資源簡介

3.1.1　函數(shù)的概念
第1課時(shí)　函數(shù)的概念(一)
1．在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．(數(shù)學(xué)抽象)
3．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
　　如果將2005年某國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來該國創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示．
年度 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
某國 創(chuàng)新 指數(shù) 148.2 152.6 158.2 171.5 189.5 196.3 212.0 228.3 242.6
　　以y表示年度值，i表示該國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？
知識點(diǎn)　函數(shù)的概念
定義 一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f ，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f ：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
三要素 對應(yīng)關(guān)系 y＝f (x)，x∈A
定義域 自變量x的取值范圍
值域 與x的值相對應(yīng)的y的函數(shù)值的集合{f (x)|x∈A}
理解函數(shù)的概念抓住以下4點(diǎn)：
(1)“y＝f (x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以．
(2)“A，B”是非空的數(shù)集，定義域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的．
(3)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性．
(4)定義域、值域的結(jié)果應(yīng)該寫成集合的形式．
1．在函數(shù)的定義中，符號y＝f (x)是表示f 與x的乘積嗎？
[提示]　y＝f (x)僅是函數(shù)的一個(gè)符號，不表示“y等于f 與x的乘積”．
2．f (x)與f (a)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？
[提示]　f (a)表示當(dāng)x＝a時(shí)函數(shù)f (x)的值，是一個(gè)常量，而f (x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量．f (a)是f (x)的一個(gè)特殊值．
思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任意一個(gè)x可以對應(yīng)著值域中不同的y． (　　)
(2)任何兩個(gè)集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系． (　　)
(3)函數(shù)的定義域必須是數(shù)集，值域可以為其他集合． (　　)
(4)在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
類型1　函數(shù)關(guān)系的判斷
【例1】　(1)(2022·四川省德陽市第三中學(xué)月考)設(shè)集合 M＝，N＝，那么下面的 4 個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(多選)下列對應(yīng)關(guān)系是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)的是(　　)
A．f ：把x對應(yīng)到3x＋1
B．g：把x對應(yīng)到|x|＋1
C．h：把x對應(yīng)到
D．r：把x對應(yīng)到
(1)A　(2)AB　[(1)對圖①，由圖知：0≤x≤1，不符合函數(shù)的定義域，故圖①錯(cuò)誤；
對圖②，由圖知：0≤x≤2，0≤y≤2，圖象符合函數(shù)的定義，故圖②正確；
對圖③，由圖知：0≤y≤3，不符合函數(shù)的值域，故圖③錯(cuò)誤；對圖④，不符合函數(shù)定義，不是函數(shù)圖象，故圖④錯(cuò)誤．故選A．
(2)A，B滿足題意，C中當(dāng)x＝0時(shí)不滿足，D中當(dāng)x<0時(shí)不滿足，故選AB．]
　判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．
(1)A＝N，B＝N*，對應(yīng)法則f ：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；
(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，對應(yīng)法則f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，對應(yīng)法則f ：對A中的元素開方與B中的元素對應(yīng)；
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)法則f ：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．
[解]　(1)對于A中的元素0，在f 的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，故不是函數(shù)．
(2)對于A中的元素±1，在f 的作用下與B中的1對應(yīng)，A中的元素±2，在f 的作用下與B中的4對應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù)．
(3)對于集合A中的元素1，在集合B中有兩個(gè)元素與之對應(yīng)，因此不是函數(shù)關(guān)系．
(4)集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)．
類型2　求函數(shù)值
【例2】　(源自湘教版教材)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f (x)＝x＋1和g(x)＝x2，計(jì)算下列各式：
(1)f (2)＋g(3)；
(2)f (a2)－g(a)；
(3)f (f (f (0)))．
[解]　(1)f (2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12；
(2)f (a2)－g(a)＝(a2＋1)－a2＝1；
(3)因?yàn)閒 (0)＝0＋1＝1，
所以f (f (0))＝f (1)＝1＋1＝2，
從而f (f (f (0)))＝f (2)＝2＋1＝3．
　函數(shù)求值的方法
(1)已知f (x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)f (x)＝，g(x)＝
(1)求f (3)，f (4)，f (g(3))；
(2)求f (g(x))．
[解]　(1)f (3)＝＝－，f (4)＝＝－，
f (g(3))＝f ＝＝
(2)因?yàn)閒 (x)＝，g(x)＝，
所以f (g(x))＝f ＝＝
類型3　求函數(shù)的定義域
【例3】　求下列函數(shù)的定義域：
(1)f (x)＝2＋；
(2)f (x)＝(x－1)0＋；
(3)f (x)＝·；
(4)f (x)＝－
思路導(dǎo)引：從f (x)由幾部分組成，是否含有分母、開偶次方根、x0等角度思考使f (x)有意義的條件，進(jìn)而進(jìn)行解答．
[解]　(1)當(dāng)且僅當(dāng)x－2≠0，即x≠2時(shí)，
函數(shù)f (x)＝2＋有意義，
所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2}．
(2)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)
解得x>－1且x≠1，
所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>－1，且x≠1}．
(3)函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng)解得1≤x≤3，
所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|1≤x≤3}．
(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足解得x≤1且x≠－1，
即函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≤1，且x≠－1}．
　求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若f (x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．
(2)若f (x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零．
(3)若f (x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合．
(4)若f (x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集．
(5)若f (x)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求函數(shù)y＝＋的定義域．
[解]　要使函數(shù)有意義，只需
即
∴x≤－或2≤x<4，
∴函數(shù)的定義域?yàn)?br/>1．函數(shù)f (x)＝的定義域?yàn)?　　)
A．{x|x≥－3} B．{x|x>－3}
C．{x|x≥－3，且x≠1} D．{x|x>－3，且x≠1}
C　[要使函數(shù)f (x)＝有意義，
則解得x≥－3且x≠1，
所以函數(shù)f (x)＝的定義域?yàn)閧x|x≥－3，且x≠1}．]
2．(多選)下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是(　　)
A　　　　　B　　　　C　　　　　　D
ACD　[根據(jù)函數(shù)的定義知：y是x的函數(shù)中，x確定一個(gè)值，y就隨之確定一個(gè)值，體現(xiàn)在圖象上，圖象與平行于y軸的直線最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，對照選項(xiàng)，可知只有B不符合此條件．故選ACD．]
3．下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是(　　)
A．A∈R，B∈R，y＝±
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：
C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝
B　[A錯(cuò)誤，顯然存在x∈A，對應(yīng)的y值不唯一；B正確，符合函數(shù)的定義；C錯(cuò)誤，2∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)；D錯(cuò)誤，－1∈A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)．]
4．若f (x)＝，則f (3)＝________，f (f (－2))＝________．
－　　[∵f (x)＝，
∴f (3)＝＝－
∵f (－2)＝＝－，
∴f (f (－2))＝f ＝＝]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的條件是什么？
[提示]　(1)A，B必須是非空實(shí)數(shù)集．
