資源簡介

3.2.1　單調(diào)性與最大(小)值
第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性
1．從圖象直觀、定性描述和定量分析三個(gè)方面，理解和研究函數(shù)的單調(diào)性．(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)
2．會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性．(邏輯推理)
3．會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
德國心理學(xué)家艾賓浩斯曾經(jīng)對(duì)記憶保持量進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究，并給出了類似如圖所示的記憶規(guī)律．
如果我們以x表示時(shí)間間隔(單位：h)，y表示記憶保持量，那么不難看出，圖中y是x的函數(shù)，記這個(gè)函數(shù)為y＝f (x)．
這個(gè)函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律？我們用數(shù)學(xué)語言如何描述該規(guī)律？
知識(shí)點(diǎn)1　增函數(shù)與減函數(shù)的定義
函數(shù) 增函數(shù) 減函數(shù)
圖示
條件 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D：如果 x1，x2∈I，當(dāng)x1x2時(shí)，
都有f (x1)f (x2)
結(jié)論 f (x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增 f (x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減
增(減)函數(shù)定義中x1，x2的三個(gè)特征
(1)任意性，即不可以用區(qū)間I上的特殊值代替．
(2)有大小，通常規(guī)定x1x2．
(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間I．
在增函數(shù)和減函數(shù)定義中，能否把“任意x1，x2∈I”改為“存在x1，x2∈I”？
[提示]　不能．如對(duì)于函數(shù)y＝－x2，存在－42，且－22，但y＝－x2不是增函數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)2　函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f (x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f (x)的單調(diào)區(qū)間．
對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須先確定函數(shù)的定義域．
(2)若函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)遞增(或遞減)的，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間用“，”或“和”連接，不能用并集符號(hào)“∪”連接．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性． (　　)
(2)若函數(shù)y＝f (x)在定義域上有f (1)f (2)，則該函數(shù)是增函數(shù)． (　　)
(3)若f (x)為R上的減函數(shù)，則f (0)>f (1)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是________．
[－3，1]　[由圖可知，函數(shù)y＝f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3，1]．]
3．函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
(－∞，0)和(0，＋∞)　[結(jié)合y＝的圖象(圖略)可知，y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)和(0，＋∞)．]
類型1　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【例1】　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)的單調(diào)性．
(1)f (x)＝－；
(2)f (x)＝
(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．
[解]　(1)函數(shù)f (x)＝－的單調(diào)區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是單調(diào)遞增的．
(2)當(dāng)x≥1時(shí)，f (x)是增函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f (x)是減函數(shù)，所以f (x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函數(shù)f (x)在區(qū)間(－∞，1)上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．
(3)因?yàn)閒 (x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，
函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．
f (x)在區(qū)間(－∞，－1]，[0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(－1，0)，[1，＋∞)上單調(diào)遞減．
　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法
(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解．
(2)利用函數(shù)的圖象，如本例(3)．
提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間用“，”或“和”連接，不能用“∪”連接，如本例(3)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)寫出f (x)＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)間．
[解]　(1)函數(shù)在[－1，0]，[2，4]上單調(diào)遞減，在[0，2]，[4，5]上單調(diào)遞增．
(2)先畫出
f (x)＝的圖象，如圖．
所以f (x)＝|x2－2x－3|的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]，[1，3]；單調(diào)增區(qū)間為[－1，1]，[3，＋∞)．
類型2　定義法判定函數(shù)的單調(diào)性
【例2】　(源自湘教版教材)證明函數(shù)f (x)＝x＋在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減．
[證明]　 x1，x2∈(0，1)，且x1x2，
有f (x1)－f (x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，
∵0x1x21，
∴x1－x20，0x1x21，則－1＋x1x20，
∴>0，即f (x1)>f (x2)，
∴f (x)＝x＋在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減．
　利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1x2．
(2)作差變形：作差f (x1)－f (x2)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子．
(3)定號(hào)：確定f (x1)－f (x2)的符號(hào)．
(4)結(jié)論：根據(jù)f (x1)－f (x2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．
提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果一般是幾個(gè)因式乘積的形式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f (x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
[證明]　f (x)＝＝2＋， x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，
有f (x1)－f (x2)＝－＝，
因?yàn)閤2>x1>1，所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f (x1) >f (x2)，所以f (x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
類型3　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
　已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【例3】　(多選)(2022·河南南陽中學(xué)月考)已知函數(shù)f (x)＝是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的可能的取值有(　　)
A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7
思路導(dǎo)引：
ABC　[因?yàn)楹瘮?shù)f (x)是R上的減函數(shù)，
所以，解得2≤k≤6．故ABC正確，D錯(cuò)誤．故選ABC．]
　利用單調(diào)性解不等式
【例4】　已知函數(shù)y＝f (x)在定義域(－1，1)上是減函數(shù)，且f (1－a)f (2a－1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
思路導(dǎo)引：
[解]　由題意知解得0a，
即所求a的取值范圍是．
　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．
(2)若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)(2022·福建省廈門第六中學(xué)月考)若函數(shù)f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函數(shù)，則f (m)與f (1)的大小關(guān)系是(　　)
A．f (m)f (1) B．f (m)>f (1)
C．f (m)≤f (1) D．f (m)≥f (1)
