資源簡介

第四章 指數函數與對數函數
4.5 函數的應用（二）
4.5.3 函數模型的應用
學案
學習目標
1.會通過具體的函數模型分析實際問題.
2.能夠對問題進行分析，建立合適的數學模型，并對不同數學模型進行比較并擇優選擇.
知識匯總
1.常見的函數模型：
（1）一次函數模型：（k，b為常數，）.
（2）二次函數模型：（a，b，c為常數，）.
（3）指數函數模型：（a，b，c為常數，，，且）.
（4）對數函數模型：（m，a，n為常數，，，且）.
（5）冪函數模型：（a，n，b為常數，）.
2.利用函數模型解決實際問題的基本過程：
（1）審題：弄清題意，分清條件和要求的結論，理順數量關系；
（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的函數模型；
（3）求模：推理并求解函數模型；
（4）還原：用得到的函數模型描述實際問題的變化規律.
習題檢測
1.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經過t分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于0的常數.現有100℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻，5分鐘以后物體的溫度是40℃，則k約等于（參考數據：）( )
A.0.22 B.0.27 C.0.36 D.0.55
2.著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度(單位：，滿足：)若常數，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時間為( )(參考數據：)
A.39分鐘 B.41分鐘 C.43分鐘 D.45分鐘
3.一般來說，事物總是經過發生、發展、成熟三個階段，每個階段的發展速度各不相同，通常在發生階段變化速度較為緩慢、在發展階段變化速度加快、在成熟階段變化速度又趨于緩慢，按照上述三個階段發展規律得到的變化曲線稱為生長曲線.美國生物學家和人口統計學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數解析式為(，，)，，該函數也可以簡化為(，，)的形式.已知描述的是一種果樹的高度隨著時間x(單位：年)的變化規律，若剛栽種時該果樹的高為1m，經過一年，該果樹的高為2.5m，則該果樹的高度超過8m，至少需要( )
A.4年 B.3年 C.5年 D.2年
4.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發點的，在神經網絡優化中，指數衰減的學習率模型為，其中L表示每一輪優化時使用的學習率，表示初始學習率，D表示衰減系數，G表示訓練迭代輪數，表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓練迭代輪數至少為( )(參考數據：)
A.72 B.74 C.76 D.78
5.根據《民用建筑工程室內環境污染控制標準》，文化娛樂場所室內甲醛濃度為安全范圍.已知某新建文化娛樂場所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環境下時，竣工1周后室內甲醛濃度為，3周后室內甲醛濃度為，且室內甲醛濃度(單位：)與竣工后保持良好通風的時間(單位：周)近似滿足函數關系式，則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為( )
A.5周 B.6周 C.7周 D.8周
6.某醫用放射性物質原來的質量為a，每年衰減的百分比相同，當衰減一半時，所用的時間是10年.已知到今年為止，剩余的質量為原來的，則該放射物質已經衰減了__________年.
7.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕恰斯在公元前二世紀首先提出了星等這個概念.星等的數值越小，星星就越亮；星等的數值越大，星星就越暗.到了1850年，由于光度計在天體光度測量的應用，英國天文學家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，則“心宿二”的亮度大約是“天津四”的_____倍.（結果精確到0.01.當較小時，）
8.“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲響時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強m與參考聲強（約為，單位：）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作L（單位：貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y（單位：分貝）與噴出的泉水高度xdm滿足關系式，現知A同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為50dm，若A同學大喝一聲的聲強大約相當于10個B同學同時大喝一聲的聲強，則B同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為______dm.
9.近年來，得益于我國先進的運載火箭技術，我國在航天領域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五號載人飛船搭載航天員費俊龍、鄧清明、張陸飛往中國空間站，與神舟十四航天員“會師”太空，12月4日晩神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲安全順利出艙，圓滿完成飛行任務.據了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態下，可用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，m(kg)是火箭(除推進劑外)的質量，M(kg)是推進劑與火箭質量的總和，稱為“總質比”，已知A型火箭的噴流相對速度為.
（1）當總質比為200時，利用給出的參考數據求A型火箭的最大速度；
（2）經過材料更新和技術改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的2倍，總質比變為原來的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技術改進前總質比的最小整數值.
(參考數據：，，)
答案以及解析
1.答案：A
解析：由題意得，，，兩邊取自然對數得，，所以，故選：A.
2.答案：B
解析：由題知，，，，，，，.故選B.
3.答案：A
解析：由題可得，則，解得，，所以，由函數解析式可知，在上單調遞增，且，，故該果樹的高度超過8m，至少需要4年.故選A.
4.答案：B
解析：由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓練迭代輪數至少為74次.故選B.
5.答案：B
解析：由題意可知，，，，解得.
設該文化娛樂場所竣工后放置周后甲醛濃度達到安企開放標準，則，整理得，設，因為，所以，即，則，即.故至少需要放置的時間為6周.故選B.
6.答案：5
解析：設衰減的百分比為x，，由題意知，，解得，設經過m年剩余的質量為原來的，則，即，解得.
7.答案：1.26
解析：由題意，兩顆星的星等與亮度滿足：，令“心宿二”的星等，“天津四“的星等，則，所以，即，所以，則”心宿二“的亮度大約是”天津四“的1.26倍，
8.答案：45
解析：設B同學的聲強為，噴出泉水高度為xdm，則A同學的聲強為，噴出泉水高度為50dm，由，得①，，②，①-②得，解得，B同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為45dm.
9.解析：（1）由已知可得
.
（2）設在材料更新和技術改進前總質比為x，且，，若要使火箭的最大速度至少增加，
所以，
即，，
所以，解得，
因為，所以，
所以材料更新和技術改進前總質比的最小整數值為11.

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