資源簡介

恒成立和存在性問題
1 恒成立和存在性問題
單變量的恒成立問題
① 恒成立，則；
② 恒成立，則；
③ 恒成立，則；
④ 恒成立，則;
單變量的存在性問題
① 使得成立，則；
② 使得成立，則；
③ ，使得恒成立，則；
④ 使得 恒成立，則;
雙變量的恒成立與存在性問題
① 使得 恒成立，則;
② 使得 恒成立，則;
③恒成立，則;
④使得 恒成立，則;
相等問題
① 使得，則兩個函數的值域的交集不為空集；
② 使得，則的值域的值域
2 解題方法
恒成立和存在性問題最終可轉化為最值問題，具體的方法有
直接最值法
分類參數法
變換主元法
數形結合法
【題型一】恒成立和存在性問題的解題方法
1 直接構造函數最值法
【典題1】 設函數的最大值是，若對于任意的，恒成立，則的取值范圍是 .
2 分離參數法
【典題1】 已知函數關于點對稱，若對任意的，恒成立，則實數k的取值范圍為 .
【典題2】 已知，其中為常數
(1)當時，求的值；
(2)當時，關于的不等式恒成立，試求的取值范圍；
3 變換主元法
【典題1】對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
4 數形結合法
【典題1】已知當時，有恒成立，求的取值范圍.
【題型二】 恒成立與存在性問題混合題型
【典題1】已知函數．
(1)若對任意，任意都有成立，求實數的取值范圍．
(2)若對任意，總存在使得成立，求實數m的取值范圍．
.
【典題2】 設，，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是　 　．
鞏固練習
1(★★) 已知對一切上恒成立，則實數的取值范圍是　 　．
2(★★) 若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍是　 　．.
3(★★) 若不等式在內恒成立，實數的取值范圍是　 　．
4(★★★) 已知函數，，若對任意，總存在使得，則實數的取值范圍是　 　．
5(★★★) 已知且，函數，．
(1)求的單調區間和值域；
(2)若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍；
(3)若對于任意，任意，都有恒成立，求的取值范圍．
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)恒成立和存在性問題
1 恒成立和存在性問題
單變量的恒成立問題
① 恒成立，則；
② 恒成立，則；
③ 恒成立，則；
④ 恒成立，則;
單變量的存在性問題
① 使得成立，則；
② 使得成立，則；
③ ，使得恒成立，則；
④ 使得 恒成立，則;
雙變量的恒成立與存在性問題
① 使得 恒成立，則;
② 使得 恒成立，則;
③恒成立，則;
④使得 恒成立，則;
相等問題
① 使得，則兩個函數的值域的交集不為空集；
② 使得，則的值域的值域
2 解題方法
恒成立和存在性問題最終可轉化為最值問題，具體的方法有
直接最值法
分類參數法
變換主元法
數形結合法
【題型一】恒成立和存在性問題的解題方法
1 直接構造函數最值法
【典題1】 設函數的最大值是，若對于任意的，恒成立，則的取值范圍是 .
【解析】當時，；當時，，
則，即．由題意知在上恒成立，
即在上恒成立 ，
(把不等式中移到右邊，使得右邊為，從而構造函數求最值)
令，則問題等價于在上恒成立，
在上，，
即．
【點撥】
① 直接構造函數最值法：遇到類似不等式恒成立問題，可把不等式變形為，從而構造函數求其最值解決恒成立問題；
② 在求函數的最值時，一定要優先考慮函數的定義域;
③ 題目中在上是取不到最大值，，而要使得恒成立，可等于，即，而不是.
2 分離參數法
【典題1】 已知函數關于點對稱，若對任意的，
恒成立，則實數k的取值范圍為 .
【解析】由為奇函數，可得其圖象關于對稱，
可得的圖象關于對稱，
函數關于點對稱，可得，
對任意的恒成立，
恒成立，
【思考：此時若利用最值法，求函數的最小值，第一函數較復雜，第二函數含參要分離討論，路漫漫其修遠兮，務必另辟蹊徑】
即在恒成立，
所以3，
(使得不等式一邊是參數，另一邊不含關于的式子，達到分離參數的目的)
令，由，可得，
設，
當時，取得最大值，
則的取值范圍是，
【點撥】
① 分離參數法：遇到類似或等不等式恒成立問題，可把不等式化簡為或的形式，達到分離參數的目的，再求解的最值處理恒成立問題；
② 恒成立問題最終轉化為最值問題，而分離參數法，最好之處就是轉化后的函數不含參，避免了麻煩的分離討論.