(2)已知函數(shù)f (x)＝若f (x) 在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(1)B　(2)　[(1)∵函數(shù)f(x)＝(m－1)x＋1在R上是增函數(shù)，∴m－1>0，解得m>1，則f(m)>f(1)，故選B．
(2)當(dāng)x≤1時(shí)，y＝－x2＋4ax圖象的對(duì)稱軸為x＝2a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在R上是增函數(shù)，則
1．函數(shù)f (x)在R上是減函數(shù)，則有(　　)
A．f (3)C．f (3)>f (5) D．f (3)≥f (5)
C　[∵3<5，且f (x)為R上的減函數(shù)，
∴f (3)>f (5)．故選C．]
2．若函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A． B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
B　[由題意可知－≥2，即a≤－．故選B．]
3．(多選)如果函數(shù)f (x)在[a，b]上單調(diào)遞增，那么對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C．若x1D．>0
ABD　[因?yàn)閒 (x)在[a，b]上單調(diào)遞增，對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f (x1)－f (x2)的符號(hào)相同，故A，B，D都正確，而C中應(yīng)為若x14．若f (x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則不等式f (x)　[∵f (x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f (x)∴即
解得0≤x<．所以不等式的解集為．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．若x1，x2是區(qū)間I上任意實(shí)數(shù)，且(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，則f (x)在I上是否具有單調(diào)性？
[提示]　f (x)在I上單調(diào)遞增．
2．到目前為止，判定函數(shù)單調(diào)性的方式有哪些？
[提示]　定義法、圖象法和基本初等函數(shù)法．
3．證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性常有哪些步驟？
[提示]　一般遵循：設(shè)元、作差、變形、判號(hào)和下結(jié)論．
4．在應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性解題時(shí)應(yīng)注意什么？
[提示]　已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍時(shí)，要樹立兩種意識(shí)：一是等價(jià)轉(zhuǎn)化意識(shí)，如f (x)在I上單調(diào)遞增，則f (x1)第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性
1．從圖象直觀、定性描述和定量分析三個(gè)方面，理解和研究函數(shù)的單調(diào)性．(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)
2．會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性．(邏輯推理)
3．會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
德國心理學(xué)家艾賓浩斯曾經(jīng)對(duì)記憶保持量進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究，并給出了類似如圖所示的記憶規(guī)律．
如果我們以x表示時(shí)間間隔(單位：h)，y表示記憶保持量，那么不難看出，圖中y是x的函數(shù)，記這個(gè)函數(shù)為y＝f (x)．
這個(gè)函數(shù)反映出記憶具有什么規(guī)律？我們用數(shù)學(xué)語言如何描述該規(guī)律？
知識(shí)點(diǎn)1　增函數(shù)與減函數(shù)的定義
函數(shù) 增函數(shù) 減函數(shù)
圖示
條件 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I D：如果 x1，x2∈I，當(dāng)x1都有____________ 都有____________
結(jié)論 f (x)在區(qū)間I上單調(diào)________ f (x)在區(qū)間I上單調(diào)________
增(減)函數(shù)定義中x1，x2的三個(gè)特征
(1)任意性，即不可以用區(qū)間I上的特殊值代替．
(2)有大小，通常規(guī)定x1(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間I．
在增函數(shù)和減函數(shù)定義中，能否把“任意x1，x2∈I”改為“存在x1，x2∈I”？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)2　函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間I上__________________________，那么就說函數(shù)y＝f (x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f (x)的________．
對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，必須先確定函數(shù)的定義域．
(2)若函數(shù)在兩個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)遞增(或遞減)的，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間用“，”或“和”連接，不能用并集符號(hào)“∪”連接．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)所有的函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性． (　　)
(2)若函數(shù)y＝f (x)在定義域上有f (1)(3)若f (x)為R上的減函數(shù)，則f (0)>f (1)． (　　)
2．函數(shù)y＝f (x)的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是________．
3．函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
類型1　求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【例1】　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)的單調(diào)性．
(1)f (x)＝－；
(2)f (x)＝
(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法
(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解．
(2)利用函數(shù)的圖象，如本例(3)．
提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間用“，”或“和”連接，不能用“∪”連接，如本例(3)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)寫出f (x)＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)間．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　定義法判定函數(shù)的單調(diào)性
【例2】　(源自湘教版教材)證明函數(shù)f (x)＝x＋在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的__________，且x1(2)作差變形：作差f (x1)－f (x2)，并通過________、________、________、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷________的式子．
(3)定號(hào)：確定____________的符號(hào)．
(4)結(jié)論：根據(jù)f (x1)－f (x2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性．
提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果一般是幾個(gè)因式乘積的形式．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f (x)＝在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
　已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【例3】　(多選)(2022·河南南陽中學(xué)月考)已知函數(shù)f (x)＝是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的可能的取值有(　　)
A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7
思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用單調(diào)性解不等式
【例4】　已知函數(shù)y＝f (x)在定義域(－1，1)上是減函數(shù)，且f (1－a)思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．
(2)若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)(2022·福建省廈門第六中學(xué)月考)若函數(shù)f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函數(shù)，則f (m)與f (1)的大小關(guān)系是(　　)
A．f (m)f (1)
C．f (m)≤f (1) D．f (m)≥f (1)
(2)已知函數(shù)f (x)＝
若f (x)在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
1．函數(shù)f (x)在R上是減函數(shù)，則有(　　)
A．f (3)C．f (3)>f (5) D．f (3)≥f (5)
2．若函數(shù)y＝x2＋(2a－1)x＋1在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A． B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
