資源簡介

1．1　向量
最新課程標準 學科核心素養
1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景． 2．理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義． 3．理解平面向量的幾何表示和基本要素． 1.通過對物理量的分析抽象出向量的概念．(數學抽象) 2．理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義．(數學抽象) 3．能利用向量的含義及相關概念解決相應的問題．(邏輯推理、直觀想象)
教材要點
要點一　向量的相關概念
向量的概念 既有大小又有方向的量稱為向量．
有向線段 具有________的線段稱為有向線段．以A為起點、B為終點的有向線段記作________，線段AB的長度也稱為有向線段的長度，記作________．
向量的模 向量a的大小，也就是向量a的長度，稱為a的模，記作|a|.
相等向量 把方向________、長度相等的向量稱為相等向量．
相反向量 把方向________、長度相等的向量稱為相反向量．
零向量 如果向量a的大小|a|＝0，就稱a是零向量．記作0.所有的零向量相等．
狀元隨筆　(1)理解向量概念應關注三點
①向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
②判斷一個量是否為向量，就要看它是否具備大小和方向兩個因素．
③向量與向量之間不能比較大小．
(2)相等向量的理解
任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量，因為向量完全由它的方向和模確定．
要點二　向量的幾何表示
1．向量可以用有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．
2．向量可以用字母a，b，c，…表示．印刷用粗體a，書寫用.
狀元隨筆　向量不等于有向線段，有向線段只是向量的一種直觀表示，用有向線段的起點與終點字母表示向量時，注意起點的位置在前，終點位置在后，箭頭從起點指向終點．用手寫體表示向量時一定不要遺漏上面的箭頭．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩個向量，長度大的向量較大．(　　)
(2)兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同．(　　)
(3)長度為0的向量叫做零向量．(　　)
(4)零向量與任意向量都不平行．(　　)
2．已知：①三角形的面積；②物體受到的重力；③水流的速度；④溫度．其中是向量的有(　　)
A．①②③④ B．②③④
C．③④ D．②③
3．如圖，在矩形ABCD中，可以用同一條有向線段表示的向量是(　　)
A．和 B．和
C．和 D．和
4．如圖，以1 cm×3 cm方格紙中的格點為始點和終點的所有向量中，則以A為始點，可以寫出________個不同的向量．
題型1　向量的概念辨析
例1　(多選)下面的命題錯誤的是(　　)
A．用有向線段表示兩個相等的向量，如果有相同的起點，那么它們的終點一定相同
B．兩個向量的模相等，則這兩個向量相等
C．向量與向量相等
D．若a，b滿足|a|＞|b|且a與b同向，則a＞b
方法歸納
(1)向量之間的關系需從大小和方向兩個方面去理解，因而向量不能比較大小．
(2)零向量是比較特殊的向量，解題時一定要看清是“零向量”還是“非零向量”．
跟蹤訓練1　(多選)下列結論正確的是(　　)
A．＝－
B．向量||＝0，則A，B兩點重合
C．||>0
D．||＝
題型2　向量的表示及應用
例2　在如圖所示的坐標紙(規定小方格的邊長為1)中，用有向線段表示下列向量：
(1)|a|＝4，a的方向與x軸的正方向夾角為60°，與y軸正方向夾角為30°；
(2)|b|＝3，b的方向與x軸的正方向夾角為30°，與y軸正方向夾角為120°；
(3)|c|＝3，c的方向與x軸的正方向夾角為135°，與y軸正方向夾角為45°.
方法歸納
在畫圖時，向量是用有向線段來表示的，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．應該注意的是有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段．
跟蹤訓練2　一輛汽車從A點出發向西行駛了100 km到達B點，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200 km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達D點．
(1)作出向量；
(2)求||.
題型3　相等向量與相反向量
例3　如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心．
(1)分別寫出圖中與相等的向量；
(2)圖中與向量相反的向量有哪幾個？
方法歸納
先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定方向．
跟蹤訓練3　如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以長方體的八個頂點中兩點為起點和終點的向量中：
(1)與相等的向量有________；
的相反向量有________．
易錯辨析　混淆位移與路程
例4　一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30 n mile，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向40 n mile處有一艘漁船拋錨需救助．試求：
(1)巡邏艇從港口出發到漁船出事點所航行的路程；
(2)巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移．(參考數據：sin 53°≈0.8)
解析：(1)畫出如圖所示的示意圖，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即AB＋BC＝70(n mile)．
(2)巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為||＝＝50(n mile)，由于sin ∠BAC＝，故方向約為北偏東53°.
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
誤將位移與路程等同起來，導致(2)中答案錯誤． 路程是指物體運行軌跡的長度，只有大小，沒有方向，是一個數量；而位移只與物體運動的起點和終點有關，既有大小又有方向，是一個向量．
課堂十分鐘
1．下列說法正確的是(　　)
A．a與b是相反向量，b與c是相反向量，則a與c相等
B．任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一平行四邊形的四個頂點
C.向量a與b不相等，則a與b都是非零向量
D．有相同起點的兩個非零向量一定不相等
2．如圖所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分別是AB，BC，AC的中點，則與向量相等的向量是(　　)
A．與　　　　 　　B．與
C．與　　　　 　　D．與
3．已知△ABC是等腰三角形，則兩腰對應的向量與的關系是________．
4．已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2 000 km到達B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2 000 km到達C地，再從C地按西南方向飛行1 000 km到達D地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
1．1　向量
新知初探·課前預習
要點一
方向　　||　相同　相反
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由向量的概念可知②③正確．
答案：D
3．解析：易知＝.
答案：B
4．解析：由圖可知，以A為始點的向量有、、、、、、，共有7個．
答案：7
題型探究·課堂解透
例1　解析：因為兩個有相同起點的向量，只有終點相同，才能相等，A項正確；方向不一定相同，B項錯誤；方向相反，只有在都為0時才相等，C項錯誤；因為向量不能比較大小，D項錯誤．
答案：BCD
跟蹤訓練1　解析：根據相反向量的定義可知A正確；由||＝0得＝0，所以A，B兩點重合，故B正確；零向量的模為0，故C錯誤，應為||≥0；由于相反向量的模相等，故D正確．
答案：ABD
例2　解析：如圖所示．
跟蹤訓練2　解析：(1)向量如圖所示．
(2)由題意，可知與方向相反，故與共線，
∵||＝||，
∴在四邊形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴＝，
∴||＝||＝200 km.
例3　解析：(1)與相等的向量有.與相等的向量有.與相等的向量有.
(2)與向量相反的向量有.
跟蹤訓練3　解析：(1)由圖可知，AB＝DC＝A1B1＝D1C1，所以與相等的向量有：、、；
(2)由圖可知，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝1，所以的相反向量有：、、、；
答案：、、　(2)、、、
[課堂十分鐘]
1．答案：A
2．解析：向量相等即模長相等，方向相同．
依題意，PQ是三角形的中位線，故PQ∥AC，PQ＝AC，即PQ＝AR＝RC，因此與都是和相等的向量．
答案：B
3．答案：＝
4．解析：以A為原點，正東方向為x軸正方向，正北方向為y軸正方向建立直角坐標系．
由題意知B點在第一象限，C點在x軸正半軸上，D點在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，
△ABC為正三角形，所以AC＝2 000 km.
又∠ACD＝45°，CD＝1 000 km，
所以△ADC為等腰直角三角形，
所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45°.
故向量的模為1 000 km，方向為東南方向．第1課時　向量的加法
教材要點
要點一　向量的加法
定義 求向量和的運算，稱為向量的加法．
向量 加法 的三 角形 法則 前提 已知兩個________向量a，b，在平面內任取一點A.
作法 作＝a，＝b，連接AC.
結論 向量叫做a與b的和，記作________，即a＋b＝＝________．
圖形
向量 加法 的平 行四 邊形 法則 前提 從同一點O出發作有向線段＝a，＝b.
作法 以OA，OB為鄰邊作 OACB.
結論 則對角線就是向量a與b的和，即＝a＋b.