(2)A中任一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對應(yīng)．
2．f (x)與f (a)相同嗎？兩者存在怎樣的聯(lián)系？
[提示]　f (a)表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f (x)的值，是一個(gè)常量，而f (x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f (a)是f (x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù)f (x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時(shí)，f (8)＝3×8＋4＝28是一個(gè)常數(shù)．
3．求函數(shù)y＝f (x)的定義域常注意哪些問題？
[提示]　(1)分母是否為零；(2)被開偶次方數(shù)是否非負(fù)；(3)x0中x是否為0；(4)實(shí)際意義．
函數(shù)定義的演變過程簡介
　　在現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及其他相關(guān)學(xué)科中，函數(shù)都是非常重要甚至是不可或缺的．與其他重要數(shù)學(xué)概念一樣，函數(shù)定義的發(fā)展與完善也經(jīng)歷了比較長的一段時(shí)間．
“函數(shù)”一詞是萊布尼茨創(chuàng)造的，他用這個(gè)詞表示與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的線段長度，并使用這個(gè)詞表示變量之間的依賴關(guān)系．
歐拉于1734年首先使用字母f 表示函數(shù)，歐拉在他的著作《微分學(xué)》中給出的函數(shù)定義是：如果某變量，以如下的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)．
1851年，德國數(shù)學(xué)家黎曼給出的函數(shù)定義是：假定z是一個(gè)變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值．如果對它的每一個(gè)值，都有未知量w的唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為函數(shù)的“對應(yīng)說”，因?yàn)槎x中采用了“唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)”的說法．
1939年，法國布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上給出了如下函數(shù)的定義：設(shè)E和F是兩個(gè)集合，它們可以不同，也可以相同．E中的變元x和F中的變元y之間的一個(gè)關(guān)系稱為一個(gè)函數(shù)關(guān)系，如果對于每一個(gè)x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與x給定的關(guān)系，稱這樣的運(yùn)算為函數(shù)．它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素y∈F與每一個(gè)元素x∈E相聯(lián)系．稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定．兩個(gè)等價(jià)的函數(shù)關(guān)系確定同一個(gè)函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為“關(guān)系說”．
后來，有些學(xué)者把布爾巴基學(xué)派的定義進(jìn)一步符號化：設(shè)F是定義在集合X和Y上的一個(gè)二元關(guān)系，稱這個(gè)關(guān)系為函數(shù)，如果對于每一個(gè)x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．這樣，函數(shù)的定義就完全用數(shù)學(xué)的符號形式化了．
可以看出，上述函數(shù)的定義越來越嚴(yán)格，抽象程度越來越強(qiáng)，數(shù)學(xué)直觀則越來越弱．
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如果我們能借助直觀來理解有關(guān)概念和結(jié)論，可能會有事半功倍的效果．為了形象地理解函數(shù)的概念，有人提議將函數(shù)類比成對每一個(gè)允許的輸入指定唯一確定的輸出的機(jī)器，所有輸入的集合是函數(shù)的定義域，所有輸出的集合是函數(shù)的值域，如下圖所示．
　　你覺得這種提議有助于進(jìn)一步理解函數(shù)的概念嗎？如果條件允許的話，去查閱更多的有關(guān)資料吧！3.1.1　函數(shù)的概念
第1課時(shí)　函數(shù)的概念(一)
1．在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念．(數(shù)學(xué)抽象)
2．體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用．(數(shù)學(xué)抽象)
3．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
如果將2005年某國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來該國創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示．
年度 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
某國 創(chuàng)新 指數(shù) 148.2 152.6 158.2 171.5 189.5 196.3 212.0 228.3 242.6
　　以y表示年度值，i表示該國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？
知識點(diǎn)　函數(shù)的概念
定義 一般地，設(shè)A，B是非空的______，如果對于集合A中的__________，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f ，在集合B中都有________的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f ：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
三要素 對應(yīng)關(guān)系 y＝f (x)，x∈A
定義域 ________的取值范圍
值域 與x的值相對應(yīng)的y的函數(shù)值的集合____________
理解函數(shù)的概念抓住以下4點(diǎn)：
(1)“y＝f (x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以．
(2)“A，B”是非空的數(shù)集，定義域?yàn)榭占暮瘮?shù)是不存在的．
(3)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性．
(4)定義域、值域的結(jié)果應(yīng)該寫成集合的形式．
1．在函數(shù)的定義中，符號y＝f (x)是表示f 與x的乘積嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．f (x)與f (a)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任意一個(gè)x可以對應(yīng)著值域中不同的y．
(　　)
(2)任何兩個(gè)集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系． (　　)
(3)函數(shù)的定義域必須是數(shù)集，值域可以為其他集合． (　　)
(4)在函數(shù)的定義中，集合B是函數(shù)的值域． (　　)
類型1　函數(shù)關(guān)系的判斷
【例1】　(1)(2022·四川省德陽市第三中學(xué)月考)設(shè)集合 M＝，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)(多選)下列對應(yīng)關(guān)系是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)的是(　　)
A．f ：把x對應(yīng)到3x＋1
B．g：把x對應(yīng)到|x|＋1
C．h：把x對應(yīng)到
D．r：把x對應(yīng)到
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)．
(1)A＝N，B＝N*，對應(yīng)法則f ：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；
(2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，對應(yīng)法則f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，對應(yīng)法則f ：對A中的元素開方與B中的元素對應(yīng)；
(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，對應(yīng)法則f ：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　求函數(shù)值
【例2】　(源自湘教版教材)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f (x)＝x＋1和g(x)＝x2，計(jì)算下列各式：
(1)f (2)＋g(3)；(2)f (a2)－g(a)；(3)f (f (f (0)))．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數(shù)求值的方法
(1)已知f (x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f (a)的值．
(2)求f (g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)f (x)＝，g(x)＝．
(1)求f (3)，f (4)，f (g(3))；
(2)求f (g(x))．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　求函數(shù)的定義域
【例3】　求下列函數(shù)的定義域：
(1)f (x)＝2＋；
(2)f (x)＝(x－1)0＋；
(3)f (x)＝·；
(4)f (x)＝－．
思路導(dǎo)引：從f (x)由幾部分組成，是否含有分母、開偶次方根、x0等角度思考使f (x)有意義的條件，進(jìn)而進(jìn)行解答．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若f (x)是分式，則應(yīng)考慮使分母________．
(2)若f (x)是偶次根式，則被開方數(shù)__________．
(3)若f (x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合．
(4)若f (x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的________．
(5)若f (x)是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)________________，使實(shí)際問題有意義．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求函數(shù)y＝＋的定義域．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函數(shù)f (x)＝的定義域?yàn)?　　)