3．(多選)如果函數(shù)f (x)在[a，b]上單調(diào)遞增，那么對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．>0
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C．若x1D．>0
4．若f (x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則不等式f (x)回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．若x1，x2是區(qū)間I上任意實(shí)數(shù)，且(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0，則f (x)在I上是否具有單調(diào)性？
2．到目前為止，判定函數(shù)單調(diào)性的方式有哪些？
3．證明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性常有哪些步驟？
4．在應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性解題時(shí)應(yīng)注意什么？第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
1．理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2．能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題．(數(shù)學(xué)建模)
科考隊(duì)對(duì)羅布泊“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察，如圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線．請(qǐng)根據(jù)曲線圖說說氣溫的變化情況．
問題：(1)該天的最高氣溫和最低氣溫分別是多少？
(2)設(shè)該天某時(shí)刻的氣溫為f (x)，則f (x)在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？
(3)從函數(shù)圖象上看，氣溫的最大值(最小值)在什么時(shí)刻取得？
知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)最大值與最小值
最值 最大值 最小值
條件 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f (x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： x∈D，都有
f (x)≤M f (x)≥M
x0∈D，使得f (x0)＝M
結(jié)論 M是函數(shù)y＝f (x)的最大值 M是函數(shù)y＝f (x)的最小值
幾何 意義 f (x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo) f (x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)
函數(shù)f (x)在其定義域(某個(gè)區(qū)間)內(nèi)的最大(小)值的幾何意義是其圖象上最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
在函數(shù)的最大值定義的兩個(gè)條件中，能否去掉其中的一個(gè)？
[提示]　不能．若只有(1)，則M不一定是最大值，如f (x)＝－x2(x∈R)，對(duì)任意x∈R，都有f (x)≤1成立，但1不是最大值，否則大于零的任意實(shí)數(shù)都是最大值．而最大值的核心就是不等式f (x)≤M，故也不能只有(2)．
函數(shù)y＝f (x)在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值為________，最大值為________．
－1　2　[由題圖可知，f (x)的最大值為f (1)＝2，f (x)的最小值為f (－2)＝－1．]
類型1　圖象法求函數(shù)的最值(值域)
【例1】　已知函數(shù)f (x)＝
(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f (x)的圖象；
(2)根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．
[解]　(1)圖象如圖所示：
(2)由圖可知f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0]，[2，5]，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，值域?yàn)閇－1，3]．
　圖象法求最值的基本步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x這兩個(gè)函數(shù)中的較小者，則f (x)的最大值為(　　)
A．2　　　B．1　　　C．－1　　　D．無最大值
B　[f (x)的圖象如圖中實(shí)線所示，f (x)的最大值是1，故選B．
]
類型2　單調(diào)性法求函數(shù)的最值(值域)
【例2】　已知函數(shù)f (x)＝．
(1)證明：函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞減；
(2)求函數(shù)f (x)在[1，5]上的最值．
[解]　(1)證明： x1，x2∈，且x2>x1>，有f (x1)－f (x2)＝－＝．
由于x2>x1>，所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以函數(shù)f (x)＝在區(qū)間上單調(diào)遞減．
(2)由(1)知，函數(shù)f (x)在[1，5]上單調(diào)遞減，
因此，函數(shù)f (x)＝在區(qū)間[1，5]的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，
即最大值為f (1)＝3，最小值為f (5)＝．
　函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系
(1)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，則f (x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f (a)，最大(小)值是f (b)．
(2)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減(增)，則f (x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f (b)，最小(大)值是f (a)與f (c)中較小(大)的一個(gè)．
提醒：不判斷單調(diào)性而直接將區(qū)間的兩端點(diǎn)值代入是求函數(shù)最值時(shí)最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)f (x)＝．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最大值和最小值．
[解]　(1)f (x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，證明如下： x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2，
有f (x1)－f (x2)＝－，
因?yàn)椋?x1x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x20，
所以f (x1)－f (x2)0 f (x1)f (x2)，
所以f (x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增．
(2)由(1)知f (x)在[2，4]上單調(diào)遞增，
所以f (x)的最小值為f (2)＝，
最大值f (4)＝．
類型3　函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用
【例3】　一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)
(1)求y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤最大？最大年利潤是多少？
思路導(dǎo)引：
[解]　(1)當(dāng)0x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝＋32x－100；當(dāng)x>20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x．
故y＝(x∈N*)．
(2)當(dāng)0x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，y最大值＝156．而當(dāng)x>20時(shí)，160－x140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤，最大年利潤為156萬元．
即當(dāng)該工廠年產(chǎn)量為16件時(shí)，取得最大年利潤為156萬元．
　解實(shí)際應(yīng)用題的4個(gè)步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某農(nóng)家旅游公司有客房160間，每間房單價(jià)為200元時(shí)，每天都客滿．已知每間房單價(jià)每提高20元，則客房出租數(shù)就會(huì)減少10間．若不考慮其他因素，旅游公司把每間房單價(jià)提到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？
[解]　設(shè)每間房單價(jià)提高x個(gè)20元時(shí)，每天客房的租金總收入為y元．
因?yàn)榇藭r(shí)每間房單價(jià)為200＋20x元，而客房出租數(shù)將減少10x間，即為160－10x間，因此
y＝(200＋20x)(160－10x)＝200(10＋x)(16－x)＝200(－x2＋6x＋160)
＝200[－(x－3)2＋169]＝－200(x－3)2＋33 800．
從而可知，當(dāng)x＝3時(shí)，y的最大值為33 800．
因此每間房單價(jià)提到200＋20×3＝260元時(shí)，每天客房的租金總收入最高．
1．設(shè)函數(shù)f (x)＝2x－1(x0)，則f (x)(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既無最大值又無最小值
D　[∵f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
∴f (x)f (0)＝－1．故選D．]
2．(多選)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，則下列四個(gè)命題中真命題是(　　)
A．若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意的x∈R，有f (x)≤M，則M是函數(shù)f (x)的最大值
