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基本不等式
1 基本不等式
若，則 (當且僅當時，等號成立).
① 叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù).
② 基本不等式的幾何證明
(當點重合，即時，取到等號)
③運用基本不等式求解最值時，牢記：一正，二定，三等.
一正指的是；二定指的是是個定值，三等指的是不等式中取到等號.
2 基本不等式及其變形
(調(diào)和均值幾何均值算術(shù)均值平方均值)
以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.
① ，積定求和；
② ，和定求積：
③ (聯(lián)系了與平方和)
④ (聯(lián)系了與平方和)
3 對勾函數(shù)
① 概念 形如的函數(shù).
② 圖像
③ 性質(zhì)
函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，
在第一象限中，當時，函數(shù)遞減，當時，函數(shù)遞增.
④ 與基本不等式的關(guān)系
由圖很明顯得知當時，時取到最小值，
其與基本不等式時取到最小值是一致的.
【題型一】對基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情況1 一正：
求函數(shù)的最值.
情況2 二定：定值
求函數(shù)的最值.
情況3 三等：取到等號
求函數(shù)的最值.
【題型二】基本不等式運用的常見方法
方法1 直接法
【典題1】設(shè)，則三個數(shù)、、 (　　)
．都大于4 至少有一個大于4
至少有一個不小于4 至少有一個不大于4
【典題2】設(shè)，下列不等式中等號能成立的有(　　)
① ； ② ；
③ ； ④ ；
A．個 B．個 C．個 D．個
【典題3】已知實數(shù)，滿足，則的最大值為 .
方法2 湊項法
【典題1】若，則函數(shù)的最小值為 .
【典題2】若，則的最小值是　 　．
【典題3】設(shè)，則的最小值是　 　．
方法3 湊系數(shù)
【典題1】若，則的最大值是　 　．
【典題2】已知為正數(shù)，，則的最大值為　 　．
方法4 巧法
【典題1】已知，，，則的最大值是　 ．
【典題2】已知，，且，則的最小值是　 ．
【典題3】設(shè)，，若，則的最小值為 　 ．
方法5 換元法
【典題1】若，則的最大值為　 .
【典題1】若，，則的最大值　 .
【典題2】設(shè)是正實數(shù)，且，則的最小值是　 .
方法6 不等式法
【典題1】已知，且，則的取值范圍是　 .
【典題2】 已知，，，則的取值范圍是 .
鞏固練習
1 (★★) 已知，則與的比較　 　．
2 (★★) 已知，，若，則的最大值為　 　．
3 (★★) 若，，且，則的最小值是　 　．
4 (★★) 函數(shù)的最小值為　 　．
5(★★) 已知實數(shù)，則的最大值為　 　．
6 (★★) [多選題]下列說法正確的是(　　)
的最小值是 的最小值是
的最小值是 的最大值是
7 (★★★) [多選題]設(shè)，，且，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最小值為 D．恒成立
8(★★★)若實數(shù)，，滿足，以下選項中正確的有(　　)
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最小值為 D．的最小值為
9 (★★★) 已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為　 　．
10 (★★★) 若正數(shù)滿足，則的最大值為　 　．
11 (★★★) 已知，則的最小值是　 　．
12 (★★★) 已知，，，則的最大值為　 　．
13 (★★★) 若正數(shù)滿足1，則的最小值為　 　．
14 (★★★★) 已知實數(shù)，，且滿足，則的最小值是　　．
15 (★★★★) 已知，，則的最大值是　　．
16 (★★★★) 設(shè)實數(shù)滿足，則的最小值是 .
挑戰(zhàn)學霸
方程的實數(shù)解的個數(shù)為　 　．
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1 基本不等式
若，則 (當且僅當時，等號成立).
① 叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù).
② 基本不等式的幾何證明
(當點重合，即時，取到等號)
③運用基本不等式求解最值時，牢記：一正，二定，三等.
一正指的是；二定指的是是個定值，三等指的是不等式中取到等號.
