資源簡介

1.1　集合的概念
第1課時　集合的含義
1．通過實例了解集合的含義．(抽象素養)
2．理解元素與集合的“屬于”關系，掌握常用數集的表示符號并會應用．(邏輯推理)
有一位牧民非常喜歡數學，但他怎么也想不明白集合的意義，于是他請教了一位數學家：“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？”數學家很難回答．
一天，數學家看到牧民正在向羊圈里趕羊，等到牧民把羊全趕進羊圈并關好門，數學家突然靈機一動，高興地告訴牧民：“這就是集合．”你能理解集合了嗎？
知識點1　元素與集合的相關概念
(1)元素：一般地，我們把研究對象統稱為元素．元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：構成兩個集合的元素是一樣的．
集合中元素的三個特性
(1)確定性：集合中的元素是確定的．
(2)互異性：同一集合中的元素是互不相同的．
(3)無序性：集合中的元素沒有順序．
1．若集合A由0與x兩個元素構成，則實數x的取值有限制嗎？為什么？
[提示]　有限制，x≠0．因為集合中的元素必須是互異的．
知識點2　元素與集合的關系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．
(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A．
2．若集合A是由小于10的質數構成的集合，則2與A，6與A有什么關系？
[提示]　2∈A ，6 A．
知識點3　常見的數集及表示符號
數集 非負整數集 (或自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)我校高一學生中所有的共青團員可以組成集合． (　　)
(2)分別由元素0，1，2和2，0，1構成的兩個集合是相等的． (　　)
(3)由－1，1，1構成的集合中有3個元素． (　　)
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
2．用“∈”或“ ”填空：
________ N；0________Z；________Q;－________R．
[答案]　 　∈　 　∈
類型1　集合的基本概念
【例1】　(1)(多選)下列各組對象能構成集合的是(　　)
A．中國古典文學四大名著
B．中國最美鄉村
C．清華大學2023年入校的全體學生
D．到定點A的距離為1的所有點
(2)設a，b是兩個實數，集合A中含有0，b，三個元素，集合B中含有1，a，a＋b三個元素，且集合A與集合B相等，則a＋2b＝________．
(1)ACD　(2)1　[(1)AC選項顯然正確；B選項中“最美”的標準不明確，不能構成集合，D選項中的所有點在以A為圓心，1為半徑的圓上，能構成集合．故選ACD．
(2)由題意知a＋b＝0，所以＝－1，所以b＝1，a＝－1，所以a＋2b＝1．]
　一組對象能構成集合的兩個條件
(1)能找到一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都能確定它是不是給定集合的元素．
(2)任何兩個對象都是不同的．
[跟進訓練]
1．(1)(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．的近似值的全體能構成集合
B．未來世界的高科技產品組成一個集合
C．正三角形的全體能構成集合
D．不大于2的所有自然數組成一個集合
(2)2022年北京冬季奧運會吉祥物冰墩墩(Bing Dwen Dwen)寓意創造非凡、探索未來；2022年北京冬季殘奧會吉祥物雪容融(Shuey Rhon Rhon)寓意點亮夢想、溫暖世界．這兩個吉祥物的英文名字中的所有英文字母組成的集合包含________個元素．
(1)CD　(2)13　[(1)A錯誤，“的近似值”的標準不明確，不能構成集合；B錯誤，“高科技”沒有確定的標準，故不能構成集合；CD中元素的標準明確，故都能構成集合．故選CD．
(2)根據題意可得，“Bing Dwen Dwen”“Shuey Rhon Rhon”中共含有13個不同的英文字母，所以所求集合元素個數為13．]
類型2　元素與集合的關系
【例2】　(1)(2022·重慶西南大學附中月考)下列結論不正確的是(　　)
A．0∈N　　　B．∈Q　　　C． R　　　D．－1∈Z
(2)集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．
(1)C　(2)0，1，2　[(1)由N表示自然數集，知0∈N，故A正確；由Q表示有理數集，知∈Q，故B正確；由R表示實數集，知∈R，故C錯誤；由Z表示整數集，知－1∈Z，故D正確．故選C．
(2)∵∈N，
∴3－x＝1或2或3或6，
即x＝2或1或0或－3．
又x∈N，故x＝0或1或2．
即集合A中的元素為0，1，2．]
　判斷元素與集合關系的2種方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．
(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
[跟進訓練]
2．(多選)已知集合A中元素滿足x＝3k－1，k∈Z，則下列表示正確的是(　　)
A．－2∈A　　B．－11 A　　C．3k2－1∈A　　D．－34 A
BC　[若－2∈A，則3k－1＝－2，即k＝－ Z，故A錯誤；
若－11∈A，則3k－1＝－11，即k＝－ Z，故B正確；
因為k∈Z，故k2∈Z，故3k2－1∈A，故C正確；
若－34＝3k－1，則k＝－11∈Z，故D錯誤．
故選BC．]
類型3　集合中元素的特性及應用
【例3】　已知集合A含有兩個元素1和a2，若a∈A，求實數a的值．
思路導引：a∈Aa＝1或a2＝a．
[解]　由題意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，則a2＝1，這與a2≠1相矛盾，故a≠1．
