資源簡介

2.3　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
第1課時(shí)　一元二次不等式的解法
1．經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系．(直觀想象)
已知一元二次函數(shù)y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0．
問題：(1)試寫出一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)一元二次方程的根是什么？
(3)問題(1)中的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與問題(2)中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？
(4)觀察二次函數(shù)圖象，當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，圖象在x軸的上方？
(5)能否利用問題(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x0的解集？
知識(shí)點(diǎn)1　一元二次不等式的概念
定義 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式
一般 形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)
知識(shí)點(diǎn)2　二次函數(shù)的零點(diǎn)
一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)就是圖象與x軸的交點(diǎn)嗎？
[提示]　不是．是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
知識(shí)點(diǎn)3　從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式
Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ0
二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1x2) 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根　
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx1或x>x2} R
ax2＋bx＋c0(a>0)的解集 {x|x1xx2}
一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)不等式ax2＋x－10是一元二次不等式． (　　)
(2)不等式x2－5y0是一元二次不等式． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×
2．二次函數(shù)y＝x2－5x的圖象如圖所示．
(1)若y>0，則x滿足的條件是________；
(2)若y≤0，則x滿足的條件是________．
[答案]　(1)x0或x>5　(2)0≤x≤5
3．不等式x2＋3x＋60的解集為________．
　[∵Δ＝9－4×6＝－150，
∴不等式x2＋3x＋60的解集為 ．]
類型1　一元二次不等式的求解
【例1】　(源自蘇教版教材)解下列不等式：
(1)x2－7x＋12>0；
(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋10；
(4)x2－2x＋2>0．
[解]　(1)方程x2－7x＋12＝0的解為x1＝3，x2＝4．
根據(jù)y＝x2－7x＋12的圖象(圖(1))，可得原不等式的解集為{x|x3或x>4}．
(2)不等式兩邊同乘以－1，得x2＋2x－3≤0．
方程x2＋2x－3＝0的解為x1＝－3，x2＝1．
根據(jù)y＝x2＋2x－3的圖象(圖(2))，可得原不等式的解集為{x|－3≤x≤1}．
(1)　　　　(2)　　　　(3)　　　　(4)
(3)方程x2－2x＋1＝0有兩個(gè)相同的解x1＝x2＝1．
根據(jù)y＝x2－2x＋1的圖象(圖(3))，可得原不等式的解集為 ．
(4)因?yàn)棣?，所以方程x2－2x＋2＝0無實(shí)數(shù)解．
根據(jù)y＝x2－2x＋2的圖象(圖(4))，可得原不等式的解集為R．
　解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標(biāo)準(zhǔn)．通過對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．
(2)判別式．對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．
(3)求實(shí)根．求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根．
(4)畫草圖．根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．
(5)寫解集．根據(jù)圖象寫出不等式的解集．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．解下列不等式：
(1)4x2－20x－25；
(2)(x－3)(x－7)0；
(3)－3x2＋5x－40；
(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1．
[解]　(1)不等式可化為4x2－20x＋250，由于Δ＝0，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，所以不等式的解集是 ．
(2)由題意知不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根是3和7，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，故不等式的解集是{x|3x7}．
(3)不等式－3x2＋5x－40可化為3x2－5x＋4>0，由于判別式Δ＝25－48＝－230，函數(shù)y＝3x2－5x＋4的圖象開口向上，所以不等式的解集是R．
(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化為3x2－4x＋1≤0．
因?yàn)榉匠?x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根是，1，函數(shù)y＝3x2－4x＋1的圖象開口向上，所以不等式的解集是．
類型2　含參數(shù)的一元二次不等式的解法
　對(duì)判別式Δ進(jìn)行討論
【例2】　解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
[解]　Δ＝a2－16，下面分情況討論：
(1)當(dāng)Δ0，即－4a4時(shí)，方程2x2＋ax＋2＝0無實(shí)根，所以原不等式的解集為R．
(2)當(dāng)Δ＝0，即a＝±4時(shí)，若a＝－4，則原不等式等價(jià)于2(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，則原不等式等價(jià)于2(x＋1)2>0，故x≠－1．
(3)當(dāng)Δ>0，即a>4或a－4時(shí)，方程2x2＋ax＋2＝0的兩個(gè)根為
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)．
此時(shí)原不等式等價(jià)于(x－x1)(x－x2)>0，
∴xx1或x>x2．
綜上，當(dāng)－4a4時(shí)，原不等式的解集為R；
當(dāng)a＝－4時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠1}；
當(dāng)a>4或a－4時(shí)，原不等式的解集為
；
當(dāng)a＝4時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R，且x≠－1}．
　對(duì)根的大小進(jìn)行討論
【例3】　解關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0(a∈R)．
[解]　原不等式可化為(x－1)(x－a)＜0．
討論a與1的大小．
(1)a＞1時(shí)，不等式的解為1＜x＜a；
(2)a＝1時(shí)，不等式的解集為空集；
(3)a＜1時(shí)，不等式的解為a＜x＜1．
綜上可知，a＞1時(shí)解集是{x|1＜x＜a}；a＝1時(shí)，解集為 ；a＜1時(shí)解集為{x|a＜x＜1}．
　對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論
【例4】　設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．
[解]　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，不等式可化為x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集為{x|x>2}．
(2)當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的兩根分別為2和－．
