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2.1　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
第1課時　不等關(guān)系與不等式
1．會用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)建模)
2．會用比較法比較兩實數(shù)的大?。?邏輯推理)
你見過圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對應(yīng)的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1(單位：km/h，下同)應(yīng)該滿足100≤v1≤120；右邊的指示牌是指對應(yīng)的車道可供客車和貨車行駛，而且車的速率v2應(yīng)該滿足60≤v2≤100．
知識點1　基本事實
文字表示 符號表示
如果a－b是正數(shù)，那么a＞b a－b＞0 a＞b
如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0 a＝b
如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a＜b a－b＜0 a＜b
從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．
知識點2　重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．
1．(多選)下面列出的不等式中，正確的是(　　)
A．若a不是負(fù)數(shù)，則a≥0
B．若x不大于3，則x3
C．若m與4的差是負(fù)數(shù)，則m－40
D．若x與2的和是非負(fù)數(shù)，則x＋2>0
AC　[x不大于3可表示成x≤3; x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x＋2≥0．]
2．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是________．
[答案]　a＝1
類型1　用不等式(組)表示不等關(guān)系
【例1】　(1)某同學(xué)拿50元錢買紀(jì)念郵票，票面8角的每套5張，票面2元的每套4張，如果每種郵票至少買兩套，那么買票面8角的x套與票面2元的y套用不等式表示為(　　)
A．
B．
C．
D．0.8×5x＋2×4y≤50
(2)京滬線上，復(fù)興號列車跑出了350 km/h的速度，這個速度的2倍再加上100 km/h也不超過民航飛機(jī)的最低時速，可這個速度已經(jīng)超過了普通客車的3倍，請用不等式表示三種交通工具的速度關(guān)系．
(1)A　[買票面8角的x套，而票面8角的每套5張，則價格為(0.8×5x)元．
買票面2元的y套，而票面2元的每套4張，則價格為(2×4y)元．
∵某同學(xué)拿50元錢買紀(jì)念郵票，
∴0.8×5x＋2×4y≤50．
又知，每種郵票至少買兩套，故x≥2，y≥2且x∈N＋，y∈N＋，
綜上，有不等式組
故選A．]
(2)[解]　設(shè)復(fù)興號列車的速度為v1，
民航飛機(jī)的速度為v2，
普通客車的速度為v3．
v1、v2的關(guān)系：2v1＋100≤v2，
v1、v3的關(guān)系：v1＞3v3．
　利用不等式(組)表示不等關(guān)系的注意點
(1)在用不等式(組)表示不等關(guān)系時，要進(jìn)行比較的各量必須具有相同性質(zhì)，沒有可比性的兩個(或幾個)量之間不可以用不等式(組)來表示．
(2)在用不等式(組)表示實際問題時，一定要注意單位的統(tǒng)一．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于216 m2，靠墻的一邊長為x m．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．
[解]　由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m，而墻長為18 m，所以0這時菜園的另一條邊長為＝(m)．
因此菜園面積S＝x·，
依題意有S≥216，即x≥216，
故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為
類型2　比較兩數(shù)(式)的大小
【例2】　已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大小．
[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1．
[母題探究]
把本例中“x≤1”改為“x∈R”，再比較3x3與3x2－x＋1的大?。?br/>[解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵3x2＋1＞0，
當(dāng)x＞1時，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
當(dāng)x＝1時，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
當(dāng)x＜1時，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．
　比較兩個代數(shù)式大小的步驟
(1)作差：對要比較大小的兩個代數(shù)式作差．
(2)變形：對差進(jìn)行變形．
(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號．
(4)作出結(jié)論．
這種比較大小的方法稱為作差法．其思維過程是作差→變形→判斷差的符號→作出結(jié)論．
變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大小．
[解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝＋．
∵≥0，∴＋≥＞0．
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2．
類型3　不等關(guān)系的實際應(yīng)用
【例3】　某單位組織職工包車前往某地參觀學(xué)習(xí)．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受全票價的7.5折優(yōu)惠”．乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠．”這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠．
思路導(dǎo)引：分別建立費用表達(dá)式比較兩數(shù)大?。?br/>[解]　設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，
則y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx．
因為y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x，
當(dāng)n＝5時，y1＝y(tǒng)2；
當(dāng)n＞5時，y1＜y2；當(dāng)n＜5時，y1＞y2．
因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠．