B．若存在x0∈R，使得對(duì)任意的x∈R，且x≠x0，有f (x)f (x0)，則f (x0)是函數(shù)f (x)的最大值
C．若存在x0∈R，使得對(duì)任意的x∈R，有f (x)f (x0)，則f (x0)是函數(shù)f (x)的最大值
D．若存在x0∈R，使得對(duì)任意的x∈R，有f (x)≤f (x0)，則f (x0)是函數(shù)f (x)的最大值
[答案]　BD
3．函數(shù)f (x)＝則f (x)的最大值為________，最小值為________．
10　6　[當(dāng)1≤x≤2時(shí)，8≤2x＋6≤10，當(dāng)－1≤x1時(shí)，6≤x＋78，∴f (x)最小值＝f (－1)＝6，f (x)最大值＝f (2)＝10．]
4．用長度為24 m的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為________m．
3　[設(shè)隔墻長為x(0x6)m，矩形面積為y m2，
則y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，
∴當(dāng)x＝3時(shí)ymax＝18．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何理解函數(shù)最值定義中的“任意”和“存在”兩個(gè)量詞？
[提示]　函數(shù)的最大(小)值，包含兩層意義：一是存在，二是在給定區(qū)間上所有函數(shù)值中最大(小)值，反映在函數(shù)圖象上，函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
2．求函數(shù)最值的常用方法有哪些？
[提示]　(1)圖象法，即畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)寫出最值；
(2)單調(diào)性法，一般需要先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性的意義求出最值；
(3)對(duì)于二次函數(shù)還可以用配方法研究，同時(shí)靈活利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解題．
3．如何求分段函數(shù)的最值？
[提示]　可先分段求出每段的最值，再采用“大中取大，小中取小”的原則求出最值．第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
1．理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
2．能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡單函數(shù)的最值．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3．能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題．(數(shù)學(xué)建模)
科考隊(duì)對(duì)羅布泊“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨(dú)特的沙漠氣候進(jìn)行科學(xué)考察，如圖是某天氣溫隨時(shí)間的變化曲線．請(qǐng)根據(jù)曲線圖說說氣溫的變化情況．
問題：(1)該天的最高氣溫和最低氣溫分別是多少？
(2)設(shè)該天某時(shí)刻的氣溫為f (x)，則f (x)在哪個(gè)范圍內(nèi)變化？
(3)從函數(shù)圖象上看，氣溫的最大值(最小值)在什么時(shí)刻取得？
知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)最大值與最小值
最值 最大值 最小值
條件 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f (x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： x∈D，都有
f (x)______M f (x)______M
x0∈D，使得____________
結(jié)論 M是函數(shù)y＝f (x)的最大值 M是函數(shù)y＝f (x)的最小值
幾何 意義 f (x)圖象上最高點(diǎn)的________ f (x)圖象上最低點(diǎn)的________
函數(shù)f (x)在其定義域(某個(gè)區(qū)間)內(nèi)的最大(小)值的幾何意義是其圖象上最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
在函數(shù)的最大值定義的兩個(gè)條件中，能否去掉其中的一個(gè)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
函數(shù)y＝f (x)在[－2，2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值為________，最大值為________．
類型1　圖象法求函數(shù)的最值(值域)
【例1】　已知函數(shù)f (x)＝
(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f (x)的圖象；
(2)根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　圖象法求最值的基本步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．若x∈R，f (x)是y＝2－x2，y＝x這兩個(gè)函數(shù)中的較小者，則f (x)的最大值為(　　)
A．2 B．1
C．－1 D．無最大值
類型2　單調(diào)性法求函數(shù)的最值(值域)
【例2】　已知函數(shù)f (x)＝．
(1)證明：函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞減；
(2)求函數(shù)f (x)在[1，5]上的最值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系
(1)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，則f (x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是______，最大(小)值是________．
(2)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減(增)，則f (x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是________，最小(大)值是f (a)與f (c)中________的一個(gè)．
提醒：不判斷單調(diào)性而直接將區(qū)間的兩端點(diǎn)值代入是求函數(shù)最值時(shí)最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)f (x)＝．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最大值和最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用
【例3】　一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)
(1)求y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤最大？最大年利潤是多少？
思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解實(shí)際應(yīng)用題的4個(gè)步驟
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．某農(nóng)家旅游公司有客房160間，每間房單價(jià)為200元時(shí)，每天都客滿．已知每間房單價(jià)每提高20元，則客房出租數(shù)就會(huì)減少10間．若不考慮其他因素，旅游公司把每間房單價(jià)提到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．設(shè)函數(shù)f (x)＝2x－1(x<0)，則f (x)(　　)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值
D．既無最大值又無最小值
2．(多選)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，則下列四個(gè)命題中真命題是(　　)
A．若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意的x∈R，有f (x)≤M，則M是函數(shù)f (x)的最大值
B．若存在x0∈R，使得對(duì)任意的x∈R，且x≠x0，有f (x)C．若存在x0∈R，使得對(duì)任意的x∈R，有f (x)D．若存在x0∈R，使得對(duì)任意的x∈R，有f (x)≤f (x0)，則f (x0)是函數(shù)f (x)的最大值
3．函數(shù)f (x)＝則f (x)的最大值為________，最小值為________．
4．用長度為24 m的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為________m．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．如何理解函數(shù)最值定義中的“任意”和“存在”兩個(gè)量詞？
2．求函數(shù)最值的常用方法有哪些？
3．如何求分段函數(shù)的最值？3.2.2　奇偶性
第1課時(shí)　奇偶性的概念
1．理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義．(數(shù)學(xué)抽象)
2．了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征．(直觀想象)
3．掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法．(邏輯推理)
　　填寫下表，觀察指定函數(shù)的自變量x互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值之間具有什么關(guān)系，并分別說出函數(shù)圖象應(yīng)具有的特征．
x －3 －2 －1 1 2 3
f (x)＝x2
g(x)＝
知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)的奇偶性
奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù)
條件 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈，如果 x∈D，都有－x∈D
結(jié)論 f (－x)＝f (x) f (－x)＝－f (x)
圖象特點(diǎn) 關(guān)于y軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
(1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)．