(2)若a2＝a，則a＝0或a＝1(舍去)，又當a＝0時，A中含有元素1和0，滿足集合中元素的互異性，符合題意．
綜上可知，實數a的值為0．
[母題探究]
本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實數a的取值范圍．
[解]　由集合中元素的互異性可知a2≠1，即a≠±1．
　根據集合中元素的特性求值的3個步驟
[跟進訓練]
3．設集合A中含有三個元素3，x，x2－2x．
(1)求實數x應滿足的條件；
(2)若－2∈A，求實數x的值．
[解]　(1)由集合中元素的互異性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3．
解得x≠－1且x≠0，x≠3．
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2．
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
即x2－2x＝－2無解．
∴x＝－2．
1．(多選)(2022·河北滄州月考)下列各組對象能構成集合的是(　　)
A．1～10之間的所有奇數
B．北方學院2022年入校的一年級學生
C．滑雪速度較快的人
D．直線y＝2x＋1上的所有的點
ABD　[由于集合中的元素滿足確定性，ABD選項中的對象均滿足確定性，而C選項中，滑雪速度的快慢沒有確切的標準，所以這組對象不能構成集合．故選ABD．]
2．用“book”中的字母構成的集合中元素個數為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
C　[由集合中元素的互異性可知，該集合中共有“b”“o”“k”三個元素．故選C．]
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是(　　)
A．3.14　　　B．－5　　　C．
D　[由題意可知，a∈R且a Q，所以a是無理數，故選D．]
4．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|兩個元素構成，若3∈A，則a的值為________．
－1或－4　[∵3∈A，∴a2－a＋1＝3或|a＋1|＝3．
①若a2－a＋1＝3，則a＝2或a＝－1．
當a＝2時，|a＋1|＝3，此時與集合的互異性相矛盾，因此應舍去．
當a＝－1時，|a＋1|＝0≠3，滿足題意．
②若|a＋1|＝3，則a＝－4或a＝2(舍去)．
當a＝－4時，a2－a＋1＝21≠3，滿足題意．
綜上可知a＝－1或a＝－4．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．集合中的元素有哪些特性，判斷一組對象能否構成集合的關鍵是什么？
[提示]　集合中的元素有確定性、互異性和無序性，其中確定性是判斷一組對象能否構成集合的關鍵．
2．元素與集合間存在哪些關系？
[提示]　元素與集合間只有“屬于”和“不屬于”兩種關系．
3．學習了哪些常用數集？
[提示]　自然數集(或非負整數集)(N)、正整數集(N*或N＋)、整數集(Z)，有理數集(Q)和實數集(R)．1.1　集合的概念
第1課時　集合的含義
1．通過實例了解集合的含義．(抽象素養)
2．理解元素與集合的“屬于”關系，掌握常用數集的表示符號并會應用．(邏輯推理)
有一位牧民非常喜歡數學，但他怎么也想不明白集合的意義，于是他請教了一位數學家：“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？”數學家很難回答．
一天，數學家看到牧民正在向羊圈里趕羊，等到牧民把羊全趕進羊圈并關好門，數學家突然靈機一動，高興地告訴牧民：“這就是集合．”你能理解集合了嗎？
知識點1　元素與集合的相關概念
(1)元素：一般地，我們把________統稱為元素．元素通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素組成的________叫做集合(簡稱為________)．集合通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：構成兩個集合的元素是________．
集合中元素的三個特性
(1)確定性：集合中的元素是確定的．
(2)互異性：同一集合中的元素是互不相同的．
(3)無序性：集合中的元素沒有順序．
1．若集合A由0與x兩個元素構成，則實數x的取值有限制嗎？為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　元素與集合的關系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說________________，記作________．
(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說________________，記作________．
2．若集合A是由小于10的質數構成的集合，則2與A，6與A有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點3　常見的數集及表示符號
數集 非負整數集 (或自然數集) 正整 數集 ______ 有理 數集 ______
符號 ______ ________ Z ____ R
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)我校高一學生中所有的共青團員可以組成集合． (　　)
(2)分別由元素0，1，2和2，0，1構成的兩個集合是相等的． (　　)
(3)由－1，1，1構成的集合中有3個元素． (　　)
2．用“∈”或“ ”填空：
________ N；0________Z；________Q; －________R．
類型1　集合的基本概念
【例1】　(1)(多選)下列各組對象能構成集合的是(　　)
A．中國古典文學四大名著
B．中國最美鄉村
C．清華大學2023年入校的全體學生
