資源簡介

4.2　指數函數
第1課時　指數函數的概念
1．通過具體的實例，了解指數函數的實際意義．(數學抽象)
2．理解指數函數的概念，會求指數函數的定義域．(數學運算)
3．能從實際問題中抽象出指數函數，由此解決實際問題．(數學建模)
　　將一張報紙連續對折，折疊次數x與對應的層數y之間存在什么關系？對折后的面積S(設原面積為1)與折疊的次數有怎樣的關系？
折疊次數　對應層數　對折后的面積S
x＝1 y＝2＝21S＝
x＝2 y＝4＝22S＝
x＝3 y＝8＝23S＝
…　　　…　　　　 …
知識點1　指數函數的概念
一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，函數的定義域是R．
指數函數和冪函數的區別：
指數函數的自變量在指數上，而冪函數的自變量在底數上．
知識點2　兩類指數模型
(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當a>1時為指數增長型函數模型．
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當01．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝x2是指數函數． (　　)
(2)函數y＝2－x不是指數函數． (　　)
(3)函數f (x)＝xx為指數函數． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．某地2020年GDP現價總量為a億元，若預計以后每年比上一年增長11%，那么2025年GDP現價總量約為________億元．(參考數據≈1.69)
1.69a　[2025年GDP現價總量為a(1＋11%)5＝a×1.115≈1.69a．]
類型1　指數函數的概念
【例1】　(1)下列函數中，指數函數的個數是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1　　 B．2 　　C．3 　　 D．0
(2)已知函數f (x)＝(2a－1)x是指數函數，則實數a的取值范圍是________．
(1)D　(2)∪(1，＋∞)　[(1)①中底數－8<0，所以不是指數函數；
②中指數不是自變量x，所以不是指數函數；
③中，只有規定a>0且a≠1時，才是指數函數；
④中3x前的系數是2，而不是1，所以不是指數函數，故選D．
(2)由題意可知解得a>且a≠1，
所以實數a的取值范圍是∪(1，＋∞)．]
　判斷一個函數是否為指數函數的方法
(1)底數是大于0且不等于1的常數；
(2)指數函數的自變量必須在指數的位置上；
(3)ax的系數必須為1．
[跟進訓練]
1．若函數y＝(a2－3a＋3)·ax是指數函數，則a的值為________．
2　[由指數函數的定義知　
由①得a＝1或a＝2，結合②得a＝2．]
類型2　指數函數的解析式
【例2】　(1)若函數f (x)是指數函數，且f (2)＝2，則f (x)＝(　　)
A．()x B．2x
C． D．
(2)已知函數f (x)為指數函數，且，則f (－2)＝________．
(1)A　(2)　[(1)由題意，設f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，則由f (2)＝a2＝2，得a＝(負值舍去)，所以f (x)＝()x．
(2)設f (x)＝ax(a>0且a≠1)，由f 得，所以a＝3，所以f (x)＝3x，所以f (－2)＝3-2＝．]
[跟進訓練]
2．如果指數函數y＝f (x)的圖象經過點，那么f (4)·f (2)等于________．
64　[設y＝f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，
所以a-2＝，所以a＝2，
所以f (4)·f (2)＝24×22＝64．]
類型3　指數函數的實際應用
【例3】　(源自湘教版教材)2012年某地區人均GDP為38 852元，2013年為43 992元；如果假定增速不變，取自變量x為2012年后的年數，將該地區人均GDP用函數G(x)＝C·ax來近似地表示，寫出此函數的解析式，依此估計2020年該地區人均GDP數量和相對于2012年的增長倍數，并說明底數a的意義．
[解]　按假設條件和數據，有
G(0)＝C·a0＝38 852，G(1)＝C·a1＝43 992．
解得C＝38 852，a＝≈1.132．
因此該函數的解析式為G(x)＝38 852·1.132x．
依此估計出2020年該地區人均GDP為
G(8)＝C×a8≈38 852×1.1328≈38 852×2.696≈104 745(元)，
相對于2012年，增長了約1.7倍．
底數a是每年人均GDP與上一年的比，平均增長率為(a－1)×100%≈13.2%．
　實際應用問題中指數函數模型的類型
(1)指數增長模型
設原有量為N，每次的增長率為p，則經過x次增長，該量增長到y，則y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指數減少模型
設原有量為N，每次的減少率為p，則經過x次減少，該量減少到y，則y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指數型函數
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函數稱為指數型函數，這是非常有用的函數模型．
[跟進訓練]
3．若鐳經過100年后剩留量為原來的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是(　　)
A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ D．y＝
A　[由100年后剩留量為原來的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6)．故選A．]
1．下列函數一定是指數函數的是(　　)
A．y＝2x+1　　B．y＝x3　　C．y＝3·2x　　D．y＝3－x
D　[結合指數函數的定義可知D正確，故選D．]
2．若函數y＝(m2－m－1)·mx是指數函數，則m等于(　　)
