資源簡介

1.4　充分條件與必要條件
1.4.1　充分條件與必要條件
1．理解充分條件、必要條件的概念．(數學抽象)
2．了解充分條件與判定定理，必要條件與性質定理的關系．(數學抽象)
3．能通過充分性、必要性解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
我國戰國時期所著《墨經》中有這樣兩句話：
(1)“有之則必然，無之則未必然”；
(2)“無之則必不然，有之則未必然”．
這兩句話蘊含什么邏輯關系呢？這就是本節我們所要探討的內容．
知識點　充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”是真命題 “若p，則q”是假命題
推出關系 p q pq
條件關系 p是q的充分條件 q是p的必要條件 p不是q的充分條件 q不是p的必要條件
對充分、必要條件的理解
(1)前提p q，有方向，條件在前，結論在后．
(2)“p是q的充分條件”“q是p的必要條件”“q的一個充分條件是p”“p的一個必要條件是q”，這四種表述形式等價．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)“兩角相等”是“兩角是對頂角”的必要條件． (　　)
(2)若p是q的充分條件，則p是唯一的． (　　)
(3)若q不是p的必要條件，則“pq”成立． (　　)
(4)“x>1”是“x>0”的充分條件． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
類型1　充分條件的判斷
【例1】　(源自蘇教版教材)下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形；
(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；
(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分．
[解]　(1)因為p q，所以p是q的充分條件．
(2)因為pq，所以p不是q的充分條件．
(3)因為p q，所以p是q的充分條件．
(4)因為p q，所以p是q的充分條件．
　充分條件的判斷方法
(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉化成p q問題．
(2)除了用定義判斷充分條件，還可以利用集合間的關系判斷，若p構成的集合為A，q構成的集合為B，A B，則p是q的充分條件．
[跟進訓練]
1．(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有(　　)
A．若x＜1，則x＜2
B．若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似
C．若|x|≠1，則x≠1
D．若ab＞0，則a＞0，b＞0
ABC　[由x＜1，可以推出x＜2，所以選項A符合題意；由兩個三角形的三邊對應成比例，可以推出這兩個三角形相似，所以選項B符合題意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以選項C符合題意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如a＝b＝－1，所以本選項不符合題意．故選ABC．]
類型2　必要條件的判斷
【例2】　下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？
(1)若a是1的平方根，則a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，則m＝12；
(3)若a是無理數，則a是無限不循環小數；
(4)若a與b互為相反數，則a與b的絕對值相等．
[解]　(1)1的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要條件．
(2)因為4x2－mx＋9＝(2x±3)2，所以m＝±12，所以pq，所以q不是p的必要條件．
(3)因為無理數是無限不循環小數，
所以p q，所以q是p的必要條件．
(4)若a與b互為相反數，則a與b的絕對值相等，所以p q，所以q是p的必要條件．
　必要條件的判斷方法
(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時，能否推出q成立，反過來，若q成立時，能否推出p成立；若p q為真，則p是q的充分條件，若q p為真，則p是q的必要條件．
(2)可利用集合間的關系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A B，則甲是乙的必要條件．
[跟進訓練]
2．(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的有(　　)
A．若x，y是偶數，則x＋y是偶數
B．若a＜2，則方程x2－2x＋a＝0有實根
C．若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形
D．若ab＝0，則a＝0
BCD　[對于A，x＋y是偶數不一定能推出x，y是偶數，因為x，y可以都是奇數，不符合題意；對于B，當方程x2－2x＋a＝0有實根時，則有(－2)2－4a≥0 a≤1，顯然能推出a＜2，符合題意；對于C，因為菱形對角線互相垂直，所以由四邊形是菱形能推出四邊形的對角線互相垂直，符合題意；對于D，顯然由a＝0能推出ab＝0，所以符合題意．故選BCD．]
類型3　充分條件與必要條件的應用
【例3】　已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分條件為Q，求實數m的取值范圍．
思路導引：若P的充分條件為Q判斷P與Q的推出關系求實數m的取值范圍
[解]　由已知，P的充分條件為Q，則Q是P的子集．
當3m－2＞5m＋2，即m＜－2時，Q＝ ，滿足題意，
當3m－2≤5m＋2，即m≥－2時，由題意得解得0＜m＜，
綜上，m的取值范圍是．
[母題探究]
已知集合P＝{x|－2＜x＜1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要條件為Q，求實數m的取值范圍．
[解]　由題意得，P是Q的子集，
則解得－≤m≤0．
　充分條件與必要條件的應用技巧
(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．
(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．
[跟進訓練]
3．(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分條件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1xa＋1}，N＝{x|－3x8}，若N是M的必要條件，求a的取值范圍．
[解]　(1)解x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，
令A＝{2，－3}，B＝，
∵q是p的充分條件，
∴B A．
當－＝2時，m＝－；
當－＝－3時，m＝．
所以m＝－或m＝．
(2)因為N是M的必要條件，
所以M N．
于是從而可得－2≤a≤7．
故a的取值范圍為－2≤a≤7．
1．若p是q的充分條件，則q是p的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．既不是充分條件也不是必要條件
D．既是充分條件又是必要條件
B　[因為p是q的充分條件，所以p q，
所以q是p的必要條件．故選B．]
2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要條件，則m的一個值可以是(　　)
A．0　　　B．2　　　C．4　　　D．16
B　[由“x＝2”能得出“x2＝4”，選項B正確．]
3．設x∈R，則使x>3成立的一個充分條件是(　　)
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x2
A　[只有x>4 x>3，其他選項均不可推出x>3．]
4．用符號“ ”與“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶數________a＋b是偶數．
(1)　(2) 　[(1)命題“若x2＝1，則x＝1”是假命題，故x2＝1x＝1．
