資源簡介

抽象函數(shù)
1概念
我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，題目中往往只給出函數(shù)的特殊條件或特征.
2 常見抽象函數(shù)模型
特殊模型 抽象函數(shù)
正比例函數(shù)
冪函數(shù) 或
指數(shù)函數(shù) 或
對數(shù)函數(shù) 或
【題型一】求值問題
【典題1】已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且對任意，都有，，求.
【典題2】對任意實(shí)數(shù)，均滿足且， 則_______.
【題型二】單調(diào)性問題
設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件
①對任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時，；③．
(1)求的值；
(2)證明在是減函數(shù)；
(3)如果不等式成立，求取值范圍．
【題型三】奇偶性問題
定義在上的增函數(shù)對任意都有，則
(1)求；
(2)證明：為奇函數(shù)；
(3)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【題型四】周期性問題
奇函數(shù)定義在上，且對常數(shù)，恒有，則在區(qū)間上，方程根的個數(shù)最小值為 .
鞏固練習(xí)
(★★) 的定義域?yàn)?，對任意正?shí)數(shù)都有 且，則 .
(★★★)已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意都有，則　　．
(★★) 是定義在上的以為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù)的最小值是 .
(★★★) 已知定義在上的函數(shù)滿足
①對任意，都有；
②當(dāng)時，且；
試判斷函數(shù)的奇偶性；
判斷函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
求不等式的解集．
(★★★) 已知定義在的函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時，．
證明：當(dāng)時，；
判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
如果對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(★★★) 定義在上的單調(diào)增函數(shù)滿足：對任意都有成立
求的值；
求證：為奇函數(shù)；
若對恒成立，求的取值范圍．
挑戰(zhàn)學(xué)霸
已知是定義在上不恒為的函數(shù)，滿足對任意，，．
(1)求的零點(diǎn)；
(2)判斷的奇偶性和單調(diào)性，并說明理由；
(3)①當(dāng)時，求的解析式；②當(dāng)時，求的解析式.
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1概念
我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，題目中往往只給出函數(shù)的特殊條件或特征.
2 常見抽象函數(shù)模型
特殊模型 抽象函數(shù)
正比例函數(shù)
冪函數(shù) 或
指數(shù)函數(shù) 或
對數(shù)函數(shù) 或
【題型一】求值問題
【典題1】已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且對任意，都有，，求.
【解析】對任意，，都有，，
，
．
【點(diǎn)撥】
① 對于抽象函數(shù)求值問題，可大膽取特殊值求解；
② 抽象函數(shù)是對數(shù)函數(shù)型，由可知，
則易得，，作選填題可取.又如，求；由可令，又因，得，故易得.
故要對常見抽象函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)模型比較熟悉.
【典題2】對任意實(shí)數(shù)，均滿足且，
則_______.
【解析】令，得，
令，得
令，得，
，
，
，即.
【點(diǎn)撥】
① 常常需要賦予一些特殊值(如取等)或特殊關(guān)系(如取等)，要觀察等式方程的特點(diǎn)尋找目標(biāo)，也要大膽下筆多些嘗試找些規(guī)律；
② 比如本題中所求的中自變量的取值較大，往往要從周期性或者函數(shù)的解析式的方向入手.
【題型二】單調(diào)性問題
設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件
①對任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時，；③．
(1)求的值；
(2)證明在是減函數(shù)；
(3)如果不等式成立，求取值范圍．
【解析】(1)令，，
，
令，，
且．
(2) (利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明)
取，則
由②得
在上為減函數(shù)．
(3)由條件①得 (湊項(xiàng)，再利用單調(diào)性求解)
由得，
又在上為減函數(shù)，
又，，(注意函數(shù)定義域)
解得的范圍是．
【點(diǎn)撥】
① 抽象函數(shù)的單調(diào)性常用單調(diào)性定義證明
任取，且；
作差
此步有時也會用作商法：判斷與的大??；
變形；
定號(即判斷差的正負(fù))；
下結(jié)論(指出函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)性)．
② 在解不等式時，往往需要利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
③ 抽象函數(shù)符合對數(shù)函數(shù)型，
由可知，作選填題可用.
