資源簡介

1.5　全稱量詞與存在量詞
1.5.1　全稱量詞與存在量詞
1．理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義．(數學抽象)
2．理解存在量詞、存在量詞命題的定義．(數學抽象)
3．會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假．(邏輯推理)
學校為了迎接秋季田徑運動會，正在排練由1 000 名學生參加的開幕式團體操表演．這1 000名學生符合下列條件：
(1)所有學生都來自高二年級；
(2)至少有30名學生來自高二(一)班；
(3)每一個學生都有固定表演路線．
上述條件中包含以下短語：“所有”“至少有”和“每一個”，這些短語在邏輯上被稱為什么？含有這些短語的命題被稱作什么命題？
知識點1　全稱量詞與全稱量詞命題
(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“ ”表示．
(2)含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．變量x的取值范圍用M表示．那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為 x∈M，p(x)．
有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需把它補充出來．例如：命題“平行四邊形的對角線互相平分”應理解為“所有的平行四邊形的對角線都互相平分”．
知識點2　存在量詞與存在量詞命題
(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“ ”表示．
(2)含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符號簡記為 x∈M，p(x)．
1．下列命題中是全稱量詞命題的有________．(填序號)
①任意一個偶數都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的內角和是180°．
[答案]　①③
2．“任意一個實數的平方都大于等于0”用符號“ ”可表示為________．
x∈R，x2≥0　[命題“任意一個實數的平方都大于等于0”，用“ ”符號可以表示為 x∈R，x2≥0．]
3．命題“有些長方形是正方形”含有的量詞是________，該量詞是________．(填“全稱量詞”或“存在量詞”)
[答案]　有些　存在量詞
類型1　全稱量詞命題與存在量詞命題的識別
【例1】　判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題，并用量詞符號“ ”或“ ”表述下列命題．
(1)對任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；
(2)對所有實數a，b，方程ax＋b＝0恰有一個解；
(3)有些整數既能被2整除，又能被3整除；
(4)某個四邊形不是平行四邊形．
[解]　(1)全稱量詞命題，表示為 x∈{x|x>－1}，3x＋4>0．
(2)全稱量詞命題，表示為 a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．
(3)存在量詞命題，表示為 x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．
(4)存在量詞命題，表示為 x∈{y|y是四邊形}，x不是平行四邊形．
　判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路
提醒：全稱量詞命題可以省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．
[跟進訓練]
1．下列語句中，是全稱量詞命題的是________，是存在量詞命題的是________．(填序號)
①菱形的四條邊相等；
②所有含兩個60°角的三角形是等邊三角形；
③負數的立方根不等于0；
④至少有一個負整數是奇數；
⑤所有有理數都是實數嗎？
①②③　④　[①②③是全稱量詞命題；④是存在量詞命題；⑤不是命題．]
類型2　全稱量詞命題與存在量詞命題的真假
【例2】　(源自蘇教版教材)判斷下列命題的真假：
(1) x∈R，x2>x；
(2) x∈R，x2>x；
(3) x∈Q，x2－8＝0；
(4) x∈R，x2＋2>0．
[解]　(1)因為當x＝2時，x2>x成立，所以，
“ x∈R，x2>x”是真命題．
(2)因為當x＝0時，x2>x不成立，所以，
“ x∈R，x2>x”是假命題．
(3)因為使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2與x＝－2，但它們都不是有理數，所以，
“ x∈Q，x2－8＝0”是假命題．
(4)因為對任意實數x，都有x2≥0，所以，
對任意實數x，都有x2＋2≥2>0，即
對任意實數x，都有x2＋2>0成立，因此，
“ x∈R，x2＋2>0”是真命題．
　全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法
(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x證明p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x，使得p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．
(2)要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x使p(x)成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題．
[跟進訓練]
2．(多選)下列命題是真命題的是(　　)
A．一切實數均有相反數
B． a∈N，使得方程ax＋1＝0無實數根
C．梯形的對角線相等
D．有些三角形不是等腰三角形