(2)具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
(3)當(dāng)f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)：
①若f (－x)≠±f (x) f (x)是非奇非偶函數(shù)；
②若f (－x)＝±f (x) f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若f (－1)＝f (1)，則函數(shù)y＝f (x)(x∈R)一定是偶函數(shù)． (　　)
(2)若存在x，使f (－x)＝－f (x)，則函數(shù)y＝f (x)一定是奇函數(shù)． (　　)
(3)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)． (　　)
(4)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù)． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．函數(shù)y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數(shù)，則a等于________．
1　[∵奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴a－1＝0，即a＝1．]
類型1　函數(shù)奇偶性的判斷
【例1】　判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝
[解]　(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)?x∈R，都有－x∈R．
且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)，
因此函數(shù)f (x)是奇函數(shù)．
(2)由得x2＝1，即x＝±1．
因此函數(shù)的定義域?yàn)閧－1，1}，因?yàn)?x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(3)函數(shù)f (x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，因?yàn)?x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
－x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不成立，所以f (x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
(4)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，因?yàn)?x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}．
f (－x)＝
即f (－x)＝
于是有f (－x)＝－f (x)．
所以f (x)為奇函數(shù)．
　判斷函數(shù)奇偶性的2種方法
(1)定義法：
(2)圖象法：
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)下列判斷正確的是(　　)
A．f (x)＝(x－1)是偶函數(shù)
B．f (x)＝ 是奇函數(shù)
C．f (x)＝|x＋1|＋|x－1|是偶函數(shù)
D．f (x)＝是非奇非偶函數(shù)
BC　[對(duì)于A，f (x)的定義域?yàn)閇－1，1)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f (x)不是偶函數(shù)，∴A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，
∴f (－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f (x)．
當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，
∴f (－x)＝－x2－x＝－f (x)，
∴f (x)是奇函數(shù)，∴B正確；
對(duì)于C，f (x)的定義域是R．
∵f (－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f (x)，∴f (x)是偶函數(shù)，∴C正確；
對(duì)于D，解
得－1≤x<0或0∴f (x)＝＝，
∵f (－x)＝＝－＝－f (x)，
∴f (x)是奇函數(shù)，∴D錯(cuò)誤．]
類型2　奇偶函數(shù)的圖象問題
【例2】　已知奇函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閇－5，5]，且在區(qū)間[0，5]上的圖象如圖所示．
(1)畫出在區(qū)間[－5，0]上的圖象；
(2)寫出使f (x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f (x)是奇函數(shù)，所以y＝f (x)在[－5，5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
由y＝f (x)在[0，5]上的圖象，可知它在[－5，0]上的圖象，如圖所示．
(2)由圖象知，使f (x)<0的x的取值集合為(－2，0)∪(2，5)．
[母題探究]
將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再求解上述問題．
[解]　(1)如圖所示：
(2)由(1)可知，使f (x)<0的x的取值集合為(－5，－2)∪(2，5)．
　巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題
(1)依據(jù)：奇函數(shù) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù) 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇、偶函數(shù)圖象的問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)y＝f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f (x)＝x2＋2x．現(xiàn)已畫出函數(shù)f (x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．
(1)請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f (x)的圖象；
(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f (x)的增區(qū)間；
(3)根據(jù)圖象寫出使f (x)<0的x的取值集合．
[解]　(1)由題意作出函數(shù)圖象如圖：
(2)據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)據(jù)圖可知，使f (x)<0的x的取值集合為(－2，0)∪(0，2)．
類型3　利用函數(shù)的奇偶性求值
【例3】　(1)若函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1，2a]，則a＝______，b＝______；
(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，則f (3)＝________．
思路導(dǎo)引：(1)
(2)
(1)　0　(2)7　[(1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以a－1＝－2a，解得a＝
又函數(shù)f (x)＝x2＋bx＋b＋1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b＝0．
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，則g(x)是奇函數(shù)，
所以f (－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f (－3)＝－3，
所以g(3)＝5．又f (3)＝g(3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7．]
　由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的思路
(1)若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對(duì)稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程．
(2)一般化策略：對(duì)x取定義域內(nèi)的任一個(gè)值，利用f (－x) 與f (x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值．
(3)特殊化策略：根據(jù)定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特殊自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系列方程求解．注意，該方法求出的參數(shù)值要代入解析式檢驗(yàn)，看是否滿足條件，不滿足的要舍去．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)若函數(shù)f (x)＝2x2－|3x＋a|為偶函數(shù)，則a＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．0
(2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________．
(1)D　(2)4　[(1)∵f (x)＝2x2－|3x＋a|為偶函數(shù)，∴f (－x)＝f (x)對(duì)于任意x∈R都成立．
∴f (－1)＝f (1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0．當(dāng)a＝0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．故選D．
(2)法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，兩式恒相等，則a－4＝0，即a＝4．
法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函數(shù)為偶函數(shù)，只需多項(xiàng)式的奇次項(xiàng)系數(shù)為0，即a－4＝0，則a＝4．
法三：由函數(shù)f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函數(shù)，
∴4－a＝0，∴a＝4．]
1．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
B　[B選項(xiàng)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，是偶函數(shù)，其余選項(xiàng)都不具有奇偶性．故選B．]
