資源簡介

函數的奇偶性
1 函數奇偶性的概念
① 一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.
② 一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.
由奇偶函數的概念可知道其定義域是關于原點對稱的.
2 性質
① 偶函數關于軸對稱；
② 奇函數關于原點對稱；
③ 若奇函數定義域內含有，則；
④ 在公共定義域內，兩個偶函數(或奇函數)的和(或差)仍是偶函數(或奇函數)，兩個偶函數(或奇函數)的積(或商)是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積(或商)是奇函數．
3 判斷函數奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關于原點對稱，再求看下與的關系：若，則是偶函數；若，則是奇函數.
② 數形結合
若函數關于原點對稱，則函數是奇函數；若函數關于軸對稱，則函數是偶函數.
③ 取特殊值排除法(選擇題)
比如：若根據函數得到，則排除是偶函數.
④ 性質法
偶函數的和、差、積、商(分母不為)仍為偶函數；奇函數的和、差 (分母不為)仍為奇函數；
奇(偶)數個奇函數的積為奇(偶)函數；兩個奇函數的商(分母不為)為偶函數；
一個奇函數與偶函數的積為奇函數.
對于復合函數的奇偶性如下圖
偶函數 偶函數 偶函數
奇函數 奇函數 奇函數
偶函數 奇函數 偶函數
奇函數 偶函數 偶函數
【題型一】對函數奇偶性概念的理解
角度1 函數奇偶性的概念
【典題1】 已知是定義在上的偶函數，那么的值是 .
【典題2】 是定義在上的奇函數，下列結論中，不正確的是________：
角度2 判斷函數的奇偶性
情況1 具體函數的奇偶性判斷
【典題1】函數的圖象關于 對稱．
情況2 抽象函數的奇偶性判斷
【典題1】設是上的任意函數，則下列敘述正確的是( )
是奇函數 是奇函數
是奇函數 是奇函數
鞏固練習
1(★) 下列函數中，是偶函數的是(　　)
2(★) 函數的圖象關于(　　)對稱
．原點 ． ．軸 ．軸
3(★★) 若函數的定義域是，且對任意，都有成立．試判斷的奇偶性．
【題型二】函數奇偶性的運用
角度1 已知函數奇偶性，求值問題
【典題1】設為定義上上的奇函數，當時，為常數)，求.
【典題2】 若函數是奇函數，為偶函數，則 .
角度2 判斷函數的圖像
【典題1】 函數的圖象大致為(　　)
A． B．
C． D．
鞏固練習
1(★) 若函數的圖象關于軸對稱，則常數 .
2(★) 已知函數，，則的值是 .
3(★★) 已知函數為定義在上的奇函數，則 .
4(★★) 函數的部分圖象大致為 (　　)
． ． ． ．
【題型三】函數的奇偶性與單調性的綜合
【典題1】 已知奇函數在減函數，且，則不等式的解集為 (　　)
【典題2】 設函數，則使得成立的的取值范圍為(　)
．
鞏固練習
1(★) 下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞增的是(　　)
B．
2(★) 如果奇函數在區間上是減函數，且最小值為，那么在區間上是(　　)
減函數且最大值為 增函數且最大值為6
減函數且最小值為 增函數且最小值為6
3(★★) 已知函數，則不等式的解集為 .
4(★★) 已知函數，設，則的大小關系 .
5(★★★) 已知是上的奇函數且單調遞增，則下列函數是偶函數且在上單調遞增的有 .
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1 函數奇偶性的概念
① 一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做偶函數.
② 一般地，設函數的定義域為，如果，都有，且，那么函數就叫做奇函數.
由奇偶函數的概念可知道其定義域是關于原點對稱的.