(2)命題“若a，b都是偶數，則a＋b是偶數”是真命題，故a，b都是偶數 a＋b是偶數．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若“p q”是真命題，則p是q的什么條件？q是p的什么條件？
[提示]　p是q的充分條件，q是p的必要條件．
2．“p是q的充分條件”與“p的充分條件是q”相同嗎？
[提示]　不同．若p是q的充分條件，則p q；若p的充分條件是q，則q p．
3．充分條件、必要條件的主要判斷方法有哪些？
[提示]　定義法和集合關系法．1.4　充分條件與必要條件
1.4.1　充分條件與必要條件
1．理解充分條件、 必要條件的概念．(數學抽象)
2．了解充分條件與判定定理， 必要條件與性質定理的關系．(數學抽象)
3．能通過充分性、 必要性解決簡單的問題．(邏輯推理、數學運算)
我國戰國時期所著《墨經》中有這樣兩句話：
(1)“有之則必然，無之則未必然”；
(2)“無之則必不然，有之則未必然”．
這兩句話蘊含什么邏輯關系呢？這就是本節我們所要探討的內容．
知識點　充分條件與必要條件
命題真假 “若p，則q”是真命題 “若p，則q”是假命題
推出關系 p____q p____q
條件關系 p是q的____條件 q是p的____條件 p不是q的____條件 q不是p的____條件
對充分、必要條件的理解
(1)前提p q，有方向，條件在前，結論在后．
(2)“p是q的充分條件”“q是p的必要條件”“q的一個充分條件是p”“p的一個必要條件是q”， 這四種表述形式等價．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)“兩角相等”是“兩角是對頂角”的必要條件． (　　)
(2)若p是q的充分條件，則p是唯一的． (　　)
(3)若q不是p的必要條件，則“pq”成立． (　　)
(4)“x>1”是“x>0”的充分條件． (　　)
類型1　充分條件的判斷
【例1】　(源自蘇教版教材)下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些？
(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形；
(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；
(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　充分條件的判斷方法
(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉化成p q問題．
(2)除了用定義判斷充分條件，還可以利用集合間的關系判斷，若p構成的集合為A，q構成的集合為B，A B，則p是q的充分條件．
[跟進訓練]
1．(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有(　　)
A．若x＜1，則x＜2
B．若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似
C．若|x|≠1，則x≠1
D．若ab＞0，則a＞0，b＞0
類型2　必要條件的判斷
【例2】　下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？
(1)若a是1的平方根，則a＝1；
(2)若4x2－mx＋9是完全平方式，則m＝12；
(3)若a是無理數，則a是無限不循環小數；
(4)若a與b互為相反數，則a與b的絕對值相等．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　必要條件的判斷方法
(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時，能否推出q成立，反過來，若q成立時，能否推出p成立；若p q為真，則p是q的充分條件，若q p為真，則p是q的必要條件．
(2)可利用集合間的關系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A B，則甲是乙的必要條件．
[跟進訓練]
2．(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的有(　　)
A．若x，y是偶數，則x＋y是偶數
B．若a＜2，則方程x2－2x＋a＝0有實根
C．若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形
D．若ab＝0，則a＝0
類型3　充分條件與必要條件的應用
【例3】　已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分條件為Q，求實數m的取值范圍．
思路導引：若P的充分條件為Q判斷P與Q的推出關系求實數m的取值范圍
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
已知集合P＝{x|－2＜x＜1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要條件為Q，求實數m的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　充分條件與必要條件的應用技巧
(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．
(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．
[跟進訓練]
3．(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分條件，求m的值；
(2)已知M＝{x|a－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若p是q的充分條件，則q是p的(　　)
A．充分條件
B．必要條件
C．既不是充分條件也不是必要條件
D．既是充分條件又是必要條件
2．若“x2＝4”是“x＝m”的必要條件，則m的一個值可以是(　　)
A．0 B．2
C．4 D．16
3．設x∈R，則使x>3成立的一個充分條件是(　　)
A．x>4 B．x>0
C．x>2 D．x<2
4．用符號“ ”與“”填空：
(1)x2＝1________x＝1；
(2)a，b都是偶數________a＋b是偶數．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．若“p q”是真命題，則p是q的什么條件？q是p的什么條件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．“p是q的充分條件”與“p的充分條件是q”相同嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．充分條件、必要條件的主要判斷方法有哪些？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.4.2　充要條件
1．結合具體實例，理解充要條件的意義．(數學抽象)
2．會求(判斷)某些問題成立的充要條件．(數學運算)
3．能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明．(邏輯推理)
老趙邀請張三、李四、王五三個人吃飯，時間到了，只有張三、李四準時赴約，王五因事不能到場，老趙說：“該來的沒有來．”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了．老趙愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．
問題：(1)張三為什么走了？(2)李四為什么走了？
知識點　充要條件
(1)定義：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p q，又有q p，就記作p q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．
(2)條件與結論的等價性：如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p q，那么p與q互為充要條件．
命題按條件和結論的充分性、必要性可分四類：①充分必要條件(充要條件)，即p q且q p；
②充分不必要條件，即p q且qp．