2．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有(　　)
A．y＝－2x B．y＝x3＋1
C．y＝x＋ D．y＝|x|＋
D　[對(duì)于A，定義域?yàn)镽，因?yàn)閒 (－x)＝－2(－x)＝2x＝－(－2x)＝－f (x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)；對(duì)于B，定義域?yàn)镽，因?yàn)閒 (－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠f (x)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)；對(duì)于C，定義域?yàn)閧x|x≠0}，因?yàn)閒 (－x)＝－x＋＝－＝－f (x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)；對(duì)于D，定義域?yàn)閧x|x≠0}，因?yàn)閒 (－x)＝|－x|＋＝|x|＋＝f (x)≠－f (x)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選D．]
3．若函數(shù)f (x)(f (x)≠0)為奇函數(shù)，則必有(　　)
A．f (x)f (－x)>0 B．f (x)f (－x)<0
C．f (x)f (－x)
B　[∵f (x)為奇函數(shù)，
∴f (－x)＝－f (x)，
又f (x)≠0，
∴f (x)f (－x)＝－[f (x)]2<0．故選B．]
4．已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧－1，2，a，b}，則a＋b等于________．
－1　[由題意可知－1＋2＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．具有奇偶性的函數(shù)，其定義域、圖象和解析式各有什么特點(diǎn)？
[提示]　(1)定義域特點(diǎn)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
(2)圖象特點(diǎn)：偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
(3)解析式特點(diǎn)：偶函數(shù)滿足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函數(shù)滿足f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0．
2．判斷函數(shù)奇偶性的常用方法有哪些？
[提示]　定義法和圖象法．3.2.2　奇偶性
第1課時(shí)　奇偶性的概念
1．理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義．(數(shù)學(xué)抽象)
2．了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征．(直觀想象)
3．掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法．(邏輯推理)
填寫下表，觀察指定函數(shù)的自變量x互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值之間具有什么關(guān)系，并分別說出函數(shù)圖象應(yīng)具有的特征．
x －3 －2 －1 1 2 3
f (x)＝x2
g(x)＝
知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)的奇偶性
奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù)
條件 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈，如果 x∈D，都有－x∈D
結(jié)論 f (－x)＝______ f (－x)＝______
圖象特點(diǎn) 關(guān)于______對(duì)稱 關(guān)于______對(duì)稱
(1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)．
(2)具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
(3)當(dāng)f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)：
①若f (－x)≠±f (x) f (x)是非奇非偶函數(shù)；
②若f (－x)＝±f (x) f (x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若f (－1)＝f (1)，則函數(shù)y＝f (x)(x∈R)一定是偶函數(shù)． (　　)
(2)若存在x，使f (－x)＝－f (x)，則函數(shù)y＝f (x) 一定是奇函數(shù)． (　　)
(3)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)． (　　)
(4)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù)．
(　　)
2．函數(shù)y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數(shù)，則a等于________．
類型1　函數(shù)奇偶性的判斷
【例1】　判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f (x)＝x3＋x；
(2)f (x)＝＋；
(3)f (x)＝；
(4)f (x)＝
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷函數(shù)奇偶性的2種方法
(1)定義法：
(2)圖象法：
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(多選)下列判斷正確的是(　　)
A．f (x)＝(x－1)是偶函數(shù)
B．f (x)＝ 是奇函數(shù)
C．f (x)＝|x＋1|＋|x－1|是偶函數(shù)
D．f (x)＝是非奇非偶函數(shù)
類型2　奇偶函數(shù)的圖象問題
【例2】　已知奇函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閇－5，5]，且在區(qū)間[0，5]上的圖象如圖所示．
(1)畫出在區(qū)間[－5，0]上的圖象；
(2)寫出使f (x)<0的x的取值集合．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再求解上述問題．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題
(1)依據(jù)：奇函數(shù) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù) 圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．
(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇、偶函數(shù)圖象的問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知函數(shù)y＝f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f (x)＝x2＋2x．現(xiàn)已畫出函數(shù)f (x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．
(1)請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f (x)的圖象；
(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f (x)的增區(qū)間；
(3)根據(jù)圖象寫出使f (x)<0的x的取值集合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　利用函數(shù)的奇偶性求值
【例3】　(1)若函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1，2a]，則a＝________，b＝________；
(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，則f (3)＝________．
思路導(dǎo)引：(1)
(2)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值的思路
(1)若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對(duì)稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程．
(2)一般化策略：對(duì)x取定義域內(nèi)的任一個(gè)值，利用f (－x)與f (x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值．
(3)特殊化策略：根據(jù)定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特殊自變量值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的關(guān)系列方程求解．注意，該方法求出的參數(shù)值要代入解析式檢驗(yàn)，看是否滿足條件，不滿足的要舍去．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)若函數(shù)f (x)＝2x2－|3x＋a|為偶函數(shù)，則a＝(　　)
A．1 　　　B．2　　　C．3 　　　D．0
(2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________．
1．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是(　　)
A　 　　B　　　　C　　　D
2．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的有(　　)
A．y＝－2x B．y＝x3＋1
C．y＝x＋ D．y＝|x|＋
3．若函數(shù)f (x)(f (x)≠0)為奇函數(shù)，則必有(　　)
A．f (x)f (－x)>0 B．f (x)f (－x)<0
C．f (x)f (－x)
4．已知一個(gè)奇函數(shù)的定義域?yàn)閧－1，2，a，b}，則a＋b等于________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．具有奇偶性的函數(shù)，其定義域、圖象和解析式各有什么特點(diǎn)？
2．判斷函數(shù)奇偶性的常用方法有哪些？第2課時(shí)　奇偶性的應(yīng)用
1．會(huì)根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或函數(shù)的解析式．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡單的綜合問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