A．{x|x≥－3} B．{x|x>－3}
C．{x|x≥－3，且x≠1} D．{x|x>－3，且x≠1}
2．(多選)下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是(　　)
A　　　 　B　　　　C　　　　　D
3．下列對應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的是(　　)
A．A∈R，B∈R，y＝±
B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，對應(yīng)關(guān)系如圖：
C．A＝R，B＝R，f ：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f ：x→y＝
4．若f (x)＝，則f (3)＝____________，f (f (－2))＝________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．判斷一個(gè)對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的條件是什么？
2．f (x)與f (a)相同嗎？兩者存在怎樣的聯(lián)系？
3．求函數(shù)y＝f (x)的定義域常注意哪些問題？
函數(shù)定義的演變過程簡介
在現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及其他相關(guān)學(xué)科中，函數(shù)都是非常重要甚至是不可或缺的．與其他重要數(shù)學(xué)概念一樣，函數(shù)定義的發(fā)展與完善也經(jīng)歷了比較長的一段時(shí)間．
“函數(shù)”一詞是萊布尼茨創(chuàng)造的，他用這個(gè)詞表示與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的線段長度，并使用這個(gè)詞表示變量之間的依賴關(guān)系．
歐拉于1734年首先使用字母f 表示函數(shù)，歐拉在他的著作《微分學(xué)》中給出的函數(shù)定義是：如果某變量，以如下的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)．
1851年，德國數(shù)學(xué)家黎曼給出的函數(shù)定義是：假定z是一個(gè)變量，它可以逐次取所有可能的實(shí)數(shù)值．如果對它的每一個(gè)值，都有未知量w的唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為函數(shù)的“對應(yīng)說”，因?yàn)槎x中采用了“唯一的一個(gè)值與之對應(yīng)”的說法．
1939年，法國布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上給出了如下函數(shù)的定義：設(shè)E和F是兩個(gè)集合，它們可以不同，也可以相同．E中的變元x和F中的變元y之間的一個(gè)關(guān)系稱為一個(gè)函數(shù)關(guān)系，如果對于每一個(gè)x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與x給定的關(guān)系，稱這樣的運(yùn)算為函數(shù)．它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素y∈F與每一個(gè)元素x∈E相聯(lián)系．稱y是函數(shù)在元素x處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定．兩個(gè)等價(jià)的函數(shù)關(guān)系確定同一個(gè)函數(shù)．人們通常稱這樣的定義為“關(guān)系說”．
后來，有些學(xué)者把布爾巴基學(xué)派的定義進(jìn)一步符號化：設(shè)F是定義在集合X和Y上的一個(gè)二元關(guān)系，稱這個(gè)關(guān)系為函數(shù)，如果對于每一個(gè)x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F．這樣，函數(shù)的定義就完全用數(shù)學(xué)的符號形式化了．
可以看出，上述函數(shù)的定義越來越嚴(yán)格，抽象程度越來越強(qiáng)，數(shù)學(xué)直觀則越來越弱．
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如果我們能借助直觀來理解有關(guān)概念和結(jié)論，可能會有事半功倍的效果．為了形象地理解函數(shù)的概念，有人提議將函數(shù)類比成對每一個(gè)允許的輸入指定唯一確定的輸出的機(jī)器，所有輸入的集合是函數(shù)的定義域，所有輸出的集合是函數(shù)的值域，如下圖所示．
你覺得這種提議有助于進(jìn)一步理解函數(shù)的概念嗎？如果條件允許的話，去查閱更多的有關(guān)資料吧！第2課時(shí)　函數(shù)的概念(二)
1．會判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能正確使用區(qū)間表示數(shù)集．(數(shù)學(xué)抽象)
3．會求一些簡單函數(shù)的值域．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
有人將“高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購”稱為我們這個(gè)時(shí)代的新四大發(fā)明．高鐵之所以被稱為“高鐵”，是因?yàn)槠湛旌涂焖倭熊嚨倪\(yùn)行速度一般控制在80～120千米/時(shí)，特快列車的運(yùn)行速度控制在120～140千米/時(shí)，而高鐵的運(yùn)行速度控制在200～350千米/時(shí)．
問題：用集合表示上述三類列車的運(yùn)行速度的范圍稍顯麻煩，還有其他表示方法嗎？
知識點(diǎn)1　區(qū)間及有關(guān)概念
(1)一般區(qū)間的表示
設(shè)a，b∈R，且a定義 名稱 符號 數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊區(qū)間的表示
定義 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符號 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
1．(1)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？
(2)“∞”是數(shù)嗎？
[提示]　(1)不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0}就不能用區(qū)間表示．
(2)“∞”讀作“無窮大”，是一個(gè)符號，不是數(shù)．
知識點(diǎn)2　同一個(gè)函數(shù)
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．
2．若兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同，它們是否為同一個(gè)函數(shù)？對應(yīng)關(guān)系和值域相同呢？
[提示]　都不是同一個(gè)函數(shù)．對于f1(x) ＝x和f2(x)＝3x，定義域和值域雖相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；對于f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]對應(yīng)關(guān)系和值域雖相同，但定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)．
知識點(diǎn)3　常見函數(shù)的值域
(1)一次函數(shù)f (x)＝ax＋b(a≠0)的定義域?yàn)镽，值域是R．
(2)二次函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是R，
當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋?br/>當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)椋?br/>(3)反比例函數(shù)y＝(a≠0) 的定義域是{x|x≠0},值域?yàn)閧y|y≠0}．
1．用區(qū)間表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________；
(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________．
(1)[10，100]　(2)(1，＋∞)　[結(jié)合區(qū)間的定義可知(1)為[10，100]，(2)為(1，＋∞)．]
2．(1)函數(shù)f (x)＝x2＋1的值域?yàn)開_______；
(2)函數(shù)f (x)＝－x2＋1的值域?yàn)開_______；
(3)函數(shù)y＝的值域?yàn)開_______．
[答案]　(1)[1，＋∞)　(2)(－∞，1]　(3){y|y≠0}
類型1　區(qū)間的應(yīng)用
【例1】　把下列數(shù)集用區(qū)間表示：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1[解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4){x|－2　用區(qū)間表示數(shù)集的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)區(qū)間左端點(diǎn)值小于右端點(diǎn)值．
(2)區(qū)間兩端點(diǎn)之間用“，”隔開．
(3)含端點(diǎn)值的一端用中括號，不含端點(diǎn)值的一端用小括號．
(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時(shí)，這端必須用小括號．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)集合{x|0(2)已知區(qū)間(a2＋a＋1，7]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(1)(0，1)∪[2，4]　(2)(－3，2)　[(1){x|0(2)由題意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3，2)．]
類型2　同一個(gè)函數(shù)的判斷
【例2】　下列各組函數(shù)：
①f (x)＝，g(x)＝x－1；
②f (x)＝，g(x)＝；
③f (x)＝·，g(x)＝；
④f (x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽車勻速運(yùn)動時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f (t)＝80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一個(gè)函數(shù)的是________．(填序號)
③⑤　[①不是同一個(gè)函數(shù)，定義域不同，
f (x)定義域?yàn)閧x|x≠0}，g(x)定義域?yàn)镽．
②不是同一個(gè)函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系不同，
f (x)＝，g(x)＝
③是同一個(gè)函數(shù)，定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同．
④不是同一個(gè)函數(shù)，對應(yīng)關(guān)系，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R．
