資源簡介

3.4　函數的應用(一)
1．了解函數模型(如一次函數、二次函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用．
2．能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題．(數學建模)
類型1　一次函數模型的應用
【例1】　(源自人教B版教材改編)城鎮化是國家現代化的重要指標，若1978－2013年，某國城鎮常住人口從1.7億增加到7.3億．假設每一年城鎮常住人口的增加量都相等，記1978年后第t(限定t50)年的城鎮常住人口為f (t)億．寫出f (t)的解析式，并由此估算出該國2025年的城鎮常住人口數．
[解]　因為每一年城鎮常住人口的增加量都相等，所以f (t)是一次函數，設f (t)＝kt＋b，其中k，b是常數．
注意到2013年是1978年后的第2 013－1 978＝35年，因此
即
解得k＝0.16，b＝1.7．因此
f (t)＝0.16t＋1.7，t∈N且t50．
又因為2025年是1978年后的第2 025－1 978＝47年，即f (47)＝0.16×47＋1.7＝9.22，
所以由此可估算出該國2025年的城鎮常住人口為9.22億．
　一次函數模型的特點和求解方法
(1)一次函數模型的突出特點是其圖象是一條直線．
(2)解一次函數模型時，注意待定系數法的應用，主要步驟是：設元、列式、求解．
[跟進訓練]
1．如圖所示，這是某通信公司規定的打某國際長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分)之間的函數關系圖象．根據圖象填空：
①通話2分，需要付電話費________元；
②通話5分，需要付電話費________元；
③如果t≥3，則電話費y(元)與通話時間t(分)之間的函數關系式為________．
①3.6　②6　③y＝1.2t(t≥3)　[①由圖象可知，當t≤3時，電話費都是3.6元．
②由圖象可知，當t＝5時，y＝6，需付電話費6元．
③易知當t≥3時，圖象過點(3，3.6)，(5，6)，待定系數求得y＝1.2t(t≥3)．]
類型2　冪函數與二次函數模型
【例2】　(2022·江蘇宿遷中學期中)黨的十九大報告明確要求繼續深化國有企業改革，發展混合所有制經濟，培育具有全球競爭力的世界一流企業，這為我們深入推進公司改革發展指明了方向，提供了根本遵循．某企業抓住機遇推進生產改革，從單一產品轉為生產A，B兩種產品，根據市場調查與市場預測，A產品的利潤與投資成正比，且當投資2萬元時，利潤為1萬元；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，且當投資4萬元時，利潤為4萬元．
(1)分別求出A，B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
(2)該企業已籌集到10萬元資金，并全部投入到A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業獲得最大利潤，最大利潤是多少？
[解]　(1)設投資為x萬元，
則A產品的利潤yA＝kx，B產品的利潤yB＝t，
由題意得，1＝2k，4＝t，解得k＝，t＝2，
所以A產品的利潤yA＝x(x≥0)，B產品的利潤yB＝2(x≥0)．
(2)設企業利潤為W，分配給B產品的投資為x萬元，則分配給A產品的投資為(10－x)萬元，所以W＝yA＋yB＝(10－x)＋2＝－(－2)2＋7(0≤x≤10)，
故當＝2，即x＝4時，企業利潤W取得最大值7，
所以這10萬元資金中有6萬元投資給A產品，4萬元投資給B產品，可使企業獲得最大利潤，且最大利潤為7萬元．
　根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法以及函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
[跟進訓練]
2．小婷經營一花店，每天的房租、水電費等固定成本為100元，每束花的進價為6元，若日均銷售量Q(束)與銷售單價x(元)的關系為Q＝100－5x，則當該店每天獲利最大時，每束花應定價為(　　)
A．15元　　　B．13元　　　C．11元　　　D．10元
B　[設每天獲利y元，則y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，
由x>0，Q＝100－5x≥0，得0x≤20，
故當x＝13時，每天獲利最大．]
類型3　分段函數模型的應用
【例3】　經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的日銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數，且日銷售量近似滿足g(t)＝80－2t，價格近似滿足f (t)＝
(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數表達式；
(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．
思路導引：
[解]　(1)由已知得，
y＝
＝
＝
(2)由(1)知，①當0≤t≤10時，
y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，
函數圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數在t∈[0，5]上單調遞增，在t∈(5，10]上單調遞減，
∴ymax＝1 225(當t＝5時取得)，
ymin＝1 200(當t＝0或10時取得)；
②當10t≤20時，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，
函數圖象開口向上，對稱軸為t＝45，
該函數在t∈(10，20]上單調遞減，
∴y1 200，
ymin＝600(當t＝20時取得)．
由①②知ymax＝1 225(當t＝5時取得)，
ymin＝600(當t＝20時取得)．
　分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點值．
[跟進訓練]
3．已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到B地，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地．
(1)把汽車離開A地的距離y(千米)表示為時間t(時)的函數；
(2)求汽車行駛5小時后與A地的距離．
[解]　(1)汽車以60千米/時的速度從A地到B地需2.5小時，這時y＝60t；當2.5t≤3.5時，y＝150；汽車以50千米/時的速度返回A地需3小時，這時y＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325．則所求函數的解析式為y＝
(2)當t＝5時，y＝－50×5＋325＝75，
即汽車行駛5小時后與A地的距離為75千米．
1．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數模型是(　　)
A．一次函數模型
B．二次函數模型
C．分段函數模型
D．無法確定
C　[由s與t的圖象，可知t分4段，則函數模型為分段函數模型．故選C．]
2．一定范圍內，某種產品的購買量y與單價x之間滿足一次函數關系．如果購買1 000噸，則每噸800元；如果購買2 000噸，則每噸700元，那么一客戶購買400噸，其價格為每噸(　　)
