資源簡介

指數函數
1 指數運算
(1) 次方根與分數指數冪
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數.
負數沒有偶次方根；的任何次方根都是.
注意：(1) (2)當是奇數時，，當是偶數時，
(2) 正數的正分數指數冪的意義
① 正數的正分數指數冪的意義，規定：
巧記“子內母外”(根號內的作分子，根號外的作為分母)
Eg ，.
② 正數的正分數指數冪的意義：
③ 的正分數指數冪等于，的負分數指數冪沒有意義.
(3) 實數指數冪的運算性質
①
②
③
2 指數函數概念
一般地，函數且叫做指數函數，其中是自變量，函數的定義域為.
3 圖像與性質
函數名稱 指數函數
定義 函數且叫做指數函數
圖象
定義域
值域
過定點 圖象過定點，即當時，．
奇偶性 非奇非偶
單調性 在上是增函數 在上是減函數
變化對圖 象的影響 在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低．
【題型一】指數冪的化簡與求值
【典題1】 求值.
【典題2】已知，則的值為______.
【典題3】化簡________.
鞏固練習
1(★) 化簡 .
2(★★) 如果，，那么　 　．
3(★★) 已知，則　 　．
4(★★) 　 　．
5(★★) 求值　 　．
6(★★★) 已知實數滿足，則的取值范圍是　 　.
7(★★★) 已知，則不可能滿足的關系是(　　)
【題型二】指數函數的圖象及應用
【典題1】函數的圖象大致是(　　)
． ． ． ．
【典題2】設函數，，且，判斷與的大小關系.
鞏固練習
1(★) 二次函數與指數函數的交點個數有(　　)
個 個 個 個
2(★★) 若函數的圖象和軸有交點，則實數的取值范圍是(　　)
3(★★) 如圖所示，函數的圖象是(　　)
． ． ． ．
4(★★) 已知實數滿足等式，下列五個關系式：①；②；
③；④；⑤．其中可能成立的關系式有(　　)
．①②③ ．①②⑤ ．①③⑤ ．③④⑤
5(★★★) 若，則有(　　)
【題型三】指數函數的性質及應用
角度1 比較指數式的大小
【典題1】 設，則(　　)
【典題2】已知，．，則這三個數的大小關系為(　　)
角度2 求解指數型不等式和方程
【典題1】方程的解是　 　．
【典題2】 解不等式：
角度3 指數型函數綜合問題
【典題1】已知定義在上的函數滿足：①對于任意的，都有；
②函數是偶函數；③當時，，則，，從小到大的排列是　 .
【典題2】若，則有(　　)
【典題3】 已知函數，，其中，且．當時，的最大值與最小值之和為．
(1)求的值；
(2)若，記函數，求當時，的最小值．
【典題4】 已知函數(其中是常數)．
(1)若當時，恒有成立，求實數的取值范圍；
(2)若存在，使成立，求實數的取值范圍；
(3)若方程在上有唯一實數解，求實數的取值范圍.
【典題5】 已知定義在上的奇函數．在時，．
試求的表達式；
若對于上的每一個值，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
鞏固練習
1(★) 設，則的大小關系為(　　)
2(★★) 已知實數，滿足，則(　　)
3(★★) 設，下列命題中正確的是(　　)
．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4(★★) 方程的解是　 　.
5(★★) 若方程有正數解，則實數的取值范圍是　 　.
6(★★★) 已知函數在上的值域為，且函數在上是減函數，則　 　．
7(★★★) 設不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是 　．
8(★★★)已知：
(1)證明是上的增函數；
(2)是否存在實數使函數為奇函數？若存在，請求出的值，若不存在，說明理由．
9(★★★)設函數且．
(1)判斷函數的奇偶性；
(2)若，試判斷函數的單調性．并求使不等式對一切恒成立的的取值范圍；
(3)若，且在上的最小值為，求的值．
10 (★★★) 已知函數.
