資源簡介

3.3　冪函數
1．了解冪函數的概念．(數學抽象)
2．結合冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的圖象，掌握它們的性質．(直觀想象)
3．能利用冪函數的單調性比較冪的大小．(邏輯推理)
經調查，一種商品的價格和需求之間的關系如下表所示：
價格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
根據此表，我們可以得到價格x與需求量y之間近似地滿足關系式y＝x-0.38．這是一類怎樣的函數，這類函數有什么一般的性質？
知識點1　冪函數的概念
一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
冪函數解析式的特征：(1)xα的系數為1；(2)x為自變量；(3)α為常數．
知識點2　五個冪函數的圖象與性質
(1)在同一平面直角坐標系中，畫出冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖象如圖所示：
(2)五個冪函數的性質
函數 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 增 在[0，＋∞)上增 在(－∞，0)上減 增 增 在(0，＋∞)上減 在(－∞，0)上減
公共點 都經過點(1，1)
對于冪函數y＝xα(α為實數)有以下結論：
(1)當α>0時，y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增；
(2)當α0時，y＝xα在(0，＋∞)上單調遞減；
(3)冪函數在第一象限內指數的變化規律：在直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的冪指數由大變?。?br/>1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)冪函數的圖象都過點(0，0)，(1，1)． (　　)
(2)冪函數的圖象一定不能出現在第四象限． (　　)
(3)冪函數y＝xα的定義域為R，與指數無關． (　　)
(4)當冪指數α取2，時，冪函數y＝xα是增函數． (　　)
(5)當冪指數α＝－1時，冪函數y＝xα在定義域上是減函數． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．下列函數中不是冪函數的是________．
①y＝x0;②y＝x3；③y＝2x;④y＝x-1．
[答案]　③
3．冪函數y＝x-1，y＝，y＝x2，y＝x3依次對應的圖象為________．
①　　?、凇　　、邸　　、?br/>[答案]?、堍邰冖?br/>4．設α∈，則使函數y＝xα的定義域為R的所有α的值為________；函數y＝xα為奇函數的所有α的值為________．
[答案]　1，3?。?，1，3
類型1　冪函數的概念
【例1】　(1)在函數y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數的個數為(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
(2)已知y＝＋2n－3是冪函數，求m，n的值．
(1)B　[∵y＝＝x-2，∴是冪函數；
y＝2x2由于出現系數2，因此不是冪函數；
y＝x2＋x是兩項和的形式，不是冪函數；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數y＝1的圖象比冪函數y＝x0的圖象多了一個點(0，1)，所以常函數y＝1不是冪函數．故選B．]
(2)[解]　由題意得
解得
所以m＝－3，n＝．
　判斷一個函數為冪函數的依據
(1)指數為常數；(2)底數為自變量；(3)系數為1．
[跟進訓練]
1．已知冪函數f (x)＝k·xα的圖象過點，則k＋α等于(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
C　[由冪函數的定義知k＝1．
又f ，所以，
解得α＝，從而k＋α＝．]
類型2　冪函數的圖象及應用
【例2】　(1)若四個冪函數y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(2)已知冪函數f (x)＝xα的圖象過點P，試畫出f (x)的圖象并指出該函數的定義域與單調區間．
(1)B　[令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，和題目所給的形式相符合．
在第一象限內，x＝1的右側部分的圖象，圖象由下至上，冪指數增大，所以a>b>c>d．故選B．]
(2)[解]　因為f (x)＝xα的圖象過點P，
所以f (2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f (x)＝x-2，
f (x)的圖象如圖所示，
定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，單調減區間為(0，＋∞)，單調增區間為(－∞，0)．
　解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小，相關結論為：在(0，1)上，指數越大，冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數越大，冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高)．