圖形
狀元隨筆　在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點與第二個向量的起點重合，則以第一個向量的起點為起點，并以第二個向量的終點為終點的向量即兩向量的和；向量加法的平行四邊形法則的應用前提是“共起點”，即兩個向量是從同一點出發的不共線向量．
要點二　加法運算律
1．加法交換律：a＋b＝________．
2．加法結合律：(a＋b)＋c＝________．
狀元隨筆　(1)我們可以從位移的物理意義理解向量加法的交換律：
一質點從點A出發，方案①先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，方案②先走過的位移為向量，再走過的位移為向量，則方案①②中質點A一定會到達同一終點．
(2)多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如()＋()＝()＋()；＝[＋()]＋()．
要點三　零向量的加法性質
a＋0＝0＋a＝a
狀元隨筆　如果＝0→，則與大小相等，方向相反，即是的相反向量，記作＝－.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩個向量的和可能是數量．(　　)
(2)兩個向量相加就是它們的模相加．(　　)
(3)＝.(　　)
(4)向量加法的平行四邊形法則適合任意兩個向量．(　　)
2．(多選)在平行四邊形ABCD中，下列結論中正確的是(　　)
A．＝B．＝
C．＝ D．＝0
3．下列等式不成立的是(　　)
A．0＋a＝a B．a＋b＝b＋a
C．＝2 D．＝
4．若a表示“向東走8 km”，b表示“向北走8 km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
題型 1　已知兩個向量，求它們的和向量
例1　如圖所示，求作向量和a＋b＋c.
方法歸納
(1)利用向量的三角形法則求a＋b，務必使它們的“首尾順次連接”；利用平行四邊形法則求a＋b，務必使它們的起點重合．
(2)多個向量求和時，可先求兩個向量的和，再和其他向量求和．
(3)注意方向相同或相反的向量的加法．
跟蹤訓練1　如圖(1)、(2)、(3)，已知向量a，b，分別求作向量a＋b.
題型2　向量的加法運算
例2　如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：
(1)；
(2).
方法歸納
解決向量加法運算時應關注兩點：
(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算．
(2)要靈活運用向量加法運算律，注意每個向量的起點、終點及向量起點、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.
跟蹤訓練2　向量化簡后等于(　　)
A． B．
C． D．
題型3　向量加法的應用
角度1　平面幾何問題
例3　如圖，已知D，E，F分別為△ABC的三邊BC，AC，AB的中點，求證：＝0.
方法歸納
靈活運用相等向量和相反向量．如本題中＝＝0.
角度2　實際應用問題
例4　一架直升機從A地沿北偏東60°方向飛行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飛行40 km到達C地，求此時直升機與A地的相對位置．
方法歸納
向量加法的實際應用中，要注意如下：
(1)準確畫出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉化為向量；
(2)將所求問題轉化為向量的加法運算，進而利用向量加法的幾何意義進行求解；
(3)將向量問題還原為實際問題．
課堂十分鐘
1．如圖，在矩形ABCD中，＝(　　)
A． B．
C． D．
2．在四邊形ABCD中，＝，則(　　)
A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四邊形
3．小船以10 km/h的靜水速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10 km/h，則小船實際航行速度的大小為________ km/h.
4．如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，根據圖示計算：
(1)；(2)；(3).
第1課時　向量的加法
新知初探·課前預習
要點一
非零　a＋b　
要點二
1．b＋a　2.a＋(b＋c)
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：A、B、D正確；C錯誤，因為＝≠.
答案：ABD
3．解析：0＋a＝a，故A成立；根據向量加法滿足交換律，可知a＋b＝b＋a，故B成立；＝0，故C不成立；利用向量的加法法則，可知＝，故D成立．
答案：C
4．解析：由題意知a與b垂直，故|a＋b|＝＝＝8，a＋b的方向是北偏東45°，即東北方向．
答案：8 km　東北方向
題型探究·課堂解透
例1　解析：方法一(三角形法則)　如圖①所示，首先在平面內任取一點O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．
方法二(平行四邊形法則)　如圖②所示，首先在平面內任取一點O作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB為鄰邊作 OADB，連接OD，則＝＝a＋b，再以OD，OC為鄰邊作 ODEC，連接OE，則＝＝a＋b＋c即為所求．
跟蹤訓練1　解析：(1)作＝a，＝b，則＝a＋b，如圖(1)．
(2)作＝a，＝b，則＝a＋b，如圖(2)．
(3)作＝a，＝b，則＝a＋b，如圖(3)．
例2　解析：(1)＝＝＝＝.
(2)＝＝＝＝0.
跟蹤訓練2　解析：＝＝.
答案：D
例3　證明：由題意知＝＝＝，
由題意可知＝＝.
∴＝
＝
＝＋0
＝＝＝0.
例4　解析：如圖，設分別是直升機的兩次位移，則＝，表示兩次位移的和．
在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，在Rt△ACD中，||＝ ＝40(km).
又||＝||，
所以∠ACD＝30°.
即此時直升機位于A地北偏東30°，且距離A地40 km處．
[課堂十分鐘]
1．解析：在矩形ABCD中，＝，則＝＝＝.故選B.
答案：B
2．解析：根據向量加法的平行四邊形法則可得，
以AB，AC為鄰邊做平行四邊形ABCD，如圖，
可得＝，
所以四邊形ABCD為平行四邊形．
答案：D
3.
解析：如圖所示，設船在靜水中的速度為|v1|＝10 km/h，河水的流速為|v2|＝10 km/h，小船實際航行速度為v0，則由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20 km/h，即小船航行速度的大小為20 km/h.
答案：20
4．解析：(1)因為四邊形OABC是以OA，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對角線，所以＝.
(2)因為與方向相同且長度相等，
所以與是相等向量，
故與方向相同，長度為長度的2倍，
因此可用表示．所以＝.
(3)因為與是一對相反向量，所以＝0.第2課時　向量的減法
教材要點
要點一　向量的減法
1．已知兩個向量a，b，求x滿足a＋x＝b，這樣的運算叫作向量的減法，記為x＝________，x稱為b與a之差．
2．減去一個向量a，等于加上它的________．即b－a＝b＋(－a)．
狀元隨筆　(1)兩個向量的差仍是一個向量．
(2)向量的減法可以轉化為向量的加法，減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．
要點二　向量減法的幾何意義
如圖，已知a、b在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．
狀元隨筆　(1)向量減法的三角形法則中，表示，強調了差向量的“箭頭”指向被減向量.即作非零向量的差向量，可以簡記為“共起點，連終點，指向被減”．
(2)如圖，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線所對應的向量＝＝，這一結論在以后的學習中應用非常廣泛．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)相反向量一定是共線向量．(　　)
(2)兩個相反向量之差等于0.(　　)
(3)向量的減法實質上是向量的加法的逆運算．(　　)
(4)兩個向量的差仍是一個向量．(　　)
(5)向量等于起點向量減終點向量.(　　)
2．如圖所示，在△ABC中，等于(　　)
A．　　B．
C． D．
3．在平行四邊形ABCD中，下列結論錯誤的是(　　)
A．＝0 B．＝
C．＝ D．＝0
4．如圖，在四邊形ABCD中，設＝a，＝b，＝c，則可用a，b，c表示為________．
題型 1　向量減法的幾何作圖
例1　如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.
方法歸納
求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)可以轉化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．
跟蹤訓練1　如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
題型2　向量的減法運算
例2　(1)(多選)下列各向量運算的結果與相等的有(　　)
A． B．
C． D．
(2)化簡：
①；
②()－()．
方法歸納
向量減法運算的常用方法
跟蹤訓練2　(1)如圖，在△ABC中，D是BC上一點，則＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知A，B，C，D是平面上四個點，則＝________．
題型 3　用已知向量表示其他向量
例3　如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，點B是該平行四邊形外一點，且＝a，＝b，＝c，試用向量a，b，c表示向量.
變式探究　本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內一點”，其他條件不變，其結論又如何呢？
方法歸納
用已知向量表示其他向量的三點提醒：
(1)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形的三個向量之間的關系，確定已知向量與被表示向量的轉化渠道．
(2)注意綜合應用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結合律、交換律來分析解決問題．
(3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則．
跟蹤訓練3　如圖，解答下列各題：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
課堂十分鐘
1．設b是a的相反向量，則下列說法一定錯誤的是(　　)
A．a與b的長度相等 B．a∥b
C．a與b一定不相等 D．a是b的相反向量
2．已知A，B，C，D為同一平面內的四點，則＝(　　)
A． B． C． D．
3．如圖，在三角形ABC中，若D是邊BC的中點，E是邊AB上一點，則＝________．
4．如圖，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，試用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
第2課時　向量的減法
新知初探·課前預習
要點一
1．b－a
2．相反向量－a
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．解析：對于A選項，根據向量加法的平行四邊形法則易知≠，故錯誤；對于B選項，＝＝－，故錯誤；對于C選項，＝，滿足；對于D選項，＝＝－，故錯誤．
答案：C
3．解析：因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以＝，
∴＝0，＝＝，
＝＝＝0.
