資源簡介

1.2　集合間的基本關系
1．理解集合之間的包含與相等的含義．(數學抽象)
2．能識別給定集合的子集、真子集，會判斷集合間的關系．(數學抽象、邏輯推理)
3．在具體情境中，了解空集的含義．(數學抽象)
一所學校中，所有同學組成的集合記為A，而高一年級同學組成的集合記為B，你覺得集合A和B之間有怎樣的關系？你能從集合元素的角度分析它們的關系嗎？
知識點1　子集、真子集、集合的相等
(1)Venn圖
用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
(2)兩個集合之間的關系
關系 定義 符號表示 圖形表示
子 集 如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集 A B(或B A)
真 子 集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就稱集合A是集合B的真子集 A?B(或B?A)
集 合 相 等 如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等 A＝B
(3)子集的性質
①任何一個集合是它本身的子集，即A A．
②對于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C．
1．集合A＝{x|x≤1}與集合B＝{0，1}之間有包含關系嗎？
[提示]　有．因為B中的元素0，1都滿足小于或等于1，故滿足包含關系，即B A．
2．符號“∈”與“ ”的區別是什么？
[提示]　符號“∈”用于表示元素與集合之間的關系，而符號“ ”用于表示集合與集合之間的關系．
知識點2　空集
(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 ．
(2)規定：空集是任何集合的子集．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．(1)0＝ 嗎？　
(2)0∈ 嗎？　
(3) 與{0}是什么關系？
[提示]　(1)0≠ ，0是數， 是集合．
(2)0 ， 不含任何元素．
(3) ?{0}．
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x8，x∈N}，用適當的符號填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C．
(1)＝　(2)?　(3)?　(4)∈　[集合A為方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C．]
類型1　子集、真子集的個數問題
【例1】　填寫下表，并回答問題：
集合 集合的子集 子集的個數

{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n個元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的個數是多少？真子集的個數及非空真子集的個數呢？
[解]　
集合 集合的子集 子集的個數
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
由此猜想：含n個元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的個數是2n，真子集的個數是2n－1，非空真子集的個數是2n－2．
　子集、真子集個數有關的4個結論
假設集合A中含有n個元素，則有
(1)A的子集有2n個；
(2)A的非空子集有2n－1個；
(3)A的真子集有2n－1個；
(4)A的非空真子集有2n－2個．
[跟進訓練]
1．已知集合M滿足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，寫出集合M所有的可能情況．
[解]　由題意可以確定集合M中必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一個，因此依據集合M的元素個數分類如下：
含有3個元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4個元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5個元素：{1，2，3，4，5}．
故滿足條件的集合M為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
類型2　集合間關系的判斷
【例2】　指出下列各對集合之間的關系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}；
(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N *}．
[解]　(1)集合A的代表元素是數，集合B的代表元素是有序實數對，故A與B之間無包含關系．
(2)集合B＝{x|x5}，用數軸表示集合A，B，如圖所示，由圖可知A B．
(3)正方形是特殊的矩形，故A B．
(4)M＝{正奇數}，N＝{不含1的正奇數}，故N M．
　判斷集合關系的方法
(1)觀察法：一一列舉觀察．
(2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關系．
(3)數形結合法：利用數軸或Venn圖．
[跟進訓練]
2．能正確表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關系的Venn圖是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N?M，其對應的Venn圖如選項B所示．]
類型3　由集合間的關系求參數
【例3】　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1xm}(m>1)，且B A，則實數m的取值范圍是________．
{m|1m≤4}　[由于B A，結合數軸(如圖)分析可知，m≤4．又m>1，所以1m≤4．
]
[母題探究]
(1)本例若將集合“B＝{x|1xm}(m>1)”改為“B＝{x|1xm}”，其他條件不變，則實數m的取值范圍是________．
(2)本例若將集合“B＝{x|1xm}(m>1)”改為“B＝{x|2m－1xm＋1}”，其他條件不變，則實數m的取值范圍是________．
(1)m≤4　(2)m≥－1　[(1)若m≤1，則B＝ ，滿足B A．
若m>1，則由例題解析可知1m≤4．
綜上可知m≤4．
(2)因為B A，
①當B＝ 時，m＋1≤2m－1，
解得m≥2．
②當B≠ 時，有
解得－1≤m2，
綜上得m≥－1．]
　利用集合的關系求參數問題
(1)利用集合的關系求參數的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合(含參數)，另一個為靜集合(具體的)，解答時常借助數軸來建立變量間的關系，需特別注意端點問題．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含參數的問題時，要注意討論A＝ 和A≠ 兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．
[跟進訓練]
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的取值集合M．
[解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因為B?A，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝ ．
當B＝{－3}時，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝．
當B＝{2}時，
由m·2＋1＝0，得m＝－．
當B＝ 時，m＝0．
綜上所述，m的取值集合M＝．
1．集合{1，2}的子集有(　　)
A．4個　　　B．3個　　　C．2個　　　D．1個
A　[集合{1，2}的子集有 ，{1}，{2}，{1，2}，共4個．]
2．已知集合A＝{x|1≤x6}，B＝{x|x＋3≥4}，則A與B的關系是(　　)
A．A?B B．A＝B
C．B?A D．B A
A　[∵A＝{x|1≤x6}，B＝{x|x≥1}，∴A?B．故選A．]
3．(多選)已知集合M＝{0，1}，則下列式子正確的是(　　)
A．0∈M　　　B．{1}∈M　　　C． M　　　D．{0，1} M
ACD　[∵M＝{0，1}，∴0∈M， M，{0，1} M，故ACD均正確．]
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，則a的取值范圍為________；
(2)若B A，則a的取值范圍為________．
(1){a|a>2}　(2){a|1≤a≤2}　[(1)若A?B，則集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，則a>2．
(2)若B A，則集合B中的元素都在集合A中，則a≤2．
因為a≥1，所以1≤a≤2．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩個集合間的基本關系有哪些，如何判斷兩個集合間的關系？
[提示]　兩個集合間的基本關系有子集、真子集和相等．常借助元素分析法及數軸法分析兩個集合間的關系．
2．空集同任意集合A之間存在怎樣的關系？
[提示]　(1) A，(2) ?A(A≠ )．
3．包含關系與屬于關系的使用條件分別是什么？
[提示]　包含關系是集合與集合間的關系，而屬于關系是元素與集合的關系，兩者不可混用．1.2　集合間的基本關系
1．理解集合之間的包含與相等的含義．(數學抽象)
2．能識別給定集合的子集、真子集，會判斷集合間的關系．(數學抽象、邏輯推理)
3．在具體情境中，了解空集的含義．(數學抽象)
一所學校中，所有同學組成的集合記為A，而高一年級同學組成的集合記為B，你覺得集合A和B之間有怎樣的關系？你能從集合元素的角度分析它們的關系嗎？
知識點1　子集、真子集、集合的相等
(1)Venn圖
用平面上封閉曲線的________代表集合，這種圖稱為Venn圖．
(2)兩個集合之間的關系
關系 定義 符號表示 圖形表示
子 集 如果集合A中________元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集 A____B(或B____A)
真 子 集 如果集合A B，但存在元素______，且______，就稱集合A是集合B的真子集 A____B(或B____A)
集 合 相 等 如果集合A的________元素都是集合B的元素，同時集合B的________元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等 A_____B
(3)子集的性質
①任何一個集合是它本身的__________，即A A．
②對于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么________．
1．集合A＝{x|x≤1}與集合B＝{0，1}之間有包含關系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．符號“∈”與“ ”的區別是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點2　空集
(1)定義：不含________元素的集合叫做空集，記為________．
(2)規定：________是任何集合的子集．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．(1)0＝ 嗎？　
(2)0∈ 嗎？　
(3) 與{0}是什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用適當的符號填空：
(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C．
類型1　子集、真子集的個數問題
【例1】　填寫下表，并回答問題：
集合 集合的子集 子集的個數