若，解方程；
若，求的單調區間；
若存在實數，使，求實數的取值范圍.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)指數函數
1 指數運算
(1) 次方根與分數指數冪
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.
式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數.
負數沒有偶次方根；的任何次方根都是.
注意：(1) (2)當是奇數時，，當是偶數時，
(2) 正數的正分數指數冪的意義
① 正數的正分數指數冪的意義，規定：
巧記“子內母外”(根號內的作分子，根號外的作為分母)
Eg ，.
② 正數的正分數指數冪的意義：
③ 的正分數指數冪等于，的負分數指數冪沒有意義.
(3) 實數指數冪的運算性質
①
②
③
2 指數函數概念
一般地，函數且叫做指數函數，其中是自變量，函數的定義域為.
3 圖像與性質
函數名稱 指數函數
定義 函數且叫做指數函數
圖象
定義域
值域
過定點 圖象過定點，即當時，．
奇偶性 非奇非偶
單調性 在上是增函數 在上是減函數
變化對圖 象的影響 在第一象限內，越大圖象越高；在第二象限內，越大圖象越低．
【題型一】指數冪的化簡與求值
【典題1】 求值.
【解析】原式
.
【點撥】一般可以帶分數化假分數、小數化分數、根式化冪、整數化冪.
【典題2】已知，則的值為______.
【解析】由，兩邊平方得，則，
所以.
【點撥】注意，，之間平方的關系.
【典題3】化簡________.
【解析】
.
【點撥】化簡形如的式子，利用完全平方數處理.
鞏固練習
1(★) 化簡 .
【解析】原式．
2(★★) 如果，，那么　 　．
【解析】由，得，
則．
故答案為．
3(★★) 已知，則　 　．
【解析】由，可得，，
．
故選：．
4(★★) 　 　．
【解析】
．
5(★★) 求值　 　．
【解析】.
6(★★★) 已知實數滿足，則的取值范圍是　 　.
【解析】設，，
又，
，；
即，解得；
；
由已知，
，
時，的最大值為；時的最小值為；
所以的取值范圍是．
故答案為：．
7(★★★) 已知，則不可能滿足的關系是(　　)
，，
，，
，
，
，則有，
，，
，
，
，故錯誤
故選：．
【題型二】指數函數的圖象及應用
【典題1】函數的圖象大致是(　　)
． ． ． ．
【解析】
方法1 函數，
(利用去掉絕對值把函數變成分段函數)
當時，是增函數，當時，的減函數，
且時，，即圖象過點；
符合條件的圖象是．
故選：．
方法2 利用函數的圖象變換
故選：．
【典題2】設函數，，且，判斷與的大小關系.
【解析】 的圖象可看成向下平移一個單位，再把軸下方的圖象做翻轉得到，其圖象如下圖所示，
由圖可知，要使且成立，
則有且，
故必有且，
又，即為，
．
【點撥】涉及指數函數型的函數，往往需要得到其圖象，方法有：
① 利用要相應指數函數的圖象通過平移、對稱、翻轉變換得其圖象；
② 利用去掉絕對值得到分段函數得其圖象.
鞏固練習
1(★) 二次函數與指數函數的交點個數有(　　)
個 個 個 個
【答案】
【解析】因為二次函數，
且時，，，
則在坐標系中畫出與的圖象：
由圖可得，兩個函數圖象的交點個數是個，
故選．
2(★★) 若函數的圖象和軸有交點，則實數的取值范圍是(　　)
【答案】
時，，
；
由函數的圖象和軸有交點，
，，
綜上，實數的取值范圍是．
故選：．
3(★★) 如圖所示，函數的圖象是(　　)
． ． ． ．
【答案】
【解析】=，時，時，．故選B．
4(★★) 已知實數滿足等式，下列五個關系式：①；②；
③；④；⑤．其中可能成立的關系式有(　　)
．①②③ ．①②⑤ ．①③⑤ ．③④⑤
【答案】
【解析】令和，即，如圖所示
由圖象可知①②⑤正確，故選B．
5(★★★) 若，則有(　　)
【答案】
【解析】構造函數，易得函數單調遞增，
由，可得
，
故選：．
【題型三】指數函數的性質及應用
角度1 比較指數式的大小
【典題1】 設，則(　　)
【解析】利用冪的運算性質可得，
，，，
再由是增函數，知．
故選：．
【典題2】已知，．，則這三個數的大小關系為(　　)
【解析】根據指數函數的性質可得：函數是減函數，
，，即．
又，，
，，
故選：．
【點撥】比較指數式的大小，主要是利用指數函數的單調性，具體方法有
① 把指數冪化為同底，再利用指數函數的單調性比較大小；
② 若不能化為同底，可對指數冪進行估值，一般可以與，比較大小；
③ 利用第三個數作為兩個數字大小比較的過渡.
