資源簡介

函數的周期性和對稱性
一 函數的周期性
1 概念
對于函數，如果存在一個不為零的常數，使得當取定義域內的每一個值時，都成立，那么把函數叫做周期函數，常數叫做這個函數的周期.
Eg：
上圖是三角函數的圖像
① 函數圖像可看成由紅色那段圖像玩“分身術”的向兩邊延申；
② 紅色圖像的水平長度為，它就是函數的最小正周期，即；
(思考：是周期么)
③ 整個函數，對于任何，都有.
(簡單說來，兩個自變量相差，它們對應的函數值均相等)
下面兩個圖像也是周期函數的圖像！他們的周期是什么？最小正周期呢？
2 常見的結論
① 若 ，則的周期是.
② 若 ，則的周期是；(你可證明試試)
③ 若，則的周期是.
二 函數的對稱性
1 函數圖象自身的對稱關系
① 軸對稱：若則有對稱軸.
② 中心對稱：若函數定義域為，且滿足條件為常數)，則函數的圖象關于點對稱.
2 兩個函數圖象之間的對稱關系
① 軸對稱
若函數定義域為，則兩函數的圖象關于直線對稱.
特殊地，函數與函數的圖象關于直對稱.
② 中心對稱
若函數定義域為，則兩函數與的圖象關于點對稱.
特殊地，函數與函數圖象關于點對稱.
3 周期性與對稱性拓展
① 若函數同時關于直線對稱，則函數的周期；特殊地，若偶函數的圖像關于直線對稱，則函數的周期；
② 若函數同時關于點對稱，則函數的周期 ；
③ 若函數同時關于直線對稱，又關于點對稱 則函數的周期
；
特殊地，若奇函數的圖像關于直線對稱，則函數的周期.
【題型一】函數的周期性
【典題1】 設是周期為的奇函數，當時，，則
【典題2】 設偶函數對任意，都有，且當時，，則　　．
鞏固練習
1(★★) 已知定義在上的奇函數，滿足，且在上單調遞減，則(　)
2(★★) 已知是定義在上周期為的函數，當時，，那么當時， .
3(★★★)設函數是定義在上的奇函數，滿足，若，，則實數的取值范圍是 .
【題型二】函數圖象自身的對稱關系
【典題1】定義在上的函數的圖象關于點(，0)成中心對稱且對任意的實數都有且，則 .
【典題2】已知函數，則(　　)
函數的圖象關于對稱 函數的圖象關于對稱
函數的圖象關于對稱 函數的圖象關于對稱
【題型三】兩個函數圖象之間的對稱關系
【典題1】下列函數中，其圖象與函數的圖象關于點對稱的是(　　)
【典題2】 下列函數中，其圖象與函數的圖象關于直線對稱的是 .
鞏固練習
1(★★) 已知函數的對稱中心為，則　 　；　 ．
2(★★) 【多選題】函數的圖象關于直線對稱，那么(　　)
函數是偶函數 函數是偶函數
3(★★★) 已知函數的圖象關于直線對稱，則函數的值為(　)
4(★★★) 已知函數，則(　　)
的圖象關于點對稱 的圖象關于直線對稱
在上單調遞減 在上單調遞減，在上單調遞增
5(★★) 同一平面直角坐標系中，函數與的圖象(　　)
．關于原點對稱 ．關于軸對稱
．關于軸對稱 ．關于直線對稱
6 (★★★) 【多選題】已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則(　　)
函數是周期函數 函數的圖象關于點對稱
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函數為上的偶函數 函數為上的單調函數21世紀教育網(www.21cnjy.com)函數的周期性和對稱性
一 函數的周期性
1 概念
對于函數，如果存在一個不為零的常數，使得當取定義域內的每一個值時，都成立，那么把函數叫做周期函數，常數叫做這個函數的周期.
