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二次函數在閉區間上的最值問題
二次函數在閉區間上的最值問題，核心是函數對稱軸與給定區間的相對位置關系的討論．
一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況．
設，求在上的最大值與最小值．
分析：將配方，得頂點為、對稱軸為；
當時，它的圖象是開口向上的拋物線，數形結合可得在上的最值：
(1)當時，
的最小值是 的最大值是中的較大者．
(2)當時，由在上是增函數，則的最小值是，最大值是 ．
(3)當時，由在上是減函數，則的最大值是，最小值是．
當時，可類比得結論．
【題型一】定軸動區間
已知是二次函數，不等式的解集是，且在區間上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)設函數在上的最小值為，求的表達式．
【題型二】動軸定區間
求在區間上的最大值和最小值．
【題型三】逆向題型
已知函數在區間上最大值為，求實數的值．
鞏固練習
1 (★★) 已知函數．
當時，求函數在區間上的值域；
當時，求函數在區間上的最大值；
求在上的最大值與最小值．
2(★★) 已知函數．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在為單調函數，求的值；
(3)在區間上的最大值為4，求實數的值．
3(★★) 已知函數在上恒大于或等于，其中實數求實數的范圍.
4(★★★) 已知函數在區間上的最小值是,最大值是，求的值.
挑戰學霸
設為實數，記函數的最大值為．
(1)設，求的取值范圍，并把表示為的函數，求和表達式及的取值范圍．
(2)求.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)二次函數在閉區間上的最值問題
二次函數在閉區間上的最值問題，核心是函數對稱軸與給定區間的相對位置關系的討論．
一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況．
設，求在上的最大值與最小值．
分析：將配方，得頂點為、對稱軸為；
當時，它的圖象是開口向上的拋物線，數形結合可得在上的最值：
(1)當時，
的最小值是 的最大值是中的較大者．
(2)當時，由在上是增函數，則的最小值是，最大值是 ．
(3)當時，由在上是減函數，則的最大值是，最小值是．
當時，可類比得結論．
【題型一】定軸動區間
已知是二次函數，不等式的解集是，且在區間上的最大值是．
(1)求的解析式；
(2)設函數在上的最小值為，求的表達式．
【解析】(1)是二次函數，且的解集是，
可設．(待定系數法，二次函數設為交點式)
在區間上的最大值是．
由已知得，，
．
(2)由(1)得，函數圖象的開口向上，對稱軸為
(討論對稱軸與閉區間的相對位置)
①當時，即時，在上單調遞減，(對稱軸在區間右側)
此時的最小值；
②當時，在上單調遞增，(對稱軸在區間左側)
此時的最小值；
③當時，函數在對稱軸處取得最小值(對稱軸在區間中間)
此時，
綜上所述，得的表達式為：．
【點撥】
① 利用待定系數法求函數解析式；
② 對于二次函數,對稱軸是確定的，而函數的定義域
不確定，則按照對稱軸在區間的“左、中、右”分成三種情況進行討論.
【題型二】動軸定區間
求在區間上的最大值和最小值．
【解析】的對稱軸為．
①當時，如圖①可知，在上遞增，
，．
②當時，
在上遞減，在上遞增，
而，(此時最大值為和中較大者)
當時，，，
當時， ，如圖③，
③當時，由圖④可知，在上遞減，
，．
綜上所述，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
當時，，．
【點撥】
① 題目中的函數的對稱軸是不確定的，定義域是確定的，在求最小值時與“定軸動區間”的思考一樣分對稱軸在區間的“左、中、右”分成三種情況(即)進行討論.
② 在求最大值時，當，還需要判斷和時誰離對稱軸更遠些，才能確定哪個是最大值，則還有分類;
【題型三】逆向題型
已知函數在區間上最大值為，求實數的值．
【解析】若，(注意函數不一定是二次函數)
則而在上的最大值,
(2)若則的對稱軸為，
則的最大值必定是這三數之一，
若，解得，此時
而為最大值與為最大值矛盾，故此情況不成立．
若，解得，此時
而 距右端點較遠，最大值符合條件，.
若，解得，
當時，，則最大值不可能是；
當時，此時最大值為，；
綜上所述或
【點撥】本題沒有按照分對稱軸在定義域的“左、中、右”分離討論，否則計算量會很大，還要考慮開口方向呢.思路是最大值必定是這三數之一，那逐一討論求出值后再檢驗就行.
鞏固練習
1 (★★) 已知函數．
當時，求函數在區間上的值域；
當時，求函數在區間上的最大值；
求在上的最大值與最小值．
【答案】(1) (2) ；
(3)時, 最小值為，最大值為；時，最小值為，最大值為．時，最大值為，最小值為．
【解析】 (1)當時，，
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，，，，
函數在區間上的值域是；
(2)當時，，
，函數在區間上的最大值；
，函數在區間上的最大值；
函數在區間上的最大值；
(3)函數 的對稱軸為，
①當，即時，函數在上是增函數，
當時，函數y取得最小值為；當時，函數取得最大值為．
②當，即時，當時，函數取得最小值為；當時，函數取得最大值為．
③當，即時，a時，函數取得最小值為；當時，函數取得最大值為．
④當，即時，函數在上是減函數，故當時，函數取得最大值為；當時，函數取得最小值為．
2(★★) 已知函數．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)若在為單調函數，求的值；
(3)在區間上的最大值為4，求實數的值．
【答案】(1) 最大值是，最小值 (2) 或 (3) 或
【解析】 (1)時，；
在上的最大值是，最小值是；
(2)在為單調函數；
區間在f(x)對稱軸的一邊，即，或；
或；－
(3)，中必有一個最大值；
若；
，符合最大；
若，；
，符合最大；
或．
3(★★) 已知函數在上恒大于或等于，其中實數求實數的范圍.
【答案】
【解析】
若時，在上是減函數
，即則條件成立，
令
(Ⅰ)當時，即則函數在上是增函數，
=
即，解得,
(Ⅱ)當即
若解得矛盾;
(2)若時 即
解得矛盾;
綜上述：．
4(★★★) 已知函數在區間上的最小值是,最大值是，求的值.
【解析】解法1：討論對稱軸中與的位置關系。
①若，則
解得
②若，則，無解
③若，則，無解
④若，則，無解
綜上，
解析2：由，知，則，
又∵在上當增大時也增大所以
解得
挑戰學霸
設為實數，記函數的最大值為．
(1)設，求的取值范圍，并把表示為的函數，求和表達式及的取值范圍．
(2)求.
【答案】 . 　　
【解析】，
∴要使有意義，必須且，即．
，①
∴的取值范圍是．
由①得，
.
由題意知即為函數的最大值．
注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論．
① 當時，函數的圖像是開口向上的拋物線的一段，
由知在上單調遞增，
．
② 當時，，．
③ 當時，函數的圖像是開口向下的拋物線的一段．
若，即，則．
若，即，則．
若，即，則．
綜上有　　
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