①當(dāng)a－時(shí)，解不等式得－x2，
即原不等式的解集為；
②當(dāng)a＝－時(shí)，不等式無解，即原不等式的解集為 ；
③當(dāng)－a0時(shí)，解不等式得2x－，
即原不等式的解集為；
④當(dāng)a>0時(shí)，解不等式得x－或x>2，
即原不等式的解集為．
　解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
提醒：對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10．
[解]　當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式可化為x>1．
當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式可化為(ax－1)(x－1)0．
當(dāng)a0時(shí)，不等式可化為(x－1)>0，
∵1，∴x或x>1．
當(dāng)a>0時(shí)，原不等式可化為(x－1)0．
若1，即a>1，則x1；
若＝1，即a＝1，則x∈ ；
若>1，即0a1，則1x．
綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為 ；當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為．
類型3　三個(gè)“二次”的關(guān)系
【例5】　已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2x3}，求關(guān)于x的不等式cx2＋bx＋a0的解集．
思路導(dǎo)引：
[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知＝－5，＝6．由a0知c0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x或x>，所以不等式cx2＋bx＋a0的解集為．
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a0，即6ax2－5ax＋a0 6a0，故原不等式的解集為．
[母題探究]
本例中的條件不變，求關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解]　由根與系數(shù)的關(guān)系知＝－5，＝6且a0．
∴c0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋0，即x2＋x＋0，
解得－x－，故不等式的解集為．
　解決這類問題的關(guān)鍵是善于從題目條件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式與方程根的關(guān)系解決．
不等式解集的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)方程的根，往往要用根與系數(shù)的關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知一元二次不等式x2＋px＋q0的解集為，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
[解]　因?yàn)閤2＋px＋q0的解集為，所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得
解得
所以不等式qx2＋px＋1>0即為－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－60，解得－2x3．
即不等式qx2＋px＋1>0的解集為{x|－2x3}．
1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x0；④>0．其中一元二次不等式的個(gè)數(shù)為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
A　[只有③是一元二次不等式，故選A．]
2．(2022·廣東廣州期末)不等式3x2－x－2≥0的解集是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)≥0，
解得x≤－或x≥1．故選C．]
3．(多選)若函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是A(－2，0)，B(1，0)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．b＋c＝－1
B．方程x2＋bx＋c＝0的兩根是－2，1
C．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1}
D．不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}
ABD　[方程x2＋bx＋c＝0的兩根是－2，1，所以－b＝－2＋1＝－1，即b＝1，c＝(－2)×1＝－2，所以b＋c＝－1．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x－2或x>1}，不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}，所以選項(xiàng)A，B，D正確．故選ABD．]
4．若0m1，則不等式(x－m)0的解集為________．
　[∵0m1，∴>1>m，
故原不等式的解集為．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．求解一元二次不等式解集的步驟有哪些？
[提示]　(1)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，(2)計(jì)算判別式Δ，(3)求對(duì)應(yīng)方程的實(shí)根，(4)結(jié)合圖象寫解集．
2．含參數(shù)的一元二次不等式常從哪些方面討論求解？
[提示]　(1)關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a>0，a0，a＝0．
(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ0)．
(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x1x2．
3．由一元二次不等式的解集可以得出相應(yīng)函數(shù)的哪些信息？
[提示]　由一元二次不等式的解集可以逆推二次函數(shù)圖象的開口及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．2.3　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
第1課時(shí)　一元二次不等式的解法
1．經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系．(直觀想象)
已知一元二次函數(shù)y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0．
問題：(1)試寫出一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)一元二次方程的根是什么？
(3)問題(1)中的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與問題(2)中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？
(4)觀察二次函數(shù)圖象，當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，圖象在x軸的上方？
(5)能否利用問題(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？
知識(shí)點(diǎn)1　一元二次不等式的概念
定義 只含有一個(gè)________，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是______的不等式，稱為一元二次不等式
一般 形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)
知識(shí)點(diǎn)2　二次函數(shù)的零點(diǎn)
一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的________叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)就是圖象與x軸的交點(diǎn)嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)3　從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式
Δ的值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ____________________ __________ ______
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ___________________ __________ ______
一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式． (　　)