【典題2】 已知，其中為常數
(1)當時，求的值；
(2)當時，關于的不等式恒成立，試求的取值范圍；
【解析】(1)
；
(2)
，
令，
，
設，則
在上為增函數 時，有最小值為2，
.
【點撥】在整個解題的過程中不斷的利用等價轉化，把問題慢慢變得更簡單些.
3 變換主元法
【典題1】對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
思考痕跡 見到本題中“”潛意識中認為是變量，是參數，這樣會構造函數，而已知條件是，覺得怪怪的做不下去;此時若把看成變量，看成參數呢？
【解析】因為不等式恒成立
不等式恒成立...①，
令
若要使得①成立，只需要
解得或故的取值范圍
【點撥】變換主元法，就是要分辨好誰做函數的自變量，誰做參數，方法是以已知范圍的字母為自變量.
4 數形結合法
【典題1】已知當時，有恒成立，求的取值范圍.
思考痕跡 本題若用直接最值法，去求函數的最大值，就算用高二學到的導數求解也是難度很大的事情；用分離參數法呢？試試也覺得一個硬骨頭.看看簡單些的想法吧！
【解析】 不等式恒成立
等價于恒成立...①，
令 ，
若①成立，則當時，的圖像恒在圖像的下方，
則需要或
(不要漏了，因為，不一定是指數函數)
又，解得
即實數的取值范圍為
【點撥】
① 數形結合法：恒成立上，函數的圖像在函數圖像的下方.
② 遇到不等式恒成立，可以把不等式化為用數形結合法，而函數與最好是熟悉的函數類型，比如本題中構造出,兩個常見的基本初級函數.
【題型二】 恒成立與存在性問題混合題型
【典題1】已知函數．
(1)若對任意，任意都有成立，求實數的取值范圍．
(2)若對任意，總存在使得成立，求實數m的取值范圍．
【解析】(1)由題設函數，．
對任意，任意都有成立，
知：，
在上遞增，
又在上遞減，
有，的范圍為
(2)由題設函數，．
對任意，總存在，使得成立，
知，
有，即，的范圍為．
【點撥】 對于雙變量的恒成立--存在性問題，比如第二問中怎么確定，即到底是函數最大值還是最小值呢？
具體如下思考如下，
先把看成定值，那，都有，當然是要；
再把看成定值，那，都有，當然是；
故問題轉化為.
其他形式的雙變量成立問題同理，要理解切記不要死背.
.
【典題2】 設，，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是　 　．
【解析】，
當時，，
當時，，
由，即，，，
故，
又因為，且．
由遞增，可得，
對于任意，總存在，使得成立，
可得，
可得，．
鞏固練習
1(★★) 已知對一切上恒成立，則實數的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】可化為，
令，由，得[，+∞)，
則，
在上遞減，當時取得最大值為，
所以．
故答案為：．
2(★★) 若不等式對滿足的所有都成立，求的取值范圍.
【答案】
【解析】令；
不等式對滿足的所有都成立
對任意，恒成立
，解得。
3(★★) 若不等式在內恒成立，實數的取值范圍是　 　．
【答案】
【解析】不等式在內恒成立；
不等式在內恒成；
令，
當時，的圖像在的下方；
顯然當時，是不能滿足題意的；
當時，則需要，解得。
4(★★★) 已知函數，，若對任意，總存在使得，則實數的取值范圍是　 　．
【答案】 或
【解析】對任意，總存在使得成立，等價于．
當時，為遞減函數，時，；
當時，的對稱軸為，
①當時，在上遞增，所以，
，解得；
②當時，在上遞減，所以，
，解得：；
③當時，，
，解得：或，這與相矛盾，故舍去．
綜上所述：或。
5(★★★) 已知且，函數，．
(1)求的單調區間和值域；
(2)若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍；
(3)若對于任意，任意，都有恒成立，求的取值范圍．
【答案】 (1) (2) (3)
【解析】 (1)，
則，為偶函數，
設，則函數等價為，
若，當時，單調遞增，且，此時函數在上單調遞增，根據復合函數的單調性可知此時單調遞增．
若，當時，單調遞減，且，此時函數在上單調遞減，根據復合函數的單調性可知此時單調遞增．
綜上當時，函數單調遞增，
函數是偶函數，當時，函數單調遞減．
故函數的遞增區間為，遞減區間為．
函數的值域為]．
(2)且，
的對稱軸為，
函數在時，函數單調遞減．
，．
即，
若對于任意，總存在，使得成立，
即且，
則，即，
此時，
且，，
即的取值范圍是；
(3)若對于任意，任意，都有恒成立，
即，
則，，
，解得，
且，
，
即的取值范圍[．
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