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第3章 章末綜合提升
類型1　函數(shù)的概念及其表示
1．函數(shù)有三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，只要定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)；函數(shù)有三種表示方法：列表法、圖象法和解析法，其中分段函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點．
2．掌握函數(shù)定義域、值域的求法，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
【例1】　(1)(2022·貴州遵義四中月考)下列四組函數(shù)中，兩個函數(shù)表示的是同一個函數(shù)的是(　　)
A．f (x)＝，g(x)＝x
B．f (x)＝，g(x)＝
C．f (x)＝，g(x)＝x
D．f (x)＝|x－2|，g(t)＝
(2)(多選)已知函數(shù)f (x)＝關(guān)于函數(shù)f (x)的結(jié)論正確的是(　　)
A．f (x)的定義域為R
B．f (x)的值域為(－∞，4]
C．若f (x)＝2，則x的值是－
D．f (x)1的解集為(－1，1)
(3)(2022·江蘇海安高級中學(xué)月考)f (＋1)＝x－1，則f (x)＝________．
(1)D　(2)BC　(3)x2－2x(x≥1)　[(1)對于A，f (x)＝＝x(x≠0)，二者定義域不相同，對應(yīng)法則相同，不是同一函數(shù)；
對于B，f (x)＝(x≥2)，二者定義域不相同，對應(yīng)法則相同，不是同一函數(shù)；
對于C，f (x)＝＝|x|，二者定義域相同，對應(yīng)法則不相同，不是同一函數(shù)；
對于D，f (x)＝|x－2|＝ 二者定義域、對應(yīng)法則均相同，是同一函數(shù)．故選D．
(2)函數(shù)f (x)＝定義域是[－2，＋∞)，故A錯誤；當(dāng)－2≤x1時，f (x)＝x2，值域為[0，4]，x≥1時，f (x)＝－x＋2，值域為(－∞，1]，故f (x)的值域為(－∞，4]，故B正確；當(dāng)－2≤x1時，令x2＝2，解得x＝－或x＝(舍去)；當(dāng)x≥1時，令－x＋2＝2，解得x＝0(舍去)，所以x＝故C正確；當(dāng)－2≤x1時，令f (x)＝x21，解得x∈(－1，1)，當(dāng)x≥1時，令f (x)＝－x＋21，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)1的解集為(－1，1)∪(1，＋∞)，故D錯誤．故選BC．
(3)令＋1＝t(t≥1) x＝(t－1)2(t≥1)，
于是有f (t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1) f (x)＝x2－2x(x≥1)．]
類型2　函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用
1．利用函數(shù)的圖象可以直觀觀察函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等，重點是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及冪函數(shù)圖象．
2．掌握簡單的基本函數(shù)的圖象，提升直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．
【例2】　已知f (x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f (x)＝－x2＋2x＋2．
(1)求f (－1)；
(2)求f (x)的解析式；
(3)畫出f (x)的圖象，并指出f (x)的單調(diào)區(qū)間．
[解]　(1)由于函數(shù)f (x)是R上的奇函數(shù)，所以對任意的實數(shù)x都有f (－x)＝－f (x)，
所以f (－1)＝－f (1)＝－(－1＋2＋2)＝－3．
(2)設(shè)x0，則－x>0，于是f (－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2．又因為f (x)為奇函數(shù)，所以f (－x)＝－f (x)．因此f (x)＝x2＋2x－2．
又因為f (0)＝0，
所以f (x)＝
(3)先畫出y＝f (x)(x>0)的圖象，利用奇函數(shù)的對稱性可得到相應(yīng)y＝f (x)(x0)的圖象，其圖象如圖所示．
由圖可知，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0)和(0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1]和[1，＋∞)．
類型3　函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
1．本章主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和奇偶性等性質(zhì)，其中利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求值、比較大小、解不等式是重點考查內(nèi)容，解不等式時經(jīng)常結(jié)合圖象，要注意易漏定義域的影響．
2．掌握單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．
【例3】　已知函數(shù)f (x)＝．
(1)判斷f (x)的奇偶性并證明；
(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時，判斷f (x)的單調(diào)性并證明；
(3)在(2)的條件下，若實數(shù)m滿足f (3m)>f (5－2m)，求m的取值范圍．
[解]　(1)函數(shù)f (x)是奇函數(shù)．證明如下：
函數(shù)f (x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因為f (－x)＝＝－＝－f (x)，
所以函數(shù)f (x)是奇函數(shù)．
(2)函數(shù)f (x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．證明如下：
任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1>x2>1，則
f (x1)－f (x2)＝－＝，
因為x1>x2>1，所以x1－x2>0，x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以函數(shù)f (x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
(3)由(2)知函數(shù)f (x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以3m>5－2m>1，解得1m2，
所以m的取值范圍為(1，2)．
類型4　函數(shù)的應(yīng)用