D．到定點A的距離為1的所有點
(2)設a，b是兩個實數，集合A中含有0，b，三個元素，集合B中含有1，a，a＋b三個元素，且集合A與集合B相等，則a＋2b＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　一組對象能構成集合的兩個條件
(1)能找到一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都能確定它是不是給定集合的元素．
(2)任何兩個對象都是不同的．
[跟進訓練]
1．(1)(多選)下列說法中正確的是(　　)
A．的近似值的全體能構成集合
B．未來世界的高科技產品組成一個集合
C．正三角形的全體能構成集合
D．不大于2的所有自然數組成一個集合
(2)2022年北京冬季奧運會吉祥物冰墩墩(Bing Dwen Dwen)寓意創造非凡、探索未來；2022年北京冬季殘奧會吉祥物雪容融(Shuey Rhon Rhon)寓意點亮夢想、溫暖世界．這兩個吉祥物的英文名字中的所有英文字母組成的集合包含________個元素．
類型2　元素與集合的關系
【例2】　(1)(2022·重慶西南大學附中月考)下列結論不正確的是(　　)
A．0∈N B．∈Q　　　　C． R D．－1∈Z
(2)集合A中的元素x滿足∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷元素與集合關系的2種方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．
(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
[跟進訓練]
2．(多選)已知集合A中元素滿足x＝3k－1，k∈Z，則下列表示正確的是(　　)
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
類型3　集合中元素的特性及應用
【例3】　已知集合A含有兩個元素1和a2，若a∈A，求實數a的值．
思路導引：a∈Aa＝1或a2＝a．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例若去掉條件“a∈A”，其他條件不變，求實數a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根據集合中元素的特性求值的3個步驟
[跟進訓練]
3．設集合A中含有三個元素3，x，x2－2x．
(1)求實數x應滿足的條件；
(2)若－2∈A，求實數x的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)(2022·河北滄州月考)下列各組對象能構成集合的是(　　)
A．1～10之間的所有奇數
B．北方學院2022年入校的一年級學生
C．滑雪速度較快的人
D．直線y＝2x＋1上的所有的點
2．用“book”中的字母構成的集合中元素個數為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是(　　)
A．3.14 B．－5 C． D．
4．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|兩個元素構成，若3∈A，則a的值為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．集合中的元素有哪些特性，判斷一組對象能否構成集合的關鍵是什么？
2．元素與集合間存在哪些關系？
3．學習了哪些常用數集？第2課時　集合的表示
1．初步掌握集合的兩種表示方法－－列舉法、描述法．(數學抽象)
2．會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．(數學運算)
四大名著是指中國古典文學名著《三國演義》《水滸傳》《西游記》《紅樓夢》．四大名著是中國古典文學的精品，受到很多讀者的喜愛．中國古典四大名著能組成集合嗎？如何表示該集合？
知識點1　列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
用列舉法表示集合時應注意以下兩點：
(1)元素間用“，”隔開；
(2)花括號“{　}”含有“所有”“全體”的含義，因此實數集R不能表示成{R}．
知識點2　描述法
一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
用描述法表示集合時應注意以下三點：
(1)代表元素x可以是數，也可以是點，…．
(2)所有描述的內容都要寫在花括號內．如偶數集可以表示為{x|x＝2k，k∈Z}，其中k∈Z不能省略．
(3)多層描述時，應當準確使用“且”“或”等表示元素之間關系的詞語，如{x|x－1，或x>1}．
{(x，y)|y＝x2＋2}能否寫為{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？
[提示]　不能．前面集合表示的是點集；而后兩個集合表示的是數集．
1．方程x2＝4的解集用列舉法表示為(　　)
A．{(－2，2)}　　　 B．{－2，2}
C．{－2} D．{2}
B　[由x2＝4得x＝±2，故用列舉法可表示為{－2，2}．]
2．用描述法表示不等式4x－57的解集為________．
{x|x3}　[用描述法可表示為{x|x3}．]
類型1　用列舉法表示集合
【例1】　用列舉法表示下列給定的集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；
(2)小于8的質數組成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根組成的集合C；
(4)一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D．
[解]　(1)不大于10的非負偶數有0，2，4，6，8，10，所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