⑤是同一個(gè)函數(shù)，定義域、對應(yīng)關(guān)系都相同．]
　判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)的步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(2022·江蘇海安市曲塘中學(xué)月考)下列函數(shù)：①y＝；②y＝＋＋1；③y＝1(－1≤x≤1)；④y＝x0，其中與函數(shù)y＝1是同一個(gè)函數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　)
A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3
A　[y＝，定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝1不是同一個(gè)函數(shù)；y＝＋＋1滿足x≥1且x≤1，則x＝1，與函數(shù)y＝1的定義域?yàn)镽不同，與函數(shù)y＝1不是同一個(gè)函數(shù)；y＝1(－1≤x≤1)與函數(shù)y＝1的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；y＝x0定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝1不是同一個(gè)函數(shù)．故選A．]
類型3　求函數(shù)的值域
【例3】　求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
(3)y＝；
(4)y＝2x－
思路導(dǎo)引：看函數(shù)類型―→想函數(shù)的圖象特征―→求最值．
[解]　(1)(直接法)∵≥0，∴－1≥－1，
∴y＝－1的值域?yàn)閇－1，＋∞)．
(2)(觀察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，
把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3，2，
∴y＝x2－2x＋3的值域?yàn)閧2，3，6，11}．
(3)(分離常數(shù)法)y＝＝＝2＋，顯然≠0，所以y≠2，
故函數(shù)的值域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(換元法)設(shè)t＝，則t≥0，且x＝t2＋1，
所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，結(jié)合函數(shù)y＝2＋的圖象可得原函數(shù)的值域?yàn)?br/>　求函數(shù)值域的方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法．
(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．
(4)換元法：對于一些無理函數(shù)(如y＝ax±b±)，通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝x＋
[解]　(1)∵x∈[－5，－2]在對稱軸x＝－1的左側(cè)，∴x∈[－5，－2]時(shí)，拋物線上升．
∴當(dāng)x＝－5時(shí)，ymin＝－12，
當(dāng)x＝－2時(shí)，ymax＝3．
∴y＝－x2－2x＋3的值域是[－12，3]．
(2)設(shè)u＝，則u≥0，
∴x＝．∴y＝＋u＝(u＋1)2．
∵u≥0，∴y≥，
∴y＝x＋的值域?yàn)椋?br/>1．區(qū)間[5，8)表示的集合是(　　)
A．{x|x≤5或x>8} B．{x|5C．{x|5≤x<8} D．{x|5≤x≤8}
[答案]　C
2．函數(shù)y＝x2－2x的定義域?yàn)閧0，1，2，3}，那么其值域?yàn)?　　)
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
A　[當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1－2＝－1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4－2×2＝0；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9－2×3＝3，∴函數(shù)y＝x2－2x的值域?yàn)閧－1，0，3}．故選A．]
3．(多選)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是(　　)
A．f (x)＝與g(x)＝x
B．f (x)＝x與g(x)＝
C．f (x)＝x0與g(x)＝
D．f (x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1
CD　[對于A，f (x)＝＝－x與g(x)＝x的對應(yīng)關(guān)系和值域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)．
對于B，g(x)＝＝|x|與f (x)＝x的對應(yīng)關(guān)系和值域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)．
對于C，f (x)＝x0與g(x)＝都可化為y＝1且定義域是{x|x≠0}，故是同一個(gè)函數(shù)．
對于D，f (x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1的定義域都是R，對應(yīng)關(guān)系也相同，而與用什么字母表示無關(guān)，故是同一個(gè)函數(shù)．故選CD．]
4．將函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間表示為________．
(－∞，0)∪(0，1]　[由
解得x≤1且x≠0，用區(qū)間表示為(－∞，0)∪(0，1]．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．區(qū)間[a，b]中a，b滿足什么條件？
[提示]　區(qū)間[a，b]中a，b滿足a，b∈R且a2．如何判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)？
[提示]　判定兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)時(shí)，就看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否完全一致，完全一致的兩個(gè)函數(shù)才算同一個(gè)函數(shù)．
3．求函數(shù)值域的常用方法有哪些？
[提示]　(1)觀察法；(2)配方法；(3)分離常數(shù)法；(4)換元法．第2課時(shí)　函數(shù)的概念(二)
1．會判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)．(數(shù)學(xué)抽象)
2．能正確使用區(qū)間表示數(shù)集．(數(shù)學(xué)抽象)
3．會求一些簡單函數(shù)的值域．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
有人將“高鐵、掃碼支付、共享單車和網(wǎng)購”稱為我們這個(gè)時(shí)代的新四大發(fā)明．高鐵之所以被稱為“高鐵”，是因?yàn)槠湛旌涂焖倭熊嚨倪\(yùn)行速度一般控制在80～120千米/時(shí)，特快列車的運(yùn)行速度控制在120～140千米/時(shí)，而高鐵的運(yùn)行速度控制在200～350千米/時(shí)．
問題：用集合表示上述三類列車的運(yùn)行速度的范圍稍顯麻煩，還有其他表示方法嗎？
知識點(diǎn)1　區(qū)間及有關(guān)概念
(1)一般區(qū)間的表示
設(shè)a，b∈R，且a定義 名稱 符號 數(shù)軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區(qū)間 ________
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊區(qū)間的表示
定義 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符號 _____ [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
1．(1)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？
(2)“∞”是數(shù)嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)2　同一個(gè)函數(shù)
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域________，并且對應(yīng)關(guān)系________，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．
2．若兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域相同，它們是否為同一個(gè)函數(shù)？對應(yīng)關(guān)系和值域相同呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)3　常見函數(shù)的值域
(1)一次函數(shù)f (x)＝ax＋b(a≠0)的定義域?yàn)開_______，值域是________．
(2)二次函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是________，
當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)開_______________，
當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)開_______________．
(3)反比例函數(shù)y＝(a≠0) 的定義域是________， 值域?yàn)開_______．
1．用區(qū)間表示下列集合：
(1){x|10≤x≤100}用區(qū)間表示為________；
(2){x|x>1}用區(qū)間表示為________．
2．(1)函數(shù)f (x)＝x2＋1的值域?yàn)開_______；
(2)函數(shù)f (x)＝－x2＋1的值域?yàn)開_______；
(3)函數(shù)y＝的值域?yàn)開_______．
類型1　區(qū)間的應(yīng)用
【例1】　把下列數(shù)集用區(qū)間表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1(4){x|－2[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用區(qū)間表示數(shù)集的關(guān)鍵點(diǎn)
(1)區(qū)間左端點(diǎn)值________右端點(diǎn)值．
(2)區(qū)間兩端點(diǎn)之間用“，”隔開．
(3)含端點(diǎn)值的一端用________括號，不含端點(diǎn)值的一端用________括號．
(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時(shí)，這端必須用________括號．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)集合{x|0(2)已知區(qū)間(a2＋a＋1，7]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
類型2　同一個(gè)函數(shù)的判斷
【例2】　下列各組函數(shù)：
①f (x)＝，g(x)＝x－1；
②f (x)＝，g(x)＝；
③f (x)＝·，g(x)＝；
④f (x)＝，g(x)＝x＋3；