類型1　利用函數(shù)的奇偶性求解析式
【例1】　函數(shù)f (x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．
[解]　設(shè)x<0，則－x>0，
∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函數(shù)f (x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1，
∴當(dāng)x<0時(shí)，f (x)＝－x－1．
又x＝0時(shí)，f (0)＝0，
所以f (x)＝
　利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法
(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．
(2)利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．
(3)利用f (x)的奇偶性寫出－f (x)或f (－x)，從而解出f (x)．
提醒：若函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f (0)＝0．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)函數(shù)f (x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f (x)＝x(x－1)，則當(dāng)x>0時(shí)，f (x)＝________．
(2)設(shè)f (x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f (x)＋g(x)＝，則函數(shù)f (x)的解析式為__________．
(1)x(x＋1)　(2)f (x)＝　[(1)設(shè)x>0，則－x<0，所以f (－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因?yàn)楹瘮?shù)f (x)為R上的偶函數(shù)，故當(dāng)x>0時(shí)，f (x)＝f (－x)＝x(x＋1)，即x>0時(shí)，f (x)＝x(x＋1)．
(2)∵f (x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，
∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)．
由f (x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝，
∴f (x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f (x)＝]
類型2　利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小
【例2】　設(shè)偶函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f (x)單調(diào)遞增，則f (－2)，f (π)，f (－3)的大小關(guān)系是(　　)
A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C．f (π)＜f (－3)＜f (－2)
D．f (π)＜f (－2)＜f (－3)
A　[由偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系知，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f (x)單調(diào)遞增，則x∈(－∞，0)時(shí)，f (x)單調(diào)遞減，故其圖象的幾何特征是自變量的絕對(duì)值越小，則其函數(shù)值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，
∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故選A．]
[母題探究]
(1)若將本例中的“單調(diào)遞增”改為“單調(diào)遞減”，其他條件不變，則f (－2)，f (π)，f (－3)的大小關(guān)系如何？
(2)若將本例中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，其他條件不變，比較這三個(gè)數(shù)的大小．
[解]　(1)因?yàn)閒 (x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以有f (2)>f (3)>f (π)．又因?yàn)閒 (x)是R上的偶函數(shù)，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，從而有f (－2)>f (－3)>f (π)．
(2)因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上是增函數(shù)，
因?yàn)椋?<－2<π，所以f (－3)　比較函數(shù)值大小的求解策略
奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致(相同)；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反．
(1)若自變量在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
(2)若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．函數(shù)y＝f (x)在[0，2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f (x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是(　　)
A．f (1)B．f C．f D．f B　[∵函數(shù)f (x＋2)是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，
∴f ＝f ，f ＝f ，
又f (x)在[0，2]上單調(diào)遞增，
∴f 類型3　利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式
【例3】　已知定義在[－2，2]上的函數(shù)f (x)在[0，2]上單調(diào)遞減，且f (1－m)(1)若f (x)是奇函數(shù)，求m的取值范圍；
(2)若f (x)是偶函數(shù)，求m的取值范圍．
思路導(dǎo)引：
[解]　(1)若f (x)是奇函數(shù)，則f (x)在[－2，2]上單調(diào)遞減，由f (1－m)解得m∈，故m的取值范圍為
(2)若f (x)是偶函數(shù)，因?yàn)閒 (x)在[0，2]上單調(diào)遞減，故在[－2，0)上單調(diào)遞增，
由f (1－m)故解得m∈，
故m的取值范圍為
　利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式的策略
(1)結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f (x1)f (x2)的形式；
(2)利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)的符號(hào)“f ”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題．
提醒：利用好偶函數(shù)性質(zhì)f (x)＝f (|x|)可以避免討論，簡化計(jì)算；同時(shí)注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若f (－3)＝0，則<0的解集為________．
(－3，0)∪(3，＋∞)　[結(jié)合題意，畫出草圖如圖所示，
由<0可知：當(dāng)x<0時(shí)，f (x)>0，此時(shí)x∈(－3，0)，當(dāng)x>0時(shí)，f (x)<0，此時(shí)x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．]
類型4　證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性
【例4】　(源自人教B版教材)求證：二次函數(shù)f (x)＝x2＋4x＋6的圖象關(guān)于x＝－2對(duì)稱．
[證明]　任取h∈R，因?yàn)閒 (－2＋h)＝(－2＋h)2＋4(－2＋h)＋6＝h2＋2，
f (－2－h(huán))＝(－2－h(huán))2＋4(－2－h(huán))＋6＝h2＋2，
所以f (－2＋h)＝f (－2－h(huán))，
這就說明函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－2對(duì)稱．
　(1)要證明函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于x＝h對(duì)稱，只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x，滿足f (h－x)＝f (h＋x)．
(2)要證明函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x，滿足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．證明函數(shù)f (x)＝的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對(duì)稱．
[證明]　函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
∵f (－1＋x)＋f (－1－x)＝＋
＝＋＝2，
即f (－1＋x)＋f (－1－x)＝2×1，
∴f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對(duì)稱．
1．(2022·陜西安康高一期中)已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f (x)＝x＋2，則當(dāng)x0時(shí)，f (x)＝(　　)
A．－x－2 B．－x＋2
C．x－2 D．x＋2
C　[∵當(dāng)x0時(shí)，－x>0，f (－x)＝－x＋2，
∴f (x)＝－f (－x)＝x－2，故選C．]
2．(2022·山西晉城一中月考)已知函數(shù)f (x)為定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f (x)＝x2＋1，則f (－1)＋f (0)＝(　　)
A．1　　　B．0　　　C．－2　　　D．2
C　[因?yàn)楹瘮?shù)f (x)為定義在R上的奇函數(shù)，
所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(12＋1)＝－2，
所以f (－1)＋f (0)＝－2．故選C．]
