資源簡介

函數的單調性
1 函數單調性的概念
一般地，設函數的定義域為，區間:
如果，當時，都有，那么就說在區間上單調遞增(圖①).特別地，當函數在它定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數.
如果，當時，都有，那么就說在區間上單調遞減(圖②).特別地，當函數在它定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數.
Eg：在上單調遞減，但它不是減函數，
特別注意它的減區間是，不是.
2 單調性概念的拓展
① 若遞增，，則.
比如：遞增，則.
② 若遞增，，則.
比如：遞增則.
遞減，有類似結論！
3 判斷函數單調性的方法
① 定義法
解題步驟
(1) 任取，且；
(2) 作差；
(3) 變形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定號(即判斷差的正負)；
(5) 下結論(指出函數在給定的區間上的單調性)．
② 數形結合
③ 性質法
增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數；
但增函數增函數不一定是增函數，比如，均是增函數，而不是.
④ 復合函數的單調性
(1)如果則稱為的復合函數；
比如： (和的復合函數)；
(和的復合函數)；
(和的復合函數).
(2) 同增異減
設函數的值域是，函數
若在各自區間單調性相同，則復合函數在區間上遞增；
若在各自區間單調性不同，則復合函數在區間上遞減.
4 函數的最值
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
(1) ，都有；(2)，使得；
那么，我們稱是函數的最大值.(最小值類似定義)
簡單來說，最大值和最小值分別是函數圖像中最高點和最低點的函數值.

【題型一】對函數單調性的理解
【典題1】 函數在是增函數，若，則有 ( )
【典題2】已知函數在上是單調函數，且對任意，都有，則的值等于 .
鞏固練習
1(★★) 設，函數在區間是增函數，則(　　)
．
．
2(★★) 已知是定義在上單調遞增的函數，則滿足的取值范圍是 .
【題型二】 判斷函數單調性的方法
方法1 定義法
【典題1】判斷在的單調性.
方法2 數形結合
【典題2】函數的單調增區間是 (　　)
方法3 復合函數的單調性
【典題3】函數的單調減區間為 .
鞏固練習
1(★) 下列四個函數在是增函數的為(　　)
2(★)設函數在上為增函數，則下列結論一定正確的是(　　)
．在上為減函數 ．在上為增函數
．在上為增函數 ．在上為減函數
3(★) 函數的遞減區間為 　．
4(★) 函數的單調遞減區間為 　．
5(★★) 函數的單調遞增區間為　 　．
6(★★★) 已知函數在定義域上單調遞增
(1)求的取值范圍；
(2)若方程存在整數解，求滿足條件的個數.
7(★★★) 函數在區間上都有意義，且在此區間上
①為增函數，；②為減函數，．
判斷在的單調性，并給出證明．
【題型三】函數單調性的應用
角度1 解不等式
【典題1】已知函數，若，則實數的取值范圍是 .
角度2 求參數取值范圍或值
【典題2】若()，在定義域上是單調函數，則的取值范圍 .
角度3 求函數最值
【典題3】已知函數．
(1)當時，求的值域；
(2)當時，求函數在區間上的最小值．
鞏固練習
1(★★) 已知函數，其定義域是，則下列說法正確的是(　　)
有最大值，無最小值 有最大值，最小值
有最大值，無最小值 有最大值2，最小值
2(★★) 若是上的單調減函數，則實數的取值范圍為　 　．
3(★★) 若函數在上的最小值為．則　 　．
4(★★) 已知函數，若，則實數的取值范圍是　 　．
5(★★) 已知函數的最小值為，則實數的值為　 　．
6(★★★) 已知函數的定義域為(為實數)．
當時，求函數的值域；
求函數在區間上的最大值及最小值，并求出當函數取得最值時的值．
【題型四】 抽象函數的單調性
定義在上的函數滿足對所有的正數都成立，
且當，．
求的值
判斷并證明函數在上的單調性
若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.
鞏固練習
1 (★★★) 定義在上的函數滿足下面三個條件：
① 對任意正數，都有；② 當時，；③
求和的值；
試用單調性定義證明：函數在上是減函數；
求滿足的的取值集合．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)函數的單調性
1 函數單調性的概念
一般地，設函數的定義域為，區間:
如果，當時，都有，那么就說在區間上單調遞增(圖①).特別地，當函數在它定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數.
如果，當時，都有，那么就說在區間上單調遞減(圖②).特別地，當函數在它定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數.
Eg：在上單調遞減，但它不是減函數，
特別注意它的減區間是，不是.
2 單調性概念的拓展
① 若遞增，，則.
比如：遞增，則.
② 若遞增，，則.
比如：遞增則.
遞減，有類似結論！
3 判斷函數單調性的方法
① 定義法
解題步驟
(1) 任取，且；
(2) 作差；
(3) 變形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定號(即判斷差的正負)；
(5) 下結論(指出函數在給定的區間上的單調性)．
② 數形結合
③ 性質法
增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數；
但增函數增函數不一定是增函數，比如，均是增函數，而不是.
④ 復合函數的單調性
(1)如果則稱為的復合函數；
比如： (和的復合函數)；
(和的復合函數)；
(和的復合函數).
