資源簡介

2.2　基本不等式
第1課時　基本不等式
1．了解基本不等式的證明過程．(數(shù)學運算)
2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小．(邏輯推理)
　　填寫下表：
a b 與的大小關(guān)系
1
4 16
2 2
… …
問題：(1)觀察與的大小關(guān)系，從中你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
(2)你能給出它的證明嗎？
知識點　基本不等式
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么，當且僅當a＝b時，等號成立．
其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
(2)變形：①ab≤，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．
②a＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當且僅當a＝b時，等號成立．
不等式a2＋b2≥2ab與不等式等號成立的條件一樣嗎？
[提示]　不一樣，前者為a＝b，后者為a＝b>0．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)
(2)若a≠0，則a＋≥2＝2． (　　)
(3)若a>0，b>0，則ab≤． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
類型1　對基本不等式的理解
【例1】　(多選)下面四個推導過程正確的是(　　)
A．若a，b為正實數(shù)，則＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，則＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，則＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，則≤ab
AC　[∵a，b為正實數(shù)，
∴，為正實數(shù)，符合基本不等式的條件，故A的推導正確；
∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的條件，
∴＋a≥2＝4是錯誤的，故B錯誤；
由xy＜0，得，均為負數(shù)，但在推導過程中將整體＋提出負號后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故C正確；D錯誤，因為a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時等號成立．故選AC．]
　對基本不等式的準確掌握要抓住2個方面
(1)定理成立的條件是a，b都是正實數(shù)．
(2)“當且僅當”的含義：當a＝b時，的等號成立，即a＝b ＝；僅當a＝b時，≥的等號成立，即＝ a＝b．
[跟進訓練]
1．下列不等式的推導過程正確的是________．(填序號)
①若x＞1，則x＋≥2＝2．
②若x＜0，則x＋＝－≤－2＝－4．
③若a，b∈R，則＋≥2＝2．
②　[ ①中忽視了基本不等式等號成立的條件，當x＝，即x＝1時，x＋≥2等號成立，因為x＞1，所以x＋＞2，③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數(shù)這一條件．]
類型2　利用基本不等式比較大小
【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是________．
(1)B　(2)p>q　[(1)法一：顯然＞，又－＝＜0，所以＞，所以＞＞．故M＞P＞Q．
法二：取a＝，b＝，易知M>P>Q，故選B．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac．
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．
即p>q．]
　運用基本不等式比較大小時應注意成立的條件，即a＋b≥2成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b．
[跟進訓練]
2．若0A．a(chǎn)2＋b2 　　 B．2 　　 C．2ab 　　 D．a(chǎn)＋b
D　[法一：∵02ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故選D．
法二：(特殊值法)取a＝，b＝，則a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，顯然最大，故選D．]
類型3　利用基本不等式證明不等式
【例3】　已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋>9．
思路導引：先把“＋＋”中的“1”替換成a＋b＋c，然后利用基本不等式證明＋＋>9．
[證明]　∵a，b，c是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9，
當且僅當a＝b＝c時取等號，而a、b、c互不相等，∴＋＋>9．
[母題探究]
本例條件不變，求證：>8．
[證明]　∵a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，
∴＝··≥＝8，
當且僅當a＝b＝c時取等號，∴＞8．
　利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項
(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．
[跟進訓練]
3．(源自北師大版教材)已知a>0，b>0，c>0，求證：a＋b＋c≥＋＋．
[證明]　因為a>0，b>0，c>0，所以由基本不等式，得a＋b≥2，當且僅當a＝b時，等號成立，
b＋c≥2，當且僅當b＝c時，等號成立，
a＋c≥2，當且僅當a＝c時，等號成立．
上面三式相加，得2a＋2b＋2c≥2＋2＋2，即a＋b＋c≥＋＋，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
1．不等式a2＋≥4中，等號成立的條件是(　　)
A．a(chǎn)＝4 B．a(chǎn)＝
C．a(chǎn)＝－ D．a(chǎn)＝±
D　[此不等式等號成立的條件為a2＝，即a＝±，故選D．]
2．設a>b>0，則下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)－b<0 B．0<<1
C．< D．a(chǎn)b>a＋b
C　[∵a>b>0，∴由基本不等式知<一定成立．故選C．]
3．設非零實數(shù)a，b，則“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
B　[a2＋b2≥2ab中，ab可能小于0，則＋≥2不成立；若＋≥2，則a，b同號，a2＋b2≥2ab成立．故選B．]
4．已知a＞b＞c，則與的大小關(guān)系是________．
　[∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab導出？
