資源簡介

一元二次函數、方程和不等式
1不等式關系與不等式
① 不等式的性質
(1) 傳遞性：；
(2) 加法法則：；
(3) 乘法法則：；
(4) 倒數法則：；
(5) 乘方法則：；
② 比較大小
(1) 作差法(與的比較)
(2) 作商法(與比較)
2 一元二次不等式及其解法
① 二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：
(以下均以為例)
函數、方程、表達式
二次函數
的圖象
一元二次方程 的根 有兩個相異實數根 有兩個相等實數根 沒有實數根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
② 二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系，可充分利用二次函數圖像去理解；
③ 求解一元二次不等式時，利用二次函數圖像思考，需要確定二次函數的開口方向，判別式，兩根的大小與不等式的解集有關，而對稱軸是不會影響解集的.
3 一元二次不等式的應用
(1) 分式不等式的解法
解分式不等式可等價為有理整式不等式(組)求解.
由于與均意味同號，故與等價的；
與均意味異號，故與等價的；
可得① ，且.
比如且.
② ，且.
比如且.
(2) 一元高次不等式的解法
① 一元高次不等式通常先進行因式分解，化為(或)的形式，然后用穿針引線法求解.首先保證每個因式中的系數為正，然后從右側畫起，右側第一個區間為正，從右向左依次正負出現，特別要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某個因式的次數.
Eg 解，如圖所示，解集為.
解，如圖所示，解集為.
【題型一】不等式性質的運用
【典題1】實數滿足，則下列不等式正確的是 (　　)
【解析】，
錯誤，比如，得出；
，，該選項正確；
錯誤，比如時，；
, 時，，
，該選項錯誤．
故選：．
【點撥】涉及不等式的選擇題，適當利用“取特殊值排除法”會做得更快些.
【典題2】已知，試比較與的值的大小．
【解析】，(作差法)
當時，，，則，即；(確定差)
當時，，則，即．
綜上可得時，；時，．
【點撥】比較兩個式子的大小，可用做差法或做商法；一般冪的形式比較大小用作商法，比如比較與；多項式形式常用做差法，比如比較與.
【典題3】已知，，，則正確的結論是(　　)
與的大小不確定
【解析】方法一 特殊值法
取特殊值，令，則，，
易知, 排除，還不能排除，猜測選.
方法二 做差法，分析法
要比較大小，只需要比較的大小
(遇到二次根式可考慮平方去掉根號)
而顯然，故，故，故選.
方法三 共軛根式法
，
，
，
，
，即，故選.
【點撥】
① 比較兩個式子的方法很多，選擇題可以考慮取特殊值排除法；
② 方法二中，遇到帶有根號的常常兩邊平方去掉根號再比較，此時注意兩個式子是否都是正數；在思考的過程中，不斷使用“等價轉化”把比較的兩個式子越化越簡單，等價過程中注意嚴謹；
③ 方法三中注意到.
若，互為共軛根式，它們的乘積、平方和差有一定的特點.
.
鞏固練習
1 (★) 已知，那么下列不等式成立的是(　　)
【解析】，，，，．
．
．
故選：．
2 (★★) 設，則下列不等式恒成立的是(　　)
【解析】設，可得，則錯誤；
由可得，，可得，故錯誤；
由可得1，則22，故正確；
由，可得，故錯誤．
故選：．
3(★★) 已知，且，，則的關系是(　　)
【解析】因為，，且，，
所以，，
則0，
當且僅當時取等成立，
所以即，所以，
故選：．
4(★★) 若，，則，的大小關系是(　)
由的取值確定
【解析】，，，
，
∴，
，且，，
．
故選．
5(★★★) 設，則下列判斷中正確的是( )
．
【解析】
即.
【題型二】二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的關系
【典題1】 如果關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為 .
【解析】關于的不等式的解集為，
是方程的兩實數根，且，
由韋達定理得，
，
不等式化為，
即，解得或；
則該不等式的解集為．
【點撥】通過二次函數的圖像理解，二次函數、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的關系.