(2)依據圖象確定冪指數α與0，1的大小關系，即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y＝x-1或y＝或y＝x3)來判斷．
[跟進訓練]
2．如圖，函數y＝，y＝x，y＝1的圖象和直線x＝1將平面直角坐標系的第一象限分成八個部分．若冪函數f (x)的圖象經過的部分是④⑧，則f (x)的解析式可能是(　　)
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2
B　[∵冪函數f (x)＝xα的圖象過④⑧部分，∴f (x)＝xα在第一象限內單調遞減，∴α0．又易知當x＝2時，f (x)>，∴只有B項符合題意．]
類型3　冪函數性質的綜合應用
【例3】　(源自蘇教版教材)試比較下列各組數的大小：
(1)1.13，0.893；
(2)，，；
(3)，1，．
思路導引：
[解]　(1)因為函數y＝x3在區間[0，＋∞)上是增函數，又1.1>0.89，所以1.13>0.893．
(2)因為函數y＝在區間[0，＋∞)上是增函數，又2.1>2>1.8，所以>>．
(3)因為函數y＝x1.3在區間[0，＋∞)上是增函數，又1＝11.3，1，所以11.3＝1．
因為函數y＝在區間[0，＋∞)上是增函數，又＝1，3>1，所以>＝1．于是1．
　比較冪值大小的方法
(1)若兩個冪值的指數相同或可化為兩個指數相同的冪值時，則可構造函數，利用冪函數的單調性比較大小．
(2)若底數、指數均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”．
[跟進訓練]
3．比較下列各組數的大小：
(1)與；
(2)與．
[解]　(1)因為冪函數y＝x0.5在[0，＋∞)上是單調遞增的，又，所以．
(2)因為冪函數y＝x-1在(－∞，0)上是單調遞減的，
又－－，所以．
1．(多選)下列函數中是冪函數的是(　　)
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x-1
ABD　[只有y＝3x不符合冪函數y＝xα的形式，故選ABD．]
2．下列不等式成立的是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　A
3．已知冪函數的圖象經過點P，則該冪函數的大致圖象是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
A　[設冪函數為y＝xα，
因為該冪函數的圖象經過點P，
所以4α＝，即22α＝2-1，解得α＝－，
即函數為y＝，
則函數的定義域為(0，＋∞)，所以排除CD，
因為α＝－0，所以y＝在(0，＋∞)上為減函數，所以排除B，故選A．]
4．寫出一個同時具有下列三個性質的函數：f (x)＝________．
①f (x)＝xα(α∈R)；②f (x)在R上單調遞增；③f (－x)＝－f (x)．
x(答案不唯一)　[例如f (x)＝x，是單調遞增函數，f (－x)＝－x＝－f (x)，滿足三個條件．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．判斷一個函數是冪函數的關鍵是什么？
[提示]　關鍵是判斷其是否符合y＝xα(α為常數)的形式．
2．所有冪函數y＝xα在原點處都有意義嗎？圖象都過點(1，1)嗎？
[提示]　當α0時，冪函數在原點處無意義，圖象都過點(1，1)．
3．在第一象限內，冪函數圖象隨冪指數的變化存在怎樣的規律？
[提示]　觀察五種特殊的冪函數在第一象限內的圖象，可知，冪函數y＝xα的圖象在第一象限內具有如下特征：直線y＝1，y＝x將直角坐標平面第一象限中的直線x＝1的右側部分分為(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三個區域，如圖所示，若α∈(1，＋∞) y＝xα的圖象經過區域(Ⅰ)；若α∈(0，1) y＝xα的圖象經過區域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0) y＝xα的圖象經過區域(Ⅲ)，并且在直線x＝1的右側，從x軸起，冪函數y＝xα的指數α由小到大遞增，即“指大圖高”“指小圖低”．3.3　冪函數
1．了解冪函數的概念．(數學抽象)
2．結合冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的圖象，掌握它們的性質．(直觀想象)
3．能利用冪函數的單調性比較冪的大?。?邏輯推理)
經調查，一種商品的價格和需求之間的關系如下表所示：
價格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9
需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041
　　根據此表，我們可以得到價格x與需求量y之間近似地滿足關系式y＝x-0.38．這是一類怎樣的函數，這類函數有什么一般的性質？
知識點1　冪函數的概念
一般地，函數________叫做冪函數，其中________是自變量，________是常數．
冪函數解析式的特征：(1)xα的系數為1；(2)x為自變量；(3)α為常數．
知識點2　五個冪函數的圖象與性質
(1)在同一平面直角坐標系中，畫出冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖象如圖所示：
(2)五個冪函數的性質
函數 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1
定義域 R R R ________ ________
值域 R [0，＋∞) ____ ________ ________