∴只有C錯誤．
答案：C
4．解析：＝＝＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
題型探究·課堂解透
例1　解析：方法一　如圖①，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c.
方法二　如圖②，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c.
跟蹤訓練1　解析：如圖，在平面內任取一點O，作向量＝a，＝b，
則向量＝a－b，再作向量＝c，則向量＝a－b－c.
例2　解析：(1)A中，＝；B中，≠；C中，≠；D中，＝.
(2)①原式＝＝＝＝0.
②原式＝
＝()＋()＝＝0.
答案：(1)AD　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)由圖形可知：＝＝＝.
(2)＝＝＝.
答案：(1)C　(2)
例3　解析：∵四邊形ACDE為平行四邊形，
∴＝＝c，＝＝b－a，
∴＝＝b－a＋c.
變式探究　解析：如圖，
因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以＝＝c，＝＝b－a，故＝＝b－a＋c.
跟蹤訓練3　解析：由題意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，則
(1)＝＝a＋d＋e.
(2)＝＝－＝－b－c.
(3)＝＝a＋b＋e.
(4)＝－＝－()＝－c－d.
[課堂十分鐘]
1．解析：由相反向量的定義可知，A，B，D正確；由于零向量的相反向量仍為零向量，所以C錯誤．
答案：C
2．解析：＝＝.
答案：B
3．解析：因為D是邊BC的中點，
所以＝
所以＝＝＝0.
答案：0
4．解析：(1)＝＝c－a.
(2)＝＝d－a.
(3)＝＝＝d－b.
(4)＝＝b－a＋f－c.
(5)＝＝＝f－d.1．3　向量的數乘
最新課程標準 學科核心素養
1.通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算及其運算規則，理解其幾何意義． 2．理解兩個平面向量共線的含義． 3．了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義． 1.掌握平面向量的數乘運算．(數學運算) 2．理解共線向量的含義．(直觀想象、邏輯推理) 3．了解平面向量的線性運算性質的幾何意義．(直觀想象)
教材要點
要點一　向量的實數倍
1．向量的數乘的定義
一般地，實數λ與向量a的乘積是一個向量，記作________，稱為a的________倍，它的長度|λa|＝________．
當λ≠0且a≠0時，λa的方向
當λ＝0或a＝0時，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.
求向量的實數倍的運算稱為向量的數乘．
狀元隨筆　理解數乘向量應注意的問題
(1)向量數乘的結果依然是向量，要從長度與方向加以理解．
(2)實數與向量可以相乘，但是不能相加、減．如λ＋，λ－均沒有意義．
2．向量的數乘的幾何意義
向量的數乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小．
要點二　共線向量
1．當非零向量a，b方向相同或相反時，我們既稱a，b________，也稱a，b________，記作________．
2．規定：零向量與所有的向量平行．
3．兩個向量平行 其中一個向量是另一個向量的實數倍．
即a∥b 存在實數λ，使得b＝________或a＝________．
狀元隨筆　向量共線定理的理解注意點及主要應用
(1)定理中≠0→，≠0→不能漏掉. 若＝＝0→，則實數λ可以是任意實數；若＝0→，≠0→，則不存在實數λ，使得＝λ.
(2)這個定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實數t，s，使t ＋s ＝0→，則與共線；若兩個非零向量與不共線，且t ＋s ＝0→，則必有t＝s＝0.
要點三　向量的夾角
1．設a，b是兩個非零向量，任選一點O，作＝a，＝b，則射線OA，OB所夾的最小非負角∠AOB稱為向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
2．平面向量夾角的范圍為[0，π].
狀元隨筆　(1)兩個向量的夾角是唯一確定的，且〈〉＝〈〉．
(2)當〈〉＝0時，方向相同；當〈〉＝π時，方向相反；當0<〈〉<π時，不共線．
(3)當〈〉＝時，互相垂直，記作⊥.
(4)0→與的夾角是任意大小，可以規定為0，也可以規定為等，因此，零向量與任一向量可以平行，也可以垂直．
要點四　單位向量
1．長度等于1個單位長度的向量．
2．對于任一非零向量a，都可得到與它方向相同的唯一單位向量e＝a.
狀元隨筆　單位向量只定義了大小，方向可以任意，方向不同的兩個單位向量不相等．
要點五　數乘運算律
一般地，設a，b是任意向量，x，y是任意實數，則如下運算律成立：
(1)對實數加法的分配律：(x＋y)a＝xa＋ya.
(2)對實數乘法的結合律：x(ya)＝(xy)a.
(3)對向量加法的分配律：x(a＋b)＝xa＋xb.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)實數λ與向量a的積還是向量．(　　)
(2)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　　)
(3)若b＝λa(a≠0)，則a與b方向相同或相反．(　　)
(4)表示向量a方向上的單位向量．(　　)
2．化簡：＝(　　)
A．2a－b B．2b－a
C．b－aD．a－b
3．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，則3a－b＝(　　)
A．4e2B．4e1
C．3e1＋6e2 D．8e2
4．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則與共線(平行)的向量有________．
題型 1　向量的線性運算
例1　(1)化簡：－2；
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，則m＝________，n＝________．
方法歸納
向量線性運算的基本方法
(1)向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算，例如實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．
(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算．
跟蹤訓練1　(1)(2a＋8b)－(4a－2b)等于(　　)
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3aD．3a－2b
(2)化簡：(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________．
題型 2　用已知向量表示相關向量
例2　如圖所示，已知 ABCD的邊BC，CD的中點分別為K，L，且＝e1，＝e2，試用e1，e2表示.
方法歸納
用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法
(2)方程法
當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．
跟蹤訓練2　如圖，ABCD是一個梯形，∥且||＝2||，M，N分別是DC，AB的中點，已知＝e1，＝e2，試用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
題型 3　向量共線定理的應用
角度1　向量共線的判定
例3　判斷下列各小題中的向量a，b是否共線(其中e1，e2是兩個不共線向量)．
(1)a＝5e1，b＝－10e1；
(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
方法歸納
向量共線的判定一般是用其判定定理，即a是一個非零向量，若存在唯一一個實數λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．解題過程中，需要把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，由此判斷共線．
角度2　證明三點共線
例4　設a，b是不共線的兩個向量．若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求證：A，B，C三點共線．
方法歸納
三點共線的證明問題及求解思路
(1)證明三點共線，通常轉化為證明由這三點構成的兩個向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據．
(2)若A，B，C三點共線，則向量在同一直線上，因此必定存在實數，使得其中兩個向量之間存在線性關系，而向量共線定理是實現線性關系的依據．
角度3　求參數的值
例5　設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量ke1＋2e2與8e1＋ke2方向相反，則k的值為________．
方法歸納
利用向量共線求參數，一種類型是利用向量加法、減法及數乘運算表示出相關向量，從而求得參數，另一種類型是利用三點共線建立方程求解參數．
跟蹤訓練3　(1)若向量a＝2e1＋e2，b＝－2e1＋3e2，則以下向量中與向量2a＋b共線的是(　　)
A．－5e1＋2e2 B．4e1＋10e2
C．10e1＋4e2D．e1＋2e2
(2)設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量a＝2e1－e2，與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線，則λ的值為________．
易錯辨析　忽視向量共線的方向出錯
例6　設兩向量e1，e2不共線，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，求實數t的值．
解析：∵向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，
∴存在實數λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，
即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±.
故所求實數t的值為±.
【易錯警示】
易錯原因 糾錯心得
忽視兩非零向量反向共線的情況而漏掉一解． 向量共線應分同向與反向兩種情況．
課堂十分鐘
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
2．(多選)已知向量a，b是兩個不共線的向量，且向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，則實數m的值為(　　)
A．－1 B．
C．3 D．4
3．在等邊△ABC中，點E在中線CD上，且CE＝6ED，則＝(　　)
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則＝________．(用b，c表示)
5．設e1，e2是兩個不共線向量，＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.
(1)證明：A，B，D三點共線；
(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三點共線，求k的值．
1．3　向量的數乘
新知初探·課前預習
要點一
λa　λ　|λ||a|　同向　反向　
要點二
1．共線　平行　a∥b
3．λa　λb
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，故選B.
答案：B
3．解析：3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.
答案：D
4．解析：根據非零向量共線的定義，與方向相同和方向相反的向量有.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(2)把已知中的兩個等式看成關于m，n的方程，聯立得方程組解得
答案：(1)見解析　(2)a＋b　a－b
跟蹤訓練1　解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.
(2)原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0.