⑤汽車勻速運(yùn)動時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f (t)＝80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一個(gè)函數(shù)的是________．(填序號)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)的步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(2022·江蘇海安市曲塘中學(xué)月考)下列函數(shù)：①y＝；②y＝＋＋1；③y＝1(－1≤x≤1)；④y＝x0，其中與函數(shù)y＝1是同一個(gè)函數(shù)的個(gè)數(shù)是(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
類型3　求函數(shù)的值域
【例3】　求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}；
(3)y＝；
(4)y＝2x－．
思路導(dǎo)引：看函數(shù)類型―→想函數(shù)的圖象特征―→求最值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
求函數(shù)值域的方法
(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．
(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法．
(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．
(4)換元法：對于一些無理函數(shù)(如y＝ax±b±)，通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．求下列函數(shù)的值域：
(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；
(2)y＝x＋．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．區(qū)間[5，8)表示的集合是(　　)
A．{x|x≤5或x>8}
B．{x|5C．{x|5≤x<8}
D．{x|5≤x≤8}
2．函數(shù)y＝x2－2x的定義域?yàn)閧0，1，2，3}，那么其值域?yàn)?　　)
A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
3．(多選)下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是(　　)
A．f (x)＝與g(x)＝x
B．f (x)＝x與g(x)＝
C．f (x)＝x0與g(x)＝
D．f (x)＝x2－2x－1與g(t)＝t2－2t－1
4．將函數(shù)y＝的定義域用區(qū)間表示為________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．區(qū)間[a，b]中a，b滿足什么條件？
2．如何判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)？
3．求函數(shù)值域的常用方法有哪些？3.1.2　函數(shù)的表示法
第1課時(shí)　函數(shù)的表示法
1．掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
(1)某高速鐵路總長約1 318千米，設(shè)計(jì)速度目標(biāo)值為380千米/時(shí)．若該高速鐵路時(shí)速按300千米/時(shí)計(jì)算，火車行駛x小時(shí)后，路程為y千米，則y是x的函數(shù)，可以用y＝300x來表示，其中y＝300x叫做該函數(shù)的解析式．
(2)如圖是某國人口出生率變化曲線：
(3)下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關(guān)系表：
污染源距離 50 100 200 300 500
氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
問題：根據(jù)初中學(xué)過的知識，說出問題(1)(2)(3)分別是用什么法表示函數(shù)的？
知識點(diǎn)　函數(shù)的表示法
理解函數(shù)表示法的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論是哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念．
(2)列表法更直觀形象，圖象法從形的角度描述函數(shù)，解析法從數(shù)的角度描述函數(shù)．
(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實(shí)際操作中，仍以解析法為主．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示． (　　)
(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示． (　　)
(3)函數(shù)的圖象一定是其定義域上的一條連續(xù)不斷的曲線． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．已知函數(shù)f (x)由下表給出，則f (3)＝________．
x 1≤x2 2 2x≤4
f (x) 1 2 3
3　[∵當(dāng)2x≤4時(shí)，f (x)＝3，∴f (3)＝3．]
3．已知函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，則其定義域是______．
[－2，3]　[由圖象可知f (x)的定義域?yàn)閇－2，3]．]
4．若反比例函數(shù)f (x)滿足f (3)＝－6，則f (x)的解析式為________．
[答案]　f (x)＝－
類型1　函數(shù)的三種表示方法
【例1】　(源自蘇教版教材)購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元．若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象法將y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的值域．
[解]　(1)解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}．
(2)列表法：如表所示．
x/聽 1 2 3 4
y/元 2 4 6 8
(3)圖象法：圖象由點(diǎn)(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)組成，如圖所示．
　函數(shù)的三種表示需注意的問題
(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域；
(2)列表法中選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；
(3)圖象法中要注意圖象是離散點(diǎn)還是連續(xù)的曲線．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．已知函數(shù)f (x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，試分別用圖象法和列表法表示函數(shù)y＝f (x)．
[解]　用圖象法表示函數(shù)y＝f (x)，如圖所示．
用列表法表示函數(shù)y＝f (x)，如表所示．
x 1 2 3 4
y －2 －3 －4 －5
類型2　圖象的畫法及應(yīng)用
【例2】　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；
(2)y＝；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[解]　(1)列表
x 0 1 －2 3
y 0 －1 2 －3
函數(shù)圖象只是四個(gè)點(diǎn)(0，0)，(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，其值域?yàn)閧0，－1，2，－3}．
(2)列表
?x 2 3 4 5 …
y 1 …
當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)y＝的一部分，觀察圖象可知其值域?yàn)?0，1]．
(3)列表
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x2之間的部分．
由圖可得函數(shù)的值域?yàn)閇－1，8)．
　描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)畫函數(shù)圖象時(shí)首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖．
(2)圖象是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn)，定義域外的部分有時(shí)可用虛線來襯托整個(gè)圖象．
(3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn)，例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等．要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心圈．
提醒：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．畫出下列函數(shù)的圖象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x－1)．
[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖象如圖①．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余曲線．如圖②實(shí)線部分．
類型3　函數(shù)解析式的求法
　換元法(配湊法)求函數(shù)解析式
【例3】　已知f (＋1)＝x－2，求f (x)．
[解]　法一(換元法)：令t＝＋1，則t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配湊法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因?yàn)椋?≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
　用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
【例4】　已知f (x)是一次函數(shù)，且f (f (x))＝16x－25，求f (x)．
[解]　設(shè)f (x)＝kx＋b(k≠0)，
則f (f (x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，
∴∴或
∴f (x)＝4x－5或f (x)＝－4x＋．
　方程組法(消元法)求函數(shù)解析式
【例5】　已知函數(shù)f (x)對于任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，求f (x)．
思路導(dǎo)引：欲求f (x)，必須消去已知方程中的f (－x)，不難想到再尋找一個(gè)方程，可由x與－x的關(guān)系，用－x去替換已知式中的x，便可得另一個(gè)方程，然后聯(lián)立解之．
[解]　由題意，在f (x)－2f (－x)＝1＋2x中，以－x 代替x可得f (－x)－2f (x)＝1－2x，聯(lián)立可得消去f (－x)可得f (x)＝x－1．
　求函數(shù)解析式的4種常用方法