(2) 同增異減
設函數的值域是，函數
若在各自區間單調性相同，則復合函數在區間上遞增；
若在各自區間單調性不同，則復合函數在區間上遞減.
4 函數的最值
一般地，設函數的定義域為，如果存在實數滿足：
(1) ，都有；(2)，使得；
那么，我們稱是函數的最大值.(最小值類似定義)
簡單來說，最大值和最小值分別是函數圖像中最高點和最低點的函數值.

【題型一】對函數單調性的理解
【典題1】 函數在是增函數，若，則有 ( )
【解析】
又函數在上是增函數，
故選.
【典題2】已知函數在上是單調函數，且對任意，都有，
則的值等于 .
【解析】函數在上是單調函數
可設(是個常數)，則；
；
在上單調遞增，只有時對應的函數值是，即；
；
【點撥】函數若是單調函數，即函數是“一一對應”的關系，一個對應一個，所以題目中“”只能是個常數.
鞏固練習
1(★★) 設，函數在區間是增函數，則(　　)
．
．
【答案】
【解析】根據題意，，
又由函數在區間上是增函數，則有；
故選：．
2(★★) 已知是定義在上單調遞增的函數，則滿足的取值范圍是 .
【答案】
【解析】是定義在上單調遞增的函數，
不等式等價為，即，
即不等式的解集為，
【題型二】 判斷函數單調性的方法
方法1 定義法
【典題1】判斷在的單調性.
【解析】設
則
(因式分解方便判斷差的正負)
(1) 假如則
又所以故函數單調遞減；
(2) 假如則
又所以故函數單調遞增；
所以函數在內單調遞減，在內單調遞增．
【點撥】利用定義法證明函數的單調性，注意熟練掌握解題的步驟：設元—作差—變式—定號—下結論.
方法2 數形結合
【典題2】函數的單調增區間是 (　　)
【解析】 (分離常數法)
的圖象是由的圖象沿軸向右平移個單位，然后沿軸向下平移個單位得到, 如下圖
的單調增區間是．故選．(切勿選)
【點撥】
① 本題先利用分離常數法，再利用函數的平移變換得到函數的圖像從而得到函數單調性.
② 利用數形結合的方法，平時需要多注意函數圖像的變換，包括平移變換、對稱變換、翻轉變換等.
方法3 復合函數的單調性
【典題3】函數的單調減區間為 .
【解析】函數是由函數和組成的復合函數，
函數的定義域是
(優先考慮定義域，否則容易選)
由二次函數圖像易得在單調遞減，在單調遞增，
而在是單調遞增，
由復合函數單調性的“同增異減”，可得函數的單調減區間．
【點撥】
① 研究函數的基本性質，優先考慮定義域；
② 研究復合函數，要弄清楚它由什么函數復合而成的.
鞏固練習
1(★) 下列四個函數在是增函數的為(　　)
【答案】
【解析】對于，二次函數，開口向上，對稱軸為軸，在是減函數，故不對．
對于，一次函數，，在是減函數，故不對．
對于，二次函數，開口向下，對稱軸為，在)是增函數，故C不對．
對于，反比例類型，，在是增函數，故對．
故選：．
2(★)設函數在上為增函數，則下列結論一定正確的是(　　)
．在上為減函數 ．在上為增函數
．在上為增函數 ．在上為減函數
【答案】
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于，若，則，在上不是減函數，錯誤；
對于，若，則，在上不是增函數，錯誤；
對于，若，則，在上不是增函數，錯誤；
對于，函數在上為增函數，
則對于任意的，設，必有，
對于，則有，
則在上為減函數，正確；
故選：．
3(★) 函數的遞減區間為 　．
【答案】
【解析】當時，，對稱軸為，此時為增函數，
當時，，對稱軸為，拋物線開口向下，當時，為減函數，
即函數的單調遞減區間為，
故選：．
4(★) 函數的單調遞減區間為 　．
【答案】
【解析】由題意，，可得或，
函數的定義域為，
令，則在上單調遞增，
，在上單調遞減，在上單調遞增，
函數的單調遞減區間為，
5(★★) 函數的單調遞增區間為　 　．
【答案】
【解析】作出函數的圖象如圖，
由圖可知，函數的增區間為．
6(★★★) 已知函數在定義域上單調遞增
(1)求的取值范圍；
(2)若方程存在整數解，求滿足條件的個數.
【答案】 (1) (2)個
【解析】(1)任取，且
則
，則，因為函數在定義域上單調遞增
所以，在上恒成立，
所以，在上恒成立，，，所以。
(2)因為，所以，即，
解得：(舍去)，或，
因為大于，不大于的整數有個，
所以方程存在整數解，滿足條件的個．
7(★★★) 函數在區間上都有意義，且在此區間上
①為增函數，；②為減函數，．
判斷在的單調性，并給出證明．
【解析】減函數，令 ，則有，即可得；
同理有，即可得；
從而有
*
顯然，從而*式，
故函數為減函數．
【題型三】函數單調性的應用
角度1 解不等式
【典題1】已知函數，若，則實數的取值范圍是 .