(2)不等式x2－5y<0是一元二次不等式． (　　)
2．二次函數(shù)y＝x2－5x的圖象如圖所示．
(1)若y>0，則x滿足的條件是________；
(2)若y≤0，則x滿足的條件是________．
3．不等式x2＋3x＋6<0的解集為________．
類型1　一元二次不等式的求解
【例1】　(源自蘇教版教材)解下列不等式：
(1)x2－7x＋12>0；
(2)－x2－2x＋3≥0；
(3)x2－2x＋1<0；
(4)x2－2x＋2>0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
(1)________．通過對(duì)不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項(xiàng)系數(shù)為正．
(2)________．對(duì)不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．
(3)________．求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根．
(4)________．根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．
(5)________．根據(jù)圖象寫出不等式的解集．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．解下列不等式：
(1)4x2－20x<－25；
(2)(x－3)(x－7)<0；
(3)－3x2＋5x－4<0；
(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　含參數(shù)的一元二次不等式的解法
　對(duì)判別式Δ進(jìn)行討論
【例2】　解關(guān)于x的不等式2x2＋ax＋2>0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對(duì)根的大小進(jìn)行討論
【例3】　解關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0(a∈R)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論
【例4】　設(shè)a∈R，解關(guān)于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
提醒：對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　三個(gè)“二次”的關(guān)系
【例5】　已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
本例中的條件不變，求關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決這類問題的關(guān)鍵是善于從題目條件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式與方程根的關(guān)系解決．
不等式解集的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)方程的根，往往要用根與系數(shù)的關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集為，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的個(gè)數(shù)為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
2．(2022·廣東廣州期末)不等式3x2－x－2≥0的解集是(　　)
A．
B．
C．
D．
3．(多選)若函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是A(－2，0)，B(1，0)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．b＋c＝－1
B．方程x2＋bx＋c＝0的兩根是－2，1
C．不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2＜x＜1}
D．不等式x2＋bx＋c≤0的解集是{x|－2≤x≤1}
4．若0回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．求解一元二次不等式解集的步驟有哪些？
2．含參數(shù)的一元二次不等式常從哪些方面討論求解？
3．由一元二次不等式的解集可以得出相應(yīng)函數(shù)的哪些信息？第2課時(shí)　一元二次不等式的應(yīng)用
1．掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用．(數(shù)學(xué)建模)
2．會(huì)解一元二次不等式中的恒成立問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)
類型1　解簡單的分式不等式
【例1】　解下列不等式：
(1)0；
(2)≥0；
(3)>1．
[解]　(1)原不等式可化為(x＋1)(2x－1)0，
∴－1x，
故原不等式的解集為．
(2)原不等式可化為≤0，
∴
∴
即－x≤1．
故原不等式的解集為．
(3)原不等式可化為－1>0，
∴>0，即>0，
則x－2．
故原不等式的解集為{x|x－2}．
　簡單的分式不等式的解法
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．解下列不等式：
(1)≥0；
(2)3．
[解]　(1)不等式≥0可轉(zhuǎn)化成不等式組
解得x≤－1或x>3．
即原不等式的解集為{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式3可改寫為－30，即0．
可將這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化成2(x－1)(x＋1)0，
解得－1x1．
所以原不等式的解集為{x|－1x1}．
類型2　不等式的恒成立問題
【例2】　若關(guān)于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－10對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
思路導(dǎo)引：
[解]　當(dāng)m2－2m－3＝0時(shí)，m＝3或m＝－1．
①若m＝3，不等式可化為－10，顯然對(duì)于x∈R恒成立，滿足題意．
②若m＝－1，不等式可化為4x－10，顯然不滿足題意．
當(dāng)m2－2m－3≠0時(shí)，由題目條件，知
得
即－m3．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
　不等式恒成立的情況
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
提醒：當(dāng)不等式ax2＋bx＋c>0未說明為一元二次不等式時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立時(shí)滿足的條件為或
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知關(guān)于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
[解]　①當(dāng)m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5時(shí)，顯然m＝1符合條件，m＝－5不符合條件；
②當(dāng)m2＋4m－5≠0時(shí)，由二次函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，得
解得1m19．綜合①②得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|1≤m19}．
類型3　一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用
【例3】　(源自北師大版教材)為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策；由政策協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．大學(xué)畢業(yè)生袁陽按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷售量y(單位：件)與銷售單價(jià)x(單位：元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y＝－10x＋500．
(1)設(shè)袁陽每月獲得的利潤為w(單位：元)，寫出每月獲得的利潤w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系；
(2)物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于3 000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少？