【題型三】奇偶性問題
定義在上的增函數(shù)對任意都有，則
(1)求；
(2)證明：為奇函數(shù)；
(3)若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】(1)在中，
令可得，，則，
(2) (定義法證明函數(shù)奇偶性)
令，得，
又，則有，
即可證得為奇函數(shù)；
(3)因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，又由(2)知是奇函數(shù)，
，
即有，得，(分離參數(shù)法)
又有(當(dāng)時取到等號)，
即有最小值，
所以要使恒成立，只要使即可，
故k的取值范圍是．
【點(diǎn)撥】
判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性，從奇偶性的定義入手，判斷與的關(guān)系.
② 抽象函數(shù)是正比例函數(shù)型，由是增函數(shù)，可知，選填題可用.
【題型四】周期性問題
奇函數(shù)定義在上，且對常數(shù)，恒有，則在區(qū)間上，方程根的個數(shù)最小值為 .
【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
故，
又，即周期為，
，
又由，且
，，
故在區(qū)間，方程根有，，，，，
個數(shù)最小值是個，
【點(diǎn)撥】 抽象函數(shù)的周期性常與奇偶性，對稱性放在一起，記住有關(guān)周期性和對稱性的結(jié)論，做題時常畫圖像更容易找到思路.
鞏固練習(xí)
(★★) 的定義域?yàn)椋瑢θ我庹龑?shí)數(shù)都有 且，則 .
【答案】
【解析】取，得；
取，得；
(★★★)已知是定義在上的偶函數(shù)，對任意都有，則　　．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，為偶函數(shù)且滿足，
變形可得，
即，
令可得，即，
解可得：，
又由滿足，
則有，
聯(lián)立可得：，
變形可得：或，
若，則有，
此時有1±，
若，即，
則有，則有，
則±，
綜合可得：±，
故答案為：．
(★★) 是定義在上的以為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)解的個數(shù)的最小值是 .
【答案】
是定義在上的以為周期的奇函數(shù)，
，且，
則，則，
，，
，，，
方程的解可能為，，共個，
故選：．
(★★★) 已知定義在上的函數(shù)滿足
①對任意，都有；
②當(dāng)時，且；
試判斷函數(shù)的奇偶性；
判斷函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
求不等式的解集．
【答案】(1)偶函數(shù) (2) (3)或x
【解析】 (1)；
令，則，
令，則，
即，
故函數(shù)是偶函數(shù)，
(2)任取，則，
；
；
)
，時，，
，
得到，
為上的增函數(shù)．
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，
又由函數(shù)是偶函數(shù)，
函數(shù)在區(qū)間上的最大值也為，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；
(3)由(2)得，則，
故不等式可化為：，
由(2)中結(jié)論可得：，
即或，
解得或
(★★★) 已知定義在的函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時，．
證明：當(dāng)時，；
判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
如果對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1) 略 (2)減函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性定義證明 (3)
【解析】(1)，
令，
則，所以，
再令，則，
當(dāng)時，．
．
(2)任取，，且，則)
，所以1，則，，
在上是減函數(shù)，
(3)恒成立，
恒成立，
在上是減函數(shù)，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，
實(shí)數(shù)的取值范圍
(★★★) 定義在上的單調(diào)增函數(shù)滿足：對任意都有成立
求的值；
求證：為奇函數(shù)；
若對恒成立，求的取值范圍．
【答案】 (1) (2)略，定義證明 (3)
【解析】 (1)令，則，．
(2)令，則，
，，
為奇函數(shù)．
(3)，，
恒成立，
而單調(diào)遞增，
從而．
挑戰(zhàn)學(xué)霸
已知是定義在上不恒為的函數(shù)，滿足對任意，，
．
(1)求的零點(diǎn)；
(2)判斷的奇偶性和單調(diào)性，并說明理由；
(3)①當(dāng)時，求的解析式；②當(dāng)時，求的解析式.
【解析】(1)記 ①， ②
在①中取得.若存在，使得，則對任意，
，與不恒為矛盾．
所以時，，
所以函數(shù)的零點(diǎn)是.
(2)在①中取得，即，
所以是奇函數(shù)．
，時，，
可得．
所以函數(shù)在上遞增．
(3)①由中取得．
因?yàn)?，所以?br/>對任意正整數(shù)，由①得，
，
又因?yàn)?，所以時，；
對任意有理數(shù)，，由①，
，
所以，即對一切．
②若存在，使得，
不妨設(shè)(否則以代替，代替即可)，
則存在有理數(shù)，使得
(例如可取，，)．
但，與的遞增性矛盾．
所以時，．
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