③必要不充分條件，即pq且q p．
④既不充分也不必要條件，即pq且qp．
“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區別在哪里？
[提示]　(1)p是q的充要條件說明p是條件，q是結論．
(2)p的充要條件是q說明q是條件，p是結論．
從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個合適的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．
(2)“x5”是“x3”的________．
(1)充要條件　(2)必要不充分條件　[(1)設A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B, 即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要條件．
(2)設A＝{x|x5}，B＝{x|x3}，因為A?B，所以“x5”是“x3”的必要不充分條件．]
類型1　充分、必要、充要條件的判斷
【例1】　指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”)．
(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等；
(3)p：a＞b；q：ac＞bc．
[解]　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)·(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要條件．
(2)兩個三角形相似兩個三角形全等，但兩個三角形全等 兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，
故p是q的既不充分也不必要條件．
　判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法
(1)定義法：直接判斷“若p，則q” 以及“若q，則p” 的真假．
(2)集合法：利用集合的包含關系判斷．
(3)等價法：利用p q與q p的等價關系，一般地，對于條件和結論是否定形式的命題，一般運用等價法．
(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要條件也具有傳遞性．
[跟進訓練]
1．(1)設p：實數a，b滿足a>1且b>1；q：實數a，b滿足則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(多選)(2022·廣東揭陽期末)設計如圖所示的四個電路圖，p：“開關S閉合”，q：“燈泡L亮”，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
(1)A　(2)BD　[(1)因為a>1且b>1，所以 即p q成立；
反之，若a，b滿足 如a＝3，b＝，但不滿足 a>1且b>1，即q p不成立，
所以p是q的充分不必要條件．故選A．
(2)由題知，A中電路圖，開關S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮，開關S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；
B中電路圖，開關S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關S閉合，故B中p是q的充要條件；
C中電路圖，開關S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮，則開關S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；
D中電路圖，開關S閉合，則燈泡L亮，燈泡L亮，則開關S閉合，故D中p是q的充要條件．故選BD．]
類型2　充要條件的證明
【例2】　已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
注：a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)．
[證明]　先證必要性成立：
若a＋b＝1，
則a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝1·(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝0．
再證充分性成立：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．
由ab≠0, 得a≠0且b≠0．
∴a2－ab＋b2＝＋≠0．
∴只有a＋b－1＝0, 即有a＋b＝1．
綜上可知，當ab≠0時，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
　充要條件證明的兩個思路
(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結論；其次推證p q是證明充分性，推證q p是證明必要性．
(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．
[跟進訓練]
2．求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0．
[證明]　假設p：方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1，
q：a＋b＋c＝0．
證明p q，即證明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0．
證明q p，即證明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．
∴x＝1是方程的一個根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0．
類型3　充要條件的應用
【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．
思路導引：p是q的必要不充分條件{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因為p是q的必要不充分條件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或解得m≤3．
又m>0，
所以實數m的取值范圍為{m|0m≤3}．
[母題探究]
本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，試求m的取值范圍．
[解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因為p是q的充分不必要條件，
設p代表的集合為A，q代表的集合為B，
所以A?B．
所以或
解不等式組得m>9或m≥9，所以m≥9，
即實數m的取值范圍是{m|m≥9}．
　應用充分不必要條件、必要不充分條件及充要條件求參數值(范圍)的一般步驟
(1)根據已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉化為集合間的關系．
(2)根據集合間的關系構建關于參數的方程(組)或不等式(組)求解．
[跟進訓練]
3．從①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x≤x≤＋3}三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的a存在，求a的取值范圍；若a不存在，請說明理由．
已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
[解]　由題意知，A≠ ，B＝{x|1≤x≤3}．
當選條件①時，因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A?B，即或解得2≤a≤3．
所以實數a的取值范圍是2≤a≤3．
當選條件②時，因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A?B，即或無解．
故不存在a滿足題意．
當選條件③時，因為“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A?B，即或該不等式組無解，