2 基本不等式及其變形
(調(diào)和均值幾何均值算術(shù)均值平方均值)
以上不等式把常見的二元關(guān)系(倒數(shù)和，乘積，和，平方和)聯(lián)系起來，我們要清楚它們在求最值中的作用.
① ，積定求和；
② ，和定求積：
③ (聯(lián)系了與平方和)
④ (聯(lián)系了與平方和)
3 對勾函數(shù)
① 概念 形如的函數(shù).
② 圖像
③ 性質(zhì)
函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，
在第一象限中，當時，函數(shù)遞減，當時，函數(shù)遞增.
④ 與基本不等式的關(guān)系
由圖很明顯得知當時，時取到最小值，
其與基本不等式時取到最小值是一致的.
【題型一】對基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情況1 一正：
求函數(shù)的最值.
【誤解】，故最小值是.
【誤解分析】誤解中套用基本不等式，，當忽略了的前提條件！
【正解】 ，
(當取到等號)
，
故函數(shù)的最大值為，沒有最小值.
情況2 二定：定值
求函數(shù)的最值.
【誤解】
【誤解分析】套用基本不等式，滿足均為正數(shù)，但是最后求不出最值，因為不是一定值.
【正解】.(當時取到等號)
(通過湊項得到定值“”)
故函數(shù)的最小值為，沒有最大值.
情況3 三等：取到等號
求函數(shù)的最值.
【誤解】，即最小值為.
【誤解分析】在誤解中把，滿足了“一正二定”，但忽略了能否取到等號？若，則顯然方程無解，即不等式取不到等號，只能說明，那它有最小值么？
【正解】，令，則，
因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，取得最小值.
故的最小值為，無最大值.
【題型二】基本不等式運用的常見方法
方法1 直接法
【典題1】設(shè)，則三個數(shù)、、 (　　)
．都大于4 至少有一個大于4
至少有一個不小于4 至少有一個不大于4
【解析】假設(shè)三個數(shù)且且，
相加得：，
由基本不等式得：；；；(直接使用基本不等式)
相加得：，與假設(shè)矛盾；
所以假設(shè)不成立，三個數(shù)、、至少有一個不小于．
故選：．
【點撥】本題利用了反證法求解，當遇到“至少”“至多”等的字眼可考慮反證法：先假設(shè)，再推導得到矛盾從而證明假設(shè)不成立.
【典題2】設(shè)，下列不等式中等號能成立的有(　　)
① ； ② ；
③ ； ④ ；
A．個 B．個 C．個 D．個
【解析】，，，當時取到，所以①成立，
，當時取到，顯然②成立，
，運用基本不等式不能取等號，此時，顯然不成立，
，當時成立，
故正確的有三個，故選：．
【點撥】
① 直接使用基本不等式求解最值時，一是要做到“一正二定三等”，二是要選擇適當?shù)氖阶映洚?
② 連等問題
本題中④ ，當時成立，
這里連續(xù)用到基本不等式，這要注意連等問題，即要確定兩個等號是否能同時取到，
是當時取到等號，是當時取到等號，
即要同時滿足方程組才行，而方程組有解，
即是成立的，當取到等號.
再看一例子：設(shè)，求的最小值.
誤解1：，.
誤解2：.
以上兩種解法問題在哪里呢？
【典題3】已知實數(shù)，滿足，則的最大值為 .
【解析】 (分子、分母均為二次項同除)
，當且僅當時取等號，
，故最大值為．
【點撥】要用基本不等式的直接法求解需要尋找“乘積為定值的兩個式子”，比如與，，與之類的.
方法2 湊項法
【典題1】若，則函數(shù)的最小值為 .
【解析】，當且僅當時取等號．
函數(shù)的最小值為．
【點撥】把湊項成，目的是使得與的乘積為定值.
【典題2】若，則的最小值是　 　．
分析：三項都不能乘積為定值，而與乘積為定值的分別是與
，而它們的和剛好是，故想到令，完成湊項.
