資源簡介

圓錐曲線綜合(一)
1. 交軌法
2. 三點共線
3. 四點共圓
4. 定值問題
典型例題
x2 y2
例 1雙曲線 2 2 1的實軸為 A1A2，點 P是雙曲線上的一個動點，引 A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q與 A2Qa b
的交點為 Q，求 Q點的軌跡方程.
例 2拋物線 y2 2px( p 0)，O為坐標原點，A、B在拋物線上，且 OA⊥OB，過 O作 OP⊥AB交 AB于 P，
求 P點軌跡方程.
例 3 2已知拋物線： y 4x焦點為 F，過點 K(-1，0)的直線 l與 C交于 A、B兩點，點 A關于 x軸的對稱點為
D，證明點 F在直線 BD上.
2 2
例 4已知橢圓在焦點在 x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線 x 4y的焦點，離心率為 ，過橢圓右焦點 F
5
作與坐標軸不垂直的直線 l，交橢圓于 A、B兩點.
(1)求橢圓的標準方程；

(2)設點M(m，0)是線段 OF上的一個動點，且 (MA MB) AB，求 m的取值范圍.
(3)設點 C是點 A關于 x軸的對稱點，在 x軸上是否存在一個定點 N，使得 C、B、N三點共線？若存在，求出
定點 N的坐標，若不存在，請說明理由.
y2
例 5 已知 O為坐標原點，F 2為橢圓 C： x 1在 y軸正半軸上的焦點，過 F且斜率為 2的直線 l與 C
2

交于 A、B兩點，點 P滿足OA OB OP 0
(1)證明：點 P在 C上；
(2)設點 P關于點 O的對稱點為 Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.
y2
例 6 設 A、B是雙曲線 x2 1上的兩點，點 N(1,2)是線段 AB的中點
2
(1)求直線 AB的方程；
(2)如果線段 AB的中垂線與雙曲線相交于 C、D兩點，那么 A、B、C、D四點是否共圓，為什么？
2
2 y
例 7已知橢圓 x 1的左右兩個頂點分別為 A、B，曲線 C是以 A、B兩點為頂點，離心離為 5的雙曲
4
線，設點 P在第一象限且在曲線 C上，直接 AP與橢圓相交于另一點 T.
(1)求曲線 C的方程；
(2)設 P、T兩點的橫坐標分別為 x1、x2,證明：x1x2=1
x2 y2
例 8已知橢圓 E: 2 2 1(a b 0)
1
的一個焦點為 F1( 3 ,0),而且過點 H( 3， )
a b 2
(1)求橢圓 E的方程；
(2)設橢圓 E的上下頂點分別為 A1、A2,P是橢圓上異于 A1、A2的任一點，直線 PA1、PA2分別交 x軸于 N、M，
若直線 OT與過點M、N的圓 G相切，切點為 T，證明：線段 OT的長為定值，并求出該定值.
練習 1
x2
F y2已知點 是橢圓 2 1(a 0)的右焦點，點M(m,0)、N(0,n)分別是 x軸、y軸上的動點，且滿足a 1

MN NF 0，若點 P滿足OM 2ON PO
(1) 求點 P的軌跡 C的方程；
(2) 設過點 F任作一直線與點 P的軌跡交于 A、B兩點，直線 OA、OB與直線 x=-a分別交于點 S、T(O為坐標

原點)，試判斷FS FT是否為定值？若是求出這個定值；若不是，說明理由.
參考答案
x , y y 0 y0 0 1 y 0 y0 0例 1設點 P( 0 0 ),Q(x,y),易知 A1(-a,0)、A2(a,0),由已知可得 ① 1②，x a x0 a x a x0 a
2 2
由①②可得 x0 x, y
x a
0 ，而 P( x0 , y0 )在雙曲線上，代入可得 a
2x2 b2 y2 a4 ( x a )
y
例 2設 P(x,y),A( x1, y1 ),B( x2 , y2 ),設直線 AB的解析式為 x=my+b,與拋物線聯立得 y
2 2mpy 2pb 0得
2 2
y1 y2 2mp, y y
y
2pb， x x 1 y2 21 2 1 2 2 b ，而 OA⊥OB得 x1x2 y1y2 0可得 b=2p，OP⊥AB得4p
y 0 1 1 m y y 得 ,P在直線 AB上，代入可得 x y 2p即 (x p)2 y2 p2；另法：由 b=2p
x 0 m x x
知直線 AB過定點M(2p,0),△OMP為直角三角形，OM=2p，故點 P在以 OM為直徑的圓上，故 P點的軌
跡方程為 (x p)2 y2 p2
例 3設 A( x1, y1 )、B( x2 , y2 )設直線 AB的方程為 y k(x 1)，與拋物線聯立得 k
2x (2k 2 4)x k 2 0得
4 4x1
x x 4 2k 2 , x x 1，易知 D( x , y ), k y1 y 4y k
y y y 4y
1 2 1 2 1 1 DF
1 1 2 1 1 12 2 , BF x1 1 y1 y 4 x2 1 1 1 1 x1 y
2 4
1 1 1
4 x1
kDF kBF ，故 F在 BD上
x2
例 4(1) y2 1；(2)設直線 AB解析式為 y k(x 2)與橢圓聯立得 (1 5k 2 )x 20k 2x 20k 2 5 0得
5
20k 2 2 x1 x2 2 , x
20k 5
1x2 ，2 MA MB (x1 x2 2m, y1 y ) (x x 2m,k(x x 4))，1 5k 1 5k 2 1 2 1 2