答案：(1)B　(2)0
例2　解析：設＝x，則＝x，＝e1－x，
＝＝＝e1－x.
由＝，得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.
由＝－＝e1－x，
得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.
跟蹤訓練2　解析：因為∥，||＝2||，所以 ＝2＝.
(1)＝＝e2＋e1.
(2)＝＝－
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
答案：(1)e2＋e1　(2)e1－e2
例3　解析：(1)∵b＝－2a，∴a與b共線．
(2)∵a＝b，∴a與b共線．
(3)設a＝λb，則e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，
∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.
∵e1與e2是兩個不共線向量，∴
這樣的λ不存在，因此a與b不共線．
例4　解析：證明：∵＝＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴與共線，且有公共點B，
∴A，B，C三點共線．
例5　解析：∵ke1＋2e2與8e1＋ke2共線，
∴ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2，
∴解得或
∵ke1＋2e2與8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
答案：－4
跟蹤訓練3　解析：(1)2a＋b＝2e1＋5e2
又∵4e1＋10e2＝2(2e1＋5e2)
∴4e1＋10e2＝2(2a＋b)，故選B.
(2)因為向量a與b共線，所以存在唯一實數μ，使b＝μa成立．
即e1＋λe2＝μ(2e1－e2)＝2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1＝(λ＋μ)e2，
又因為e1與e2不共線．
所以解得λ＝－.
答案：(1)B　(2)－
[課堂十分鐘]
1．解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．解析：因為向量ma－3b與a＋(2－m)b共線，且向量a，b是兩個不共線的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案：AC
3．解析：因為＝＝＝)，＝，
所以＝.
答案：A
4．解析：如圖，在△ABC中，＝.∵＝2，∴＝.∵＝＝b－c，∴＝＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：b＋c
5．解析：(1)＝＝e1－4e2，＝2(e1－4e2)＝2，所以∥，因為與有公共點，所以A，B，D三點共線．
(2)因為B，D，F三點共線，所以存在實數λ，使＝λ，
所以3e1－ke2＝λe1－4λe2，所以(3－λ)e1＝(k－4λ)e2，又因為e1，e2不共線，
所以解得λ＝3，k＝12.1.4.1　向量分解及坐標表示
教材要點
要點一　平面向量基本定理
1．定理：設e1，e2是平面上兩個________向量，則
(1)平面上每個向量v都可以分解為e1，e2的實數倍之和，即________，其中x，y是實數．
(2)實數x，y由________唯一決定．也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，則x＝x′，y＝y′.
2．基：我們稱不共線向量e1，e2組成平面上的一組基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系數x，y組成的有序數組(x，y)，稱為v在這組基下的坐標．
狀元隨筆　平面向量基本定理的理解
是同一平面內的兩個不共線的向量，的選取不唯一，即一個平面可以有多組的基．
(2)平面內的任一向量都可以沿基進行分解．
(3)基確定后，實數λ1、λ2是唯一確定的．
要點二　平面向量的正交分解與坐標表示
1．把一個向量分解為兩個________的向量，叫作把向量正交分解．
2．平面上互相垂直的________向量組成的基稱為標準正交基，記作________，其中i＝(1，0)，j＝(0，1)．
3．若單位向量e1，e2的夾角為90°，非零向量v的模|v|＝r，且e1與v的夾角為α，則v＝____________．
狀元隨筆　標準正交基是平面向量的一組特殊的基．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一個基．(　　)
(2)平面向量的基確定后，平面內的任何一個向量都能用這個基唯一表示．(　　)
(3)若{e1，e2}是平面α內所有向量的一個基，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α內．(　　)
(4)基向量可以是零向量．(　　)
2．(多選)設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，下列向量組是這個平行四邊形所在平面的一組基的是(　　)
A．與 B．與
C．與 D．與
3．已知AD是△ABC的中線，＝a，＝b，以a，b為基表示，則＝(　　)
A．(a－b) B．2b－a
C．(b－a) D．2b＋a
4．在平面直角坐標系內，已知i，j是兩個互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標表示a＝________．
題型1　對平面向量基本定理的理解
例1　(1)設e1，e2是同一平面內的兩個向量，則有(　　)
A．e1，e2一定平行
B．e1，e2的模相等
C．對同一平面內的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
D．若e1，e2不共線，則對同一平面內的任一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)
(2)(多選)設{e1，e2}是平面內所有向量的一組基，下列四組向量中能作為基的是(　　)
A．e2和e1＋e2 B．2e1－4e2和－e1＋2e2
C．e1和e1－e2 D．e1＋2e2和2e1＋e2
方法歸納
對基的理解
(1)兩個向量能否作為一組基，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．
(2)一個平面的基一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則
提醒：一個平面的基不是唯一的，同一個向量用不同的基表示，表達式不一樣．
跟蹤訓練1　如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，其中可作為基的一組向量是(　　)
A． B．
C． D．
題型 2　平面向量基本定理的應用
角度1　用基表示平面向量
例2　如圖所示，在△ABC中，M是AB的中點，且＝，BN與CM相交于點E，設＝a，＝b，試用基{a，b}表示向量.
方法歸納
用基表示向量的兩種基本方法
用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．
角度2　利用平面向量基本定理求參數
例3　在三角形ABC中，點E，F滿足＝＝2，若＝x＋y，則x＋y＝________．
方法歸納
(1)利用平面向量基本定理求參數值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次，然后利用系數相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有
(2)充分利用平面幾何知識對圖中的有關點進行精確定位，往往可使問題更便于解決．
跟蹤訓練2　如圖，在平行四邊形ABCD中，設對角線上的向量＝a，＝b，試用基{a，b}表示.
題型 3　平面向量的坐標表示
例4　在平面直角坐標系中，向量a，b，c的方向如圖所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐標．
方法歸納
始點為坐標原點的向量的坐標由終點的坐標決定．一般可以借助三角函數的定義來確定點的坐標，此時需明確點所在的象限，點到原點的距離，點與原點的連線與x軸正方向的夾角．
跟蹤訓練3　
(1)如圖，{e1，e2}是一組基，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則向量a的坐標為(　　)
A．(1，3)
B．(3，1)
C．(－1，－3)
D．(－3，－1)
(2)如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示為(　　)
A．2i＋3j　　　B．4i＋2j　　　C．2i－j　　　D．－2i＋j
易錯辨析　對基成立的條件理解有誤
例5　已知e1≠0，λ∈R，向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，則向量a與b共線的條件為(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
解析：設a＝kb(k∈R)，即e1＋λe2＝2ke1，∴(1－2k)e1＋λe2＝0，∴(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1≠0，則e1＝，此時e1∥e2；若2k－1＝0，則λ＝0或e2＝0.∵0與任意向量平行，∴a與b共線的條件為e1∥e2或λ＝0.故選D.
答案：D
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
忽略基的條件“兩個向量不共線”導致錯誤． 平面內任意一對不共線的向量都可以組成表示該平面內所有向量的一組基，一定要注意“不共線”這一條件，還要注意零向量不能作為基．
1．4.1　向量分解及坐標表示
新知初探·課前預習
要點一
1．不共線　(1)v＝xe1＋ye2　(2)v＝xe1＋ye2
要點二
1．互相垂直　2.單位　{i，j}　3.(r cos α，r sin α)
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：A中：與不共線；B中：＝－，則與共線；C中：與不共線；D中：＝－，則與共線．由平面向量基的概念知，只有不共線的兩個向量才能構成一組基，故AC滿足題意．
答案：AC
3．解析：如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點，從而＝)，則＝2＝2b－a.
答案：B
4．解析：在平面直角坐標系內，已知i，j是兩個互相垂直的單位向量，若a＝2i－3j，則向量用坐標表示a＝(2，－3)．
答案：(2，－3)
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)D選項符合平面向量基本定理．故選D.
(2)e1、e2是平面內所有向量的一組基，
e2和e1＋e2，顯然不共線，可以作為基；
e1和e1－e2，顯然不共線，可以作為基；
2e1－4e2和－e1＋2e2，存在－2，使得2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共線，不可以作為基；
因為e1＋2e2和2e1＋e2不存在λ，使得e1＋2e2＝λ(2e1＋e2)，故不共線，可以作為基．
答案：(1)D　(2)ACD
跟蹤訓練1　解析：由基的概念可知，作為基的一組向量不能共線．由題圖可知，與共線，與共線，與共線，均不能作為基向量，與不共線，可作為基向量．
答案：B
例2　解析：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三點共線可知，存在實數m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三點共線可知，存在實數n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}為基，
所以解得所以＝a＋b.