[解]　(1)依題意可知每件的銷售利潤為(x－10)元，每月的銷售量為(－10x＋500)件，所以每月獲得的利潤w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系為w＝(x－10)(－10x＋500)(10≤x≤50)．
(2)由每月獲得的利潤不小于3 000元，得
(x－10)(－10x＋500)≥3 000．
化簡，得x2－60x＋800≤0．
解得20≤x≤40．
又因?yàn)檫@種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元，所以20≤x≤25．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，則p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000．
由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600．
故政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍為{p|500≤p≤600}．
　利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)．
(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．
(3)求解所列出的不等式(組)．
(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0x1)，則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤＝(出廠價(jià)－投入成本)×年銷售量．
(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
[解]　(1)依題意得
y＝[12×(1＋0.75x)－10×(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0x1)．整理，得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0x1)．
∴本年度年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式為y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0x1)．
(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，
當(dāng)且僅當(dāng)
即解得0x，
所以為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足0x．
1．不等式≥0的解集為(　　)
A．{x|－1x≤1} B．{x|－1≤x1}
C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1x1}
B　[原不等式
∴－1≤x1．]
2．已知不等式x2＋ax＋40的解集為空集，則a的取值范圍是(　　)
A．－4≤a≤4 B．－4a4
C．a(chǎn)≤－4或a≥4 D．a(chǎn)－4或a>4
A　[依題意應(yīng)有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故選A．]
3．產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是(　　)
A．100臺(tái) B．120臺(tái)
C．150臺(tái) D．180臺(tái)
C　[由題設(shè)，產(chǎn)量x臺(tái)時(shí)，總售價(jià)為25x萬元，欲使生產(chǎn)者不虧本，必須滿足總售價(jià)大于等于總成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，解之得x≥150或x≤－200(舍去)．故欲使生產(chǎn)者不虧本，最低產(chǎn)量是150臺(tái)．故選C．]
4．若關(guān)于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－10恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
{k|－3k≤1}　[(1)當(dāng)k－1＝0，即k＝1時(shí)，－10恒成立，符合題意．
(2)當(dāng)k－1≠0時(shí)，由題意可知
解得－3k1．
綜上可知－3k≤1．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？
[提示]　解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解．
2．試簡述不等式ax2＋bx＋c>0(0)恒成立的條件．
[提示]　
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c0
a≠0第2課時(shí)　一元二次不等式的應(yīng)用
1．掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用．(數(shù)學(xué)建模)
2．會(huì)解一元二次不等式中的恒成立問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)
類型1　解簡單的分式不等式
【例1】　解下列不等式：
(1)<0；
(2)≥0；
(3)>1．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　簡單的分式不等式的解法
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．解下列不等式：
(1)≥0；
(2)<3．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　不等式的恒成立問題
【例2】　若關(guān)于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　不等式恒成立的情況
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立的條件是
提醒：當(dāng)不等式ax2＋bx＋c>0未說明為一元二次不等式時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立時(shí)滿足的條件為或
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知關(guān)于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用
【例3】　(源自北師大版教材)為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺(tái)了相關(guān)政策；由政策協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．大學(xué)畢業(yè)生袁陽按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月的銷售量y(單位：件)與銷售單價(jià)x(單位：元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y＝－10x＋500．
(1)設(shè)袁陽每月獲得的利潤為w(單位：元)，寫出每月獲得的利潤w與銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系；
(2)物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于3 000元，那么政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)的取值范圍是多少？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)．
(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．
(3)求解所列出的不等式(組)．
(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．不等式≥0的解集為(　　)
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－12．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集為空集，則a的取值范圍是(　　)
A．－4≤a≤4 B．－4C．a(chǎn)≤－4或a≥4 D．a(chǎn)<－4或a>4
3．產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)．若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是(　　)
A．100臺(tái) B．120臺(tái)
C．150臺(tái) D．180臺(tái)
4．若關(guān)于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？
2．試簡述不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件．

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