資源簡(jiǎn)介

4.1　指數(shù)
第1課時(shí)　根式
1．理解n次方根、根式的概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其學(xué)派中的一個(gè)成員希伯索斯思考了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)表示，希伯索斯的發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)誕生了．
問(wèn)題：若x2＝3，則這樣的x有幾個(gè)？它們叫做3的什么？如何表示？
知識(shí)點(diǎn)1　根式及相關(guān)概念
(1)a的n次方根的定義
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)a的n次方根的表示
n a的n次方根的表示符號(hào) a的取值范圍
n為奇數(shù) R
n為偶數(shù) ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2　根式的性質(zhì)(n>1，且n∈N*)
(1)n為奇數(shù)時(shí)，＝a．
(2)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝
(3)＝0．
(4)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)當(dāng)a≥0時(shí)，表示一個(gè)數(shù)． (　　)
(2)實(shí)數(shù)a的n次方根有且只有一個(gè)． (　　)
(3)當(dāng)n為偶數(shù)，a≥0時(shí)，≥0． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2 023，則x＝________；
(3)若有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．
[答案]　(1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞)
3．(1)＝________；
(2)＝________．
[答案]　(1)－8　(2)π－3
類型1　由根式的意義求取值范圍
【例1】　寫(xiě)出使下列各式成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍．
(1)；
(2)＝(5－x)．
[解]　(1)∵x－3≠0，∴x≠3．
即實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|x≠3}．
(2)由題意可知∴－5≤x≤5，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x|－5≤x≤5}．
　對(duì)于，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)只有a≥0才有意義．
(2)只要有意義，則必有≥0．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．若＝1－3a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
　[∵＝1－3a，∴1－3a≥0，∴a≤．]
類型2　利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值
【例2】　化簡(jiǎn)下列各式：
(1)＋()5；(2)＋()6；(3)．
[解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4．
(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4．
(3)原式＝|x＋2|＝
　正確區(qū)分與()n
(1)()n已暗含了有意義，依據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．
(2)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，的值取決于n的奇偶性．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．化簡(jiǎn)下列各式：
(1)(a≤1)；(2)＋．
[解]　(1)∵a≤1，∴3a－3≤0，∴＝|3a－3|＝3－3a．
(2)＝a＋|1－a|＝
類型3　有限制條件的根式的化簡(jiǎn)
【例3】　(1)若x0，則x＋|x|＋＝________．
(2)若－3x3，求－的值．
(1)－1　[∵x0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，
∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1．]
(2)[解]　－
＝－＝|x－1|－|x＋3|，
當(dāng)－3x≤1時(shí)，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2．
當(dāng)1x3時(shí)，原式＝x－1－(x＋3)＝－4．
綜上，原式＝
[母題探究]
將本例(2)的條件“－3x3”改為“x≤－3”，則結(jié)果又是什么？
[解]　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|．因?yàn)閤≤－3，所以x－10，x＋3≤0，
所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4．
　有條件根式的化簡(jiǎn)
(1)有條件根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，是指被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式可以通過(guò)配方、拆分等方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
(2)有條件根式的化簡(jiǎn)經(jīng)常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡(jiǎn)時(shí)，要考慮被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式的正負(fù)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知－1x2，化簡(jiǎn)－．
[解]　∵－1x2，∴x－20，x＋1>0，
∴－＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x．
1．(多選)已知a∈R，n∈N*，給出下列4個(gè)式子，其中有意義的是(　　)
A．　　　 B．
C． D．
BCD　[結(jié)合根式的定義可知BCD均有意義，故選BCD．]
2．已知m10＝2，則m等于(　　)
A． B．－
C． D．±
D　[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶數(shù)，∴2的10次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．∴m＝±．故選D．]
3．若＋(a－4)0有意義，則a的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
B　[由題意可知∴a≥2且a≠4．故選B．]
4．＋＝________．
1　[＋＝4－π＋π－3＝1．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．若xn＝a，則x的值如何表示？
[提示]　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若xn＝a，則x＝．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若xn＝a，則x＝±(其中a≥0)．
2．與()n相同嗎？
[提示]　與()n不同，前者求解時(shí)，要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù)，同時(shí)要注意實(shí)數(shù)a的正負(fù)，而后者()n＝a是恒等式，只要()n有意義，其值恒等于a．4.1　指數(shù)
第1課時(shí)　根式
1．理解n次方根、根式的概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
公元前五世紀(jì)，古希臘有一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)派名叫畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，其學(xué)派中的一個(gè)成員希伯索斯思考了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)表示，也不能用分?jǐn)?shù)表示，希伯索斯的發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)誕生了．
問(wèn)題：若x2＝3，則這樣的x有幾個(gè)？它們叫做3的什么？如何表示？
知識(shí)點(diǎn)1　根式及相關(guān)概念
(1)a的n次方根的定義
如果xn＝a，那么______叫做______的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)a的n次方根的表示
n a的n次方根的表示符號(hào) a的取值范圍
n為奇數(shù) R