【解析】
當且僅當，，即時取等號，
(用了兩次基本不等式，要注意是否能同時取到等號)
故的最小值是.
【典題3】設(shè)，則的最小值是　 　．
【解析】 ；
(這里巧妙地完成湊項)
．
當且即當且，即時取等號，
的最小值為．
【點撥】湊項的目的是使得“為定值”，它需要一定的技巧！本題觀察到的分母之和，剛好是所求式子的第三項.
方法3 湊系數(shù)
【典題1】若，則的最大值是　 　．
【解析】，且，
則，
當且僅當即時等號成立，即的最大值為.
【點撥】基本不等式的變形，和定求積(若為定值，可求的最值).
本題中不是定值，故通過湊系數(shù)，使得為定值從而求出最值.
本題僅是二次函數(shù)最值問題，這里重在體會下“和定求積”.
【典題2】已知為正數(shù)，，則的最大值為　 　．
【解析】因為，
則，
(這里用到了不等式，遇到二次根式可利用平方去掉根號)
當且僅當時，取得最大值．
【點撥】
① 不等式把，兩者聯(lián)系在一起，知和為定值，可求積的最值.
② 平時做題要多注意常見二元關(guān)系：倒數(shù)和、積、和、平方和，能夠靈活使用以下不等式能夠達到快速解題的效果.
方法4 巧法
【典題1】已知，，，則的最大值是　 ．
【解析】 (當時取到等號)
(加“1” 巧妙的把與，與聯(lián)系起來)
相加得
即，故最大值為.
【典題2】已知，，且，則的最小值是　 ．
【解析】
，
當且僅當時，即時等號成立，
故的最小值為.
【點撥】本題的方法很多，比如消元法、換元法等，但屬巧法最簡潔了！
【典題3】設(shè)，，若，則的最小值為 　 ．
【解析】若，則，(湊項再利用巧法)
則，
又由，則，當時取到等號，
則，即的最小值為.
方法5 換元法
【典題1】若，則的最大值為　 .
【解析】令，則，，
原式，
當且僅當即時等號成立.
故的最大值為.
【點撥】本題是屬于求函數(shù)的最值問題，它常用到基本不等式或?qū)春瘮?shù)，換元法是常見手段.
【典題1】若，，則的最大值　 .
【解析】設(shè)，(遇到二次根式，用換元法達到去掉根號的目的)
則，
(這相當已知求的最大值，想到算術(shù)均值平方和均值)
即，故最大值為.
【點撥】
① 本題本來是“已知求的最大值 ”，通過換元法后變成
“已知求的最大值 ”.顯然問題比問題看起來更舒服些，故換元法就能把問題的表示形式轉(zhuǎn)化為令人“順眼”些.
你說不更簡潔？
是的，它們的解法本質(zhì)是一樣的，換元法本質(zhì)是“整體思想”.用上換元法更容易找到解答思路.
② 本題還有其他的解法，可多思考體會下數(shù)學思維的魅力！
【典題2】設(shè)是正實數(shù)，且，則的最小值是　 .
【解析】令，，則，；
由題意得為正實數(shù)，且；
(以上純是運算，沒太大難度，作到這就相當于“已知，求最小值”，較易想到巧“1”法)
．
當且僅當即取到等號，
即的最小值是.
【點撥】本題再次讓你體驗到換元法能把問題轉(zhuǎn)化為更簡單的形式，本題是分母“換元”，“寧愿分子復雜些，也想分母簡單些”就這么樸素的想法！
方法6 不等式法
【典題1】已知，且，則的取值范圍是　 .
分析：相當是“關(guān)于與的方程”，而由基本不等式又確定了“關(guān)于與的不等關(guān)系”，那用“消元思想”不就得到的不等式么？！其范圍就有了！
【解析】，，
由得代入不等式可得，
整理可得，，
解得.
【典題2】 已知，，，則的取值范圍是 .
