命題．
特稱命題存在中的一個，使成立，記作.
Eg：至少有一個質數是偶數，.
③ 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，它們的真假性是相反的.
Eg：的否定是.
是真命題，是假命題.
【題型一】 充分條件與必要條件
【典題1】 設，則是的 (　　)
充分不必要條件 必要不充分條件
充分必要條件 既不充分也不必要條件
【典題2】 若是正整數，則充要條件是(　　)
有一個為
且
【典題３】 若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
鞏固練習
1 (★★) 已知則“”的一個必要不充分條件是 (　　)
．
2 (★★★) 設，命題，命題，則是的 (　　)
.充分不必要條件 .必要不充分條件 .充分必要條件 .既不充分也不必要條件
3 (★★) 在關于的不等式中，“”是“恒成立”的(　　)
.充分不必要條件 .必要不充分條件 .充要條件 .既不充分也不必要條件
4 (★★★) 已知命題，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為 .
5 (★★★) 已知，：關于的不等式恒成立．
(1)當時成立，求實數的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【題型二】 全稱量詞與存在量詞
【典題1】判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：
； 所有可以被整除的整數，末位數字都是；
； 存在一個四邊形，它的對角線互相垂直．
【典題2】若命題“時，”是假命題，則的取值范圍　 ?。?br/>鞏固練習
1 (★) 命題“”的否定是　 　.
2 (★★) 若命題，”是假命題，則實數的取值范圍是　 　．
3 (★★) 已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍是　 ．
挑戰學霸
設數集滿足下列兩個條件：
(1)，；(2)或，則．
現給出如下論斷：
①中必有一個為；②中必有一個為；
③若且，則；④存在互不相等的，使得．
其中正確論斷的個數是(　　)
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A． B． C． D．21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.4 充分條件與必要條件
1.5 全稱量詞和存在量詞
1充分條件與必要條件
概念
一般地，若，則為真命題，是指以為已知條件通過推理可以得出.
這時，我們就說，由可以推出，記作，并且說，是的充分條件，是的必要條件.
如果若，則和它的逆命題若，則均是真命題，
即既有，又有，就記作，
此時即是的充分條件也是必要條件，我們說是的充要條件.
② 是的______條件(填寫是否充分、必要)
完成此題型，可思考
從左到右，若則充分，若則不充分；
從右到左，若則必要，若則不必要.
Eg：帥哥是男人的______條件.
從左到右，顯然若是個帥哥，那他肯定是男人，即充分；
從右到左，若是男人，他不一定是帥哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 從集合的角度理解－－小范圍推得出大范圍
命題對應集合，
若，則，即是的充分條件；若，則，即不是的充分條件.
備注 若，則稱為小范圍，為大范圍.
Eg1：帥哥是男人的______條件.
設集合帥哥，集合男人，顯然，帥哥是小范圍，推得出男人這個大范圍，即充分條件；故答案是充分不必要條件.
Eg2：是的不充分必要條件，因為.
結論
① 若是的充分不必要條件，則；② 若是的必要不充分條件，則；
③ 若是的充分條件，則； ④ 若是的必要條件，則；
⑤ 若是的充要條件，則.
2 全稱量詞與存在量詞
① 全稱量詞
短語對所有的、對任意一個在邏輯中通常稱為全稱量詞，用表示．
含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．
全稱命題對中任意一個，有成立，記作．
Eg：對所有末位數是的數能被整除，.
② 存在量詞
短語存在一個、至少有一個在邏輯中通常稱為存在量詞，用表示．
含有存在量詞的命題稱為特稱命題．
特稱命題存在中的一個，使成立，記作.
Eg：至少有一個質數是偶數，.
③ 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，它們的真假性是相反的.
Eg：的否定是.
是真命題，是假命題.
【題型一】 充分條件與必要條件
【典題1】 設，則是的 (　　)
充分不必要條件 必要不充分條件
充分必要條件 既不充分也不必要條件
【解析】可知，而，．
反之不成立，例如a，，滿足，但不成立.
是的充分不必要條件．故選：．
【點撥】
① 以為已知，可以推出這個結論，所以是的充分條件；若要判斷某個命題是對的，只能去證明它；
② 證明推不出，即判斷某個命題是錯的，舉一個反例就行，這點做非解答題時多多注意，可稱之為取特殊值否定法；
③ 思考：本題可從集合的角度去判斷么？
【典題2】 若是正整數，則充要條件是(　　)
有一個為
且
【解析】，
，
是正整數，，，
則，，，
若，則，
即或，即有一個為，
即充要條件是有一個為，故選．
【點撥】
本題求充要條件就相當于“當是正整數，由可以等價推導出什么結論”；
② 是充要條件就是相當于兩個命題是等價的，這個很重要，有一種數學思想叫做“等價轉化”，在推導問題的過程中經常遇到它，這需要嚴謹的邏輯分析.