n為偶數(shù) ± [0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，這里n叫做________，a叫做________．
知識(shí)點(diǎn)2　根式的性質(zhì)(n>1，且n∈N*)
(1)n為奇數(shù)時(shí)，＝________．
(2)n為偶數(shù)時(shí)，＝________＝
(3)＝________．
(4)負(fù)數(shù)沒(méi)有________方根．
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)當(dāng)a≥0時(shí)，表示一個(gè)數(shù)． (　　)
(2)實(shí)數(shù)a的n次方根有且只有一個(gè)． (　　)
(3)當(dāng)n為偶數(shù)，a≥0時(shí)，≥0． (　　)
2．(1)27的立方根是________；
(2)已知x6＝2 023，則x＝________；
(3)若有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．
3．(1)＝________；
(2)＝________．
類型1　由根式的意義求取值范圍
【例1】　寫(xiě)出使下列各式成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍．
(1)＝；
(2)＝(5－x)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對(duì)于，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)只有a≥0才有意義．
(2)只要有意義，則必有≥0．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．若＝1－3a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
類型2　利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值
【例2】　化簡(jiǎn)下列各式：
(1)＋()5；
(2)＋()6；
(3)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　正確區(qū)分與()n
(1)()n已暗含了有意義，依據(jù)n的奇偶性可知a的范圍．
(2)中的a可以是全體實(shí)數(shù)，的值取決于n的奇偶性．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．化簡(jiǎn)下列各式：
(1)(a≤1)；
(2)＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　有限制條件的根式的化簡(jiǎn)
【例3】　(1)若x<0，則x＋|x|＋＝______．
(2)若－3[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
將本例(2)的條件“－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　有條件根式的化簡(jiǎn)
(1)有條件根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題，是指被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式可以通過(guò)配方、拆分等方式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
(2)有條件根式的化簡(jiǎn)經(jīng)常用到配方的方法．當(dāng)根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，在利用公式化簡(jiǎn)時(shí)，要考慮被開(kāi)方數(shù)或被開(kāi)方的表達(dá)式的正負(fù)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)已知a∈R，n∈N*，給出下列4個(gè)式子，其中有意義的是(　　)
A．　　　 B．
C． D．
2．已知m10＝2，則m等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．±
3．若＋(a－4)0有意義，則a的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
4．＋＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．若xn＝a，則x的值如何表示？
2．與()n相同嗎？第2課時(shí)　指數(shù)冪及其運(yùn)算
1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
　　某國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，該國(guó)科研和開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出近些年呈爆炸式增長(zhǎng)：2019年為221.59億元，2020年、2021年、2022年的年增長(zhǎng)率分別為16.84%，14.06%，14.26%．你能根據(jù)這三個(gè)年增長(zhǎng)率的數(shù)據(jù)，算出年平均增長(zhǎng)率，并以2019年的經(jīng)費(fèi)支出為基礎(chǔ)，預(yù)測(cè)2023年及以后各年的經(jīng)費(fèi)支出嗎？
知識(shí)點(diǎn)1　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 規(guī)定：(a>0，m，n∈N*，且n>1)
負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 規(guī)定： (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0， 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義
知識(shí)點(diǎn)2　有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知識(shí)點(diǎn)3　無(wú)理數(shù)指數(shù)冪
一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)0的任何指數(shù)冪都等于0． (　　)
(2)． (　　)
(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如． (　　)
(4)可以理解為個(gè)a相乘． (　　)
(5)是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)． (　　)
(6)＝8． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√
2．計(jì)算：＝________；＝________．
2　　[＝2；．]
類型1　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化
【例1】　(源自蘇教版教材)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0)：
(1)a2；(2)；(3)．
[解]　(1)a2＝a2．
(2)．
(3)．
　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律
(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．
(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化：
(1)a3·；
(2)(a>0，b>0)．
[解]　(1)a3·＝a3·．
(2)
＝＝．
類型2　利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值
【例2】　化簡(jiǎn)求值：
(1)－＋＋－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2÷4·3．
[解]　(1)原式＝－＋＋－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64．
(2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)
＝－a-3-(-4)b-2-(-2)c-1
＝－ac-1＝－．
(3)原式＝2÷()·()
＝·3．
　指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧
(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．
(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．
(3)底數(shù)是小數(shù)，要先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．計(jì)算下列各式的值(式中字母均是正數(shù))：
(1)；
(2)a－π．
[解]　(1)原式＝＝26·m3＝64m3．
(2)原式＝＝a0＝1．
類型3　條件求值問(wèn)題
【例3】　已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
思路導(dǎo)引：
[解]　(1)將＝4兩邊平方，得a＋a-1＋2＝16，故a＋a-1＝14．
(2)將a＋a-1＝14兩邊平方，得a2＋a-2＋2＝196，故a2＋a-2＝194．