【解析】，，
(這要確定與的關(guān)系，想法與上題相似，利用與的等式關(guān)系與不等關(guān)系最終得到關(guān)于的不等式)
而
，解得，
的取值范圍是．
鞏固練習
1 (★★) 已知，則與的比較　 　．
【答案】
【解析】已知，
因為，且，
所以，
解得，
所以的值小于．
2 (★★) 已知，，若，則的最大值為　 　．
【答案】
【解析】正數(shù)，滿足，
，，
解得，
故，當且僅當時取等號．
的最大值為
3 (★★) 若，，且，則的最小值是　 　．
【答案】
【解析】，且，
，
當且僅當，即時等號成立，
4 (★★) 函數(shù)的最小值為　 　．
【答案】
【解析】令，；
(當且僅當，即時，等號成立)，
故函數(shù)，的最小值為，
5(★★) 已知實數(shù)，則的最大值為　 　．
【答案】
【解析】由于，
所以，
故：，(當且僅當時，等號成立)．
6 (★★) [多選題]下列說法正確的是(　　)
的最小值是 的最小值是
的最小值是 的最大值是
【答案】
【解析】由基本不等式可知，時，，當且僅當即時取等號，故正確；
：，當時取得等號，故正確；
：，令，則，
因為在上單調(diào)遞增，當時，取得最小值，故錯誤；
：在時，沒有最大值，故錯誤．
故選：．
7 (★★★) [多選題]設(shè)，，且，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最小值為 D．恒成立
【答案】
【解析】因為，，且，
對于，，
當且僅當時取等號，故選項錯誤；
對于，，
當且僅當，時取等號，故選項正確；
對于，，
當且僅當時取等號，故選項正確；
對于，當時，，但，故選項錯誤．
故選：．
8(★★★)若實數(shù)，，滿足，以下選項中正確的有(　　)
A．的最小值為 B．的最小值為
C．的最小值為 D．的最小值為
【答案】
實數(shù)，，，
整理得：，當且僅當時取，故選項錯誤；
(，
當且僅當時取，故選項錯誤；
，，
，
當且僅當時取，
，故選項錯誤；
，
，
，當且僅當時取，故選項正確，
故選：．
9 (★★★) 已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為　 　．
【答案】
【解析】正實數(shù)，滿足，
則，
當且僅當且即，時取等號，
10 (★★★) 若正數(shù)滿足，則的最大值為　 　．
【答案】
正數(shù)滿足，
，解得，
，
當且僅當時等號成立，
的最大值為．
11 (★★★) 已知，則的最小值是　 　．
【答案】
，則
，
12 (★★★) 已知，，，則的最大值為　 　．
【答案】
，．
則
，
令，
則，
令，即，
可得，
由，
當且僅當，時上式取得等號，
可得，
則的最大值為，
13 (★★★) 若正數(shù)滿足1，則的最小值為　 　．
【答案】
正數(shù)，滿足1，，且；
1變形為，，
，；，
，
當且僅當4(a－1)，即時取“”(由于，故取，
的最小值為；
14 (★★★★) 已知實數(shù)，，且滿足，則的最小值是　　．
【答案】
【解析】實數(shù)，，且滿足，
，，
又，
，當且僅當時取，
故答案為：．
15 (★★★★) 已知，，則的最大值是　　．
【答案】
【解析】
，
令，則，
當且僅當時取等號，
函數(shù)，在[4，+∞)上單調(diào)遞增，
的最小值為：，
，
．
的最大值為：．
故答案為：．
16 (★★★★) 設(shè)實數(shù)滿足，則的最小值是 .
【答案】
【解析】方法1
令， ，
則
再令
則
當且僅當時取到等號，
方法2
令，則，
當且僅當時取到等號.
挑戰(zhàn)學霸
方程的實數(shù)解的個數(shù)為　 　．
【答案】1
【解析】由題意知，
設(shè) ①，
則 ②，
所以①+②得
(當且僅當時等號成立)
所以，
又因為(當且僅當時等號成立)，
所以
當且僅當時等號成立，
因此實數(shù)解的個數(shù)為.
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