3．(多選)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且有f (3)>f (1)，則下列各式中一定成立的是(　　)
A．f (－1)f (3) B．f (1)f (－3)
C．f (3)>f (2) D．f (2)>f (0)
AB　[∵f (x)為偶函數(shù)，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，又f (3)>f (1)，∴f (－3)>f (1)，f (3)>f (－1)都成立．]
4．已知定義在R上的偶函數(shù)f (x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，若f (a)>f (3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
(－3，3)　[由題意可知|a|3，解得－3a3．]
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．若奇函數(shù)f (x)在原點(diǎn)處有定義，則f (0)為定值嗎？若f (x)為偶函數(shù)呢？
[提示]　若f (x)為奇函數(shù)，且在原點(diǎn)處有定義，則f (0)＝0；
若f (x)為偶函數(shù)，則無法判斷該值的大?。?br/>2．如果奇函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么f (x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？
如果偶函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，那么f (x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？
[提示]　如果奇函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么f (x)在(－b，－a)上單調(diào)遞增；如果偶函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，那么f (x)在(－b，－a)上單調(diào)遞增．
3．若奇函數(shù)f (x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f (a)>f (b)，則a，b的大小關(guān)系如何？若f (x)為偶函數(shù)呢？
[提示]　奇函數(shù)時(shí)，a>b；偶函數(shù)時(shí)，|a||b|．第2課時(shí)　奇偶性的應(yīng)用
1．會(huì)根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或函數(shù)的解析式．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2．能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡單的綜合問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
類型1　利用函數(shù)的奇偶性求解析式
【例1】　函數(shù)f (x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法
(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．
(2)利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．
(3)利用f (x)的奇偶性寫出－f (x)或f (－x)，從而解出f (x)．
提醒：若函數(shù)f (x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f (0)＝0．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)函數(shù)f (x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f (x)＝x(x－1)，則當(dāng)x>0時(shí)，f (x)＝________．
(2)設(shè)f (x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f (x)＋g(x)＝，則函數(shù)f (x)的解析式為__________．
類型2　利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性比較大小
【例2】　設(shè)偶函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f (x)單調(diào)遞增，則f (－2)，f (π)，f (－3)的大小關(guān)系是(　　)
A．f (π)＞f (－3)＞f (－2)
B．f (π)＞f (－2)＞f (－3)
C．f (π)＜f (－3)＜f (－2)
D．f (π)＜f (－2)＜f (－3)
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
(1)若將本例中的“單調(diào)遞增”改為“單調(diào)遞減”，其他條件不變，則f (－2)，f (π)，f (－3) 的大小關(guān)系如何？
(2)若將本例中的“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，其他條件不變，比較這三個(gè)數(shù)的大小．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比較函數(shù)值大小的求解策略
奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致(相同)；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反．
(1)若自變量在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
(2)若自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．函數(shù)y＝f (x)在[0，2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f (x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是(　　)
A．f (1)B．f C．f D．f 類型3　利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式
【例3】　已知定義在[－2，2]上的函數(shù)f (x)在[0，2]上單調(diào)遞減，且f (1－m)(1)若f (x)是奇函數(shù)，求m的取值范圍；
(2)若f (x)是偶函數(shù)，求m的取值范圍．
思路導(dǎo)引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式的策略
(1)結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f (x1)f (x2)的形式；
(2)利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)的符號(hào)“f ”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題．
提醒：利用好偶函數(shù)性質(zhì)f (x)＝f (|x|)可以避免討論，簡化計(jì)算；同時(shí)注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若f (－3)＝0，則<0的解集為________．
類型4　證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性
【例4】　(源自人教B版教材)求證：二次函數(shù)f (x)＝x2＋4x＋6的圖象關(guān)于x＝－2對(duì)稱．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)要證明函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于x＝h對(duì)稱，只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x，滿足f (h－x)＝f (h＋x)．
(2)要證明函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，只需證明對(duì)定義域內(nèi)的任意x，滿足f (a＋x)＋f (a－x)＝2b．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．證明函數(shù)f (x)＝的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對(duì)稱．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2022·陜西安康高一期中)已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f (x)＝x＋2，則當(dāng)x<0時(shí)，f (x)＝(　　)
A．－x－2 B．－x＋2
C．x－2 D．x＋2
2．(2022·山西晉城一中月考)已知函數(shù)f (x)為定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，f (x)＝x2＋1，則f (－1)＋f (0)＝(　　)
A．1　　　B．0　　　C．－2　　　D．2
3．(多選)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且有f (3)>f (1)，則下列各式中一定成立的是(　　)
A．f (－1)C．f (3)>f (2) D．f (2)>f (0)
4．已知定義在R上的偶函數(shù)f (x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，若f (a)>f (3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：
1．若奇函數(shù)f (x)在原點(diǎn)處有定義，則f (0)為定值嗎？若f (x)為偶函數(shù)呢？
2．如果奇函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么f (x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？
如果偶函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，那么f (x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？
3．若奇函數(shù)f (x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f (a)>f (b)，則a，b的大小關(guān)系如何？若f (x)為偶函數(shù)呢？

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