【解析】和在上都單調遞減，
在上都單調遞減，
由得，，解得．
【點撥】
我們有增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數，由此性質求出函數單調性.
② 處理類似“”這樣的不等式，可利用函數的單調性去掉求解，不要硬代入原函數來個“暴力求解”，特別是復雜的函數或者抽象函數的時候.
角度2 求參數取值范圍或值
【典題2】若()，在定義域上是單調函數，則的取值范圍 .
【解析】在定義域上是單調函數，
①函數的單調性是增函數時，可得當時，
即，解之得，
時，是增函數，
時，是增函數，，得或，
綜上實數的取值范圍是；
②函數的單調性是減函數時，可得當時，，
即，解之得或，
時，是減函數，
又時，是減函數，
，得或
綜上實數的取值范圍是；
綜上所述，得.
【點撥】遇到分段函數，注意分離討論和數形結合“雙管齊下”方能一擊制敵.
角度3 求函數最值
【典題3】已知函數．
(1)當時，求的值域；
(2)當時，求函數在區間上的最小值．
【解析】(1)時，，
(遇到絕對值可變成分段函數處理)
在上遞減，在上遞增，
，
值域為．
(2)，
①當時，，對稱軸，
在單調遞增，．
②當時，，對稱軸，
(對于分段函數，多結合圖像進行分析，比較對稱軸與的大小)
當即時，在單調遞增，
，
．
當，即時，
在單調遞減，在單調遞增，
，
若，即時，，
若，即時，，
綜上．
【點撥】
① 遇到絕對值，可利用去掉絕對值符號，本題函數變成了分段函數；
② 函數最值或值域均與函數的單調性密不可分，了解到函數的單調性相當清晰函數的大致圖像，最值便易于求解；而二次函數的單調性與函數的對稱軸和開口方向有關；
③ 在分類討論時，注意結合函數圖像進行思考找到分類討論的“臨界值”.
鞏固練習
1(★★) 已知函數，其定義域是，則下列說法正確的是(　　)
有最大值，無最小值 有最大值，最小值
有最大值，無最小值 有最大值2，最小值
【答案】
【解析】函數2
即有在遞減，則處取得最大值，且為，
由取不到，即最小值取不到．
故選：．
2(★★) 若是上的單調減函數，則實數的取值范圍為　 　．
【答案】
【解析】若是上的單調減函數，
則，解得，
故答案為：．
3(★★) 若函數在上的最小值為．則　 　．
【答案】
【解析】函數圖象的對稱軸為，圖象開口向上，
(1)當時，函數在上單調遞增．則，
由，得，不符合；
(2)當時．則，
由，得或，，符合；
(3)當時，函數在上單調遞減，
，由，得，
，不符合，
綜上可得．
4(★★) 已知函數，若，則實數的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】由題意可知，函數在上單調遞增，
，則，
即且，
解可得或．
5(★★) 已知函數的最小值為，則實數的值為　 　．
【答案】或
【解析】當，即時，，
則，所以或(舍)．
當，即時，，
則，所以或(舍)．
綜上得或.
6(★★★) 已知函數的定義域為(為實數)．
當時，求函數的值域；
求函數在區間上的最大值及最小值，并求出當函數取得最值時的值．
【答案】
當時，無最小值，當時取得最大值;
當時，無最大值，當時取得最小值;
當時，無最大值,當時取得最小值.
【解析】 (1)當時，，任取，
則．
，
在上單調遞增，無最小值，
當時取得最大值，所以的值域為．
(2)當時，在上單調遞增，無最小值，
當時取得最大值；
當時，，
當1，即時，在上單調遞減，無最大值，
當時取得最小值；
當，即時，在上單調遞減，
在[上單調遞增，無最大值，當時取得最小值．
【題型四】 抽象函數的單調性
定義在上的函數滿足對所有的正數都成立，
且當，．
求的值
判斷并證明函數在上的單調性
若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.
【解析】，
取，得：；；
設，則，(定義法證明)
；；
又時，；；
，；在上單調遞減；
，；
由
又在上單調遞減，
．
【點撥】
① 求具體值時，要大膽嘗試，可取特殊值，如、等，可取特殊關系，如.
② 抽象函數的單調性用函數的定義法證明，具體的思路有
作差法 令再根據題意“湊出”，證明其大于或者小于;
作商法 令再根據題意“湊出”，證明其大于或者小于，此時還要注意是否成立；
③ 涉及抽象函數，解類似這樣的不等式，都要利用函數的單調性去掉;
④ 恒成立問題可用分離參數法，最終轉化為最值問題，如恒成立等價于，即求在上的最小值.
鞏固練習
1 (★★★) 定義在上的函數滿足下面三個條件：
① 對任意正數，都有；② 當時，；③
求和的值；
試用單調性定義證明：函數在上是減函數；
求滿足的的取值集合．
【答案】(1) (2)略，提示：定義法 (3)
【解析】 (1)令得，則，
而，
且，則；
(2)取定義域中的任意的，，且，，
當時，，，
，
在上為減函數．
(3)由條件①及(Ⅰ)的結果得，
，，
，
，解得，
中小學教育資源及組卷應用平臺
故的取值集合為.21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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