　解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題，首先要確定制約決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個，然后用作差法比較它們的大小即可．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．甲打算從A地出發(fā)至B地，現(xiàn)有兩種方案：第一種：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度為；第二種：在前一半時間用速度v1，在后一半時間用速度v2(v1≠v2)，平均速度為，則的大小關(guān)系為(　　)
A．＞ B．＜
C．＝ D．無法確定
B　[第一種方案：設(shè)總路程為2s，則＝＝．
第二種方案：設(shè)時間為2t，則＝＝，
＝－＝＝＞0，
∴，故選B．]
1．某路段豎立的“”的警示牌是提示司機(jī)通過該路段時，車速v km/h應(yīng)滿足的關(guān)系式為(　　)
A．v<60 B．v>60
C．v≤60 D．v≥36
[答案]　C
2．下面表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”的不等關(guān)系的是(　　 )
A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－b＜0
C．a(chǎn)－b≥0 D．a(chǎn)－b≤0
[答案]　C
3．某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120 km/h，同一車道上的車間距d不得小于10 m，用不等式表示為(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
A　[v的最大值為120 km/h，即v≤120 km/h，車間距d不得小于10 m，即d≥10 m，故選A．]
4．若實數(shù)a>b，則a2－ab______ba－b2．(填“>”或“<”)
>　[因為(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．作差法比較兩個實數(shù)的大小的依據(jù)是什么？
[提示]　a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．作差法比較大小的一般步驟是什么？
[提示]　第一步：作差；
第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”；
第三步：定號，就是確定差是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)；
第四步：下結(jié)論．2.1　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
第1課時　不等關(guān)系與不等式
1．會用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)建模)
2．會用比較法比較兩實數(shù)的大?。?邏輯推理)
你見過圖中的高速公路指示牌嗎？左邊的指示牌是指對應(yīng)的車道只能供小客車行駛，而且小客車的速率v1(單位：km/h，下同)應(yīng)該滿足100≤v1≤120；右邊的指示牌是指對應(yīng)的車道可供客車和貨車行駛，而且車的速率v2應(yīng)該滿足60≤v2≤100．
知識點1　基本事實
文字表示 符號表示
如果a－b是正數(shù)，那么_______ a－b＞0 ______
如果a－b等于0，那么_______ a－b＝0 ______
如果a－b是負(fù)數(shù)，那么_______ a－b＜0 ______
從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．
知識點2　重要不等式
一般地， a，b∈R，有a2＋b2________2ab，當(dāng)且僅當(dāng)________時，等號成立．
1．(多選)下面列出的不等式中，正確的是(　　)
A．若a不是負(fù)數(shù)，則a≥0
B．若x不大于3，則x<3
C．若m與4的差是負(fù)數(shù)，則m－4<0
D．若x與2的和是非負(fù)數(shù)，則x＋2>0
2．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是________．
類型1　用不等式(組)表示不等關(guān)系
【例1】　(1)某同學(xué)拿50元錢買紀(jì)念郵票，票面8角的每套5張，票面2元的每套4張，如果每種郵票至少買兩套，那么買票面8角的x套與票面2元的y套用不等式表示為(　　)
A．
B．
C．
D．0.8×5x＋2×4y≤50
(2)京滬線上，復(fù)興號列車跑出了350 km/h的速度，這個速度的2倍再加上100 km/h也不超過民航飛機(jī)的最低時速，可這個速度已經(jīng)超過了普通客車的3倍，請用不等式表示三種交通工具的速度關(guān)系．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用不等式(組)表示不等關(guān)系的注意點
(1)在用不等式(組)表示不等關(guān)系時，要進(jìn)行比較的各量必須具有相同性質(zhì)，沒有可比性的兩個(或幾個)量之間不可以用不等式(組)來表示．
(2)在用不等式(組)表示實際問題時，一定要注意單位的統(tǒng)一．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，要求菜園的面積不小于216 m2，靠墻的一邊長為x m．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　比較兩數(shù)(式)的大小
【例2】　已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。?br/>[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
把本例中“x≤1”改為“x∈R”，再比較3x3與3x2－x＋1的大?。?br/>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比較兩個代數(shù)式大小的步驟
(1)作差：對要比較大小的兩個代數(shù)式作差．
(2)變形：對差進(jìn)行變形．
(3)判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號．
(4)作出結(jié)論．
這種比較大小的方法稱為作差法．其思維過程是作差→變形→判斷差的符號→作出結(jié)論．
變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大?。?br/>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　不等關(guān)系的實際應(yīng)用
【例3】　某單位組織職工包車前往某地參觀學(xué)習(xí)．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受全票價的7.5折優(yōu)惠”．乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠．”這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠．
