資源簡介

微專題1　二次函數的最值問題
　　與二次函數有關的最值問題是高中教學的一個重難點，其可以較全面的體現直觀想象、邏輯推理及數學運算的素養．本專題主要訓練幾種常見的二次函數最值的求解方法．
類型1　不含參數的二次函數最值問題
【例1】　已知函數f (x)＝3x2－12x＋5，當自變量x在下列范圍內取值時，求函數的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
[解]　f (x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函數y＝f (x)的圖象，如圖所示．
(1)當x∈R時，f (x)＝3(x－2)2－7≥－7，當x＝2時，等號成立．
故當x∈R時，函數f (x)的最小值為－7，無最大值．
(2)由圖可知，在[0，3]上，函數f (x)在x＝0處取得最大值，最大值為5；在x＝2處取得最小值，最小值為－7．
(3)由圖可知，函數f (x)在[－1，1]上單調遞減，在x＝－1處取得最大值，最大值為20；在x＝1處取得最小值，最小值為－4．
類型2　含參數的二次函數最值問題
【例2】　求函數f (x)＝x2－2ax－1(a為常數)在[0，2]上的最值．
[解]　f (x)＝(x－a)2－1－a2，對稱軸為直線x＝a．
(1)當a<0時，由圖①可知，f (x)min＝f (0)＝－1，f (x)max＝f (2)＝3－4a．
圖①　　　　　　　圖②
(2)當0≤a<1時，由圖②可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (2)＝3－4a．
(3)當1≤a≤2時，由圖③可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (0)＝－1．
圖③　　　　　　　　　圖④
(4)當a>2時，由圖④可知，f (x)min＝f (2)＝3－4a，f (x)max＝f (0)＝－1．
綜上，f (x)min＝
f (x)max＝
【例3】　求函數f (x)＝x2－2x＋2在區間[t，t＋1]上的最小值g(t)．
[解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，對稱軸為直線x＝1．
圖①　　　　　圖②　　　　　圖③
當t＋1<1，即t<0時，函數圖象如圖①所示，函數f (x)在區間[t，t＋1]上單調遞減，所以最小值為f (t＋1)＝t2＋1；
當t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，函數圖象如圖②所示，最小值為f (1)＝1；
當t>1時，函數圖象如圖③所示，函數f (x)在區間[t，t＋1]上單調遞增，所以最小值為f (t)＝t2－2t＋2．
綜上可得，g(t)＝
類型3　與二次函數有關的恒成立、能成立問題
【例4】　(2022·福建省廈門第二中學月考)在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]這兩個條件中任選一個，補充到下面問題的橫線中，并求解該問題．已知函數f (x)＝x2＋ax＋4．
(1)當a＝－2時，求函數f (x)在區間[－2，2]上的值域；
(2)若________，f (x)≥0，求實數a的取值范圍．
[解]　(1)當a＝－2時，f (x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
∴f (x)在[－2，1]上單調遞減，在[1，2]上單調遞增，
∴f (x)min＝f (1)＝3，f (x)max＝f (－2)＝12，
∴函數f (x)在區間[－2，2]上的值域為[3，12]．
(2)方案一：選條件①．
由題意，得f (x)＝＋4－
若－≤－2，即a≥4，則函數f (x)在區間[－2，2]上單調遞增，
∴f (x)min＝f (－2)＝8－2a≥0，解得a≤4，
又a≥4，∴a＝4．
若－2<－<2，即－4∴f (x)min＝f ＝4－≥0，
解得－4≤a≤4，∴－4若－≥2，即a≤－4，則函數f (x)在區間[－2，2]上單調遞減，
∴f (x)min＝f (2)＝8＋2a≥0，
解得a≥－4，
又a≤－4，∴a＝－4．
綜上所述，實數a的取值范圍為[－4，4]．
方案二：選條件②．
∵ x∈[1，3]，f (x)≥0，
∴f (x)max≥0，
∵函數f (x)的圖象是開口向上的拋物線，最大值只可能在區間端點處取得．
∴f (1)≥0或f (3)≥0，解得a≥－5或a≥－，
∴a≥－5．
故實數a的取值范圍為[－5，＋∞)．微專題1　二次函數的最值問題