A．－1或2　　B．－1　　C．2　　D．
C　[依題意，有解得m＝2(m＝－1舍去)．]
3．若指數函數f (x)的圖象過點(3，8)，則f (x)的解析式為(　　)
A．f (x)＝x3 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x
B　[設f (x)＝ax(a>0且a≠1)，則由f (3)＝8得
a3＝8，∴a＝2，∴f (x)＝2x，故選B．]
4．碳14的半衰期為5 730年，那么碳14的年衰變率為________．
　[設原物質的量為1，則經過一年后該物質剩余量為，即年衰變率為．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數f (x)＝ax是指數函數嗎？
[提示]　不一定．當a>0且a≠1時，f (x)＝ax是指數函數．
2．指數模型的解析式具有怎樣的形式？
[提示]　形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)．4.2　指數函數
第1課時　指數函數的概念
1．通過具體的實例，了解指數函數的實際意義．(數學抽象)
2．理解指數函數的概念，會求指數函數的定義域．(數學運算)
3．能從實際問題中抽象出指數函數，由此解決實際問題．(數學建模)
將一張報紙連續對折，折疊次數x與對應的層數y之間存在什么關系？對折后的面積S(設原面積為1)與折疊的次數有怎樣的關系？
折疊次數　對應層數　對折后的面積S
x＝1 y＝2＝21S＝
x＝2 y＝4＝22S＝＝
x＝3 y＝8＝23S＝＝
…　　　　…　　　　…
知識點1　指數函數的概念
一般地，函數________(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中________是自變量，函數的定義域是________．
指數函數和冪函數的區別：
指數函數的自變量在指數上，而冪函數的自變量在底數上．
知識點2　兩類指數模型
(1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當______時為指數增長型函數模型．
(2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當______時為指數衰減型函數模型．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)y＝x2是指數函數． (　　)
(2)函數y＝2－x不是指數函數． (　　)
(3)函數f (x)＝xx為指數函數． (　　)
2．某地2020年GDP現價總量為a億元，若預計以后每年比上一年增長11%，那么2025年GDP現價總量約為________億元．(參考數據1.114≈1.52，1.115≈1.69)
類型1　指數函數的概念
【例1】　(1)下列函數中，指數函數的個數是(　　)
①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x．
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．0
(2)已知函數f (x)＝(2a－1)x是指數函數，則實數a的取值范圍是________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判斷一個函數是否為指數函數的方法
(1)底數是________________________；
(2)指數函數的自變量必須在________的位置上；
(3)ax的系數必須為________．
[跟進訓練]
1．若函數y＝(a2－3a＋3)·ax是指數函數，則a的值為________．
類型2　指數函數的解析式
【例2】　(1)若函數f (x)是指數函數，且f (2)＝2，則f (x)＝(　　)
A．()x B．2x
C． D．
(2)已知函數f (x)為指數函數，且f ＝，則f (－2)＝________．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[跟進訓練]
2．如果指數函數y＝f (x)的圖象經過點，那么f (4)·f (2)等于________．
類型3　指數函數的實際應用
【例3】　(源自湘教版教材)2012年某地區人均GDP為38 852元，2013年為43 992元；如果假定增速不變，取自變量x為2012年后的年數，將該地區人均GDP用函數G(x)＝C·ax來近似地表示，寫出此函數的解析式，依此估計2020年該地區人均GDP數量和相對于2012年的增長倍數，并說明底數a的意義．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　實際應用問題中指數函數模型的類型
(1)指數增長模型
設原有量為N，每次的增長率為p，則經過x次增長，該量增長到y，則y＝____________．
(2)指數減少模型
設原有量為N，每次的減少率為p，則經過x次減少，該量減少到y，則y＝______________．
(3)指數型函數
把形如________________________的函數稱為指數型函數，這是非常有用的函數模型．
[跟進訓練]
3．若鐳經過100年后剩留量為原來的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是(　　)
A．y＝ B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ D．y＝
1．下列函數一定是指數函數的是(　　)
A．y＝2x+1 B．y＝x3
C．y＝3·2x D．y＝3－x
2．若函數y＝(m2－m－1)·mx是指數函數，則m等于(　　)
A．－1或2 B．－1
C．2 D．
3．若指數函數f (x)的圖象過點(3，8)，則f (x)的解析式為(　　)
A．f (x)＝x3 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝ D．f (x)＝x
4．碳14的半衰期為5 730年，那么碳14的年衰變率為________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數f (x)＝ax是指數函數嗎？