【典題３】 若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.
【解析】由得或，即不等式的解集為，
由得，
若，則不等式的解為，此時不等式的解集為為，
若，則不等式的解集為，
若，不等式的解集為，
(求解含參的不等式，注意分類討論)
若是的必要不充分條件，則，
(從集合的角度去思考充分必要條件問題)
則當時，不滿足條件．
當時，則滿足，即，得，
當時，則滿足，得，得．
綜上實數的取值范圍或.
【點撥】
① 本題涉及含參的一元二次不等式的求解，要注意兩個根的大小比較，才有了
的分類；
② 從集合的角度去理解充分條件和必要條件，記住“小范圍推得出大范圍”.
鞏固練習
1 (★★) 已知則“”的一個必要不充分條件是 (　　)
．
【答案】
【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要條件；B是充分不必要條件；C是必要不充分條件；D是充要條件．故選：．
2 (★★★) 設，命題，命題，則是的 (　　)
.充分不必要條件 .必要不充分條件 .充分必要條件 .既不充分也不必要條件
【答案】
【解析】若，即有；
若，顯然有；
若，則，
而，，所以，
故可以推出．
若，當時，如果，不等式顯然成立，此時有；
如果，則有，因而；
當時，，此時有，
因而，故可以推出．
故選：．
3 (★★) 在關于的不等式中，“”是“恒成立”的(　　)
.充分不必要條件 .必要不充分條件 .充要條件 .既不充分也不必要條件
【答案】
【解析】在關于的不等式中，
當時，，
恒成立，
當時，，
恒成立，
是恒成立的充要條件．
故選：C．
4 (★★★) 已知命題，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【解析】命題，，即，
是的必要不充分條件，
，，解得．
實數的取值范圍為．
5 (★★★) 已知，：關于的不等式恒成立．
(1)當時成立，求實數的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【答案】
【解析】(1)，，，
實數的取值范圍為：．
(2)，
設，，
是的充分不必要條件，
①由(1)知，時，，滿足題意；
②時，，滿足題意；
③時，，滿足題意；
④，或時，設，
對稱軸為，由得或，
或，
或，
或
綜上可知：
【題型二】 全稱量詞與存在量詞
【典題1】判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：
； 所有可以被整除的整數，末位數字都是；
； 存在一個四邊形，它的對角線互相垂直．
【解析】全稱命題，當時，結論不成立，所以為假命題．
命題的否定：.
全稱命題，所有可以被整除的整數，末位數字都是或；為假命題．
命題的否定：存在可以被整除的整數，末位數字不都是；(這里不能寫“都不是”)
特稱命題，，所以結論不成立，為假命題．
命題的否定：
特稱命題，菱形的對角線互相垂直，真命題．
命題的否定：任意的四邊形，它的對角線不互相垂直．
【點撥】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.
【典題2】若命題“時，”是假命題，則的取值范圍　 ?。?br/>【解析】 是假命題，
該命題的否定是真命題，
即方程在上有解，
，解得.
【點撥】
①命題與命題的否定的真假性相反；
②正面不好證明，可從反面入手.
鞏固練習
1 (★) 命題“”的否定是　 　.
【答案】
【解析】因為特稱命題的否定是全稱命題，
所以命題的否定是．
2 (★★) 若命題，”是假命題，則實數的取值范圍是　 ?。?br/>【答案】 []
【解析】命題的否定為，
命題”是假命題，
為真命題，
則，解得．
實數的取值范圍是：[]．
3 (★★) 已知命題“”為真命題，則實數的取值范圍是　 ．
【答案】
【解析】命題為真命題
等價于上有解，
令，則等價于，
，
挑戰學霸
設數集滿足下列兩個條件：
(1)，；(2)或，則．
現給出如下論斷：
①中必有一個為；②中必有一個為；
③若且，則；④存在互不相等的，使得．
其中正確論斷的個數是(　　)
A． B． C． D．
【解析】由(2)知不屬于(①不成立)，
由(1)可推出對于任意，
等于中的某一個，
不妨設，
，(由(1)知②成立)，
若③中，則，
由(1)知，即，
時③成立，
同理有時③成立和時③成立，
下面討論時，
，若，則，③成立(最后會證到即可能等于1)，
若，則中的某個等于1，
不妨設，由知，
由(1)知，又(即)，(即)，(即)，
，
同理有，
，，，
，③成立，
綜上，對于任意，有成立，即③成立，
由即的討論可知
當時，，(聯立解出)
此時，④成立，
若即，則，由1知，
若，則，不可能，
若，則，不可能，
若，則，不可能，
，
，
同理有，
的平方根有且只有兩個值，
那么中至少有兩個相同，這與同屬于矛盾，
不存在即的情況，
④成立．
故選：．
中小學教育資源及組卷應用平臺
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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