與二次函數有關的最值問題是高中教學的一個重難點，其可以較全面的體現直觀想象、邏輯推理及數學運算的素養．本專題主要訓練幾種常見的二次函數最值的求解方法．
類型1　不含參數的二次函數最值問題
【例1】　已知函數f (x)＝3x2－12x＋5，當自變量x在下列范圍內取值時，求函數的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　含參數的二次函數最值問題
【例2】　求函數f (x)＝x2－2ax－1(a為常數)在[0，2]上的最值．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例3】　求函數f (x)＝x2－2x＋2在區間[t，t＋1] 上的最小值g(t)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　與二次函數有關的恒成立、能成立問題
【例4】　(2022·福建省廈門第二中學月考)在① x∈[－2，2]，② x∈[1，3]這兩個條件中任選一個，補充到下面問題的橫線中，并求解該問題．已知函數f (x)＝x2＋ax＋4．
(1)當a＝－2時，求函數f (x)在區間[－2，2]上的值域；
(2)若________，f (x)≥0，求實數a的取值范圍．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　微專題2　函數性質的綜合問題
函數的性質(包括函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等)是高中數學的核心內容，也是日常考試的核心命題點之一，命題時常將多種性質結合在一起進行考查，或是探求函數性質，或是應用性質解決問題，側重于函數性質的理解和應用．
類型1　函數的奇偶性與對稱性
性質：函數的對稱軸與對稱中心
(1)若函數f (x)的定義域為D，對 x∈D都有f (a＋x)＝f (a－x)(a為常數)，則x＝a是f (x)的對稱軸．
(2)若函數f (x)的定義域為D，對 x∈D都有f (a＋x)＋f (a－x)＝2b(a，b為常數)，則點(a，b)是f (x)的對稱中心．
【例1】　(1)定義在R上的偶函數y＝f (x)，其圖象關于點對稱，且x∈[0，1]時，f (x)＝－x＋，則f 等于(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．
(2)(多選)(2022·浙江杭州學軍中學月考)已知y＝f (x＋4)是定義域為R的奇函數，y＝g(x－2)是定義域為R的偶函數，且y＝f (x)與y＝g(x)的圖象關于y軸對稱，則(　　)
A．y＝f (x)是奇函數
B．y＝g(x)是偶函數
C．y＝f (x)關于直線x＝2對稱
D．y＝g(x)關于點(4，0)對稱
(1)B　(2)ACD　[(1)∵y＝f (x)的圖象關于點對稱，∴f ＋f ＝0，
即f (1＋x)＋f (－x)＝0．
又∵y＝f (x)為偶函數，∴f (－x)＝f (x)，
∴f (1＋x)＋f (x)＝0，即f (1＋x)＝－f (x)，
∴f ＝－f ＝0．
(2)由于y＝f (x＋4)是定義域為R的奇函數，則y＝f (x)的圖象關于點(4，0)成中心對稱，y＝g(x－2)是定義域為R的偶函數，則y＝g(x)的圖象關于x＝－2對稱，因為y＝f (x)與y＝g(x)的圖象關于y軸對稱，則y＝f (x)的圖象關于x＝2對稱，
又y＝f (x)的圖象關于點(4，0)成中心對稱，則y＝f (x)的圖象關于點(0，0)成中心對稱，
故y＝f (x)為奇函數，A正確；
因為y＝f (x)為奇函數，故f (－x)＝－f (x)，
由y＝f (x)與y＝g(x)的圖象關于y軸對稱，可得f (x)＝g(－x)，g(x)＝f (－x)，
故g(－x)＝f (x)＝－f (－x)＝－g(x) ，故y＝g(x)為奇函數，B錯誤；由A的分析可知y＝f (x)的圖象關于x＝2對稱，故C正確；由A的分析可知y＝f (x)的圖象關于點(4，0)成中心對稱，y＝f (x)為奇函數，
則y＝f (x)的圖象也關于點(－4，0)成中心對稱，
而y＝f (x)與y＝g(x)的圖象關于y軸對稱，
則y＝g(x)的圖象關于點(4，0)成中心對稱，故D正確，故選ACD．]
類型2　函數的奇偶性、單調性與最值
性質：已知函數f (x)是定義在區間D上的奇函數，則對任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0．特別地，若奇函數f (x)在D上有最值，則f (x)max＋f (x)min＝0，且若0∈D，則f (0)＝0．
