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第2章 章末綜合提升
類型1　不等式的性質及應用
1．本章主要學習了不等式的基本性質和基本事實．該知識點常與數式的大小比較、命題真假的判斷及不等式的證明結合命題，求解時注意直接法和特值法的應用．
2．掌握不等式的運算性質，重點提升數學抽象和邏輯推理素養．
【例1】　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
(2)(多選)(2022·江蘇省新海高級中學月考)若a，b，c∈R，aA> B．abC．a|c|>b|c| D．a(c2＋1)(3)已知2(1)B　(2)AD　(3)－6(2)對于A，因為a0，則>，故A正確；
對于B，因為ab2，故B錯誤；
對于C，當c＝0時，a|c|＝b|c|，故C錯誤；
對于D，由c2＋1>0，a(3)因為－2所以1<－b<2，
又因為2所以－6類型2　基本不等式及其應用
1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有兩種變形：ab≤和a＋b≥2其充分體現了利用兩個正數和與積互化求最值的技巧，在應用該知識點解決最值時，務必把握“一正、二定、三相等”這一前提條件．
2．熟練掌握基本不等式的應用，重點提升數學抽象和數學運算素養．
【例2】　(2022·河北保定市第一中學月考)求下列函數的最值．
(1)若正實數a，b，滿足a＋2b＝1，求＋的最小值；
(2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值．
[解]　(1)∵a>0，b>0，a＋2b＝1，∴(a＋1)＋2b＝2，
∴＋＝[(a＋1)＋2b]
＝≥＝×(6＋4)＝3＋2
∴＋的最小值為3＋2
(2)∵x<1，∴1－x>0，
∴y＝4(x－1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1．
當且僅當4(1－x)＝，即x＝時取等號，
∴y的最大值為1．
類型3　一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解法充分體現了三個“二次”之間的內在聯系，解此相關問題應把握三個關鍵點：一是圖象的開口方向，二是是否有根，三是根的大小關系．把握好以上三點，數形結合給出相應解集即可，對于由此知識點派生出的恒成立問題，數形結合求解便可．
2．掌握不等式的解法，重點提升邏輯推理和數學運算素養．
【例3】　(2022·河北石家莊外國語學校月考)已知關于x的不等式ax2＋3x＋2>0(a∈R)．
(1)當a<0時，若ax2＋3x＋2>0的解集為{x|b(2)當a>0時，求關于x的不等式ax2－3x＋2>x－1的解集．
[解]　(1)由題意知，b和1為ax2＋3x＋2＝0的兩個根，
將x＝1代入方程可得，a＋3＋2＝0，即a＝－5，
由根與系數的關系可知，b×1＝，故b＝－，
故a＝－5，b＝－
(2)由題意可知，ax2－3x＋2>x－1 ax2－4x＋3>0，
從而Δ＝16－12a，且a>0，
由二次函數可知，y＝ax2－4x＋3的圖象開口向上，
①當Δ＝16－12a<0，即a>時，不等式的解集為R；
②當Δ＝16－12a＝0，即a＝時，不等式ax2－4x＋3＝(2x－3)2>0的解集為；
③當Δ＝16－12a>0，即0ax2－4x＋3＝0的解為x1＝，x2＝，
故ax2－4x＋3>0的解集為
綜上所述，當a>時，ax2－3x＋2>x－1的解集為R；
當a＝時，ax2－3x＋2>x－1的解集為；
當0x－1的解集為
類型4　不等式在實際問題中的應用
1．不等式的應用題常以函數為背景，多是解決現實生活、生產中的優化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根據題設條件構建數學模型是解題的關鍵．
2．利用不等式解決實際應用問題，重點提升數學建模素養和數學運算素養．
【例4】　(2022·廣東深圳實驗學校高中部月考)某食品公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產品年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3－x與t＋1成反比例，當年促銷費用t＝0萬元時，年銷量是1萬件．已知每一年產品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件產品需再投入32萬元的生產費用，若將每件產品售價定為：其生產成本的150%與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的商品正好能銷售完．
(1)求x關于t的函數；
(2)將下一年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數；
(3)該食品公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大？
(注：利潤＝銷售收入－生產成本－促銷費，生產成本＝固定費用＋生產費用)
[解]　(1)由題意：3－x與t＋1成反比例，
所以設3－x＝(k≠0)，
將t＝0，x＝1代入，得k＝2，
所以x＝3－(t≥0)．
(2)當年生產x(萬件)時，年生產成本為：32x＋3＝32＋3，
當銷售x(萬件)時，年銷售收入為：150%＋t，
由題意，生產x萬件產品正好銷售完，且年利潤＝年銷售收入－年生產成本－促銷費，
所以y＝150%＋t－－t
即y＝(t≥0)．
(3)由(2)有：y＝＝－＝50－
因為t≥0，所以＋≥2，
當且僅當＝，即t＝7時，等號成立．
所以y＝50－≤50－2＝42，即ymax＝42．
所以當促銷費投入7萬元時，企業年利潤最大．第2章 章末綜合提升
類型1　不等式的性質及應用
1．本章主要學習了不等式的基本性質和基本事實．該知識點常與數式的大小比較、命題真假的判斷及不等式的證明結合命題，求解時注意直接法和特值法的應用．
2．掌握不等式的運算性質，重點提升數學抽象和邏輯推理素養．
【例1】　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關系是(　　)
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
(2)(多選)(2022·江蘇省新海高級中學月考)若a，b，c∈R，aA．> B．abC．a|c|>b|c| D．a(c2＋1)(3)已知2[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　基本不等式及其應用
1．基本不等式≤(a>0，b>0)常有兩種變形：ab≤和a＋b≥2．其充分體現了利用兩個正數和與積互化求最值的技巧，在應用該知識點解決最值時，務必把握“一正、二定、三相等”這一前提條件．
2．熟練掌握基本不等式的應用，重點提升數學抽象和數學運算素養．
【例2】　(2022·河北保定市第一中學月考)求下列函數的最值．
(1)若正實數a，b，滿足a＋2b＝1，求＋的最小值；
(2)已知x<1，求y＝4x＋1＋的最大值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解法充分體現了三個“二次”之間的內在聯系，解此相關問題應把握三個關鍵點：一是圖象的開口方向，二是是否有根，三是根的大小關系．把握好以上三點，數形結合給出相應解集即可，對于由此知識點派生出的恒成立問題，數形結合求解便可．
2．掌握不等式的解法，重點提升邏輯推理和數學運算素養．
【例3】　(2022·河北石家莊外國語學校月考)已知關于x的不等式ax2＋3x＋2>0(a∈R)．
(1)當a<0時，若ax2＋3x＋2>0的解集為{x|b(2)當a>0時，求關于x的不等式ax2－3x＋2>x－1的解集．
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類型4　不等式在實際問題中的應用
1．不等式的應用題常以函數為背景，多是解決現實生活、生產中的優化問題，在解題中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根據題設條件構建數學模型是解題的關鍵．
2．利用不等式解決實際應用問題，重點提升數學建模素養和數學運算素養．
【例4】　(2022·廣東深圳實驗學校高中部月考)某食品公司擬在下一年度開展系列促銷活動，已知其產品年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3－x與t＋1成反比例，當年促銷費用t＝0萬元時，年銷量是1萬件．已知每一年產品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件產品需再投入32萬元的生產費用，若將每件產品售價定為：其生產成本的150%與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的商品正好能銷售完．
(1)求x關于t的函數；
(2)將下一年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元) 的函數；
(3)該食品公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大？
(注：利潤＝銷售收入－生產成本－促銷費，生產成本＝固定費用＋生產費用)
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