ABD　[A為真命題；對于B，當a＝0時，方程ax＋1＝0無實數根；對于C，等腰梯形的對角線相等，故C錯誤；D為真命題．故選ABD．]
類型3　依據含量詞命題的真假求參數的取值范圍
【例3】　命題p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命題p為真命題，求實數a的取值范圍．
思路導引：命題p為真命題方程ax2＋2x－1＝0有解．
[解]　當a＝0時，方程為2x－1＝0，顯然有實數根，滿足題意；
當a≠0時，由題意可得若ax2＋2x－1＝0有實根，則Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0．
綜上可得a≥－1．
即實數a的取值范圍是．
　利用含量詞的命題的真假求參數的取值范圍
(1)含參數的全稱量詞命題為真時，常與不等式恒成立有關，可根據有關代數恒等式(如x2≥0)，確定參數的取值范圍．
(2)含參數的存在量詞命題為真時，常轉化為方程或不等式有解問題來處理，可借助根的判別式等知識解決．
[跟進訓練]
3．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1)“ x∈M，x＋1＞0”是真命題，求實數a的取值范圍；
(2)“ x∈M，x＋1＞0”成立，求實數a的取值范圍．
[解]　(1) x∈M，x＋1＞0是真命題，即a＋1＞0，解得a＞－1，
所以實數a的取值范圍是a＞－1．
(2)“ x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，
所以實數a的取值范圍是a＞－2．
1．(多選)下列是全稱量詞的是(　　)
A．任意一個 B．所有的
C．每一個 D．很多
ABC　[很明顯A，B，C中的量詞均是全稱量詞，D中的量詞不是全稱量詞．故選ABC．]
2．下列命題中是存在量詞命題的是(　　)
A．任何一個實數乘以0都等于0
B．任意一個負數都比零小
C．每一個正方形都是矩形
D．一定存在沒有最大值的二次函數
D　[D選項是存在量詞命題．]
3．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(　　)
A．每個二次函數的圖象都開口向上
B．存在一條直線與已知直線不平行
C．對任意實數a，b，若a－b≤0，則a≤b
D．存在一個實數x，使等式x2－2x＋1＝0成立
C　[B，D是存在量詞命題，故應排除；對于A，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a0)的圖象開口向下，也應排除，故應選C．]
4．命題“有些負數滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述為________．
x0，使(1＋x)(1－9x)>0　[“有些”是存在量詞，所以命題“有些負數滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”可表述為“ x0，使(1＋x)(1－9x)>0”．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．常見的全稱量詞有哪些？用符號怎么表示？
[提示]　全稱量詞有：“所有的”“任意一個”等，并用符號“ ”表示．
2．常見的存在量詞有哪些？用符號怎么表示？
[提示]　存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”等，用符號“ ”表示．
3．全稱量詞命題如何用符號表述？存在量詞命題呢？
[提示]　全稱量詞命題用符號簡記為“ x∈M，p(x)”；存在量詞命題用符號簡記為“ x∈M，p(x)”．1.5　全稱量詞與存在量詞
1.5.1　全稱量詞與存在量詞
1．理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義．(數學抽象)
2．理解存在量詞、存在量詞命題的定義．(數學抽象)
3．會判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題， 并會判斷它們的真假．(邏輯推理)
學校為了迎接秋季田徑運動會，正在排練由1 000名學生參加的開幕式團體操表演．這1 000名學生符合下列條件：
(1)所有學生都來自高二年級；
(2)至少有30名學生來自高二(一)班；
(3)每一個學生都有固定表演路線．
上述條件中包含以下短語：“所有”“至少有”和“每一個”，這些短語在邏輯上被稱為什么？含有這些短語的命題被稱作什么命題？
知識點1　全稱量詞與全稱量詞命題
(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做________，并用符號“________”表示．
(2)含有________的命題，叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示．變量x的取值范圍用M表示．那么全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為________．
有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需把它補充出來．例如：命題“平行四邊形的對角線互相平分”應理解為“所有的平行四邊形的對角線都互相平分”．
知識點2　存在量詞與存在量詞命題
(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做________，并用符號“________”表示．
(2)含有________的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符號簡記為____________．
1．下列命題中是全稱量詞命題的有________．(填序號)
①任意一個偶數都能被2整除；
②有的矩形是正方形；
③三角形的內角和是180°．
2．“任意一個實數的平方都大于等于0”用符號“ ”可表示為________．