故不存在a滿足題意．
綜上可知，a的取值范圍為{a|2≤a≤3}．
1．“x∈Q”是“x∈N”的(　　)
A．必要不充分條件
B．充要條件
C．充分不必要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[因為x∈Q不能推出x∈N，且x∈N可以推出x∈Q，所以“x∈Q”是“x∈N”的必要不充分條件，故選A．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，則當x＝5時，x2－4x－5＝0成立，但當x2－4x－5＝0時，x＝5不一定成立，故選B．]
3．若“xa”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要條件，則a的取值范圍是(　　)
A．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
B　[因為“xa”是“x≥3或x≤－1”的充分不必要條件，故a≤－1．故選B．]
4．函數y＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是________．
m＝－2　[函數y＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱，則－＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，則y＝x2－2x＋1的圖象關于直線x＝1對稱．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．命題“若p，則q”及其逆命題的真假與充分、必要條件間存在怎樣的關系？
[提示]　
條件p與結論q的關系 結論
p q，且qp p是q的充分不必要條件
q p，且pq p是q的必要不充分條件
p q，且q p，即p q p是q的充要條件
pq，且qp p是q的既不充分也不必要條件
2．要證明一個命題的充要條件需要證明幾個方面？
[提示]　需要證明充分性和必要性兩個方面．1.4.2　充要條件
1．結合具體實例，理解充要條件的意義．(數學抽象)
2．會求(判斷)某些問題成立的充要條件．(數學運算)
3．能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明．(邏輯推理)
老趙邀請張三、李四、王五三個人吃飯，時間到了，只有張三、李四準時赴約，王五因事不能到場，老趙說：“該來的沒有來．”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了．老趙愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了．”李四聽了大怒，拂袖而去．
問題：(1)張三為什么走了？(2)李四為什么走了？
知識點　充要條件
(1)定義：如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有________，又有________，就記作p q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為________條件．
(2)條件與結論的等價性：如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p q，那么p與q互為______條件．
命題按條件和結論的充分性、必要性可分四類：①充分必要條件(充要條件)，即p q且q p；
②充分不必要條件，即p q且qp．
③必要不充分條件，即pq且q p．
④既不充分也不必要條件，即pq且qp．
“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區別在哪里？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選一個合適的填空．
(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________．
(2)“x<5”是“x<3”的________．
類型1　充分、必要、充要條件的判斷
【例1】　指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”)．
(1)p：x－3＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等；
(3)p：a＞b；q：ac＞bc．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法
(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假．
(2)集合法：利用集合的包含關系判斷．
(3)等價法：利用p q與q p的等價關系，一般地，對于條件和結論是否定形式的命題，一般運用等價法．
(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要條件也具有傳遞性．
[跟進訓練]
1．(1)設p：實數a，b滿足a>1且b>1；q：實數a，b滿足則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)(多選)(2022·廣東揭陽期末)設計如圖所示的四個電路圖，p：“開關S閉合”，q：“燈泡L亮”，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
類型2　充要條件的證明
【例2】　已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
注：a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　充要條件證明的兩個思路
(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結論；其次推證p q是證明充分性，推證q p是證明必要性．
(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件．
[跟進訓練]
2．求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根是1的充要條件是a＋b＋c＝0．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　充要條件的應用
【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．
思路導引：p是q的必要不充分條件{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，試求m的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　應用充分不必要條件、必要不充分條件及充要條件求參數值(范圍)的一般步驟
(1)根據已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉化為集合間的關系．
(2)根據集合間的關系構建關于參數的方程(組)或不等式(組)求解．
[跟進訓練]
3．從①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|≤x≤＋3}三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的a存在，求a的取值范圍；若a不存在，請說明理由．
已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．“x∈Q”是“x∈N”的(　　)
A．必要不充分條件
B．充要條件
C．充分不必要條件
D．既不充分也不必要條件
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．若“xA．a≥3 B．a≤－1
C．－1≤a≤3 D．a≤3
4．函數y＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．命題“若p，則q”及其逆命題的真假與充分、必要條件間存在怎樣的關系？
2．要證明一個命題的充要條件需要證明幾個方面？

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