2 性質
① 偶函數關于軸對稱；
② 奇函數關于原點對稱；
③ 若奇函數定義域內含有，則；
④ 在公共定義域內，兩個偶函數(或奇函數)的和(或差)仍是偶函數(或奇函數)，兩個偶函數(或奇函數)的積(或商)是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積(或商)是奇函數．
3 判斷函數奇偶性的方法
① 定義法
先判斷定義域是否關于原點對稱，再求看下與的關系：若，則是偶函數；若，則是奇函數.
② 數形結合
若函數關于原點對稱，則函數是奇函數；若函數關于軸對稱，則函數是偶函數.
③ 取特殊值排除法(選擇題)
比如：若根據函數得到，則排除是偶函數.
④ 性質法
偶函數的和、差、積、商(分母不為)仍為偶函數；奇函數的和、差 (分母不為)仍為奇函數；
奇(偶)數個奇函數的積為奇(偶)函數；兩個奇函數的商(分母不為)為偶函數；
一個奇函數與偶函數的積為奇函數.
對于復合函數的奇偶性如下圖
偶函數 偶函數 偶函數
奇函數 奇函數 奇函數
偶函數 奇函數 偶函數
奇函數 偶函數 偶函數
【題型一】對函數奇偶性概念的理解
角度1 函數奇偶性的概念
【典題1】 已知是定義在上的偶函數，那么的值是 .
【解析】依題意得，，
又(奇偶函數的定義域關于原點對稱)，
，．
【典題2】 是定義在上的奇函數，下列結論中，不正確的是________：
【解析】根據奇函數的定義可知，則(1)，(2)正確；
對于故正確；
對于是定義在上的奇函數，則則(4)不正確，故答案為：.
角度2 判斷函數的奇偶性
情況1 具體函數的奇偶性判斷
【典題1】函數的圖象關于 對稱．
【解析】要使函數有意義，則，即，
解得或，則定義域關于原點對稱．
此時，則函數，(化簡函數形式很重要)
，
函數是奇函數，圖象關于原點對稱，
【點撥】本題利用定義法判斷函數的奇偶性，首先判斷定義域是否關于原點對稱，這點很重要；
情況2 抽象函數的奇偶性判斷
【典題1】設是上的任意函數，則下列敘述正確的是( )
是奇函數 是奇函數
是奇函數 是奇函數
【解析】方法一 定義法
選項：設，則為偶函數．
選項：設， 則
關系不定．
選項：設為奇函數．
選項：設為偶函數．
故選.
方法二 取特殊函數排除法
令，可知是偶函數，排除，
令，可知排除，
可知是偶函數，排除.
【點撥】
① 判斷函數的奇偶性，一般利用定義法：先判斷定義域是否關于原點對稱，再求看下與的關系.偶爾結合函數圖像也可以.
② 判斷抽象函數的奇偶性時，可以通過“取特殊函數排除法”.
③ 一般情況下，奇函數+奇函數=奇函數，偶函數+偶函數=偶函數，奇函數奇函數=偶函數，偶函數偶函數=偶函數.
鞏固練習
1(★) 下列函數中，是偶函數的是(　　)
【答案】
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于，，，函數不是偶函數，不符合題意；
對于，，，函數是偶函數，符合題意；
對于，，，函數是奇函數不是偶函數，不符合題意；
對于，，是對數函數，不是偶函數，不符合題意；
故選：．
2(★) 函數的圖象關于(　　)對稱
．原點 ． ．軸 ．軸
【答案】
．
則，即函數是偶函數，
則函數的圖象關于軸對稱，
故選：．
3(★★) 若函數的定義域是，且對任意，都有成立．試判斷的奇偶性．
【答案】 奇函數
【解析】在中，
令，得，.
再令，則，即，
，故為奇函數．
【題型二】函數奇偶性的運用
角度1 已知函數奇偶性，求值問題
【典題1】設為定義上上的奇函數，當時，為常數)，求.
【解析】因為為定義在上的奇函數，
所以，解得，
所以當時，
又因為為定義在上的奇函數，
所以，故選．
【點撥】若奇函數定義域內為，且，則有.
