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冪函數
1 定義
一般地，形如的函數稱為冪函數，其中是自變量，為常數．
2 常見冪函數圖像
3 性質
① 所有的冪函數在都有定義，并且圖象都過點；
② 時，冪函數的圖象通過原點，并且在上是增函數．
特別地，當時，冪函數變化快，圖象下凹；當時，冪函數變化慢，圖象上凸；
③ 時，冪函數的圖象在上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
【典題1】已知冪函數過點則 (　　)
，且在上單調遞減 ，且在單調遞增
且在上單調遞減 ，且在上單調遞增
【典題2】下列命題中：
①冪函數的圖象都經過點和點；
②冪函數的圖象不可能在第四象限；
③當時，冪函數的圖象是一條直線；
④當時，冪函數是增函數；
⑤當時，冪函數在第一象限內的函數值隨的值增大而減小．
其中正確的是(　　)
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
【典題3】 如圖所示是函數(且互質)的圖象，則(　　)
是奇數且 是偶數，是奇數，且
是偶數，是奇數，且 是偶數，且
鞏固練習
1(★) 已知冪函數的圖象經過點，則的值為 　．
2(★) 已知，若冪函數為奇函數，且在上遞減，則　 　．
3(★) 圖中曲線是冪函數在第一象限的圖象，已知取四個值，則相應于曲線，的依次為(　　)
． ．
4(★★) 已知冪函數y，的圖象如圖所示，則(　　)
均為奇數，且 為偶數，為奇數，且
為奇數，為偶數，且 為奇數，為偶數，且
5(★★) 已知冪函數的圖象關于原點對稱，且在上是減函數，則(　　)
或
21世紀教育網(www.21cnjy.com)冪函數
1 定義
一般地，形如的函數稱為冪函數，其中是自變量，為常數．
2 常見冪函數圖像
3 性質
① 所有的冪函數在都有定義，并且圖象都過點；
② 時，冪函數的圖象通過原點，并且在上是增函數．
特別地，當時，冪函數變化快，圖象下凹；當時，冪函數變化慢，圖象上凸；
③ 時，冪函數的圖象在上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
【典題1】已知冪函數過點則 (　　)
，且在上單調遞減 ，且在單調遞增
且在上單調遞減 ，且在上單調遞增
【解析】冪函數過點， ，解得，
，在上單調遞減．
故選：．
【點撥】利用待定系數法求解函數解析式.
【典題2】下列命題中：
①冪函數的圖象都經過點和點；
②冪函數的圖象不可能在第四象限；
③當時，冪函數的圖象是一條直線；
④當時，冪函數是增函數；
⑤當時，冪函數在第一象限內的函數值隨的值增大而減小．
其中正確的是(　　)
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
【解析】①冪函數的圖象都經過點，但不一定經過點，比如，故錯誤；
②冪函數的圖象不可能在第四象限，故正確；
③當時，冪函數的圖象是一條直線去除點，故錯誤；
④當時，如，冪函數在上是增函數，但在整個定義域為不一定是增函數，故錯誤；
⑤當時，冪函數在上是減函數，即冪函數在第一象限內的函數值隨x的值增大而減小，故正確．
故選：．
【典題3】 如圖所示是函數(且互質)的圖象，則(　　)
是奇數且 是偶數，是奇數，且
是偶數，是奇數，且 是偶數，且
【解析】函數的圖象的圖象關于軸對稱，故為奇數，為偶數，
在第一象限內，函數是凸函數，故，故選：.
鞏固練習
1(★) 已知冪函數的圖象經過點，則的值為 　．
【答案】
冪函數過點，
，解得，
，.
2(★) 已知，若冪函數為奇函數，且在上遞減，則　 　．
【答案】
，
冪函數為奇函數，且在上遞減，
是奇數，且，
．
3(★) 圖中曲線是冪函數在第一象限的圖象，已知取四個值，則相應于曲線，的依次為(　　)
． ．
【答案】
【解析】根據指數函數的單調性，時，，
相應于曲線，，，的依次為．
故選：．
4(★★) 已知冪函數y，的圖象如圖所示，則(　　)
均為奇數，且 為偶數，為奇數，且
為奇數，為偶數，且 為奇數，為偶數，且
【答案】
【解析】因為函數為偶函數，所以為偶數，
且由圖象形狀判定．
又因互質，所以為奇數．所以選．
5(★★) 已知冪函數的圖象關于原點對稱，且在上是減函數，則(　　)
或
【答案】
【解析】冪函數在上是減函數，
則，解得；
又，，，；
當時，，圖象關于原點對稱；
當時，，其圖象不關于原點對稱；
當時，，其圖象關于原點對稱；
綜上，的值是或．
故選：．
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