{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n個元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的個數是多少？真子集的個數及非空真子集的個數呢？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　子集、真子集個數有關的4個結論
假設集合A中含有n個元素，則有
(1)A的子集有________個；
(2)A的非空子集有________個；
(3)A的真子集有________個；
(4)A的非空真子集有________個．
[跟進訓練]
1．已知集合M滿足：{1，2}?M {1，2，3，4，5}，寫出集合M所有的可能情況．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　集合間關系的判斷
【例2】　指出下列各對集合之間的關系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷集合關系的方法
(1)觀察法：一一列舉觀察．
(2)元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關系．
(3)數形結合法：利用數軸或Venn圖．
[跟進訓練]
2．能正確表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}關系的Venn圖是(　　)
A　　　 　B　 　　　C　 　　D
類型3　由集合間的關系求參數
【例3】　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B A，則實數m的取值范圍是________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
(1)本例若將集合“B＝{x|11)”改為“B＝{x|1(2)本例若將集合“B＝{x|11)”改為“B＝{x|2m－1　利用集合的關系求參數問題
(1)利用集合的關系求參數的范圍問題，常涉及兩個集合，其中一個為動集合(含參數)，另一個為靜集合(具體的)，解答時常借助數軸來建立變量間的關系，需特別注意端點問題．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含參數的問題時，要注意討論A＝ 和A≠ 兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．
[跟進訓練]
3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，求m的取值集合M．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．集合{1，2}的子集有(　　)
A．4個 B．3個
C．2個 D．1個
2．已知集合A＝{x|1≤x<6}，B＝{x|x＋3≥4}，則A與B的關系是(　　)
A．A?B B．A＝B
C．B?A D．B A
3．(多選)已知集合M＝{0，1}，則下列式子正確的是(　　)
A．0∈M B．{1}∈M
C． M D．{0，1} M
4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，則a的取值范圍為________；
(2)若B A，則a的取值范圍為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．兩個集合間的基本關系有哪些，如何判斷兩個集合間的關系？
2．空集同任意集合A之間存在怎樣的關系？
3．包含關系與屬于關系的使用條件分別是什么？

展開更多......

收起↑