奇偶性 奇 偶 ____ ________ ____
單調性 增 在[0，＋∞)上____ 在(－∞，0)上____ ____ ____ 在(0，＋∞) 上____ 在(－∞，0)上____
公共點 都經過點(1，1)
對于冪函數y＝xα(α為實數)有以下結論：
(1)當α>0時，y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增；
(2)當α<0時，y＝xα在(0，＋∞)上單調遞減；
(3)冪函數在第一象限內指數的變化規律：在直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的冪指數由大變小．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)冪函數的圖象都過點(0，0)，(1，1)． (　　)
(2)冪函數的圖象一定不能出現在第四象限． (　　)
(3)冪函數y＝xα的定義域為R，與指數無關． (　　)
(4)當冪指數α取2，時，冪函數y＝xα是增函數． (　　)
(5)當冪指數α＝－1時，冪函數y＝xα在定義域上是減函數． (　　)
2．下列函數中不是冪函數的是________．
①y＝x0; ②y＝x3；③y＝2x;④y＝x-1．
3．冪函數y＝x-1，y＝，y＝x2，y＝x3依次對應的圖象為________．
①　　　②　　?、邸　　、?br/>4．設α∈，則使函數y＝xα的定義域為R的所有α的值為______________；函數y＝xα為奇函數的所有α的值為__________．
類型1　冪函數的概念
【例1】　(1)在函數y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數的個數為(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
(2)已知y＝＋2n－3是冪函數，求m，n的值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個函數為冪函數的依據
(1)指數為________；(2)底數為__________；(3)系數為________．
[跟進訓練]
1．已知冪函數f (x)＝k·xα的圖象過點，則k＋α等于(　　)
A．　　　B．1　　　C．　　　D．2
類型2　冪函數的圖象及應用
【例2】　(1)若四個冪函數y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖，則a，b，c，d的大小關系是(　　)
A．d>c>b>a B．a>b>c>d
C．d>c>a>b D．a>b>d>c
(2)已知冪函數f (x)＝xα的圖象過點P，試畫出f (x)的圖象并指出該函數的定義域與單調區間．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小，相關結論為：在(0，1)上，指數越大，冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數越大，冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高)．
(2)依據圖象確定冪指數α與0，1的大小關系，即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y＝x-1或y＝或y＝x3)來判斷．
[跟進訓練]
2．如圖，函數y＝，y＝x，y＝1的圖象和直線x＝1將平面直角坐標系的第一象限分成八個部分．若冪函數f (x)的圖象經過的部分是④⑧，則f (x)的解析式可能是(　　)
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2
類型3　冪函數性質的綜合應用
【例3】　(源自蘇教版教材)試比較下列各組數的大小：
(1)1.13，0.893；
(2)，，；
(3)，1，．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比較冪值大小的方法
(1)若兩個冪值的指數相同或可化為兩個指數相同的冪值時，則可構造函數，利用冪函數的單調性比較大?。?br/>(2)若底數、指數均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”．
[跟進訓練]
3．比較下列各組數的大?。?br/>(1)與；
(2)與．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多選)下列函數中是冪函數的是(　　)
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x-1
2．下列不等式成立的是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知冪函數的圖象經過點P，則該冪函數的大致圖象是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
4．寫出一個同時具有下列三個性質的函數：f (x)＝________．
①f (x)＝xα(α∈R)；
②f (x)在R上單調遞增；
③f (－x)＝－f (x)．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．判斷一個函數是冪函數的關鍵是什么？
2．所有冪函數y＝xα在原點處都有意義嗎？圖象都過點(1，1)嗎？
3．在第一象限內，冪函數圖象隨冪指數的變化存在怎樣的規律？

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