[提示]　對于a2＋b2≥2ab，若用a代替a2，b代替b2，便可得到：a＋b≥2，即．
2．基本不等式的常見變形有哪些？
[提示]　①a＋b≥2；②ab≤．2.2　基本不等式
第1課時　基本不等式
1．了解基本不等式的證明過程．(數(shù)學運算)
2．能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數(shù)式的大小．(邏輯推理)
填寫下表
a b 與的大小關(guān)系
1
4 16
2 2
… …
問題：(1)觀察與的大小關(guān)系，從中你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
(2)你能給出它的證明嗎？
知識點　基本不等式
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，那么________，當且僅當__________時，等號成立．其中，________叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，________叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．
(2)變形：①ab≤，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．
②a＋b≥2，a，b都是正數(shù)，當且僅當a＝b時，等號成立．
不等式a2＋b2≥2ab與不等式≤等號成立的條件一樣嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　)
(2)若a≠0，則a＋≥2＝2． (　　)
(3)若a>0，b>0，則ab≤． (　　)
類型1　對基本不等式的理解
【例1】　(多選)下面四個推導過程正確的是(　　)
A．若a，b為正實數(shù)，則＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，則＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，則＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，則≤ab
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對基本不等式的準確掌握要抓住2個方面
(1)定理成立的條件是a，b都是正實數(shù)．
(2)“當且僅當”的含義：當a＝b時，≤的等號成立，即a＝b ＝；僅當a＝b時，≥的等號成立，即＝ a＝b．
[跟進訓練]
1．下列不等式的推導過程正確的是________．(填序號)
①若x＞1，則x＋≥2＝2．
②若x＜0，則x＋＝－≤－2＝－4．
③若a，b∈R，則＋≥2＝2．
類型2　利用基本不等式比較大小
【例2】　(1)如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是(　　)
A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P
(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　運用基本不等式比較大小時應注意成立的條件，即a＋b≥2成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b．
[跟進訓練]
2．若0A．a(chǎn)2＋b2 B．2
C．2ab D．a(chǎn)＋b
類型3　利用基本不等式證明不等式
【例3】　已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋>9．
思路導引：先把“＋＋”中的“1”替換成a＋b＋c，然后利用基本不等式證明＋＋>9．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例條件不變，求證：>8．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項
(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．
[跟進訓練]
3．(源自北師大版教材)已知a>0，b>0，c>0，求證：a＋b＋c≥＋＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．不等式a2＋≥4中，等號成立的條件是(　　)
A．a(chǎn)＝4 B．a(chǎn)＝
C．a(chǎn)＝－ D．a(chǎn)＝±
2．設a>b>0，則下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)－b<0 B．0<<1
C．< D．a(chǎn)b>a＋b
3．設非零實數(shù)a，b，則“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．已知a＞b＞c，則與的大小關(guān)系是________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．如何由不等式a2＋b2≥2ab導出≤？
2．基本不等式≤的常見變形有哪些？第2課時　基本不等式的應用
1．熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問題．(數(shù)學運算)
2．會用基本不等式求解實際應用題．(數(shù)學建模)
某金店有一座天平，由于左右兩臂長略有不等，所以直接稱重不準確．有一個顧客要買一串金項鏈，店主分別把項鏈放于左右兩盤各稱一次，得到兩個不同的質(zhì)量a和b，然后就把兩次稱得的質(zhì)量的算術(shù)平均數(shù)作為項鏈的質(zhì)量來計算．顧客對這個質(zhì)量的真實性提出了質(zhì)疑，那么這樣計算的質(zhì)量相對于原來的真實質(zhì)量到底是大了還是小了呢？
知識點　用基本不等式求最值
已知x，y都是正數(shù)，
(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值．
(2)若xy＝P(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值2．
上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．
在應用基本不等式求最值時，要把握基本不等式成立的三個條件：一正、二定、三相等，這三個條件缺一不可．
兩個正數(shù)的積為定值，一定可以用基本不等式求它們的和的最小值嗎？
[提示]　不一定．如y＝x＋(x>1)，若用基本不等式求最小值，則需要滿足條件：x＝，即x＝1，但此式不成立，所以不能用基本不等式求最小值．
1．若x>0，則y＝x＋的最小值為________．
4　[∵x>0，
∴y＝x＋≥2＝4，
當且僅當x＝時等號成立．]
2．已知0x1，則函數(shù)y＝x(1－x)的最大值為______．
　[∵0x1，∴01－x1，
∴x(1－x)≤，
當且僅當x＝1－x，即x＝時等號成立．]
類型1　利用基本不等式求最值
【例1】　(1)已知x，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0x，求y＝x(1－3x)的最大值．