3．命題“有些長方形是正方形”含有的量詞是________，該量詞是________．(填“全稱量詞”或“存在量詞”)
類型1　全稱量詞命題與存在量詞命題的識別
【例1】　判斷下列命題是全稱量詞命題，還是存在量詞命題，并用量詞符號“ ”或“ ”表述下列命題．
(1)對任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；
(2)對所有實數a，b，方程ax＋b＝0恰有一個解；
(3)有些整數既能被2整除，又能被3整除；
(4)某個四邊形不是平行四邊形．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路
提醒：全稱量詞命題可以省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．
[跟進訓練]
1．下列語句中，是全稱量詞命題的是______，是存在量詞命題的是________．(填序號)
①菱形的四條邊相等；
②所有含兩個60°角的三角形是等邊三角形；
③負數的立方根不等于0；
④至少有一個負整數是奇數；
⑤所有有理數都是實數嗎？
類型2　全稱量詞命題與存在量詞命題的真假
【例2】　(源自蘇教版教材)判斷下列命題的真假：
(1) x∈R，x2>x；(2) x∈R，x2>x；(3) x∈Q，x2－8＝0；(4) x∈R，x2＋2>0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法
(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x證明p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個x，使得p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．
(2)要判定一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x使p(x)成立即可；否則，這個存在量詞命題就是假命題．
[跟進訓練]
2．(多選)下列命題是真命題的是(　　)
A．一切實數均有相反數
B． a∈N，使得方程ax＋1＝0無實數根
C．梯形的對角線相等
D．有些三角形不是等腰三角形
類型3　依據含量詞命題的真假求參數的取值范圍
【例3】　命題p：存在x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命題p為真命題，求實數a的取值范圍．
思路導引：命題p為真命題方程ax2＋2x－1＝0有解．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用含量詞的命題的真假求參數的取值范圍
(1)含參數的全稱量詞命題為真時，常與不等式恒成立有關，可根據有關代數恒等式(如x2≥0)，確定參數的取值范圍．
(2)含參數的存在量詞命題為真時，常轉化為方程或不等式有解問題來處理，可借助根的判別式等知識解決．
[跟進訓練]
3．已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1)“ x∈M，x＋1＞0”是真命題，求實數a的取值范圍；
(2)“ x∈M，x＋1＞0”成立，求實數a的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列是全稱量詞的是(　　)
A．任意一個 B．所有的
C．每一個 D．很多
2．下列命題中是存在量詞命題的是(　　)
A．任何一個實數乘以0都等于0
B．任意一個負數都比零小
C．每一個正方形都是矩形
D．一定存在沒有最大值的二次函數
3．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是(　　)
A．每個二次函數的圖象都開口向上
B．存在一條直線與已知直線不平行
C．對任意實數a，b，若a－b≤0，則a≤b
D．存在一個實數x，使等式x2－2x＋1＝0成立
4．命題“有些負數滿足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“ ”或“ ”可表述為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．常見的全稱量詞有哪些？用符號怎么表示？
2．常見的存在量詞有哪些？用符號怎么表示？
3．全稱量詞命題如何用符號表述？存在量詞命題呢？1.5.2　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
1．通過實例總結含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律．(數學抽象)
2．能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．(邏輯推理)
“否定”是我們日常生活中經常使用的一個詞．《創新，從敢于否定開始》一文中有這樣一段話：“培養一流創新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定決心進行研究，首先就要敢于否定別人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不對的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加強．”
結合上述這段話，談談你對“否定”一詞的認識，并由此猜想“命題的否定”是什么意思．
知識點　含有一個量詞的命題的否定
p p 結論
全稱量詞命題 x∈M，p(x) x∈M, p(x) 全稱量詞命題的否定是存在量詞命題
存在量詞命題 x∈M，p(x) x∈M, p(x) 存在量詞命題的否定是全稱量詞命題
對全稱量詞命題、存在量詞命題進行否定時，注意八個字“改變量詞，否定結論”．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)全稱量詞命題的否定形式是唯一的． (　　)
(2)命題 p的否定是p． (　　)