2．指數模型的解析式具有怎樣的形式？第2課時　指數函數的圖象和性質
1．能畫出具體指數函數的圖象，并能根據指數函數的圖象說明指數函數的性質．(直觀想象)
2．學會用指數函數的圖象和性質比較函數值的大小．(邏輯推理)
分別在同一平面直角坐標系內畫出y＝2x與y＝的圖象，通過觀察具體的指數函數的圖象，歸納、抽象出y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質．
知識點　指數函數的圖象和性質
a的范圍 a＞1 0＜a＜1
圖象
性質 定義域 R
值域 (0，＋∞)
過定點 (0，1)，即當x＝0時，y＝1
單調性 在R上是增函數 在R上是減函數
奇偶性 非奇非偶函數
對稱性 函數y＝ax與y＝a－x的圖象關于y軸對稱
指數函數圖象的其他特征：在y軸右側，底數越大，圖象越高，簡稱“底大圖高”．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)指數函數y＝mx(m>0，且m≠1)是R上的增函數． (　　)
(2)指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)既不是奇函數，也不是偶函數． (　　)
(3)所有的指數函數圖象過定點(0，1)． (　　)
(4)函數y＝a|x|與函數y＝|ax|的圖象是相同的． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
類型1　指數函數的圖象
【例1】　如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是(　　)
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
B　[作直線x＝1，與四個圖象分別交于A，B，C，D四點，則A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由圖可知b]
　解決指數函數圖象問題的注意點
(1)熟記當底數a>1和0(2)在y軸右側，指數函數的圖象“底大圖高”．
[跟進訓練]
1．已知0A　　　　B　　　　C　　　　D
C　[由于0類型2　指數函數的圖象的應用
【例2】　(1)函數f (x)＝2ax+1－3(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點是________．
(2)利用函數y＝f (x)＝2x的圖象，作出下列各函數的圖象：
①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)；⑤|f (x)－1|．
(1)(－1，－1)　[因為y＝ax(a>0且a≠1)的圖象過定點(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，則f (－1)＝－1，故f (x)＝2ax+1－3的圖象過定點(－1，－1)．]
(2)[解]　利用指數函數y＝2x的圖象及變換作圖法可作出所要作的函數圖象．如圖所示．
①　　　　　　　　　②　
③　　　　　　④　　　　　　⑤
　指數函數圖象問題的處理技巧
(1)抓住圖象上的特殊點，如指數函數的圖象過定點．
(2)利用圖象變換，如函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．
(3)利用函數的奇偶性與單調性．奇偶性確定函數的對稱情況，單調性決定函數圖象的走勢．
[跟進訓練]
2．(1)函數f (x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)要使g(x)＝3x+1＋t的圖象不經過第二象限，則t的取值范圍為(　　)
A．t≤－1 B．t<－1
C．t≤－3 D．t≥－3
(1)D　(2)C　[(1)由于f (x)在R上單調遞減，所以0又00，所以b<0，故選D．
(2)∵函數g(x)＝3x+1＋t的圖象過定點(0，3＋t)，且為增函數，要使g(x)的圖象不經過第二象限，則3＋t≤0，解得t≤－3．]
類型3　利用指數函數的單調性比較大小
【例3】　比較下列各組數的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1)．
[解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函數y＝1.5x的兩個函數值，由于底數1.5>1，所以函數y＝1.5x在R上是增函數，因為2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2．
(2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函數y＝0.6x的兩個函數值，
因為函數y＝0.6x在R上是減函數，且－1.2>－1.5，
所以0.6-1.2<0.6-1.5．
(3)由指數函數性質得，1.70.2>1.70＝＝1，
所以1.70.2>0.92.1．
(4)當a>1時，y＝ax在R上是增函數，故a1.1>a0.3；
當0　比較冪大小的方法
(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小，利用指數函數的單調性來判斷．
(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小，利用冪函數的單調性來判斷．
(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小，則通過中間量來判斷．
(4)當底數含參數時，如比較a3，a2的大小時，要按底數a>1和0[跟進訓練]
3．(多選)下列各式比較大小正確的是(　　)
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.90.3＞0.93.1 D．