思路導(dǎo)引：分別建立費用表達(dá)式比較兩數(shù)大?。?br/>[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題，首先要確定制約決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個，然后用作差法比較它們的大小即可．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．甲打算從A地出發(fā)至B地，現(xiàn)有兩種方案：第一種：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2(v1≠v2)，平均速度為；第二種：在前一半時間用速度v1，在后一半時間用速度v2(v1≠v2)，平均速度為，則的大小關(guān)系為(　　)
A．＞ B．＜
C．＝ D．無法確定
1．某路段豎立的“”的警示牌是提示司機(jī)通過該路段時，車速v km/h應(yīng)滿足的關(guān)系式為(　　)
A．v<60　　　B．v>60　　　C．v≤60　　　D．v≥36
2．下面表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”的不等關(guān)系的是(　　 )
A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－b＜0
C．a(chǎn)－b≥0 D．a(chǎn)－b≤0
3．某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120 km/h，同一車道上的車間距d不得小于10 m，用不等式表示為(　　)
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
4．若實數(shù)a>b，則a2－ab________ba－b2．(填“>”或“<”)
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．作差法比較兩個實數(shù)的大小的依據(jù)是什么？
2．作差法比較大小的一般步驟是什么？第2課時　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1．掌握等式和不等式的基本性質(zhì)．(數(shù)學(xué)抽象)
2．運用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)運算)
樓房的采光率有一種簡單的計算方法：設(shè)樓房的建筑面積為a，窗口面積為b，則樓房的采光率為(其中a>b>0)．
問題：顯而易見，如果增加窗口面積，樓房的采光將變好，那么如何用不等式來表示這個事實呢？(不妨設(shè)增加窗口面積為m，其中m>0)
知識點　不等式的基本性質(zhì)
(1)對稱性：a＞b b＜a．
(2)傳遞性：a＞b，b＞c a＞c．
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c．
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc．
(5)加法法則：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d．
(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd．
(7)乘方法則：a＞b＞0 an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
應(yīng)用不等式應(yīng)注意：
(1)一定要搞清不等式成立的前提條件；
(2)要注意每條性質(zhì)是否具有可逆性．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1) 如果a>b，c>d，那么a－c>b－d． (　　)
(2)如果a>b，c>d，那么ac>bd． (　　)
(3)當(dāng)x>－3時，一定有<－． (　　)
(4)設(shè)a，b∈R，且a>b，則a3>b3． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．設(shè)x>1，－1x>－y>y　[∵－1－y>y．]
類型1　利用不等式性質(zhì)判斷命題真假
【例1】　對于實數(shù)a，b，c，下列命題中為真命題的是(　　)
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，則＞
C．若a＜b＜0，則＞
D．若a＞b，＞，則a＞0，b＜0
D　[法一：∵c2≥0，∴c＝0時，
有ac2＝bc2，故A為假命題；
由a＞b＞0，有ab＞0 ＞ ＞，
故B為假命題；
＞，
故C為假命題；
ab＜0．
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯誤．
取a＝2，b＝1，則＝，＝1，有＜，故B錯誤．
取a＝－2，b＝－1，
則＝，＝2，有＜，故C錯誤．]
　利用不等式判斷正誤的兩種方法
(1)直接法．對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．
(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)若<<0，則下面四個不等式成立的有(　　)
A．|a|>|b|　　　B．bBCD　[∵<<0，∴b|a|，a＋b故選BCD．]
類型2　利用不等式性質(zhì)證明簡單不等式
【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞．
[證明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0．
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0．
兩邊同乘以，
得＜．
又e＜0，∴＞．
[母題探究]
本例條件不變的情況下，求證：＞．
[證明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．
∵a＞b＞0，
∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜，
又∵e＜0，∴＞．
　利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項
(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．
(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac[證明]　∵a>b，c>0，
∴ac>bc．
又∵e>f，
∴e＋ac>f＋bc，
即f－ac類型3　不等式性質(zhì)的應(yīng)用
【例3】　已知1＜a＜4，2＜b＜8，試求a－b與的取值范圍．
思路導(dǎo)引：2[解]　因為1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2．
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2．
又因為＜＜，
所以＜＜，
即＜＜2．
　利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略
(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運算，求得待求的范圍．
(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．