AB (x2 x1, y2 y1) (x2 x1,k(x2 x1))，故

(MA MB) AB (x1 x2 2m)(x2 x1) k
2 (x1 x2 4)(x2 x1) (x2 x )[x x 2m k
2
1 1 2 (x1 x2 4)] 0
得 k 2 m 8 0得0 m
8 5m 5
y y
(3)易知 C( x1, y1 ),直線 BC的方程為 y y 1 21 (x x1)，令 y=0，則x2 x1
x x (x2 x1)y1 x (x2 x1)[k(x1 2)] x (x x )(x 2) 5 5 1 1 1 2 1 1 ，故點 N( ,0)y1 y2 k(x1 x2 4) x1 x2 4 2 2
例 5(1)設 A( x1, y1 ),B( x2 , y2 )直線 AB方程為 y 2x 1與橢圓聯立得 4x
2 2 2x 1 0，
x 2
2
1 x2 , y1 y2 1得 P( ， 1 ),代入驗證可知點 P在橢圓上；2 2
2 2 1 2
(2)易知點 Q( ，1 ),AB的中垂線為 y x ，PQ的中垂線為 y x ，兩直線的交點為
2 2 4 2
2 1
M( ， ),而易驗證MA=MQ,故 A、P、B、Q四點在同一圓上
8 8
2 2
例 6(1)設 A( x1, y1 ),B( x2 , y ),則有 x
2 y1 2 y y y x x
2 1 1, x2 2 1兩式相減得 1 2 2 1 2 1故直線 AB的2 2 x1 x2 y1 y2
方程為 y x 1
(2)易知 A(-1,0),B(3,4),AB的中垂線為 y x 3，與雙曲線聯立得 x2 6x 11 0 ,CD的中點為
M(-3,6),CD=4 10 ,MA=MB=2 10 ,故 A、B、C、D四點共圓
y2
例 7 (1) x2 1
4
(2)P( x1, y1 ),T( x
2 2 2
2 , y2 ),設直線 PT方程為 y k(x 1)與雙曲線聯立得 (4 k )x 2kx (k 4) 0得
k 2x 4
2
，同理與橢圓聯立得 (4 k 2 )x2 2k 2x k 2 4 k1 4 k 2
4 0得 x1 ，故 x x 14 k 2 1 2
x2
例 8(1) y2 1
4
y 1
(2)設 P( x0 , y0 ),A1P方程為 y 0 x 1
x y 1
可得 N( 0 ,0),同理 A2P方程為 y 0 x 1
x
，M( 0 ，0 )
x0 y0 1 x0 y0 1
x x x2
由切割線定理得 OT2=OM·ON= 0 0 0 4，故 OT=2
y0 1 y0 1 1 y
2
0
練習 1(1)設點 P( x, y ),易知 ( m,n)(a, n) 0,即有 n2 ma 0，同時 m= 2(0,n) ( x, y)即有
m x,2n y 2代入得 y 4ax
(2)設 A( x1, y1 ),B( x2 , y2 ),直線 AB的解析式為 x my a聯立得 y
2 4amy 4a2 0，
2
y 2 y1 4ax 4a1 y2 4am, y1y2 4a ，可知 OA方程為 y x 得 S( a, )；同理 OB方程為x1 y1 y1
y y 4ax 4a
2 4a2 4a2 16a2
2 x ,T( a, ),FS FT ( 2a, )( 2a, ) 4a2 4a2 4a2 0
x2 y2 y2 y1 y2 y1y2

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