(1)待定系數(shù)法：若已知f (x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可．
(2)換元法：對于形如f (g(x))的解析式求f (x)，設(shè)t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可．
(3)配湊法：對f (g(x))的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可．
(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個(gè)對應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)變量之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解．
提醒：應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式時(shí)，務(wù)必保證函數(shù)在換元前后的等價(jià)性．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)已知函數(shù)f (x)是二次函數(shù)，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x2－4x，求f (x)的解析式；
(2)若2f ＋f (x)＝x(x≠0)，求f (x)的解析式．
[解]　(1)設(shè)f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
則f (x＋1)＋f (x－1)＝
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝
2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，
所以
所以
所以f (x)＝x2－2x－1．
(2)f (x)＋2f ＝x，令x＝，
得f ＋2f (x)＝．
于是得關(guān)于f (x)與f 的方程組
解得f (x)＝－(x≠0)．
1．由下表給出函數(shù)y＝f (x)，則f (f (1))等于(　　)
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．5
B　[由題意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f (f (1))＝f (4)＝2．故選B．]
2．已知函數(shù)f (x＋1)＝3x＋2，則f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x＋4
A　[令x＋1＝t，則x＝t－1，∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．∴f (x)＝3x－1．故選A．]
3．f (x)的圖象如圖所示，則f (x)的定義域?yàn)開_____，值域?yàn)開_______．
[－2，4]∪[5，8]　[－4，3]　[由函數(shù)的圖象可知，f (x)的定義域?yàn)閇－2，4]∪[5，8]，f (x)的值域?yàn)閇－2，3]∪[－4，2.7]，即[－4，3]．]
4．已知二次函數(shù)f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－3，2)，頂點(diǎn)是(－2，3)，則函數(shù)f (x)的解析式為________．
f (x)＝－(x＋2)2＋3　[由題意可設(shè)f (x)＝a(x＋2)2＋3，又f (－3)＝2，
∴a(－3＋2)2＋3＝2，
∴a＝－1．
∴f (x)＝－(x＋2)2＋3．]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．函數(shù)的常用表示方法有哪三種？
[提示]　列表法、解析法和圖象法．
2．函數(shù)的圖象一定是一條光滑的曲線嗎？
[提示]　不一定，函數(shù)的圖象有可能是一些離散的點(diǎn)．
3．求函數(shù)解析式的常用方法有哪些？
[提示]　(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)解方程組法(或消元法)．3.1.2　函數(shù)的表示法
第1課時(shí)　函數(shù)的表示法
1．掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
(1)某高速鐵路總長約1 318千米，設(shè)計(jì)速度目標(biāo)值為380千米/時(shí)．若該高速鐵路時(shí)速按300千米/時(shí)計(jì)算，火車行駛x小時(shí)后，路程為y千米，則y是x的函數(shù)，可以用y＝300x來表示，其中y＝300x叫做該函數(shù)的解析式．
(2)如圖是我國人口出生率變化曲線：
(3)下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關(guān)系表：
污染源距離 50 100 200 300 500
氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01
問題：根據(jù)初中學(xué)過的知識，說出問題(1)(2)(3)分別是用什么法表示函數(shù)的？
知識點(diǎn)　函數(shù)的表示法
理解函數(shù)表示法的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論是哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念．
(2)列表法更直觀形象，圖象法從形的角度描述函數(shù)，解析法從數(shù)的角度描述函數(shù)．
(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實(shí)際操作中，仍以解析法為主．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示． (　　)
(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示． (　　)
(3)函數(shù)的圖象一定是其定義域上的一條連續(xù)不斷的曲線． (　　)
2．已知函數(shù)f (x)由下表給出，則f (3)＝________．
x 1≤x<2 2 2f (x) 1 2 3
3．已知函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，則其定義域是______．
4．若反比例函數(shù)f (x)滿足f (3)＝－6，則f (x) 的解析式為________．
類型1　函數(shù)的三種表示方法
【例1】　(源自蘇教版教材)購買某種飲料x聽，所需錢數(shù)為y元．若每聽2元，試分別用解析法、列表法、圖象法將y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的值域．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數(shù)的三種表示需注意的問題
(1)解析法必須注明函數(shù)的定義域；
(2)列表法中選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；
(3)圖象法中要注意圖象是離散點(diǎn)還是連續(xù)的曲線．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．已知函數(shù)f (x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，試分別用圖象法和列表法表示函數(shù)y＝f (x)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　圖象的畫法及應(yīng)用
【例2】　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域．
(1)y＝－x，x∈{0，1，－2，3}；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)畫函數(shù)圖象時(shí)首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖．
(2)圖象是實(shí)線或?qū)嶞c(diǎn)，定義域外的部分有時(shí)可用虛線來襯托整個(gè)圖象．
(3)要標(biāo)出某些關(guān)鍵點(diǎn)，例如圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等．要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心圈．
提醒：函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．畫出下列函數(shù)的圖象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　函數(shù)解析式的求法
　換元法(配湊法)求函數(shù)解析式
【例3】　已知f (＋1)＝x－2，求f (x)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式
【例4】　已知f (x)是一次函數(shù)，且f (f (x))＝16x－25，求f (x)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　方程組法(消元法)求函數(shù)解析式
【例5】　已知函數(shù)f (x)對于任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，求f (x)．
思路導(dǎo)引：欲求f (x)，必須消去已知方程中的f (－x)，不難想到再尋找一個(gè)方程，可由x與－x的關(guān)系，用－x去替換已知式中的x，便可得另一個(gè)方程，然后聯(lián)立解之．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求函數(shù)解析式的4種常用方法
(1)待定系數(shù)法：若已知f (x)的解析式的類型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可．
(2)換元法：對于形如f (g(x))的解析式求f (x)，設(shè)t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可．
(3)配湊法：對f (g(x))的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用g(x)表示出來，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可．
(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個(gè)對應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)變量之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解．
提醒：應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式時(shí)，務(wù)必保證函數(shù)在換元前后的等價(jià)性．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)已知函數(shù)f (x)是二次函數(shù)，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x2－4x，求f (x)的解析式；
(2)若2f ＋f (x)＝x(x≠0)，求f (x)的解析式．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．由下表給出函數(shù)y＝f (x)，則f (f (1))等于(　　)
x 1 2 3 4 5
y 4 5 3 2 1