【典題2】解關于的不等式：
【解析】；
等價變形為：且； (注意分母)
解得.
鞏固練習
1(★) 若不等式對一切實數都成立，則的取值范圍為 (　　)
【答案】
【解析】對一切實數都成立，
①時，恒成立，
②時，，解可得
綜上可得，
故選：．
2(★★) 若關于的不等式的解集為，則等于(　)
【答案】
【解析】由題意知，和是方程的兩個根，
則由根與系數的關系，得，解得，
所以．
故選：．
3(★★) 若不等式的解集是，則不等式的解集是(　)
【答案】
【解析】不等式的解集是()∪()，
∴和是方程的兩個實數根，
由，解得：，，
故不等式即，
即，解得：，
所以所求不等式的解集是：，
故選：．
4(★★) 【多選題】關于的一元二次不等式的解集中有且僅有個整數，則的取值可以是(　　)
【答案】
【解析】設，其圖象是開口向上，對稱軸是的拋物線，如圖所示；
若關于的一元二次不等式0的解集中有且僅有個整數，則
，即，
解得，又，
所以．
故選：．
5(★★) 不等式的解集是 .
6(★★) 已知不等式的解集是，，則不等式的解集是 .
【答案】
【解析】不等式的解集是，
則，是一元二次方程的實數根，且；
，；
不等式化為 ，
；
化為；
又，；
不等式的解集為：|}，
故選：．
7(★★) 不等式的解集為或，則值是 .
【答案】
【解析】不等式等價于即，
所以，解得，
檢驗成立.
【題型三】求含參一元二次不等式
角度1：按二次項的系數的符號分類，即;
解不等式
【解析】
(不確定不等式對應函數是否是二次函數，分與討論)
當時，不等式為，解集為；
當時，
(二次函數與軸必有兩個交點)
解得方程兩根；
(二次函數的開口方向與不等式的解集有關，分與討論)
當時，解集為；
當時, 解集為}.(注意的大小)
綜上，當時，解集為；
當時，解集為；
當時, 解集為}.
角度2：按判別式的符號分類
解不等式.
【解析】
(此時不確定二次函數是否與軸有兩個交點，對判別式進行討論)
①當，即時，解集為；
②當，即時，解集為；
③當或，即時，此時兩根為，顯然，
不等式的解集為或.
綜上，當時，解集為；
當時，解集為；
當或時，解集為或.
角度3：按方程的根大小分類
解不等式：.
【解析】原不等式可化為：
令，得；
(因式分解很關鍵，此時確定與軸有交點，的大小影響不等式解集)
當時，即時，解集為；
當時，即或時，解集為；
當時，即或時，解集為}.
綜上，當時，解集為；
當或時，解集為；
當或時，解集為}.
【點撥】
① 當求解一元二次不等式時，它是否能夠因式分解，若可以就確定對應的二次函數與軸有交點，就不需要考慮判別式.
常見的形式有，
等，若判別式是一個完全平方式，它就能做到“較好形式的十字相乘”，當然因式分解也可以用公式法求解；
② 在求解含參的一元二次不等式，需要嚴謹，多從二次函數的開口方向、判別式、兩根大小的比較三個角度進行分類討論，利用圖像進行分析.
鞏固練習
1 (★★) 關于的不等式的解集中恰有個整數，則實數的取值范圍是 (　　)
【答案】
【解析】由，得，
若，則不等式無解．
若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數解，則此時個整數解為，則．
若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數解，則此時個整數解為，則．
綜上，滿足條件的的取值范圍是．
故選：．
2 (★★) 解關于的不等式 ．
【答案】時，不等式的解集是，
時，不等式的解集是，
時，不等式的解集是．
【解析】方程中，
①當即時，不等式的解集是，
②當，即時，不等式的解集是，
③當即時，
由解得：，
時，不等式的解集是，
綜上，時，不等式的解集是，
時，不等式的解集是，
時，不等式的解集是．
3 (★★) 解關于的不等式：．
【答案】 或時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為．
【解析】關于的不等式：中，
，
當或時，，
對應的一元二次方程有兩個實數根和，
且，
不等式的解集為或x}；
當時，，對應的一元二次方程有兩個相等的實數根，
不等式的解集為}；
當時，，不等式的解集為；
綜上，或時，不等式的解集為；
時，不等式的解集為；時，不等式的解集為．
4(★★★) 若，解關于的不等式．
【答案】當時，解集是； 當時，解集是；
當時，解集是；當時，解集是．
【解析】當時，．
當a≠0時，．
當時，，解得．
當時，．
當時，
當時，，或．
當時，，或．
當時，解集是；
當時，解集是；
當時，解集是；
當時，解集是．
5 (★★★) 關于的不等式恰有個整數解，求實數的取值范圍.