提醒：求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地先分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3b．
[解]　(1)－1(2)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3， ②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3．
1．(多選)若a＞b，c＞d，則下列不等關(guān)系中一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)＋c＞b＋d B．a(chǎn)＋d＞b＋c
C．a(chǎn)－c＞b－c D．a(chǎn)－c＜a－d
[答案]　ACD
2．與a>b等價的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>b2
C．>1 D．a(chǎn)3>b3
D　[可利用特殊值排除法．令a＝－5，b＝0，則A、B正確而不滿足a>b．再令a＝－3，b＝－1，則C正確而不滿足a>b，故選D．]
3．設(shè)xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B　[∵xa2．∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax．又ax－a2＝>ax>a2．故選B．]
4．已知60{x－y|27由28回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．兩個不同向不等式的兩邊可以分別相除嗎？
[提示]　不可以．兩個不同向不等式的兩邊不能分別相除，在需要商時，可利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同向不等式相乘．
2．對不等式變形時，要注意什么？
[提示]　對不等式的每一次變形，都要有相應(yīng)的性質(zhì)為依據(jù)，否則，變形就是錯誤的．第2課時　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1．掌握等式和不等式的基本性質(zhì)．(數(shù)學(xué)抽象)
2．運用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)運算)
樓房的采光率有一種簡單的計算方法：設(shè)樓房的建筑面積為a，窗口面積為b，則樓房的采光率為(其中a>b>0)．
問題：顯而易見，如果增加窗口面積，樓房的采光將變好，那么如何用不等式來表示這個事實呢？(不妨設(shè)增加窗口面積為m，其中m>0)
知識點　不等式的基本性質(zhì)
(1)對稱性：a＞b ________．
(2)傳遞性：a＞b，b＞c ________．
(3)可加性：a＞b ____________．
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ________；
a＞b，c＜0 ________．
(5)加法法則：a＞b，c＞d ________．
(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0 ________．
(7)乘方法則：a＞b＞0 ________________________．
應(yīng)用不等式應(yīng)注意：
(1)一定要搞清不等式成立的前提條件；
(2)要注意每條性質(zhì)是否具有可逆性．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1) 如果a>b，c>d，那么a－c>b－d． (　　)
(2)如果a>b，c>d，那么ac>bd． (　　)
(3)當(dāng)x>－3時，一定有<－． (　　)
(4)設(shè)a，b∈R，且a>b，則a3>b3． (　　)
2．設(shè)x>1，－1類型1　利用不等式性質(zhì)判斷命題真假
【例1】　對于實數(shù)a，b，c，下列命題中為真命題的是(　　)
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，則＞
C．若a＜b＜0，則＞
D．若a＞b，＞，則a＞0，b＜0
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用不等式判斷正誤的兩種方法
(1)直接法．對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．
(2)特殊值法．注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)若<<0，則下面四個不等式成立的有(　　)
A．|a|>|b| B．bC．a(chǎn)＋b類型2　利用不等式性質(zhì)證明簡單不等式
【例2】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求證：＞．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例條件不變的情況下，求證：＞．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項
(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．
(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知a>b，e>f，c>0，求證：f－ac　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　不等式性質(zhì)的應(yīng)用
【例3】　已知1＜a＜4，2＜b＜8，試求a－b與的取值范圍．
思路導(dǎo)引：2[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略
(1)建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運算，求得待求的范圍．
(2)同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．
提醒：求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地先分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知－2(1)a＋b；(2)2a－3b．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)若a＞b，c＞d，則下列不等關(guān)系中一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)＋c＞b＋d B．a(chǎn)＋d＞b＋c
C．a(chǎn)－c＞b－c D．a(chǎn)－c＜a－d
2．與a>b等價的不等式是(　　)
A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>b2
C．>1 D．a(chǎn)3>b3
3．設(shè)xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
4．已知60回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．兩個不同向不等式的兩邊可以分別相除嗎？
2．對不等式變形時，要注意什么？

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