【例2】　(1)設函數f (x)＝在區間[－2，2]上的最大值為M，最小值為N，則(M＋N－1)2 024的值為________．
(2)奇函數f (x)在區間[3，6]上是增函數，且在區間[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，則2f (－6)＋f (－3)＝________．
(1)1　(2)－7　[(1)f (x)＝＋1，
設g(x)＝，則g(－x)＝＝－g(x)，可知函數g(x)為奇函數，
g(x)在區間[－2，2]上的最大值與最小值的和為0，
故M＋N＝2，∴(M＋N－1)2 024＝(2－1)2 024＝1．
(2)由題意，函數f (x)在[3，6]上是增函數，在區間[3，6]上的最大值為4，最小值為－1，
故f (3)＝－1，f (6)＝4．
∵f (x)是奇函數，
∴2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×4＋1＝－7．]
類型3　函數的奇偶性、單調性與不等式
性質：具有奇偶性的函數的單調性的特點：
(1)奇函數在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調性．
(2)偶函數在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調性．
【例3】　(1)設定義在R上的奇函數f (x)滿足對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有0，且f (2)＝0，則不等式≥0的解集為(　　)
A．(－∞，－2]∪(0，2]
B．[－2，0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
(2)(多選)定義在R上的奇函數f (x)為減函數，偶函數g(x)在區間[0，＋∞)上的圖象與f (x)的圖象重合，設a>b>0，則下列不等式中成立的為(　　)
A．f (b)－f (－a)g(a)－g(－b)
B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a)
D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)
(1)C　(2)AC　[(1)由題意可得，函數的圖象關于原點對稱，
對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
都有0，
故函數在(0，＋∞)上單調遞減，
故函數在(－∞，0)上也單調遞減．
由不等式≥0可得≤0．
再由f (2)＝0可得f (－2)＝0，故由不等式結合圖象可得x≥2，或x≤－2，故選C．
(2)函數f (x)為R上的奇函數，且為減函數，
偶函數g(x)在區間[0，＋∞)上的圖象與f (x)的圖象重合，由a>b>0，得f (a)f (b)0，f (a)＝g(a)，f (b)＝g(b)；
對于A，f (b)－f (－a)g(a)－g(－b) f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)0(因為在a>0上f (a)＝g(a))，所以A正確；
對于B，f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b) f (b)＋f (a)－g(a)＋g(b)＝2f (b)>0，這與f (b)0矛盾，所以B錯誤；
對于C，f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a) f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]0，這與f (a)f (b)符合，所以C正確；
對于D，f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a) f (a)－f (b)－g(b)＋g(a)＝2[f (a)－f (b)]>0，這與f (a)f (b)矛盾，所以D錯誤．故選AC．]
【例4】　定義在R上的函數f (x)滿足對任意x，y∈R恒有f (xy)＝f (x)＋f (y)，且f (x)不恒為0．
(1)求f (1)和f (－1)的值；
(2)試判斷f (x)的奇偶性，并加以證明；
(3)若當x≥0時，f (x)為增函數，求滿足不等式f (x＋1)－f (2－x)≤0的x的取值集合．
[解]　(1)令x＝y＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)．
∴f (1)＝0．令x＝y＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)，