答案】
【解析】不等式恰有個整數解，
即恰有兩個解，
，即，或．
當時，不等式解為，
，恰有兩個整數解，即：，
，，解得：；
當時，不等式解為，
，恰有兩個整數解即：，
，，解得，
綜上所述：，或．
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1不等式關系與不等式
① 不等式的性質
(1) 傳遞性：；
(2) 加法法則：；
(3) 乘法法則：；
(4) 倒數法則：；
(5) 乘方法則：；
② 比較大小
(1) 作差法(與的比較)
(2) 作商法(與比較)
2 一元二次不等式及其解法
① 二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：
(以下均以為例)
函數、方程、表達式
二次函數
的圖象
一元二次方程 的根 有兩個相異實數根 有兩個相等實數根 沒有實數根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
② 二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系，可充分利用二次函數圖像去理解；
③ 求解一元二次不等式時，利用二次函數圖像思考，需要確定二次函數的開口方向，判別式，兩根的大小與不等式的解集有關，而對稱軸是不會影響解集的.
3 一元二次不等式的應用
(1) 分式不等式的解法
解分式不等式可等價為有理整式不等式(組)求解.
由于與均意味同號，故與等價的；
與均意味異號，故與等價的；
可得① ，且.
比如且.
② ，且.
比如且.
(2) 一元高次不等式的解法
① 一元高次不等式通常先進行因式分解，化為(或)的形式，然后用穿針引線法求解.首先保證每個因式中的系數為正，然后從右側畫起，右側第一個區間為正，從右向左依次正負出現，特別要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某個因式的次數.
Eg 解，如圖所示，解集為.
解，如圖所示，解集為.
【題型一】不等式性質的運用
【典題1】實數滿足，則下列不等式正確的是 (　　)
【典題2】已知，試比較與的值的大小．
【典題3】已知，，，則正確的結論是 (　　)
與的大小不確定
鞏固練習
1 (★) 已知，那么下列不等式成立的是(　　)
2 (★★) 設，則下列不等式恒成立的是(　　)
3(★★) 已知，且，，則的關系是(　　)
4(★★) 若，，則，的大小關系是(　)
由的取值確定
5(★★★) 設，則下列判斷中正確的是( )
．
【題型二】二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的關系
【典題1】 如果關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為 .
【典題2】解關于的不等式：
鞏固練習
1(★) 若不等式對一切實數都成立，則的取值范圍為 (　　)
2(★★) 若關于的不等式的解集為，則等于(　)
3(★★) 若不等式的解集是，則不等式的解集是(　)
4(★★) 【多選題】關于的一元二次不等式的解集中有且僅有個整數，則的取值可以是(　　)
5(★★) 不等式的解集是 .
6(★★) 已知不等式的解集是，，則不等式的解集是 .
7(★★) 不等式的解集為或，則值是 .
【題型三】求含參一元二次不等式
角度1：按二次項的系數的符號分類，即;
解不等式
角度2：按判別式的符號分類
解不等式.
角度3：按方程的根大小分類
解不等式：.
鞏固練習
1 (★★) 關于的不等式的解集中恰有個整數，則實數的取值范圍是 (　　)
2 (★★) 解關于的不等式 ．
3 (★★) 解關于的不等式：．
4(★★★) 若，解關于的不等式．
5 (★★★) 關于的不等式恰有個整數解，求實數的取值范圍.
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