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
C　[設y＝kx＋b，則1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，則y＝－10x＋9 000．當y＝400時，即400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．故選C．]
3．若國家規定個人稿費納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11.2%納稅．已知某人出版一本書共納稅420元，則這個人應得稿費(扣稅前)為(　　)
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
C　[由題意知，納稅額y(元)與稿費x(元)之間的函數關系式為
y＝
令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3 800，
令11.2%x＝420，得x＝3 750(舍去)．故這個人應得稿費(扣稅前)3 800元，故選C．]
4．生產某機器的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y＝x2－75x，若每臺機器售價為25萬元，則該廠獲得最大利潤時生產的機器為______臺．
50　[設生產x臺，獲得利潤f (x)萬元，則f (x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故當x＝50時，獲得利潤最大．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能總結一下數學建模的流程嗎？
[提示]　數學建模的過程圖示如下：
2．應用函數解決實際問題時，應注意什么？
[提示]　所建函數模型應符合實際問題，同時要注意函數的定義域等，即主要抓住四點：“求什么，設什么，列什么，限制什么”．3.4　函數的應用(一)
1．了解函數模型(如一次函數、二次函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型)的廣泛應用．
2．能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題．(數學建模)
類型1　一次函數模型的應用
【例1】　(源自人教B版教材改編)城鎮化是國家現代化的重要指標，若1978－2013年，某國城鎮常住人口從1.7億增加到7.3億．假設每一年城鎮常住人口的增加量都相等，記1978年后第t(限定t<50)年的城鎮常住人口為f (t)億．寫出f (t)的解析式，并由此估算出該國2025年的城鎮常住人口數．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　一次函數模型的特點和求解方法
(1)一次函數模型的突出特點是其圖象是一條直線．
(2)解一次函數模型時，注意待定系數法的應用，主要步驟是：設元、列式、求解．
[跟進訓練]
1．如圖所示，這是某通信公司規定的打某國際長途電話所需要付的電話費y(元)與通話時間t(分)之間的函數關系圖象．根據圖象填空：
①通話2分，需要付電話費________元；
②通話5分，需要付電話費________元；
③如果t≥3，則電話費y(元)與通話時間t(分)之間的函數關系式為________．
類型2　冪函數與二次函數模型
【例2】　(2022·江蘇宿遷中學期中)黨的十九大報告明確要求繼續深化國有企業改革，發展混合所有制經濟，培育具有全球競爭力的世界一流企業，這為我們深入推進公司改革發展指明了方向，提供了根本遵循．某企業抓住機遇推進生產改革，從單一產品轉為生產A，B兩種產品，根據市場調查與市場預測，A產品的利潤與投資成正比，且當投資2萬元時，利潤為1萬元；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，且當投資4萬元時，利潤為4萬元．
(1)分別求出A，B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
(2)該企業已籌集到10萬元資金，并全部投入到A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業獲得最大利潤，最大利潤是多少？
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法以及函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
[跟進訓練]
2．小婷經營一花店，每天的房租、水電費等固定成本為100元，每束花的進價為6元，若日均銷售量Q(束)與銷售單價x(元)的關系為Q＝100－5x，則當該店每天獲利最大時，每束花應定價為(　　)
A．15元　　　B．13元　　　C．11元　　　D．10元
類型3　分段函數模型的應用
【例3】　經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的日銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數，且日銷售量近似滿足g(t)＝80－2t，價格近似滿足f (t)＝
(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數表達式；
(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規律不同，可以先將其當作幾個問題，將各段的變化規律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點值．
[跟進訓練]
3．已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地到B地，在B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地．
(1)把汽車離開A地的距離y(千米)表示為時間t(時)的函數；
(2)求汽車行駛5小時后與A地的距離．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數模型是(　　)
A．一次函數模型 B．二次函數模型
C．分段函數模型 D．無法確定
2．一定范圍內，某種產品的購買量y與單價x之間滿足一次函數關系．如果購買1 000噸，則每噸800元；如果購買2 000噸，則每噸700元，那么一客戶購買400噸，其價格為每噸(　　)
A．820元　　　B．840元　　　C．860元　　　D．880元
3．若國家規定個人稿費納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過 4 000 元的按全部稿酬的11.2%納稅．已知某人出版一本書共納稅420元，則這個人應得稿費(扣稅前)為(　　)
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
4．生產某機器的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y＝x2－75x，若每臺機器售價為25萬元，則該廠獲得最大利潤時生產的機器為________臺．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．你能總結一下數學建模的流程嗎？
2．應用函數解決實際問題時，應注意什么？

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