(2)小于8的質數有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根為－1，，
所以C＝．
(4)由得
所以一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點為(1，4)，
所以D＝{(1，4)}．
　用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)用花括號括起來．
[跟進訓練]
1．用列舉法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整數組成的集合；
(2)直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合．
[解]　(1)設小于10的所有正整數組成的集合為A，那么A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．
(2)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0，1)，故交點組成的集合是{(0，1)}．
類型2　用描述法表示集合
【例2】　(源自北師大版教材)用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理數組成的集合A；
(2)所有奇數組成的集合B；
(3)平面α內，到定點O的距離等于定長r的所有點組成的集合C．
[解]　(1)設x∈A，則x∈Q，且使x10成立．因此，用描述法可以表示為A＝{x∈Q|x10}．
(2)設x∈B，則x是一個奇數．因此，用描述法可以表示為B＝{x|x＝2n－1，n∈Z}．
(3)設M∈C，則M∈α，M到α內的定點O的距離等于定長r．因此，用描述法可以表示為C＝{M∈α|O為α內的定點，r為定值，且M到O的距離等于r}．
　用描述法表示集合的2個步驟
提醒：用描述法表示集合時，不能出現未被說明的字母．
[跟進訓練]
2．用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐標系中的x軸上的點組成的集合；
(2)拋物線y＝x2－4上的點組成的集合；
(3)使函數y＝有意義的實數x組成的集合．
[解]　(1){(x，y)|x∈R，y＝0}．
(2){(x，y)|y＝x2－4}．
(3){x|x≠1}．
類型3　集合表示方法的綜合應用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數k的值組成的集合．
思路導引：A中只有一個元素方程kx2－8x＋16＝0有唯一解．
[解]　(1)當k＝0時，方程kx2－8x＋16＝0變為－8x＋16＝0，解得x＝2，滿足題意；
(2)當k≠0時，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個元素，則方程kx2－8x＋16＝0有兩個相等的實數根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時集合A＝{4}，滿足題意．
綜上所述，k＝0或k＝1，故實數k的值組成的集合為{0，1}．
[母題探究]
本例若將條件“只有一個元素”改為“至少有一個元素”，其他條件不變，求實數k的取值集合．
[解]　由題意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一個實數根．
①當k＝0時，由－8x＋16＝0得x＝2，符合題意；
②當k≠0時，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一個實數根，則Δ＝64－64k≥0，即k≤1．
綜合①②可知，實數k的取值集合為{k|k≤1}．
　解集合與含有參數的方程的綜合問題時，一般要求對方程中最高次項的系數的取值進行分類討論，確定方程的根的情況，進而求得結果．需特別關注判別式在一元二次方程的實數根個數的討論中的作用．
[跟進訓練]
3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一個元素，則實數a的取值范圍是________．(用集合表示)
　[當a＝0時，方程有實數解x＝－1，符合題意；
當a≠0時，由Δ＝1－4a≤0，解得a≥．
故實數a的取值范圍為．]
1．(2022·黑龍江雞西市第四中學月考)用列舉法表示集合{x|x2－2x－3＝0}為(　　)
A．{1，3} B．{1，－3}
C．{(－1，3)} D．{－1，3}
D　[解x2－2x－3＝0可得x1＝－1，x2＝3，故列舉法表示集合{x|x2－2x－3＝0}為{－1，3}，故選D．]
2．一次函數y＝x－3與y＝－2x的圖象的交點組成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}
D　[由得∴兩函數圖象的交點組成的集合是{(1，－2)}．]
3．(多選)由大于－3且小于11的偶數所組成的集合是(　　)
A．{－2，0，2，4，6，8，10}
B．{0，2，4，6，8，10}
C．{x|－3x11，x＝2k}
D．{x|－3x11，x＝2k，k∈Z}
AD　[由題意可知，滿足題設條件的有選項AD，故選AD．]
4．設集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列舉法表示集合A為________．
{－1，4}　[∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．本節課學習的集合的表示方法有哪些？
[提示]　列舉法和描述法．
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含義有什么不同？
[提示]　(1)前兩個集合為數集，后一個集合為點集；
(2){x|y＝x＋1，x∈R}表示自變量x的取值組成的集合；