(3) x∈M，p(x)與 x∈M, p(x)的真假性相反． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．已知命題p： x>0，總有x＋1>1，則 p為________．
[答案]　 x>0，使得x＋1≤1
類型1　全稱量詞命題的否定
【例1】　寫出下列命題的否定．
(1)所有分數都是有理數；
(2)所有被5整除的整數都是奇數；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0．
[解]　(1)該命題的否定：存在一個分數不是有理數．
(2)該命題的否定：存在一個被5整除的整數不是奇數．
(3) x∈R，x2－2x＋10．
　對全稱量詞命題否定的兩個步驟
[跟進訓練]
1．寫出下列全稱量詞命題的否定：
(1)任何一個平行四邊形的對邊都平行；
(2)任何一個圓都是軸對稱圖形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
[解]　(1)命題的否定：存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行．
(2)命題的否定：存在一個圓不是軸對稱圖形．
(3)命題的否定： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
類型2　存在量詞命題的否定
【例2】　寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假：
(1)有的素數是偶數；
(2) a，b∈R，a2＋b2≤0．
[解]　(1)命題的否定：所有的素數都不是偶數．
由于2是素數也是偶數，因此命題的否定為假命題．
(2)命題的否定： a，b∈R，a2＋b2>0．
∵當a＝b＝0時，a2＋b2＝0，
∴命題的否定是假命題．
　對存在量詞命題否定的兩個步驟
[跟進訓練]
2．(源自人教B版教材)寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假：
(1)p： x∈R，x2≥－1；
(2)q： x∈{1，2，3，4，5}，x；
(3)s：至少有一個直角三角形不是等腰三角形．
[解]　(1) p： x∈R，x2－1，由p是真命題可知 p是假命題．
(2) q： x∈{1，2，3，4，5}，≥x．將集合中的元素逐個驗證，當x＝1時不等式成立，因此 q是真命題．
(3) s：所有直角三角形都是等腰三角形．因為有一個內角為30°的直角三角形不是等腰三角形，所以 s 是假命題．
類型3　全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合應用
【例3】　對于任意實數x，函數y＝x2＋4x－1的函數值恒大于實數m，求m的取值范圍．
思路導引：函數值恒大于實數m二次函數y＝x2＋4x－1的最小值恒大于實數m．
[解]　由題意可知，對 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．
因為y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5≥－5，
所以只要m－5即可．
所以所求m的取值范圍是{m|m－5}．
[母題探究]
把本例中的條件變為：“存在實數x，使不等式＋4x－1>m有解”，求實數m的取值范圍．
[解]　令y＝－x2＋4x－1，
因為y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因為 x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函數的最大值即可，
所以所求m的取值范圍是{m|m3}．
　求解含有量詞的命題中參數范圍的策略
(1)對于全稱量詞命題“ x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實質就是不等式恒成立問題，通常轉化為求函數y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)．
(2)對于存在量詞命題“ x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實質就是不等式能成立問題，通常轉化為求函數y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)．
[跟進訓練]
3．若命題“ x∈R，x2－4x＋a≠0”為假命題，則實數a的取值范圍是________．
{a|a≤4}　[∵命題 x∈R，x2－4x＋a≠0為假命題，
∴ x∈R，x2－4x＋a＝0是真命題，
∴方程x2－4x＋a＝0有實數根，則Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4．]
1．命題“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A． x R，x2≠x B． x∈R，x2＝x
C． x R，x2≠x D． x∈R，x2＝x
D　[此全稱量詞命題的否定為 x∈R，x2＝x．故選D．]
2．命題“存在實數x，使x＞1”的否定是(　　)
A．對任意實數x，都有x＞1
B．不存在實數x，使x≤1
C．對任意實數x，都有x≤1
D．存在實數x，使x≤1
C　[“存在實數x，使x＞1”的否定是“對任意實數x，都有x≤1”．故選C．]
3．若命題“ x＜2 022，x＞a”是假命題，則實數a的取值范圍是________．
{a|a≥2 022}　[由于命題“ x＜2 022，x＞a”是假命題，因此其否定“ x＜2 022，x≤a”是真命題，所以a≥2 022．]
4．命題p： x∈R，x2－2x－3≥0的否定 p是____________， p是一個______命題(填“真”或“假”)．