例3　解析：依題意有＝＝－，所以x＝－，y＝，所以x＋y＝－.
答案：－
跟蹤訓練2　解析：方法一　設AC，BD交于點O，則有＝＝＝a，＝＝＝b，
所以＝＝＝a－b，
＝＝a＋b.
方法二　設＝x，＝y，則＝＝y，又
所以
解得
即＝a－b，＝a＋b.
例4　解析：設a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin (－30°)＝4×＝－2.
∴a＝()，b＝，c＝(2，－2)．
跟蹤訓練3　解析：(1)因為e1，e2分別是x軸、y軸正方向上的兩個單位向量，由題圖可知a＝e1＋3e2，根據平面向量坐標的定義可知a＝(1，3)．
(2)記O為坐標原點，則＝(2，3)＝2i＋3j，＝(4，2)＝4i＋2j，
所以＝＝4i＋2j－(2i＋3j)＝2i－j.
答案：(1)A　(2)C1.5.1　數量積的定義及計算
教材要點
要點一　數量積的定義
(1)設a，b是任意兩個向量，〈a，b〉是它們的夾角，則定義a·b＝____________________為a與b的數量積．
(2)a·b＝0 ________．
狀元隨筆　(1)“·”是數量積的運算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“×”；
(2)數量積的結果為數量，不再是向量；
(3)向量數量積的正負由兩個向量的夾角〈〉決定：當〈〉是銳角時，數量積為正；當〈〉是鈍角時，數量積為負；當〈〉是直角時，數量積等于零．
要點二　投影
(1)設a，b是兩個非零向量，這兩個向量的夾角為α，在平面內任取一點O，作＝a，＝b.過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量；投影向量的長度|＝|||cos α|稱為投影長；____________稱為在上的投影．
(2)a與b的數量積等于a的長度|a|與b在a方向上的投影________的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上的投影________的乘積．
狀元隨筆　(1)若是兩個非零向量，兩個向量的夾角為〈〉在方向上的投影||cosα的計算公式為||cosα＝.
(2)向量在向量方向上的投影||cosα可以為正，可以為負，也可以為0.
要點三　數量積的運算律
設a，b，c是任意向量，λ是任意實數，則
(1)交換律：a·b＝________；
(2)與數乘的結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
狀元隨筆　(1)向量的數量積不滿足消去律；若均為非零向量，且＝，但得不到＝.
(2)() ≠()，因為是數量積，是實數，不是向量，所以() 與向量共線，()與向量共線，因此，() ＝()在一般情況下不成立．
(3)推論：(±)2＝±2.
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩向量的數量積仍是一個向量．(　　)
(2)設非零向量a與b的夾角為θ，則cos θ＞0 a·b＞0.(　　)
(3)對于向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(　　)
(4)對于任意向量a，b，總有(a·b)2＝a2·b2.(　　)
2．已知單位向量a，b的夾角為60°，則a·b＝(　　)
A． B．
C．1 D．－
3．若|a|＝1，|b|＝2，向量a與向量b的夾角為，則向量a在向量b上的投影向量為(　　)
A．－b B．b
C．－b D．b
4．若向量a，b滿足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，則a與b的夾角為________．
題型 1　向量數量積的計算
角度1　向量數量積的計算
例1　已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
方法歸納
求向量的數量積的方法
求向量的數量積時，需明確兩個關鍵點：相關向量的模和夾角．若是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量的數量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡，使問題轉化為兩個單一向量的數量積，再用數量積公式計算．
角度2　幾何圖形中向量的數量積的計算
例2　在邊長為3的等邊三角形ABC中，＝，則·＝(　　)
A．B．
C．－ D．
方法歸納
解決幾何圖形中向量的數量積運算問題的思路方法
(1)解決幾何圖形中向量的數量積運算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量．
(2)向量的夾角是由向量的方向確定的，在△ABC中，注意與與與的夾角不是∠C，∠A，∠B，而是它們的補角．
(3)設D是△ABC的邊BC的中點，則＝)．
跟蹤訓練1　(1)已知向量a與b的夾角θ＝120°，|a|＝3，|b|＝4，則a·b＝(　　)
A．－6 B．－6
C．6 D．6
(2)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，則·的值等于________．
題型 2　向量數量積的幾何意義
例3　如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D為BC的中點．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
方法歸納
求投影向量的方法
(1)依據投影的定義和平面幾何知識作出恰當的垂線，直接得到投影向量．
(2)首先根據題意確定向量a的模，與b同向的單位向量e，及兩向量a與b的夾角θ，然后依據公式|a|cos θ·e計算．
跟蹤訓練2　(1)若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夾角為30°，則a在b的方向上的投影向量的模長為(　　)
A．2 B．
C．2D．4
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為________．
題型 3　向量數量積的應用
角度1　求兩向量的夾角
例4　已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，則a與b的夾角為________．
方法歸納
求向量a與b夾角的關鍵是計算a·b及|a||b|，利用cos θ＝，θ∈[0，π]，求出θ的值．在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關系中，常利用消元思想計算cos θ的值．
角度2　求向量的模
例5　(1)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，則|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a與b的夾角為60°，則|b|＝________．
角度3　兩向量的垂直問題
例6　已知向量a，b的夾角為π，|a|＝1，|b|＝2.若2a－b和ta＋b垂直，求實數t的值．
方法歸納
向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關題目的依據是a⊥b a·b＝0，利用數量積的運算律代入，結合與向量的模、夾角相關的知識解題．
跟蹤訓練3　(1)已知單位向量a，b滿足a·b＝，則a與b夾角的大小為________；|a－2b|＝________．
(2)設向量e1，e2為單位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，則k＝________．
易錯辨析　忽視向量共線的特殊情況出錯
例7　設兩個向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，求實數t的取值范圍．
解析：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，得
cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化簡得2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－.
當向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為180°時，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此時夾角不是鈍角．
設2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，則
解得
∴所求實數t的取值范圍是(－7，－，－)．
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0包括了向量共線反向的情況，若忽視了這種情況，就得到了錯誤的答案. 若兩向量的夾角為鈍角，則這兩向量的數量積為負，反之不成立．所以解題時注意結論的應用．
課堂十分鐘
1．已知a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
2．已知正方形ABCD的邊長為1，則·＝(　　)
A． B．1
C． D．2
3．已知e為單位向量，|a|＝4，當向量e，a的夾角等于30°時，向量a在向量e上的投影向量為(　　)
A．2eB．2e
C．2eD．e
4．已知非零向量a，b，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．
1．5.1　數量積的定義及計算
新知初探·課前預習
要點一
(1)|a||b|cos 〈a，b〉　(2)a⊥b
要點二
(1)||cos α　(2)|b|cos α　|a|cos α
要點三
(1)b·a　(3)a·c＋b·c
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由向量的數量積公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.
答案：A
3．解析：a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝1×＝b.
答案：D
4．解析：cos 〈a，b〉＝＝＝－，
∴夾角為.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 120°＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.
例2　解析：＝＝＝1，
·＝·cos (180°－60°)＝3×1×＝－.
答案：C
跟蹤訓練1　解析：(1)根據平面向量數量積的定義可得a·b＝|a|·|b|·cos 120°＝3×4×(－)＝－6.
(2)·＝()·＝||2＋·＝||2＝||2＝2.
答案：(1)B　(2)2
例3　解析：(1)如圖，連接AD.因為D為BC的中點，AB＝AC，
所以AD⊥BC.設與同方向的單位向量為e，又BD＝DC＝，且與的夾角為150°，
所以在上的投影向量||cos 150°e＝－e＝－＝－＝.
(2)如圖，延長CB至點M，使BM＝CD，過點M作AB延長線的垂線MN，并交AB的延長線于點N，易知＝，BN＝.
在上的投影向量即為在上的投影向量．
又MN⊥BN，BN＝與的夾角為150°，
故在上的投影向量為＝－，即在上的投影向量為－.
跟蹤訓練2　解析：(1)a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×2×＝4，
a在b的方向上的投影向量為：|a|cos 30°×＝4×＝b，
所以a在b的方向上的投影向量的模長為|b|＝2.
(2)設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量為|a|cos θ·e＝3×·e＝－e.
答案：(1)C　(2)－e
例4　解析：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉＝6cos 〈a，b〉，
∵(a＋2b)·(a－3b)＝－18，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝9－6cos 〈a，b〉－6×4＝－18
整理得：cos 〈a，b〉＝，
∴a與b的夾角為：.
答案：
例5　解析：(1)由題意，向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－1，
又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，
所以|2a＋b|＝2.
