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二次方程根的分布問題
1 概念
二次方程的根(即二次函數零點)的分布問題.
2 常見題型
① 兩根與的大小比較(以為例)
分布情況 兩根都小于， 即 兩根都大于， 即 一根小于，一根大于，即
大致圖像
得出的結論
② 兩根分別在區間外
大致圖像
得出的結論
③ 根在區間上的分布(以為例)
分布情況 兩根都在內 兩根有且僅有一根在內 一根內， 另一根在內
大致圖像
得出的結論
【題型一】兩根與的大小比較
【典題1】若關于的二次方程的兩個互異的實根都小于，則實數的取值范圍是　 　．
【典題2】已知二次方程有一正根和一負根，求實數的取值范圍.
【題型二】根在區間上的分布
【典題1】已知關于的二次方程若方程有兩根，其中一根在區間內，另一根在區間內，則的范圍是　　．
【典題2】方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為　　．
【典題3】已知方程的兩根分別在區間，之內，則實數的取值范圍為　 　．
【題型三】兩根分別在區間外
【典題1】已知關于的方程的兩個實根一個小于，另一個大于，則實數的取值范圍是　 　．
鞏固練習
1(★)已知關于的方程有兩個實數根，且一根大于，一根小于，則實數的取值范圍為　 　．
2(★)方程的兩根都大于，則實數的取值范圍是　 　．
3(★★)若方程的一個根在區間上，另一根在區間上，則實數的取值范圍為　 　．
4(★★)關于的方程在區間內有兩個不等實根，則實數的取值范圍是　 　．
5(★★)若關于的一元二次方程有兩個不相等的實根，且，則實數的取值范圍是　 　．
6 (★★★) 求實數的范圍，使關于的方程
(1)有兩個實根，且一個比大，一個比小；
(2)有兩個實根，且滿足；
(3)至少有一個正根.
挑戰學霸
二次函數中實數滿足，其中，
求證：； 方程在內恒有解．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)二次方程根的分布問題
1 概念
二次方程的根(即二次函數零點)的分布問題.
2 常見題型
① 兩根與的大小比較(以為例)
分布情況 兩根都小于， 即 兩根都大于， 即 一根小于，一根大于，即
大致圖像
得出的結論
② 兩根分別在區間外
大致圖像
得出的結論
③ 根在區間上的分布(以為例)
分布情況 兩根都在內 兩根有且僅有一根在內 一根內， 另一根在內
大致圖像
得出的結論
【題型一】兩根與的大小比較
【典題1】若關于的二次方程的兩個互異的實根都小于，則實數的取值范圍是　 　．
【解析】關于的二次方程的兩個互異的實根都小于，
則 ，
(開口向上，有兩根，對稱軸在左邊，
確定最大根小于)
即 求得，
即的范圍為，，故答案為：，．
【點撥】思考下，要確保題意成立，中滿足的四項分別屬于二次函數的什么性質呢？不要其中一項是否可以，又為什么呢(結合圖像)？確定僅滿足這四項就行了么？
這屬于對題意的必要性與充分性的思考，做到“等價轉化”！
【典題2】已知二次方程有一正根和一負根，求實數的取值范圍.
【解析】方法一
當時，若要滿足題意，必須；(注意開口方向)
當時，若要滿足題意，必須；
即，解得.
方法二：(韋達定理)
設是的兩個根，
若要滿足題意，則，
解得.
【點撥】對于一些特殊根的分布問題，我們可靈活采取其他的方法.
【題型二】根在區間上的分布
【典題1】已知關于的二次方程若方程有兩根，其中一根在區間
內，另一根在區間內，則的范圍是　　．
【解析】設，
問題轉化為拋物線與軸的交點分別在區間和內，則 ，解得，
故的范圍是 .
【點撥】需要考慮對稱軸位置么？需要討論判別式么？
【典題2】方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為　　．
【解析】構造函數，圖象恒過點
(能發現很重要，要滿足題意只能，避免討論減少計算量，要注意函數是否過定點)
方程0在區間內有兩個不同的根，
.
【典題3】已知方程的兩根分別在區間，之內，則實數的取值范圍為　 　．
【解析】方法1
方程對應的函數為
若要滿足題意，
則
故答案是.
方法2 方程
(發現方程可以直接因式分解求根)
方程兩根為，
若要滿足題意，則，解得，
故答案是.
【點撥】顯然方法2比方法1更簡潔些，主要是因為它能通過因式分解求出的根形式簡潔！那前面的例題是否都不可以先求出根再求解呢？
我們拿本題型中的典題2看看，很難直接因式分解，利用求根公式得,
，根據題意要計算,
其中還要注意和與的分類討論,是否突然懵圈了么.
在方法的選取上，我們要清晰方法的適用范圍！
【題型三】兩根分別在區間外
【典題1】已知關于的方程的兩個實根一個小于，另一個大于，則實數的取值范圍是　 　．
【解析】顯然，關于的方程對應的二次函數
(對開口方向進行討論，分和)
① 若，即圖象開口向上，
的兩個實根一個小于，另一個大于，只需，且，
即且，則；
(若發現結合圖像也可知不可能)
② 若，即圖象開口向下，
的兩個實根一個小于，另一個大于，只需，且，
即且，則
綜上可得的范圍是．
故答案為：．
【方法總結】
① 求解二次方程根的分布問題，最重要是數形結合做到“等價轉化”;多畫圖思考：圖像要怎么畫才能滿足題意，怎么畫就不滿足題意，它們之間的區別在哪里？
② 畫圖時注意二次函數四大因素--開口方向，對稱軸，判別式，特殊點.
備注：特殊點是指含參的二次函數過的一些定點(比如與軸的交點)或某些函數值的正負.
③ 對于一些特殊情況，還可以利用韋達定理、因式分解求出根再求解等方法.
鞏固練習
1(★)已知關于的方程有兩個實數根，且一根大于，一根小于，則實數的取值范圍為　 　．
【答案】
【解析】令，由題意可得，
即：，整理：，解得，
所以實數的取值范圍為；
故答案為：．
2(★)方程的兩根都大于，則實數的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】由題意，方程的兩根都大于，
令，
可得：，即，
解得：．
3(★★)若方程的一個根在區間上，另一根在區間上，則實數的取值范圍為　 　．
【答案】
【解析】設函數，
方程的一個根在區間上，另一根在區間，
，，即，
則
即實數的取值范圍是；
4(★★)關于的方程在區間內有兩個不等實根，則實數的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】關于的方程在區間內有兩個不等實根，
令，
則有，求得，
5(★★)若關于的一元二次方程有兩個不相等的實根，且，則實數的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】由題意設，
方程有兩個不相等的實根，
且，，
，則，
解得，
6 (★★★) 求實數的范圍，使關于的方程
(1)有兩個實根，且一個比大，一個比小；
(2)有兩個實根，且滿足；
(3)至少有一個正根.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】 設．
依題意有，即，得．
(2)依題意有，解得．
(3)方程至少有一個正根，則有三種可能：
①有兩個正根，此時可得，即
②有一個正根，一個負根，此時可得，得．
③有一個正根，另一根為，此時可得
綜上所述，得．
挑戰學霸
二次函數中實數滿足，其中，
求證：； 方程在內恒有解．
【答案】
【證明】
由于是二次函數，故．
又，所以．
由題意，得，．
①當時，由(1)知．
若，則，又，
在內有解；
若，則，
又，
所以在內有解．
因此方程在內恒有解．
②當時，同樣可以證得結論．
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