Eg：
上圖是三角函數的圖像
① 函數圖像可看成由紅色那段圖像玩“分身術”的向兩邊延申；
② 紅色圖像的水平長度為，它就是函數的最小正周期，即；
(思考：是周期么)
③ 整個函數，對于任何，都有.
(簡單說來，兩個自變量相差，它們對應的函數值均相等)
下面兩個圖像也是周期函數的圖像！他們的周期是什么？最小正周期呢？
2 常見的結論
① 若 ，則的周期是.
② 若 ，則的周期是；(你可證明試試)
③ 若，則的周期是.
二 函數的對稱性
1 函數圖象自身的對稱關系
① 軸對稱：若則有對稱軸.
② 中心對稱：若函數定義域為，且滿足條件為常數)，則函數的圖象關于點對稱.
2 兩個函數圖象之間的對稱關系
① 軸對稱
若函數定義域為，則兩函數的圖象關于直線對稱.
特殊地，函數與函數的圖象關于直對稱.
② 中心對稱
若函數定義域為，則兩函數與的圖象關于點對稱.
特殊地，函數與函數圖象關于點對稱.
3 周期性與對稱性拓展
① 若函數同時關于直線對稱，則函數的周期；特殊地，若偶函數的圖像關于直線對稱，則函數的周期；
② 若函數同時關于點對稱，則函數的周期 ；
③ 若函數同時關于直線對稱，又關于點對稱 則函數的周期
；
特殊地，若奇函數的圖像關于直線對稱，則函數的周期.
【題型一】函數的周期性
【典題1】 設是周期為的奇函數，當時，，則
【解析】是周期為的奇函數，當時，，
.
【典題2】 設偶函數對任意，都有，且當時，
，則　　．
【解析】，
，
函數是以為周期的函數．
當時，，
．
故答案為：．
【點撥】
① 在求值過程中，比如本題中求，先用函數周期性把這個數值變小些，盡量向靠攏.
② 函數綜合性的題型，可用數形結合的方法找到思考的方向.
鞏固練習
1(★★) 已知定義在上的奇函數，滿足，且在上單調遞減，則(　)
【答案】
為上的奇函數，且滿足，
是以為周期的函數，
，
，
，
又在區間上單調遞減，
，即．
故選：．
2(★★) 已知是定義在上周期為的函數，當時，，那么當
時， .
【答案】
【解析】當時，．
，
故選：．
3(★★★)設函數是定義在上的奇函數，滿足，若，
，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由，可得，
則，故函數的周期為，
則，
又函數是定義在上的奇函數，，
．
，解得．
實數的取值范圍是．
【題型二】函數圖象自身的對稱關系
【典題1】定義在上的函數的圖象關于點(，0)成中心對稱且對任意的實數都有
且，則 .
【解析】，
則
是周期為的周期函數．(確定周期后，接著求前三項和便可)
則
函數的圖象關于點(，0)成中心對稱，
【典題2】已知函數，則(　　)
函數的圖象關于對稱 函數的圖象關于對稱
函數的圖象關于對稱 函數的圖象關于對稱
【解析】方法一 利用函數平移和奇偶性
對于選項：若函數的圖象關于對稱，則是偶函數，
而不是偶函數，錯誤；
對于選項，可以采取類似選項的方法排除；
對于選項：若函數的圖象關于對稱，則則函數向左和向下均平移個單位的函數關于原點對稱，即是奇函數.
易得是奇函數，正確；
對于選項：若函數的圖象關于對稱，則函數向左和向下均平移個單位的函數關于原點對稱，即是奇函數.
而不是奇函數，錯誤．
故選．
方法二 利用函數自身的軸對稱和中心對稱關系
利用函數自身的軸對稱關系:若則有對稱軸.
對于選項：若函數的圖象關于對稱，則有
而錯誤；
對于選項：若函數的圖象關于對稱，則有
而錯誤；
利用函數自身的中心對稱關系：
若為常數),則函數的圖象關于點對稱.