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．5
2．已知函數(shù)f (x＋1)＝3x＋2，則f (x)的解析式是(　　)
A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝3x＋1
C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x＋4
3．f (x)的圖象如圖所示，則f (x)的定義域?yàn)開_____________，值域?yàn)開_____________．
4．已知二次函數(shù)f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－3，2)，頂點(diǎn)是(－2，3)，則函數(shù)f (x)的解析式為________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．函數(shù)的常用表示方法有哪三種？
2．函數(shù)的圖象一定是一條光滑的曲線嗎？
3．求函數(shù)解析式的常用方法有哪些？第2課時(shí)　分段函數(shù)
1．了解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖象．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．能在實(shí)際問題中列出分段函數(shù)，并能解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)建模)
國家電網(wǎng)依據(jù)不同的時(shí)間段來收取電費(fèi)：一般來說，白天稍貴一些，晚上稍便宜一些．反映到我們數(shù)學(xué)上，這就需要我們分兩段來研究用電的費(fèi)用，生活中諸如此類的問題很多，比如用水收費(fèi)問題、出租車計(jì)費(fèi)問題、個(gè)人所得稅納稅問題等．這些都屬于我們今天要研究的分段函數(shù)的范疇．
知識點(diǎn)　分段函數(shù)
如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值范圍，有不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱其為分段函數(shù)．
分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．
思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)分段函數(shù)由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成． (　　)
(2)分段函數(shù)有多個(gè)定義域． (　　)
(3)分段函數(shù)的圖象一定是其定義域上的一條連續(xù)不斷的曲線． (　　)
(4)函數(shù)f (x)＝|x|可以用分段函數(shù)表示． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
類型1　分段函數(shù)的求值問題
【例1】　已知函數(shù)f (x)＝
(1)求f (－5)，f (1)，f ；
(2)若f (a2＋2)≥a＋4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，
f (1)＝3×1＋5＝8，f ＝f ＝f ＝3×＋5＝．
(2)因?yàn)閍2＋2≥2，
所以f (a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3，
所以不等式f (a2＋2)≥a＋4化為2a2－a－1≥0，
解得a≥1或a≤－，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
[母題探究]
1．本例條件不變，若f (a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值．
[解]　當(dāng)a≤－2時(shí)，f (a)＝a＋1＝3，
即a＝2>－2，不符合題意，舍去；
當(dāng)－2a2時(shí)，f (a)＝3a＋5＝3，
即a＝－∈(－2，2)，符合題意；
當(dāng)a≥2時(shí)，f (a)＝2a－1＝3，
即a＝2∈[2，＋∞)，符合題意．
綜上可得，當(dāng)f (a)＝3時(shí)，a的值為－或2．
2．本例條件不變，若f (x)>2x，求x的取值范圍．
[解]　當(dāng)x≤－2時(shí)，f (x)>2x可化為x＋1>2x，
即x1，所以x≤－2；
當(dāng)－2x2時(shí)，f (x)>2x可化為3x＋5>2x，
即x>－5，所以－2x2；
當(dāng)x≥2時(shí)，f (x)>2x可化為2x－1>2x，則x∈ ．
綜上可得，x的取值范圍是(－∞，2)．
　
1．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法
(1)確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間段．
(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f (f (x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟
(1)先對字母的取值范圍分類討論．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通過解方程求出字母的值．
(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)(2022·廣東石門高級中學(xué)月考)已知函數(shù)f (x)＝則關(guān)于函數(shù)f (x)的結(jié)論正確的是(　　)
A．f (x)的定義域?yàn)镽
B．f (x)的值域?yàn)?－∞，4)
C．f (1)＝3
D．若f (x)＝1，則x的值為±1
BD　[由題意知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?－∞，2)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)x≤－1時(shí)，f (x)的取值范圍是(－∞，1]，當(dāng)－1x2時(shí)，f (x)的取值范圍是[0，4)，因此f (x)的值域?yàn)?－∞，4)，故B正確；當(dāng)x＝1時(shí)，f (1)＝12＝1，故C錯(cuò)誤；當(dāng)x≤－1時(shí)，f (x)＝x＋2＝1 x＝－1，當(dāng)－1x2時(shí)，f (x)＝x2＝1 x＝1，故D正確；故選BD．]
類型2　分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【例2】　已知函數(shù)f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x)中的較小者)．
(1)分別用圖象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函數(shù)φ(x)的定義域，值域．
[解]　(1)在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f (x)，g(x)的圖象如圖①．
①　　　　　　　　　②
由圖①中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)φ(x)的定義，可得函數(shù)φ(x)的圖象如圖②．
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1．
結(jié)合圖②，得出φ(x)的解析式為φ(x)＝
(2)由圖②知，φ(x)的定義域?yàn)镽，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域?yàn)?－∞，1]．
　分段函數(shù)圖象的畫法
(1)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．
(2)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自北師大版教材)設(shè)x為任一實(shí)數(shù)，不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，如當(dāng)x＝3.14時(shí)，[x]＝[3.14]＝3；當(dāng)x＝－3.14時(shí)，[x]＝[－3.14]＝－4．于是，我們把y＝[x]叫做取整函數(shù)．請畫出取整函數(shù)y＝[x]的圖象．
[解]　依題意知函數(shù)y＝[x]的定義域?yàn)镽，值域是Z．它的圖象如圖．
類型3　分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【例3】　(源自湘教版教材)某地為了鼓勵(lì)節(jié)約用電，采用分段計(jì)費(fèi)的方法計(jì)算用戶的電費(fèi)：每月用電量不超過100 kW·h，按0.57元/(kW·h)計(jì)費(fèi)；每月用電量超過100 kW·h，其中100 kW·h仍按原標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過部分按1.5元/(kW·h)計(jì)費(fèi)．
(1)設(shè)月用電x kW·h，應(yīng)交電費(fèi)y元，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)小趙家第一季度繳納的電費(fèi)情況如下表：
月份 1 2 3 合計(jì)
計(jì)費(fèi)金額/元 114 75 45.6 234.6
問：小趙家第一季度共用電多少？
思路導(dǎo)引：
[解]　(1)當(dāng)0≤x≤100時(shí)，月電費(fèi)＝月用電量×標(biāo)準(zhǔn)電價(jià)，可得y＝0.57x；
當(dāng)x>100時(shí)，月電費(fèi)＝100 kW·h的電費(fèi)＋超過100 kW·h部分的電費(fèi)，可得y＝0.57×100＋1.5×(x－100)＝1.5x－93．
所以y＝
(2)由(1)可知，當(dāng)電費(fèi)不超過57元時(shí)，
說明月用電量不超過100 kW·h；
當(dāng)電費(fèi)超過57元時(shí)，說明月用電量超過100 kW·h．
因此用電量應(yīng)使用函數(shù)的不同關(guān)系式來計(jì)算．
因?yàn)?月份、2月份電費(fèi)超過57元，所以按第二個(gè)函數(shù)關(guān)系式計(jì)算，即1.5x－93＝114，1.5x－93＝75，分別算出1月份用電138 kW·h，2月份用電112 kW·h；而3月份電費(fèi)不超過57元，按第一個(gè)函數(shù)關(guān)系式計(jì)算，
有0.57x＝45.6，算出3月份用電80 kW·h．
因此，小趙家第一季度共用電330 kW·h．
　分段函數(shù)的建模
(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要分段畫．
(2)分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：
里程 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
不超過3公里的部分 10元(起步價(jià))
超過3公里但不超過8公里的部分 每公里2元
超過8公里的部分 每公里3元
(1)設(shè)里程為x公里時(shí)乘車費(fèi)用為y元，請根據(jù)題意完善下列解題過程：
①當(dāng)0x≤3時(shí)，y＝________；
②當(dāng)3x≤8時(shí)，y＝10＋2(x－3)＝________；
③當(dāng)x>8時(shí)，y＝________．
綜上，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是
y＝
(2)若計(jì)價(jià)器中顯示的里程數(shù)為5公里，問乘客需支付多少費(fèi)用？