[母題探究]
1．在本例條件不變的條件下，求a－a-1的值．
[解]　令a－a-1＝t，則兩邊平方得a2＋a-2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a-1＝．
2．在本例條件不變的條件下，求a2－a-2的值．
[解]　由上題可知，a2－a-2＝(a－a-1)(a＋a-1)＝×14＝±112．
　解決條件求值問(wèn)題的思路
(1)在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的地變形，或先對(duì)條件式加以變形，找出所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．
(2)在利用整體代入法求值時(shí)，要注意完全平方公式的應(yīng)用．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
[解]　∵＝m，
∴2＝a＋a-1－2＝m2，
即a＋a-1＝m2＋2．
∴a2＋a-2＝(a＋a-1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．
1．把根式a化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是(　　)
A． B．－
C． D．
D　[由題意可知a≥0，故排除A、B、C選項(xiàng)，故選D．]
2．計(jì)算的結(jié)果是(　　)
A．π B． C．－π D．
[答案]　D
3．已知＋＝5，則的值為(　　)
A．5 B．23 C．25 D．27
B　[∵＋＝5，∴x＋x-1＝23，即＝23．故選B．]
4．計(jì)算：－(0.01)0.5＝________．
　[原式＝1＋．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪如何表示？
[提示]　．
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有哪些性質(zhì)？
[提示]　(1)asar＝as＋r；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr(其中a>0，b>0，r，s∈Q)．
3．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？
[提示]　設(shè)＝m(m＞0)，則兩邊平方得a＋＝m2－2；反之若設(shè)a＋＝n，則n＝m2－2，∴m＝．即．第2課時(shí)　指數(shù)冪及其運(yùn)算
1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
某國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，該國(guó)科研和開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出近些年呈爆炸式增長(zhǎng)：2019年為221.59億元，2020年、2021年、2022年的年增長(zhǎng)率分別為16.84%，14.06%，14.26%．你能根據(jù)這三個(gè)年增長(zhǎng)率的數(shù)據(jù)，算出年平均增長(zhǎng)率，并以2019年的經(jīng)費(fèi)支出為基礎(chǔ)，預(yù)測(cè)2023年及以后各年的經(jīng)費(fèi)支出嗎？
知識(shí)點(diǎn)1　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 規(guī)定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)
負(fù)分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 規(guī)定：：＝＝________ (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于________， 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪________意義
知識(shí)點(diǎn)2　有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．
知識(shí)點(diǎn)3　無(wú)理數(shù)指數(shù)冪
一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的________．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．
1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)
(1)0的任何指數(shù)冪都等于0． (　　)
(2)． (　　)
(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如． (　　)
(4)可以理解為個(gè)a相乘． (　　)
(5)是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)． (　　)
(6)＝8． (　　)
2．計(jì)算：＝________；＝________．
類型1　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化
【例1】　(源自蘇教版教材)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0)：
(1)a2；(2)；(3)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律
(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的________，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的________．
(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成____________的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化：
(1)a3·；
(2)(a>0，b>0)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值
【例2】　化簡(jiǎn)求值：
(1)－＋＋－3-1＋π0；
(2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)；
(3)2÷4·3．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧
(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．
(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．
(3)底數(shù)是小數(shù)，要先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．計(jì)算下列各式的值(式中字母均是正數(shù))：
(1)；
(2)a－π．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　條件求值問(wèn)題
【例3】　已知＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a-1；(2)a2＋a-2．
思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．在本例條件不變的條件下，求a－a-1的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．在本例條件不變的條件下，求a2－a-2的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決條件求值問(wèn)題的思路
(1)在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的地變形，或先對(duì)條件式加以變形，找出所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．
(2)在利用整體代入法求值時(shí)，要注意完全平方公式的應(yīng)用．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知＝m，求a＋a-1及a2＋a-2的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．把根式a化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是(　　)
A． B．－
C． D．
2．計(jì)算的結(jié)果是(　　)
A．π B． C．－π D．
3．已知＋＝5，則的值為(　　)
A．5 B．23 C．25 D．27
4．計(jì)算：－(0.01)0.5＝________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：
1．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪如何表示？
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有哪些性質(zhì)？
3．已知的值，如何求a＋的值？反之呢？

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