【典題2】 若函數是奇函數，為偶函數，
則 .
【解析】函數是奇函數，
，即，則 ①，
為偶函數，
，即，則 ②，
由解得．
角度2 判斷函數的圖像
【典題1】 函數的圖象大致為(　　)
A． B．
C． D．
【解析】函數的定義域為關于原點對稱，且，
(或由均是奇函數，得是偶函數)
即函數為偶函數，其圖象關于軸對稱，可排除；
又，可排除；
故選：．
【點撥】選擇題中判斷函數的圖像，可采取排除法，主要是研究函數性質(定義域、值域、奇偶性、單調性等)、取特殊值等手段進行排除選項！其中取特殊值排除法最簡單.
鞏固練習
1(★) 若函數的圖象關于軸對稱，則常數 .
【答案】
【解析】可知函數為偶函數，則，
即，解得，
將代入解析式驗證，符合題意．
2(★) 已知函數，，則的值是 .
是奇函數
.
3(★★) 已知函數為定義在上的奇函數，則 .
【答案】
【解析】因為是定義在上的奇函數，所以，
特別地，當時，得到．
由取，所以，所以．
再分別令和，得，，
兩式相加得，且，
，
所以．
4(★★) 函數的部分圖象大致為 (　　)
． ． ． ．
【答案】
【題型三】函數的奇偶性與單調性的綜合
【典題1】 已知奇函數在減函數，且，則不等式
的解集為 (　　)
【解析】由題意畫出的草圖如下，
因為，所以與同號，
由圖象可得或，
解得或，
故選：．
【點撥】涉及到函數奇偶性和單調性綜合的題目，多利用數形結合的方法進行理解，對每個條件要等價轉化，做到有根有據的，不能“想當然”.
【典題2】 設函數，則使得成立的的取值范圍為(　)
．
【解析】方法一
由得，(代入原函數暴力求解)
則，解得或.
方法二
根據題意，函數，其定義域為，
有，即函數為偶函數，
設，則，
在區間上，為增函數且，在區間上為增函數，
則在上為增函數，
，
解得或，故選：．
【點撥】
① 若函數是偶函數，則函數在軸兩側的單調性是相反的，
若函數是奇函數，則函數在軸兩側的單調性是相同的，
② 若函數是偶函數，在上遞增，
則求解等價于解不等式，不要漏了絕對值.(如下圖所示).
③ 遇到類似的函數不等式，一般都是利用函數的單調性處理.
鞏固練習
1(★) 下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞增的是(　　)
B．
【答案】
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于，，為二次函數，其對稱軸為，在內不是增函數，不符合題意；
對于，，為偶函數，但在內不是增函數，不符合題意；
對于C，，，為奇函數，不符合題意；
對于，，既是偶函數，又在內單調遞增的函數，符合題意；
故選：．
2(★) 如果奇函數在區間上是減函數，且最小值為，那么在區間上是(　　)
減函數且最大值為 增函數且最大值為6
減函數且最小值為 增函數且最小值為6
【答案】
【解析】當時，
，即．從而，
又奇函數在原點兩側的對稱區間上單調性相同，
故在是減函數．
故選：．
3(★★) 已知函數，則不等式的解集為 .
【答案】
【解析】函數為奇函數，且函數為增函數，
則不等式等價為，
則，得，得，
即不等式的解集為
4(★★) 已知函數，設，則的大小關系 .
【答案】
是偶函數，且時遞增，所以，即.
5(★★★) 已知是上的奇函數且單調遞增，則下列函數是偶函數且在上單調遞增的有 .
；；；
【答案】①③④
【解析】因為是上的奇函數且單調遞增，
故當時，，
①為偶函數，且當時，單調遞增，符合題意；
②，故不滿足偶函數；
③，且時單調遞增，符合題意；
④，
滿足偶函數，且時，，，
中小學教育資源及組卷應用平臺
根據對勾函數的單調性可知 單調遞增，符合題意．21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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