(2)由題意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即－|b|＝，解得|b|＝.
答案：(1)A　(2)
例6　解析：由題設知a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝－1
又因為2a－b和ta＋b垂直，
所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，
即2ta2＋(2－t)a·b－b2＝0，
所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.
跟蹤訓練3　解析：(1)設a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝，又θ∈，所以θ＝；
|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4＝3，所以|a－2b|＝.
(2)因為向量e1，e2為單位正交基，a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，a⊥b，
所以(2e1－e2)·(e1＋ke2)＝0，即＝0，
所以2－k＝0，即k＝2.
答案：(1)　(2)2
[課堂十分鐘]
1．解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
答案：B
2．解析：如圖，因為ABCD是邊長為1的正方形，所以＝，
·＝·＝2＋·＝1.
答案：B
3．解析：∵向量a在向量e上的投影數量為|a|cos 〈a，e〉＝4cos 30°＝2，
∴向量a在向量e上的投影向量為2e.
答案：A
4．解析：由向量垂直得
即
化簡得
∴cos 〈a，b〉＝＝＝，
∴a與b的夾角為.(共36張PPT)
1.5.1　數量積的定義及計算
新知初探·課前預習
題型探究·課堂解透
新知初探·課前預習
教材要點
要點一　數量積的定義
(1)設a，b是任意兩個向量，〈a，b〉是它們的夾角，則定義a·b＝______________為a與b的數量積．
(2)a·b＝0 ________．
狀元隨筆　(1)“·”是數量積的運算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“×”；
(2)數量積的結果為數量，不再是向量；
(3)向量數量積的正負由兩個向量的夾角〈〉決定：當〈〉是銳角時，數量積為正；當〈〉是鈍角時，數量積為負；當〈〉是直角時，數量積等于零．
a||b|cos〈a，b〉
a⊥b
要點二　投影
(1)設a，b是兩個非零向量，這兩個向量的夾角為α，在平面內任取一點O，作＝a，＝b.過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量；投影向量的長度|＝|||cos α|稱為投影長；________稱為在上的投影．
(2)a與b的數量積等于a的長度|a|與b在a方向上的投影________的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上的投影________的乘積．
狀元隨筆　(1)若是兩個非零向量，兩個向量的夾角為〈〉在方向上的投影||cos α的計算公式為||cos α＝.
(2)向量在向量方向上的投影||cos α可以為正，可以為負，也可以為0.
||cos α
|b|cos α
|a|cos α
要點三　數量積的運算律
設a，b，c是任意向量，λ是任意實數，則
(1)交換律：a·b＝________；
(2)與數乘的結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
狀元隨筆　(1)向量的數量積不滿足消去律；若均為非零向量，且＝，但得不到＝.
(2)() ≠()，因為是數量積，是實數，不是向量，所以() 與向量共線，()與向量共線，因此，() ＝()在一般情況下不成立．
(3)推論：( ±)2＝±2.
b·a
a·c＋b·c
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)兩向量的數量積仍是一個向量．(　　)
(2)設非零向量a與b的夾角為θ，則cos θ＞0 a·b＞0.(　　)
(3)對于向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(　　)
(4)對于任意向量a，b，總有(a·b)2＝a2·b2.(　　)
×
√
×
×
2．已知單位向量a，b的夾角為60°，則a·b＝(　　)
A． B．
C．1 D．－
答案：A
解析：由向量的數量積公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.
3．若|a|＝1，|b|＝2，向量a與向量b的夾角為，則向量a在向量b上的投影向量為(　　)
A．－b B．b
C．－b D．b
答案：D
解析：a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝1×＝b.
4．若向量a，b滿足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，則a與b的夾角為
________．
解析：cos 〈a，b〉＝＝＝－，∴夾角為.
題型探究·課堂解透
題型 1　向量數量積的計算
角度1　向量數量積的計算
例1　已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 120°＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.
方法歸納
求向量的數量積的方法
求向量的數量積時，需明確兩個關鍵點：相關向量的模和夾角．若是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量的數量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡，使問題轉化為兩個單一向量的數量積，再用數量積公式計算．

角度2　幾何圖形中向量的數量積的計算
例2　在邊長為3的等邊三角形ABC中，＝，則·＝(　　)
A． B．
C．－ D．
答案：C
解析：＝＝＝1，
·＝·cos (180°－60°)＝3×1×＝－.
方法歸納
解決幾何圖形中向量的數量積運算問題的思路方法
(1)解決幾何圖形中向量的數量積運算問題，要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量，這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量．
(2)向量的夾角是由向量的方向確定的，在△ABC中，注意與與與的夾角不是∠C，∠A，∠B，而是它們的補角．
(3)設D是△ABC的邊BC的中點，則＝)．
跟蹤訓練1　(1)已知向量a與b的夾角θ＝120°，|a|＝3，|b|＝4，則a·b＝(　　)
A．－6 B．－6
C．6 D．6
解析：根據平面向量數量積的定義可得a·b＝|a|·|b|·cos 120°＝3×4×(－)＝－6.
答案：B
(2)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，則·的值等于________．
2
解析：·＝()·＝||2＋·＝||2＝||2＝2.
題型 2　向量數量積的幾何意義
例3　如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D為BC的中點．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
解析：(1)如圖，連接AD.因為D為BC的中點，AB＝AC，
所以AD⊥BC.設與同方向的單位向量為e，又BD＝DC＝，且與的夾角為150°，所以在上的投影向量||cos 150°e＝－e＝－＝－＝.
(2)如圖，延長CB至點M，使BM＝CD，過點M作AB延長線的垂線MN，并交AB的延長線于點N，易知＝，BN＝.
在上的投影向量即為在上的投影向量．
又MN⊥BN，BN＝與的夾角為150°，
故在上的投影向量為＝－，即在上的投影向量為－.
方法歸納
求投影向量的方法
(1)依據投影的定義和平面幾何知識作出恰當的垂線，直接得到投影向量．
(2)首先根據題意確定向量a的模，與b同向的單位向量e，及兩向量a與b的夾角θ，然后依據公式|a|cos θ·e計算．
跟蹤訓練2　(1)若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夾角為30°，則a在b的方向上的投影向量的模長為(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
答案：C
解析：a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×2×＝4，
a在b的方向上的投影向量為：|a|cos 30°×＝4×＝b，
所以a在b的方向上的投影向量的模長為|b|＝2.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是與b方向相同的單位向量，
則a在b上的投影向量為________．
－e
解析：設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量為|a|cos θ·e＝3×·e＝－e.
題型 3　向量數量積的應用
角度1　求兩向量的夾角
例4　已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，則a與b的夾角為
________．

解析：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉＝6cos 〈a，b〉，
∵(a＋2b)·(a－3b)＝－18，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝9－6cos 〈a，b〉－6×4＝－18
整理得：cos 〈a，b〉＝，
∴a與b的夾角為：.
方法歸納
求向量a與b夾角的關鍵是計算a·b及|a||b|，利用cos θ＝，θ∈[0，π]，求出θ的值．在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關系中，常利用消元思想計算cos θ的值．
角度2　求向量的模
例5　(1)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，則|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
答案：A
解析：由題意，向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－1，
又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，
所以|2a＋b|＝2.
(2)向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a與b的夾角為60°，則|b|＝
________．
解析：由題意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即－|b|＝，解得|b|＝.
角度3　兩向量的垂直問題
例6　已知向量a，b的夾角為π，|a|＝1，|b|＝2.若2a－b和ta＋b垂直，求實數t的值．
解析：由題設知a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝－1
又因為2a－b和ta＋b垂直，
所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，
即2ta2＋(2－t)a·b－b2＝0，
所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.
方法歸納
向量垂直問題的處理思路
解決與垂直相關題目的依據是a⊥b a·b＝0，利用數量積的運算律代入，結合與向量的模、夾角相關的知識解題．
跟蹤訓練3　(1)已知單位向量a，b滿足a·b＝，則a與b夾角的大小為
________；|a－2b|＝________．
2
解析：設a，b的夾角為θ，則cos θ＝＝，又θ∈，所以θ＝；
|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4＝3，所以|a－2b|＝.
(2)設向量e1，e2為單位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，則k＝________．
2
解析：因為向量e1，e2為單位正交基，a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，a⊥b，
所以(2e1－e2)·(e1＋ke2)＝0，即＝0，
所以2－k＝0，即k＝2.
易錯辨析　忽視向量共線的特殊情況出錯
例7　設兩個向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，求實數t的取值范圍．
解析：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，得
cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化簡得2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－.