x∈R，x2－2x－30　真　[命題p是一個全稱量詞命題，其否定形式為“ x∈R，x2－2x－30”．因為x2－2x－30有解，故為真命題．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．全稱量詞命題的否定是什么量詞命題？存在量詞命題呢？
[提示]　全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
2．對只含有一個量詞的命題否定時只否定結論嗎？
[提示]　不是，需先改變量詞，再否定結論，如全稱量詞命題： x∈M，p(x)的否定為存在量詞命題： x∈M, p(x)．
3．當全稱量詞命題為真命題時，其命題的否定為真命題還是假命題？
[提示]　假命題．1.5.2　全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
1．通過實例總結含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律．(數學抽象)
2．能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．(邏輯推理)
“否定”是我們日常生活中經常使用的一個詞．《創新，從敢于否定開始》一文中有這樣一段話：“培養一流創新人才，敢于否定的精神非常重要．一旦下定決心進行研究，首先就要敢于否定別人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不對的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加強．”
結合上述這段話，談談你對“否定”一詞的認識，并由此猜想“命題的否定”是什么意思．
知識點　含有一個量詞的命題的否定
p p 結論
全稱量詞命題 x∈M，p(x) ______________ 全稱量詞命題的否定是________量詞命題
存在量詞命題 x∈M，p(x) ______________ 存在量詞命題的否定是________量詞命題
對全稱量詞命題、存在量詞命題進行否定時，注意八個字“改變量詞，否定結論”．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)全稱量詞命題的否定形式是唯一的． (　　)
(2)命題 p的否定是p． (　　)
(3) x∈M，p(x)與 x∈M， p(x)的真假性相反． (　　)
2．已知命題p： x>0，總有x＋1>1，則 p為________．
類型1　全稱量詞命題的否定
【例1】　寫出下列命題的否定．
(1)所有分數都是有理數；
(2)所有被5整除的整數都是奇數；
(3) x∈R，x2－2x＋1≥0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對全稱量詞命題否定的兩個步驟
[跟進訓練]
1．寫出下列全稱量詞命題的否定：
(1)任何一個平行四邊形的對邊都平行；
(2)任何一個圓都是軸對稱圖形；
(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　存在量詞命題的否定
【例2】　寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假：
(1)有的素數是偶數；
(2) a，b∈R，a2＋b2≤0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對存在量詞命題否定的兩個步驟
[跟進訓練]
2．(源自人教B版教材)寫出下列命題的否定，并判斷所得命題的真假：
(1)p： x∈R，x2≥－1；
(2)q： x∈{1，2，3，4，5}，(3)s：至少有一個直角三角形不是等腰三角形．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合應用
【例3】　對于任意實數x，函數y＝x2＋4x－1的函數值恒大于實數m，求m的取值范圍．
思路導引：函數值恒大于實數m二次函數y＝x2＋4x－1的最小值恒大于實數m．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
把本例中的條件變為：“存在實數x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求實數m的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求解含有量詞的命題中參數范圍的策略
(1)對于全稱量詞命題“ x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實質就是不等式恒成立問題，通常轉化為求函數y的最大值(或最小值)，即a＞y最大值(或a＜y最小值)．
(2)對于存在量詞命題“ x∈M，a＞y(或a＜y)”為真的問題，實質就是不等式能成立問題，通常轉化為求函數y的最小值(或最大值)，即a＞y最小值(或a＜y最大值)．
[跟進訓練]
3．若命題“ x∈R，x2－4x＋a≠0”為假命題，則實數a的取值范圍是________．
1．命題“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A． x R，x2≠x B． x∈R，x2＝x
C． x R，x2≠x D． x∈R，x2＝x
2．命題“存在實數x，使x＞1”的否定是(　　)
A．對任意實數x，都有x＞1
B．不存在實數x，使x≤1
C．對任意實數x，都有x≤1
D．存在實數x，使x≤1
3．若命題“ x＜2 022，x＞a”是假命題，則實數a的取值范圍是________．
4．命題p： x∈R，x2－2x－3≥0的否定 p是______________， p是一個______命題(填“真”或“假”)．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．全稱量詞命題的否定是什么量詞命題？存在量詞命題呢？
2．對只含有一個量詞的命題否定時只否定結論嗎？
3．當全稱量詞命題為真命題時，其命題的否定為真命題還是假命題？

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