對于選項：若函數的圖象關于對稱，則
易得，正確；
對于選項：若函數的圖象關于對稱，則
而顯然不恒等于8，錯誤．
故選．
方法三 取特殊值排除法
對于選項：，，故函數的圖象不可能關于對稱，排除；
對于選項：，故函數的圖象不可能關于對稱，排除；
對于選項：，故函數的圖象不可能關于對稱，排除；
故選．
【點撥】
① 從三種方法來說，顯然大家覺得方法三有種秒殺的感覺，很爽，從應試的角度來講是這樣子的.從提高數學能力的角度，還是需要好好領會下方法一、二；
② 方法一需要理解抽象函數的平移變換：左加右減，上加下減，它充分體現了數形結合的力量；
③ 方法一其實也是方法二的一種特殊情況的表現；
對于函數自身的軸對稱和中心對稱關系
(1) 軸對稱:若則有對稱軸.
對于選項，令,有，即證明是偶函數便可.
(2) 中心對稱:若函數滿足條件為常數)，則函數的圖象關于點對稱.
對于選項，令，，有,
即證明是奇函數.
【題型三】兩個函數圖象之間的對稱關系
【典題1】下列函數中，其圖象與函數的圖象關于點對稱的是(　　)
【解析】設所求函數圖象上任意一點，
則關于對稱的點在上，即，
所以
故選：．
【典題2】 下列函數中，其圖象與函數的圖象關于直線對稱的是 .
【解析】設為所求函數圖象上的任意一點，
它關于直線對稱的點是．
由題意知點在函數的圖象上，
則，即．
【點撥】這種涉及函數對稱性、平移去求解析式的題，常用代入法.
鞏固練習
1(★★) 已知函數的對稱中心為，則　 　；　 ．
【答案】，
，
結合反比例函數的性質及函數的圖象平移可知，函數的對稱中心為
的對稱中心為，
故答案為：1，6
2(★★) 【多選題】函數的圖象關于直線對稱，那么(　　)
函數是偶函數 函數是偶函數
【答案】
【解析】由的圖象關于對稱可知，，，
把函數的圖象向左平移個單位可得的圖象，關于對稱，即為偶函數，把函數的圖象向右平移個單位可得的圖象，關于對稱，
故選：．
3(★★★) 已知函數的圖象關于直線對稱，則函數的值為(　)
【答案】
【解析】函數的圖象關于直線對稱，
可得，
即，
即有，
可得，
即，
可得，且，解得，
可得，
則．故選：．
4(★★★) 已知函數，則(　　)
的圖象關于點對稱 的圖象關于直線對稱
在上單調遞減 在上單調遞減，在上單調遞增
【答案】
0，則函數定義域為，，，
即，有關于點對稱的可能，
進而推測f(x+2)為奇函數，關于原點對稱，
，定義域為，奇函數且單調遞增，
為向右平移兩個單位得到，
則函數在單調遞增，關于點對稱，
故選：．
5(★★) 同一平面直角坐標系中，函數與的圖象(　　)
．關于原點對稱 ．關于軸對稱
．關于軸對稱 ．關于直線對稱
【答案】
【解析】可看做由的圖象右移個單位，
而的圖象可看做由的圖象向左平移個單位，
且與的圖象關于軸對稱，
故函數與的圖象關于軸對稱．
故選：．
6 (★★★) 【多選題】已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則(　　)
函數是周期函數 函數的圖象關于點對稱
函數為上的偶函數 函數為上的單調函數
【答案】
【解析】根據題意，依次分析選項：
對于，函數滿足，則，即函數是周期為的周期函數，正確；
對于B，奇函數，則的圖象關于原點對稱，又由函數的圖象是由向左平移個單位長度得到，故函數的圖象關于點對稱，正確；
對于，由可得：對于任意的，都有，
即0，變形可得，
則有對于任意的都成立，
令，則，即函數f(x)是偶函數，正確；
對于，為偶函數，則其圖象關于軸對稱，在上不是單調函數，錯誤；
故選：．
中小學教育資源及組卷應用平臺
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