當向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為180°時，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此時夾角不是鈍角．
設2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，則解得
∴所求實數t的取值范圍是(－7，－，－)．
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
若兩向量的夾角為鈍角，則這兩向量的數量積為負，反之不成立．所以解題時注意結論的應用．
課堂十分鐘
1．已知a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
答案：B
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
2．已知正方形ABCD的邊長為1，則·＝(　　)
A． B．1
C． D．2
答案：B
解析：如圖，因為ABCD是邊長為1的正方形，所以＝，
·＝·＝2＋·＝1.
3．已知e為單位向量，|a|＝4，當向量e，a的夾角等于30°時，向量a在向量e上的投影向量為(　　)
A．2e B．2e
C．2e D．e
答案：A
解析：∵向量a在向量e上的投影數量為|a|cos 〈a，e〉＝4cos 30°＝2，
∴向量a在向量e上的投影向量為2e.
4．已知非零向量a，b，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．
解析：由向量垂直得即
化簡得∴cos 〈a，b〉＝＝＝，
∴a與b的夾角為.1.6.1　余弦定理
教材要點
要點一　解三角形
從已知三角形的某些元素出發求這個三角形其他元素的過程叫作解三角形．
要點二　余弦定理
文字 語言 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
符號 語言 a2＝________________， b2＝________________， c2＝________________．
推論 cos A＝________________， cos B＝________________， cos C＝________________．
狀元隨筆　對余弦定理的理解
(1)余弦定理對任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題．用余弦定理的推論還可以根據角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．(　　)
(2)余弦定理只適用于銳角三角形．(　　)
(3)已知三角形的三邊求三個內角時，解是唯一的．(　　)
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．(　　)
2．在△ABC中，已知b＝8，c＝3，∠A＝60°，則a＝(　　)
A．73 B．49 C． D．7
3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cos B等于(　　)
A． B．
C．D．
4．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝30°，則c＝________．
題型 1　已知兩邊及一角解三角形
例1　(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，則BC的長為(　　)
A． B． C．3 D．
(2)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝，b＝，∠B＝120°，則邊a等于(　　)
A． B． C． D．2
方法歸納
(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法
用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長．
(2)已知兩邊及其夾角解三角形的方法
首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內角和定理求出其他兩角．
跟蹤訓練1　(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，則c＝________；sin A＝________．
(2)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝________．
題型 2　已知三角形三邊及關系解三角形
例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　)
A． B． C． D．
(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求此三角形的最大邊長．
方法歸納
(1)余弦定理及其推論在結構上有所不同，因此在應用它們解三角形時要根據條件靈活選擇；
(2)由于余弦函數在區間(0，π)內是單調的，因此由余弦定理的推論可知，由任意一個內角的余弦值確定的角是唯一的，因此用余弦定理求三角形內角時不必進行分類討論．
跟蹤訓練2　(1)在△ABC中，若a2＋c2＝b2－ac，則∠B＝(　　)
A． B． C． D．
(2)△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，則其最大內角等于________．
題型3　判斷三角形的形狀
例3　在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin B cos C．試判斷△ABC的形狀．
方法歸納
利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統一”入手，即用轉化的思想解決問題，一般有兩個思路：(1)化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關系；(2)化角為邊，再進行代數恒等變換，求出三條邊之間的關系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，則要考慮用余弦定理．
跟蹤訓練3　在△ABC中，若滿足a cos A＝b cos B，則△ABC一定為(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
易錯辨析　忽略構成三角形的條件出錯
例4　已知2a＋1，a，2a－1是鈍角三角形的三邊，則實數a的取值范圍為________．
解析：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三邊
∴
解得a>.
要使2a＋1，a，2a－1
構成三角形，需滿足
解得a>2.
由題知2a＋1是三角形的最大邊，設其對應的角為θ(鈍角)，
則cos θ＝<0，
∴a2＋(2a－1)2－(2a＋1)2<0，即a2－8a<0，解得0又a>2，∴a的取值范圍為(2，8)．
答案：(2，8)
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
a>只能保證2a＋1，a，2a－1都是正數，而要表示三角形的三邊，還需滿足三角形的隱含條件“兩邊之和大于第三邊”． 由于余弦定理的變形較多，且涉及平方和開方等運算，易因不細心而導致錯誤．在利用余弦定理求三角形的三邊時，除了要保證三邊長均為正數，還要判斷一下三邊能否構成三角形．
課堂十分鐘
1．在△ABC中，已知∠B＝120°，a＝3，c＝5，則b等于(　　)
A．4 B． C．7 D．5
2．在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝，則A＝(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若∠B＝60°，b2＝ac，則△ABC一定是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
4．在△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，cos A＝________．
5．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b1．6.1　余弦定理
新知初探·課前預習
要點二
b2＋c2－2bc cos A　a2＋c2－2ac cos B　a2＋b2－2ab cos C　
[基礎自測]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝82＋32－2×8×3×＝49.∴a＝7.
答案：D
3．解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝＝＝.
答案：B
4．解析：由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋9－2×2×3×＝3，
∴c＝.
答案：
題型探究·課堂解透
例1　解析：(1)由題意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋9－6＝7，則BC＝，故選D.
(2)根據余弦定理可知b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴6＝a2＋2－2 a×，∴a＝(負值舍去)．
答案：(1)D　(2)C
跟蹤訓練1　解析：(1)根據余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
(2)根據余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C
所以13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1(負值舍去)．
答案：(1)2　　(2)1
例2　解析：(1)因為c所以cos C＝＝＝，
所以∠C＝.
(2)已知a－b＝4，則a>b，且a＝b＋4.
又a＋c＝2b，則b＋4＋c＝2b，
所以b＝c＋4，則b>c，從而a>b>c.
因此a為最大邊，∠A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.
又b＝a－4>0，所以a＝14.
即此三角形的最大邊長為14.
答案：(1)B　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)因為a2＋c2＝b2－ac，所以a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos B＝＝＝－，又B∈(0，π)，
所以B＝.
(2)由于c最大，故C最大，cos C＝＝－，
由于0答案：(1)D　(2)
例3　解析：因為(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
所以a2＝b2＋c2－bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以cos A＝.又因為0°因為sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
且sin A＝2sin B cos C，
所以sin B cos C＝cos B sin C，則sin (B－C)＝0.
因為－180°又因為A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°，
故△ABC為等邊三角形．
跟蹤訓練3　解析：因為a cos A＝b cos B，
所以由余弦定理得a·＝b·
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)
a2b2＋a2c2－a4＝b2a2＋b2c2－b4
(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，
所以a＝b或a2＋b2＝c2，
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．
答案：D
[課堂十分鐘]
1．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝9＋25－2×3×5cos 120°
＝49
∴b＝7.
答案：C
2．解析：由余弦定理得
cos A＝＝＝
∴∠A＝60°.
答案：B
3．解析：∵△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，
∴cos B＝＝，∴a2＋c2－2ac＝0 (a－c)2＝0，
∴a＝c，∠A＝∠C，∴△ABC為等邊三角形．故選D.
答案：D
4．解析：因為a2＝2bc，b＝2c，所以a2＝2×2c×c＝4c2，即a＝2c，
在△ABC中，由余弦定理可得：cos A＝＝＝.
答案：
5．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，∵a＝4，b＋c＝6，cos A＝，∴16＝36－bc，∴bc＝8.
由可得1．7　平面向量的應用舉例
最新課程標準 學科核心素養
1.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題． 2．體會向量在解決數學和實際問題中的作用． 1.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．(直觀想象、邏輯推理) 2．會用向量方法解決某些簡單的力學問題及其他一些實際問題．(數學建模、數學運算)
教材要點
要點一　向量在平面幾何中的應用
(1)線線平行問題：
不重合的兩條直線a，b平行 a∥b a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0(a，b為非零向量)．
(2)線線垂直問題：
兩條直線a，b垂直 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(a，b為非零向量)．
(3)夾角問題：
兩個向量的夾角公式cos θ＝＝.
(4)線段的長度問題：
向量模的公式|a|＝＝.