[解]　(1)∵x，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
當且僅當5－4x＝，即x＝1時，上式等號成立，
故當x＝1時，ymax＝1．
(2)法一：∵0x，∴1－3x>0．
∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤，
當且僅當3x＝1－3x，即x＝時，等號成立．
∴當x＝時，y＝x(1－3x)取得最大值．
法二：∵0x，∴－x>0．
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝，
當且僅當x＝－x，即x＝時，等號成立．
∴當x＝時，y＝x(1－3x)取得最大值．
　通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略
拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形．
(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標．
(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．
提醒：注意應用“拆”“拼”“湊”等技巧的目的是使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．
[跟進訓練]
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)(源于湘教版教材) 求函數(shù)y＝(0x1)的最大值．
[解]　(1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
當且僅當x＝，即x＝2時等號成立．
故y＝(x>0)的最小值為9．
(2)因為0x1，所以x>0，1－x>0，
所以≤，
當且僅當x＝1－x，即x＝時等號成立．
故函數(shù)y＝(0x1)的最大值為．
類型2　利用基本不等式求條件最值
【例2】　已知x＞0，y＞0，且滿足＋＝1．求x＋2y的最小值．
[解]　∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
當且僅當
即時，等號成立，
故當x＝12，y＝3時，(x＋2y)min＝18．
[母題探究]
若把“＋＝1”改為“x＋2y＝1”，其他條件不變，求＋的最小值．
[解]　∵x>0，y>0，
∴＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
當且僅當時取等號，結(jié)合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴當x＝，y＝時，＋取到最小值18．
　常數(shù)代換法求最值的方法步驟
常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應用此種方法求解最值的基本步驟為：
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))．
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1．
(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
提醒：常值代換法適用于變量x，y是正實數(shù)，整式ax＋by與分式＋一個值已知求另外一個的最(大)小值問題．
[跟進訓練]
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解]　∵a＞0，b＞0，且a＋2b＝1．
∴＋·1＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
當且僅當即時等號成立．
∴＋的最小值為3＋2．
類型3　利用基本不等式解決實際問題
【例3】　(源自北師大版教材)如圖，動物園要圍成4間相同面積的長方形禽舍，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(接頭處不計)
(1)現(xiàn)有可圍36 m長鋼筋網(wǎng)的材料，當每間禽舍的長、寬各設計為多長時，可使每間禽舍面積最大？
(2)若使每間禽舍面積為24 m2，則每間禽舍的長、寬各設計為多長時，可使圍成四間禽舍的鋼筋網(wǎng)總長最小？
思路導引：
[解]　(1)設每間禽舍的長為x m，寬為y m，則4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18．
設S＝xy(0x9，0y6)．應用基本不等式，
有2x＋3y≥2，即2≤18．
所以S≤13.5．
當且僅當2x＝3y時，不等式中的等號成立，
此時解得
因此，當每間禽舍的長、寬分別設計為4.5 m和3 m時，可使每間禽舍面積最大，最大面積為13.5 m2．
(2)由(1)及題設條件知S＝xy＝24，設鋼筋網(wǎng)總長為l，則l＝4x＋6y．
∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l(xiāng)＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，當且僅當2x＝3y時，等號成立．由解得故每間禽舍長6 m，寬4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小．
　應用基本不等式解決實際問題的思路與方法
(1)理解題意，設出變量．
(2)建立相應的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問題．
(3)在取值范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．
(4)根據(jù)實際背景寫出答案．
[跟進訓練]
3．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，求該容器的最低總造價．
[解]　設該長方體容器底面的長和寬分別為a m，b m，成本為y元，
由于長方體容器的容積為4 m3，高為1 m，
所以底面面積S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80，
由基本不等式可得y＝20(a＋b)＋80≥20×2＋80＝160(元)，
當且僅當a＝b＝2時，等號成立，
因此，該容器的最低總造價為160元．
1．(2022·北京師大附中月考)已知正數(shù)x，y滿足xy＝4，則x＋y(　　)
A．有最大值4 B．有最小值4
C．有最大值2 D．有最小值2
B　[∵x>0，y>0，∴x＋y≥2＝4, 當且僅當x＝y(tǒng)＝2時取得等號，即x＋y有最小值4．故選B．]
2．(2022·河北滄州月考)已知x>0，y>0，且滿足x＋6y＝6，則xy有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
A　[xy＝≤×9＝，當且僅當，即時等號成立．
故選A．]
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　)
A．　　　B．4　　　C．　　　D．5