(3)若某乘客支付了32元的費(fèi)用，問該乘客的乘車?yán)锍淌嵌嗌俟铮?br/>[解]　(1)根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列式，可得：
當(dāng)0x≤3時(shí)，y＝10；
當(dāng)3x≤8時(shí)，y＝10＋2(x－3)＝2x＋4；
當(dāng)x>8時(shí)，y＝10＋(8－3)×2＋3(x－8)＝3x－4，
所以y＝
(2)由(1)知x＝5時(shí)，y＝2×5＋4＝14．
(3)由函數(shù)式知x>3時(shí)，y隨x的增大而增大，而2×8＋4＝20，
所以y＝32時(shí)，3x－4＝32，x＝12，即該乘客的乘車?yán)锍淌?2公里．
1．已知函數(shù)f (x)＝則f (3)的值是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．8　　　D．9
A　[f (3)＝3－2＝1．故選A．]
2．函數(shù)f (x)＝|x－1|的圖象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
B　[f (x)＝|x－1|＝故選B．]
3．函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，觀察圖象可知函數(shù)y＝f (x)的定義域、值域分別是(　　)
A．[－5，0]∪[2，6)，[0，5]
B．[－5，6)，[0，＋∞)
C．[－5，0]∪[2，6)，[0，＋∞)
D．[－5，＋∞)，[2，5]
C　[由圖象可知，函數(shù)的定義域即為自變量的取值范圍，即[－5，0]∪[2，6)，值域即為因變量的取值范圍，即[0，＋∞)．]
4．函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，則其解析式為________．
f (x)＝　[當(dāng)0≤x≤1時(shí)，設(shè)f (x)＝kx，又過點(diǎn)(1，2)，故k＝2，∴f (x)＝2x；
當(dāng)1x2時(shí)，f (x)＝2；當(dāng)x≥2時(shí)，f (x)＝3．
綜上f (x)＝]
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．如何求分段函數(shù)的定義域和值域？
[提示]　分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集．
2．畫分段函數(shù)的圖象應(yīng)注意哪些問題？
[提示]　分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)分段函數(shù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫出圖象，要注意確定每段圖象的端點(diǎn)是空心圈還是實(shí)心點(diǎn)，各段函數(shù)圖象組合到一起就可得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象．
3．分段函數(shù)求值時(shí)應(yīng)注意哪些問題？
[提示]　分段函數(shù)求值時(shí)應(yīng)注意找準(zhǔn)自變量所在的區(qū)間．第2課時(shí)　分段函數(shù)
1．了解分段函數(shù)的概念，會求分段函數(shù)的函數(shù)值，能畫出分段函數(shù)的圖象．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．能在實(shí)際問題中列出分段函數(shù)，并能解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)建模)
國家電網(wǎng)依據(jù)不同的時(shí)間段來收取電費(fèi)：一般來說，白天稍貴一些，晚上稍便宜一些．反映到我們數(shù)學(xué)上，這就需要我們分兩段來研究用電的費(fèi)用，生活中諸如此類的問題很多，比如用水收費(fèi)問題、出租車計(jì)費(fèi)問題、個(gè)人所得稅納稅問題等．這些都屬于我們今天要研究的分段函數(shù)的范疇．
知識點(diǎn)　分段函數(shù)
如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對于自變量的不同取值范圍，有不同的對應(yīng)關(guān)系，則稱其為分段函數(shù)．
分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．
思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)分段函數(shù)由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成． (　　)
(2)分段函數(shù)有多個(gè)定義域． (　　)
(3)分段函數(shù)的圖象一定是其定義域上的一條連續(xù)不斷的曲線． (　　)
(4)函數(shù)f (x)＝|x|可以用分段函數(shù)表示． (　　)
類型1　分段函數(shù)的求值問題
【例1】　已知函數(shù)f (x)＝
(1)求f (－5)，f (1)，f ；
(2)若f (a2＋2)≥a＋4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
1．本例條件不變，若f (a)＝3，求實(shí)數(shù)a的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例條件不變，若f (x)>2x，求x的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　
1．分段函數(shù)求函數(shù)值的方法
(1)確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間段．
(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)f (f (x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．
2．已知函數(shù)值求字母取值的步驟
(1)先對字母的取值范圍分類討論．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通過解方程求出字母的值．
(4)檢驗(yàn)所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)(2022·廣東石門高級中學(xué)月考)已知函數(shù)f (x)＝則關(guān)于函數(shù)f (x)的結(jié)論正確的是(　　)
A．f (x)的定義域?yàn)镽
B．f (x)的值域?yàn)?－∞，4)
C．f (1)＝3
D．若f (x)＝1，則x的值為±1
類型2　分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用
【例2】　已知函數(shù)f (x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f (x)，g(x)}(即f (x)和g(x) 中的較小者)．
(1)分別用圖象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函數(shù)φ(x)的定義域，值域．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分段函數(shù)圖象的畫法
(1)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．
(2)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(源自北師大版教材)設(shè)x為任一實(shí)數(shù)，不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，如當(dāng)x＝3.14時(shí)，[x]＝[3.14]＝3；當(dāng)x＝－3.14時(shí)，[x]＝[－3.14]＝－4．于是，我們把y＝[x]叫做取整函數(shù)．請畫出取整函數(shù)y＝[x]的圖象．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
【例3】　(源自湘教版教材)某地為了鼓勵(lì)節(jié)約用電，采用分段計(jì)費(fèi)的方法計(jì)算用戶的電費(fèi)：每月用電量不超過100 kW·h，按0.57元/(kW·h)計(jì)費(fèi)；每月用電量超過100 kW·h，其中100 kW·h仍按原標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，超過部分按1.5元/(kW·h)計(jì)費(fèi)．
(1)設(shè)月用電x kW·h，應(yīng)交電費(fèi)y元，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)小趙家第一季度繳納的電費(fèi)情況如下表：
月份 1 2 3 合計(jì)
計(jì)費(fèi)金額/元 114 75 45.6 234.6
問：小趙家第一季度共用電多少？
思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分段函數(shù)的建模
(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用________模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖象也需要________．
(2)分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的________，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：
里程 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
不超過3公里的部分 10元(起步價(jià))
超過3公里但不超過8公里的部分 每公里2元
超過8公里的部分 每公里3元
(1)設(shè)里程為x公里時(shí)乘車費(fèi)用為y元，請根據(jù)題意完善下列解題過程：
①當(dāng)0②當(dāng)3③當(dāng)x>8時(shí)，y＝________．
綜上，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是
y＝
(2)若計(jì)價(jià)器中顯示的里程數(shù)為5公里，問乘客需支付多少費(fèi)用？
(3)若某乘客支付了32元的費(fèi)用，問該乘客的乘車?yán)锍淌嵌嗌俟铮?br/>　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知函數(shù)f (x)＝則f (3)的值是(　　)
A．1　　　B．2　　　C．8　　　D．9
2．函數(shù)f (x)＝|x－1|的圖象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
3．函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，觀察圖象可知函數(shù)y＝f (x)的定義域、值域分別是(　　)
A．[－5，0]∪[2，6)，[0，5]
B．[－5，6)，[0，＋∞)
C．[－5，0]∪[2，6)，[0，＋∞)
D．[－5，＋∞)，[2，5]
4．函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，則其解析式為________．
回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：
1．如何求分段函數(shù)的定義域和值域？
2．畫分段函數(shù)的圖象應(yīng)注意哪些問題？
3．分段函數(shù)求值時(shí)應(yīng)注意哪些問題？

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