∴f (－1)＝0．
(2)f (x)為偶函數．證明如下：
令y＝－1，由f (xy)＝f (x)＋f (y)，
得f (－x)＝f (x)＋f (－1)，
又f (－1)＝0，
∴f (－x)＝f (x)，
又f (x)不恒為0，
∴f (x)為偶函數．
(3)由f (x＋1)－f (2－x)≤0，知f (x＋1)≤f (2－x)．
又由(2)知f (x)＝f (|x|)，
∴f (|x＋1|)≤f (|2－x|)．
又∵f (x)在[0，＋∞)上為增函數，
∴|x＋1|≤|2－x|，解得x≤．
故x的取值集合為．微專題2　函數性質的綜合問題
函數的性質(包括函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等)是高中數學的核心內容，也是日常考試的核心命題點之一，命題時常將多種性質結合在一起進行考查，或是探求函數性質，或是應用性質解決問題，側重于函數性質的理解和應用．
類型1　函數的奇偶性與對稱性
性質：函數的對稱軸與對稱中心
(1)若函數f (x)的定義域為D，對 x∈D都有f (a＋x)＝f (a－x)(a為常數)，則x＝a是f (x)的對稱軸．
(2)若函數f (x)的定義域為D，對 x∈D都有f (a＋x)＋f (a－x)＝2b(a，b為常數)，則點(a，b)是f (x)的對稱中心．
【例1】　(1)定義在R上的偶函數y＝f (x)，其圖象關于點對稱，且x∈[0，1]時，f (x)＝－x＋，則f 等于(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．
(2)(多選)(2022·浙江杭州學軍中學月考)已知y＝f (x＋4)是定義域為R的奇函數，y＝g(x－2)是定義域為R的偶函數，且y＝f (x)與y＝g(x)的圖象關于y軸對稱，則(　　)
A．y＝f (x)是奇函數
B．y＝g(x)是偶函數
C．y＝f (x)關于直線x＝2對稱
D．y＝g(x)關于點(4，0)對稱
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　函數的奇偶性、單調性與最值
性質：已知函數f (x)是定義在區間D上的奇函數，則對任意的x∈D，都有f (x)＋f (－x)＝0．特別地，若奇函數f (x)在D上有最值，則＋f (x)min＝0，且若0∈D，則f (0)＝0．
【例2】　(1)設函數f (x)＝在區間[－2，2]上的最大值為M，最小值為N，則(M＋N－1)2 024的值為________．
(2)奇函數f (x)在區間[3，6]上是增函數，且在區間[3，6]上的最大值是4，最小值是－1，則2f (－6)＋f (－3)＝________．
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類型3　函數的奇偶性、單調性與不等式
性質：具有奇偶性的函數的單調性的特點：
(1)奇函數在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調性．
(2)偶函數在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調性．
【例3】　(1)設定義在R上的奇函數f (x)滿足對任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2都有<0，且f (2)＝0，則不等式≥0的解集為(　　)
A．(－∞，－2]∪(0，2]
B．[－2，0]∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
(2)(多選)定義在R上的奇函數f (x)為減函數，偶函數g(x)在區間[0，＋∞)上的圖象與f (x)的圖象重合，設a>b>0，則下列不等式中成立的為(　　)
A．f (b)－f (－a)B．f (b)－f (－a)>g(a)－g(－b)
C．f (a)＋f (－b)D．f (a)＋f (－b)>g(b)－g(－a)
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【例4】　定義在R上的函數f (x)滿足對任意x，y∈R恒有f (xy)＝f (x)＋f (y)，且f (x)不恒為0．
(1)求f (1)和f (－1)的值；
(2)試判斷f (x)的奇偶性，并加以證明；
(3)若當x≥0時，f (x)為增函數，求滿足不等式f (x＋1)－f (2－x)≤0的x的取值集合．
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