角度2 求解指數型不等式和方程
【典題1】方程的解是　 　．
【解析】 ，即為
令
則有，解得(舍)
所以，
故答案為．
【點撥】利用換元法，要注意冪的底數之間的關系，同時換元后是容易忽略的.
【典題2】 解不等式：
【解析】
令
原不等式變形得，
即，(注意因式分解)
(1)當，即時，則，即，
(2)當，即時，則，即，
(3)當，即時，無解．
綜上，當時，；當時無解．
【點撥】
① 求解指數型不等式，特別要注意底數大于還是小于再利用對應指數函數的單調性求解；本題還要注意；
② 本題利用了換元法，題目不等式為含涉及含參的一元二次不等式的求解，對，的大小比較是關鍵.
角度3 指數型函數綜合問題
【典題1】已知定義在上的函數滿足：①對于任意的，都有；
②函數是偶函數；③當時，，則，，從小到大的排列是　 .
【解析】由題意，故函數為周期為的函數；
；；；
(把自變量數值向靠攏)
當時，是增函數，
故，即．
【典題2】若，則有(　　)
【解析】解法一：取特殊值排除法
取，得，滿足題意，排除；
取，得，滿足題意，排除；
故選：．
法二：構造函數利用單調性
令，則是增函數，
，
，即．
故選：．
【點撥】
① 做選擇題，利用“取特殊值排除法”是較快的一種方法，一般取數都是利于計算的；
② 遇到類似這樣的題目，不等式的兩邊形式較為“一致”，一般都采取構造函數的方法處理，把不等式變形成，就較容易聯想到構造函數；
③ 判斷函數的單調性，可以采取“性質法”：增+增=增，減+減=減.
【典題3】 已知函數，，其中，且．當時，的最大值與最小值之和為．
(1)求的值；
(2)若，記函數，求當時，的最小值．
【解析】(1)在上為單調函數，
的最大值與最小值之和為，
或．
(2)
則，
令，
時，，
，對稱軸為 (二次函數動軸定區間最值問題)
當時，；
當時，；
當時，．
綜上所述，．
【點撥】本題第二問最后把問題轉化為“二次函數在閉區間上的最值問題”中的“動軸定區間”，對對稱軸在區間 “左、中、右”進行分類討論.
【典題4】 已知函數(其中是常數)．
(1)若當時，恒有成立，求實數的取值范圍；
(2)若存在，使成立，求實數的取值范圍；
(3)若方程在上有唯一實數解，求實數的取值范圍.
思路痕跡
(1) 恒成立問題可轉化為求函數的最大值，見到，可以考慮換元法，則函數可變成二次函數的最值問題：
(2) 該問是存在性問題，可轉化為求函數的最小值.
(3) 該問轉化為方程在上有唯一實數解，屬于二次方程根的分布問題.
【解析】(1)，
令，當時，， (利用換元法要注意新變量的求值范圍)
問題轉化為當時，恒成立，
于是只需在上的最大值，
即，解得．
實數的取值范圍是；
(2)若存在，使，
則存在，使．
于是只需在上的最小值，解得；
實數的取值范圍是，；
(3)若方程在上有唯一實數解，
則方程在上有唯一實數解，(一元二次方程根的分布問題)
因，
故在上不可能有兩個相等的實數解，
令．
則，所以，解得．
實數的取值范圍是．
【點撥】 利用換元法把問題轉化為二次函數問題；恒成立、能成立問題最終轉化為最值問題，注意函數單調性.