1．本章主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)及分段函數(shù)的建模問題，通過上述模型可以解決生活中的成本最少、利潤最高等問題．
2．通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決實際問題，重點提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
【例4】　為響應(yīng)國家環(huán)保的號召，某企業(yè)計劃2023年引進新型環(huán)保設(shè)備生產(chǎn)新能源汽車，通過市場分析，全年需投入固定成本1 000萬元，每生產(chǎn)x(百輛)汽車，需另投入成本C(x)萬元，且C(x)＝ 若每輛新能源汽車售價為8萬元，并且全年內(nèi)生產(chǎn)的汽車當(dāng)年能全部銷售完．
(1)求2023年的利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式L(x)(其中利潤＝銷售額－成本)
(2)當(dāng)2023年產(chǎn)量為多少輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求最大利潤．
[解]　(1)根據(jù)題意可知，
當(dāng)0x20時，L(x)＝800x－10x2－500x－1 000＝－10x2＋300x－1 000，
當(dāng)x≥20時，L(x)＝800x－801x－＋2 000－1 000＝1 000－，
所以L(x)＝
(2)當(dāng)0x20時，L(x)＝－10x2＋300x－1 000，
∴當(dāng)x＝15時，L(x)取得最大值1 250；
當(dāng)x≥20時，L(x)＝1 000－≤1 000－＝960，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝20時取等號．
∴綜上，當(dāng)x＝15時，L(x)取得最大值1 250．
即2023年產(chǎn)量為1 500輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1 250萬元．第3章 章末綜合提升
類型1　函數(shù)的概念及其表示
1．函數(shù)有三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域，只要定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)；函數(shù)有三種表示方法：列表法、圖象法和解析法，其中分段函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點．
2．掌握函數(shù)定義域、值域的求法，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
【例1】　(1)(2022·貴州遵義四中月考)下列四組函數(shù)中，兩個函數(shù)表示的是同一個函數(shù)的是(　　)
A．f (x)＝，g(x)＝x
B．f (x)＝·，g(x)＝
C．f (x)＝，g(x)＝x
D．f (x)＝|x－2|，g(t)＝
(2)(多選)已知函數(shù)f (x)＝
關(guān)于函數(shù)f (x)的結(jié)論正確的是(　　)
A．f (x)的定義域為R
B．f (x)的值域為(－∞，4]
C．若f (x)＝2，則x的值是－
D．f (x)<1的解集為(－1，1)
(3)(2022·江蘇海安高級中學(xué)月考)f (＋1)＝x－1，則f (x)＝________．
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類型2　函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用
1．利用函數(shù)的圖象可以直觀觀察函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等，重點是一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及冪函數(shù)圖象．
2．掌握簡單的基本函數(shù)的圖象，提升直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．
【例2】　已知f (x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f (x)＝－x2＋2x＋2．
(1)求f (－1)；
(2)求f (x)的解析式；
(3)畫出f (x)的圖象，并指出f (x)的單調(diào)區(qū)間．
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類型3　函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
1．本章主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和奇偶性等性質(zhì)，其中利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求值、比較大小、解不等式是重點考查內(nèi)容，解不等式時經(jīng)常結(jié)合圖象，要注意易漏定義域的影響．
2．掌握單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．
【例3】　已知函數(shù)f (x)＝．
(1)判斷f (x)的奇偶性并證明；
(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時，判斷f (x)的單調(diào)性并證明；
(3)在(2)的條件下，若實數(shù)m滿足f (3m)>f (5－2m)，求m的取值范圍．
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類型4　函數(shù)的應(yīng)用
1．本章主要學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)及分段函數(shù)的建模問題，通過上述模型可以解決生活中的成本最少、利潤最高等問題．
2．通過構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解決實際問題，重點提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
【例4】　為響應(yīng)國家環(huán)保的號召，某企業(yè)計劃2023年引進新型環(huán)保設(shè)備生產(chǎn)新能源汽車，通過市場分析，全年需投入固定成本1 000萬元，每生產(chǎn)x(百輛)汽車，需另投入成本C(x)萬元，且C(x)＝ 若每輛新能源汽車售價為8萬元，并且全年內(nèi)生產(chǎn)的汽車當(dāng)年能全部銷售完．
(1)求2023年的利潤L(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百輛)的函數(shù)關(guān)系式L(x)(其中利潤＝銷售額－成本)
(2)當(dāng)2023年產(chǎn)量為多少輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求最大利潤．
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