要點二　物理中的向量問題
(1)力的問題
力是既有大小，又有方向的量．用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上，主要涉及的問題是力的合成與分解．
(2)速度與位移問題
速度、位移問題主要涉及合成與分解，其實就是向量的加減法，可以通過向量的線性運算來解決，也可借助坐標運算來求解．
(3)功與動量問題
物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是向量的數量積．即W＝|F||s|cos 〈F，s〉．功是一個實數，它可正、可負，也可為零．
物理中的動量涉及物體的質量m，物體運動的速率v，因此動量的計算也是向量的數乘運算．
基礎自測
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，則有·＝0.(　　)
(2)若∥，則直線AB與CD平行．(　　)
(3)物理學中的功是一個向量．(　　)
(4)速度、加速度與位移的合成和分解，實質上就是向量的加減運算．(　　)
2．在四邊形ABCD中，若·＝0，＝，則四邊形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
3．若向量＝＝(－3，－2)分別表示兩個力F1，F2，則|F1＋F2|為(　　)
A．(5，0) B．(－5，0)
C． D．－
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，則·＝________．
題型 1　平面向量在幾何證明中的應用
例1　如圖所示，在正方形ABCD中，E，F分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.
方法歸納
用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路
(1)向量的線性運算法的四個步驟：
①選取基；
②用基表示相關向量；
③利用向量的線性運算或數量積找到相應關系；
④把計算所得結果轉化為幾何問題．
(2)向量的坐標運算法的四個步驟：
①建立適當的平面直角坐標系；
②把相關向量坐標化；
③利用向量的坐標運算找到相應關系；
④利用向量關系回答幾何問題．
跟蹤訓練1　已知點O，P在△ABC所在平面內，且||＝||＝||，·＝·＝·，則點O，P依次是△ABC的(　　)
A．重心，垂心 B．重心，內心
C．外心，垂心 D．外心，內心
題型 2　平面向量在幾何求值中的應用
例2　在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，若點P為邊BC上的動點，則·的最大值為(　　)
A．B．－
C．－D．－2
方法歸納
(1)用向量法求長度的策略
①利用圖形特點選擇基，向量的數量積轉化，用公式|a|2＝a2求解．
②建立坐標系，確定相應向量的坐標，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝.
(2)向量數量積、夾角的計算
利用向量或坐標表示出未知向量，代入相應的公式進行計算．
跟蹤訓練2　
(1)如圖，已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夾角為，若＝5p＋2q，＝p－3q，D為BC的中點，則||＝__________．
(2)已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E為DC上靠近D的三等分點，則∠EAC的大小為________.
題型 3　向量在物理中的應用
例3　一條寬為 km的河，水流速度為2 km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速為4 km/h，問該船怎樣安排航行速度可使它從A碼頭最快到達彼岸B碼頭？用時多少？
方法歸納
用向量解決物理問題的一般步驟
(1)問題的轉化，即把物理問題轉化為數學問題．
(2)模型的建立，即建立以向量為主體的數學模型．
(3)參數的獲得，即求出數學模型的有關解——理論參數值．
(4)問題的答案，即回到問題的初始狀態，解釋相關的物理現象．
跟蹤訓練3　在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力為G，兩個拉力分別為F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1與F2夾角為θ，當兩人拎起行李包時，下列結論正確的是(　　)
A．|G|＝|F1|＋|F2|
B．當θ＝時，|F1|＝|G|
C．當θ角越大時，用力越省
D．當|F1|＝|G|時，θ＝
易錯辨析　未將物理問題轉化為向量問題致誤
例4　一條河寬為8 000 m，一船從A出發航行垂直到達河正對岸的B處，船速為20 km/h，水速為12 km/h，則船到達B處所需時間為________min.
解析：因為v實際＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12，
所以|v實際|＝＝＝16(km/h)．
因此所需時間t＝＝0.5(h)＝30(min)．
故該船到達B處所需的時間為30 min.
答案：30
易錯警示
易錯原因 糾錯心得
誤將船在靜水中的速度作為船的實際速度導致錯誤． 船行駛的實際速度是船在靜水中的速度與水速的合成，因此應借助平行四邊形法則或三角形法則求出其實際速度，再解決相關問題．
課堂十分鐘
1．在四邊形ABCD中，若＝0，·＝0，則四邊形為(　　)
A．平行四邊形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
2．已知作用在點A(1，1)的三個力分別為F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，則合力F＝F1＋F2＋F3的終點坐標是(　　)
A．(8，0) B．(9，1)
C．(－1，9) D．(3，1)
3.
已知邊長為2的正六邊形ABCDEF，連接BE，CE，點G是線段BE上靠近B的四等分點，連接GF，則· 等于(　　)
A．－6 B．－9
C．6 D．9
4．在Rt△ABC中，斜邊BC的長為2，O是平面ABC內一點，點P滿足＝)，則||＝________．
5．在等腰△ABC中，BB′，CC′是兩腰上的中線，且BB′⊥CC′，求頂角∠BAC的余弦值．
1．7　平面向量的應用舉例
新知初探·課前預習
[基礎自測]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由＝知BC∥AD，且BC＝AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
由·＝0知AB⊥BC，
∴四邊形ABCD是矩形．
答案：C
3．解析：F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2)
＝(－2，－1)．
|F1＋F2|＝＝.
答案：C
4．解析：∵＝)＝(－1，2)
∴·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.
答案：3
題型探究·課堂解透
例1　證明：方法一　設＝a，＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又因為＝＝－a＋＝＝b＋，所以·＝·＝－a·b＋＝＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二　建立平面直角坐標系如圖所示，設正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)．
因為·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
跟蹤訓練1　解析：∵||＝||＝||，
∴O到三角形三個頂點的距離相等
∴O是三角形的外心
∵·＝·＝·
∴·()＝0，·()＝0
∴⊥⊥
∴P是△ABC的垂心．
答案：C
例2　解析：如圖，以B為原點，BA，BC所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標系．
作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F，
在△ADE中，因為AD＝2，所以AE＝1，DE＝.
在△CDF中，因為DF＝BE＝2，∠C＝60°，所以CF＝，BC＝，
則A(1，0)，D(2，)．設P(0，t)，0≤t≤，
則＝(－1，t)，＝(2，－t)，
所以·＝－t2＋t－2，
當t＝時，·取得最大值，且(·)max＝－.
答案：C
跟蹤訓練2　解析：(1)由題意知2＝，
因為＝5p＋2q，＝p－3q，
所以2＝＝6p－q，
所以2||＝|6p－q|
＝＝15，
所以||＝.
(2)如圖，建立平面直角坐標系，
則A(0，0)，C(，1)，E，
＝(，1)，＝·＝2.
cos ∠EAC＝＝＝，
因為0<∠EAC<，所以∠EAC＝.
答案：(1)　(2)
例3　
解析：如圖所示，設為水流速度，為航行速度，
以AC和AD為鄰邊作 ACED，且當AE與AB重合時能最快到達彼岸，
根據題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，∴||＝＝2，又∵AB＝，
∴用時0.5 h，易知sin ∠EAD＝.∴∠EAD＝30°
∴該船實際航行速度大小為4 km/h，與水流方向成120°角時能最快到達B碼頭，用時0.5 h．
跟蹤訓練3　解析：根據題意可得：G＝F1＋F2，
則|G|＝|F1＋F2|＝＝θ＝0時，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，故A錯誤；
當θ＝時，|G|＝|G|，故B正確；
|G|＝y＝cos θ在(0，π)上遞減，
又因行李包所受的重力為G不變，所以當θ角越大時，用力越大，故C錯誤；
當|F1|＝|G|時，即＝|F1|，解得cos θ＝－，
又因θ∈(0，π)，所以θ＝，故D錯誤．
答案：B
[課堂十分鐘]
1．解析：由題可知∥，||＝||，且⊥，故四邊形為菱形．
答案：D
2．解析：∵F＝(8，0)，∴終點坐標為(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．
答案：B
3．解析：方法一　根據題意，＝2＝－，
所以＝＝－＝
又＝，且∠CDE＝120°，
所以·＝·()
＝＋·
＝2＋×2×2×＋4＝9.
方法二　以點F為原點，線段EF所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則F(0，0)，E(2，0)，B(0，2)，C(2，2)，＝(2，－2)，＝(0，－2)，＝(－2，0)，
＝＝＝，
故·＝－×(－2)＝9.
答案：D
4．解析：∵＝)，∴＝)，即＝)，∴AP為Rt△ABC斜邊BC的中線．∴||＝1.
答案：1
5.
解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，取A(0，a)，C(c，0)，則B(－c，0)．
于是，＝(c，a)，＝(2c，0)，＝(c，－a)．
因為BB′，CC′都是中線，
所以＝)＝[(2c，0)＋(c，a)]＝.
同理＝.
因為BB′⊥CC′，所以－c2＋a2＝0，即a2＝9c2.
從而cos ∠BAC＝＝＝＝.
即頂角∠BAC的余弦值為.

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