C　[∵a＋b＝2，∴＝1．又∵a＞0，b＞0，
∴＋＝＋≥＋2，
當且僅當即時，等號成立．
故y＝＋的最小值為．故選C．]
4．某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當每臺機器運轉(zhuǎn)________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元．
5　8　[由題意可知，年平均利潤＝－x－＋18＝－＋18≤－2＋18＝8．
當且僅當x＝，即x＝5時，年平均利潤最大，為8萬元．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．利用基本不等式≤求最值時，必須滿足哪三個條件？
[提示]　一正、二定、三相等．
2．應用基本不等式求最值的依據(jù)是什么？
[提示]　a＋b≥2和ab≤，即“和定積最大，積定和最小”．
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？
[提示]　直接法、配湊法、常數(shù)代換法等．第2課時　基本不等式的應用
1．熟練掌握利用基本不等式求函數(shù)的最值問題．(數(shù)學運算)
2．會用基本不等式求解實際應用題．(數(shù)學建模)
某金店有一座天平，由于左右兩臂長略有不等，所以直接稱重不準確．有一個顧客要買一串金項鏈，店主分別把項鏈放于左右兩盤各稱一次，得到兩個不同的質(zhì)量a和b，然后就把兩次稱得的質(zhì)量的算術(shù)平均數(shù)作為項鏈的質(zhì)量來計算．顧客對這個質(zhì)量的真實性提出了質(zhì)疑，那么這樣計算的質(zhì)量相對于原來的真實質(zhì)量到底是大了還是小了呢？
知識點　用基本不等式求最值
已知x，y都是正數(shù)，
(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最________值________．
(2)若xy＝P(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最________值________．
上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．
在應用基本不等式求最值時，要把握基本不等式成立的三個條件：一正、二定、三相等，這三個條件缺一不可．
兩個正數(shù)的積為定值，一定可以用基本不等式求它們的和的最小值嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若x>0，則y＝x＋的最小值為________．
2．已知0類型1　利用基本不等式求最值
【例1】　(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略
拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形．
(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標．
(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．
提醒：注意應用“拆”“拼”“湊”等技巧的目的是使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．
[跟進訓練]
1．(1)已知x>0，求y＝的最小值；
(2)(源于湘教版教材) 求函數(shù)y＝(0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　利用基本不等式求條件最值
【例2】　已知x＞0，y＞0，且滿足＋＝1．求x＋2y的最小值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
若把“＋＝1”改為“x＋2y＝1”，其他條件不變，求＋的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常數(shù)代換法求最值的方法步驟
常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應用此種方法求解最值的基本步驟為：
(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))．
(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1．
(3)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
提醒：常值代換法適用于變量x，y是正實數(shù)，整式ax＋by與分式＋一個值已知求另外一個的最(大)小值問題．
[跟進訓練]
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用基本不等式解決實際問題
【例3】　(源自北師大版教材)如圖，動物園要圍成4間相同面積的長方形禽舍，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．(接頭處不計)
(1)現(xiàn)有可圍36 m長鋼筋網(wǎng)的材料，當每間禽舍的長、寬各設計為多長時，可使每間禽舍面積最大？
(2)若使每間禽舍面積為24 m2，則每間禽舍的長、寬各設計為多長時，可使圍成四間禽舍的鋼筋網(wǎng)總長最小？
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　應用基本不等式解決實際問題的思路與方法
(1)理解題意，設出變量．
(2)建立相應的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問題．
(3)在取值范圍內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．
(4)根據(jù)實際背景寫出答案．
[跟進訓練]
3．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，求該容器的最低總造價．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2022·北京師大附中月考)已知正數(shù)x，y滿足xy＝4，則x＋y(　　)
A．有最大值4 B．有最小值4
C．有最大值2 D．有最小值2
2．(2022·河北滄州月考)已知x>0，y>0，且滿足x＋6y＝6，則xy有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值1 D．最小值1
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　)
A．　　　B．4　　　C．　　　D．5
4．某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當每臺機器運轉(zhuǎn)________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．利用基本不等式≤求最值時，必須滿足哪三個條件？
2．應用基本不等式求最值的依據(jù)是什么？
3．利用基本不等式求最值的常用方法有哪些？

展開更多......

收起↑