【典題5】 已知定義在上的奇函數．在時，．
試求的表達式；
若對于上的每一個值，不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【解析】是定義在上的奇函數，，
設，則，
則，
故
由題意，可化為
化簡可得，
(此處恒成立問題用到“分離參數法”轉化為最值問題)
令， (分離常數法)
易得在上遞減，
，
故．(可取到)
【點撥】
① 恒成立問題可轉化為最值問題，其中手段常見分離參數法、直接構造函數法、數形結合法、變換主元法等；
② 判斷形如函數的單調性，可用分離常數法；比如，，等.
鞏固練習
1(★) 設，則的大小關系為(　　)
【答案】
，，由冪函數的性質可得，
，，由指數函數的性質可得，
．
故選：．
2(★★) 已知實數，滿足，則(　　)
【答案】
【解析】由，得，
由，得，得，
由()b，得，得．
由，得，，
，．
取a=，得，有，排除；
，排除A；
取得，，有，排除．
故選：．
3(★★) 設，下列命題中正確的是(　　)
．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】
時，，
若，則，故正確，錯誤；
對于，若成立，則必有，故必有，即有，而不是排除，也不是，排除．
故選：A．
4(★★) 方程的解是　 　.
【答案】
即為
令 則有，解得(舍)
所以
故答案為．
5(★★) 若方程有正數解，則實數的取值范圍是　 　.
【答案】
【解析】設，則有：．
原方程有正數解，則，
即關于的方程在上有實根．
又因為．
所以當時有，
即，
即，
即，
即得：，
故選：．
6(★★★) 已知函數在上的值域為，且函數在上是減函數，則　 　．
【答案】
【解析】當時，函數在上的值域為，
，，
函數g(x)在上是增函數，不滿足題意；
當時，函數在上的值域為，
，，此時，
函數在上是減函數，滿足題意；
綜上知．
故答案為：．
7(★★★) 設不等式對于任意的恒成立，則實數的取值范圍是 　．
【答案】
【解析】由，得，
即，
，，
則，
∈[]，則．
8(★★★)已知：
(1)證明是上的增函數；
(2)是否存在實數使函數為奇函數？若存在，請求出的值，若不存在，說明理由．
【答案】 略，提示：定義法 (2)
【解析】(1)證明：對任意都有的定義域是，
設，且，則
在上是增函數，且
且
是上的增函數．
(2)解：若存在實數使函數為上的奇函數，則
下面證明時是奇函數
為上的奇函數
存在實數，使函數為上的奇函數．
9(★★★)設函數且．
(1)判斷函數的奇偶性；
(2)若，試判斷函數的單調性．并求使不等式對一切恒成立的的取值范圍；
(3)若，且在上的最小值為，求的值．
【答案】 奇函數
【解析】(1)的定義域為，關于原點對稱，且)，
為奇函數．
(2) 且．
，，
又，且，
，
故在上單調遞減，
不等式化為，
，即恒成立，
，
解得；
(3)，，即，
解得或舍去)，
，
令，由(1)可知為增函數，
，，
令，
若，當時，，；
若時，當時，，解得，無解；
綜上，
10 (★★★) 已知函數.
若，解方程；
若，求的單調區間；
若存在實數，使，求實數的取值范圍.
【答案】 單調增區間是，單調減區間是
【解析】⑴若, 由，即，解得
⑵若,則，設，且，
當時,有，，
,在上是增函數;
當時,有，，
,在上是減函數
的單調增區間是，單調減區間是
⑶設,由,得,且
存在,使得,即
令,若,則函數的對稱軸是
由已知得:方程在上有實數解,
,或
由不等式得:
由不等式組得:
中小學教育資源及組卷應用平臺
所以,實數的取值范圍是 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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