{y|y＝x＋1，x∈R}表示因變量y的取值組成的集合；
{(x，y)|y＝x＋1}表示函數y＝x＋1上的點(x，y)組成的集合．第2課時　集合的表示
1．初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法．(數學抽象)
2．會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．(數學運算)
四大名著是指中國古典文學名著《三國演義》《水滸傳》《西游記》《紅樓夢》．四大名著是中國古典文學的精品，受到很多讀者的喜愛．中國古典四大名著能組成集合嗎？如何表示該集合？
知識點1　列舉法
把集合的所有元素________出來，并用____________括起來表示集合的方法叫做列舉法．
用列舉法表示集合時應注意以下兩點：
(1)元素間用“，”隔開；
(2)花括號“{　}”含有“所有”“全體”的含義，因此實數集R不能表示成{R}．
知識點2　描述法
一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有________P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．
用描述法表示集合時應注意以下三點：
(1)代表元素x可以是數，也可以是點，…．
(2)所有描述的內容都要寫在花括號內．如偶數集可以表示為{x|x＝2k，k∈Z}，其中k∈Z不能省略．
(3)多層描述時，應當準確使用“且”“或”等表示元素之間關系的詞語，如{x|x<－1，或x>1}．
{(x，y)|y＝x2＋2}能否寫為{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．方程x2＝4的解集用列舉法表示為(　　)
A．{(－2，2)}　 B．{－2，2}
C．{－2} D．{2}
2．用描述法表示不等式4x－5<7的解集為________．
類型1　用列舉法表示集合
【例1】　用列舉法表示下列給定的集合：
(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；
(2)小于8的質數組成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的實數根組成的集合C；
(4)一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用列舉法表示集合的3個步驟
(1)求出集合的元素．
(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．
(3)用花括號括起來．
[跟進訓練]
1．用列舉法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整數組成的集合；
(2)直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　用描述法表示集合
【例2】　(源自北師大版教材)用描述法表示下列集合：
(1)小于10的所有有理數組成的集合A；
(2)所有奇數組成的集合B；
(3)平面α內，到定點O的距離等于定長r的所有點組成的集合C．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用描述法表示集合的2個步驟
提醒：用描述法表示集合時，不能出現未被說明的字母．
[跟進訓練]
2．用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐標系中的x軸上的點組成的集合；
(2)拋物線y＝x2－4上的點組成的集合；
(3)使函數y＝有意義的實數x組成的集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　集合表示方法的綜合應用
【例3】　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數k的值組成的集合．
思路導引：A中只有一個元素方程kx2－8x＋16＝0有唯一解．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例若將條件“只有一個元素”改為“至少有一個元素”，其他條件不變，求實數k的取值集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解集合與含有參數的方程的綜合問題時，一般要求對方程中最高次項的系數的取值進行分類討論，確定方程的根的情況，進而求得結果．需特別關注判別式在一元二次方程的實數根個數的討論中的作用．
[跟進訓練]
3．若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中至多有一個元素，則實數a的取值范圍是________．(用集合表示)
1．(2022·黑龍江雞西市第四中學月考)用列舉法表示集合為(　　)
A．{1，3} B．{1，－3}
C．{(－1，3)} D．{－1，3}
2．一次函數y＝x－3與y＝－2x的圖象的交點組成的集合是(　　)
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2，1)} D．{(1，－2)}
3．(多選)由大于－3且小于11的偶數所組成的集合是(　　)
A．{－2，0，2，4，6，8，10}
B．{0，2，4，6，8，10}
C．{x|－3D．{x|－34．設集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列舉法表示集合A為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．本節課學習的集合的表示方法有哪些？
2．集合{x|y＝x＋1，x∈R}，{y|y＝x＋1，x∈R}，{(x，y)|y＝x＋1}的含義有什么不同？

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