BC　[對于A，∵函數y＝1.7x在R上單調遞增，且2.5＜3，∴1.72.5<1.73，故A錯誤；對于B，，∵函數y＝2x在R上單調遞增，且－∴，故B正確；對于C，＞1.90＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.90.3＞0.93.1，故C正確；對于D，∵函數y＝在R上單調遞減，且，∴，又函數y＝在(0，＋∞)上單調遞增，且，∴，∴，故D錯誤．故選BC．]
1．函數y＝3－x的圖象是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　D
B　[∵y＝3－x＝，∴B選項正確．]
2．函數f (x)＝πx與g(x)＝的圖象關于(　　)
A．原點對稱 B．x軸對稱
C．y軸對稱 D．直線y＝－x對稱
C　[設點(x，y)為函數f (x)＝πx的圖象上任意一點，則點(－x，y)為g(x)＝π－x＝的圖象上的點．因為點(x，y)與點(－x，y)關于y軸對稱，所以函數f (x)＝πx與g(x)＝的圖象關于y軸對稱．]
3．設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．aC．bC　[∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函數y＝0.6x在R上是減函數，且1.5>0.6，
∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6．
即b4．函數f (x)＝3－ax+1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點________．
(－1，2)　[∵y＝ax(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(0，1)，
∴令x＋1＝0，即x＝－1，則f (－1)＝2．
故f (x)＝3－ax+1的圖象恒過定點(－1，2)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)，圖象的高低與a的取值有何關系？
[提示]　指數函數y＝ax的圖象如圖所示．在第一象限內，底數a自上向下依次遞減．
圖中底數的大小關系為0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．
2．比較冪的大小的常用方法有哪些？
[提示]　第2課時　指數函數的圖象和性質
1．能畫出具體指數函數的圖象，并能根據指數函數的圖象說明指數函數的性質．(直觀想象)
2．學會用指數函數的圖象和性質比較函數值的大小．(邏輯推理)
分別在同一平面直角坐標系內畫出y＝2x與y＝的圖象，通過觀察具體的指數函數的圖象，歸納、抽象出y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象與性質．
知識點　指數函數的圖象和性質
a的范圍 a＞1 0＜a＜1
圖象
性質 定義域 R
值域 ________
過定點 ________，即當x＝0時，y＝______
單調性 在R上是______ 在R上是______
奇偶性 非奇非偶函數
對稱性 函數y＝ax與y＝a－x的圖象關于________對稱
指數函數圖象的其他特征：在y軸右側，底數越大，圖象越高，簡稱“底大圖高”．
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)指數函數y＝mx(m>0，且m≠1)是R上的增函數． (　　)
(2)指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)既不是奇函數，也不是偶函數． (　　)
(3)所有的指數函數圖象過定點(0，1)． (　　)
(4)函數y＝a|x|與函數y＝|ax|的圖象是相同的． (　　)
類型1　指數函數的圖象
【例1】　如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是(　　)
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解決指數函數圖象問題的注意點
(1)熟記當底數a>1和0(2)在y軸右側，指數函數的圖象“底大圖高”．
[跟進訓練]
1．已知0A　　　　B　　　　C　　　　D
類型2　指數函數的圖象的應用
【例2】　(1)函數f (x)＝2ax+1－3(a>0，且a≠1) 的圖象恒過的定點是________．
(2)利用函數y＝f (x)＝2x的圖象，作出下列各函數的圖象：
①f (x－1)；②f (|x|)；③f (x)－1；④－f (x)；⑤|f (x)－1|．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指數函數圖象問題的處理技巧
(1)抓住圖象上的特殊點，如指數函數的圖象過定點．
(2)利用圖象變換，如函數圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．
(3)利用函數的奇偶性與單調性．奇偶性確定函數的對稱情況，單調性決定函數圖象的走勢．
[跟進訓練]
2．(1)函數f (x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0(2)要使g(x)＝3x+1＋t的圖象不經過第二象限，則t的取值范圍為(　　)
A．t≤－1 B．t<－1
C．t≤－3 D．t≥－3
類型3　利用指數函數的單調性比較大小
【例3】　比較下列各組數的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6-1.2和0.6-1.5；
(3)1.70.2和0.92.1；
(4)a1.1與a0.3(a>0且a≠1)．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　比較冪大小的方法
(1)對于同底數不同指數的兩個冪的大小，利用________的單調性來判斷．
(2)對于底數不同指數相同的兩個冪的大小，利用________的單調性來判斷．
(3)對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小，則通過________來判斷．
(4)當底數含參數時，如比較a3，a2的大小時，要按底數a>1和0[跟進訓練]
3．(多選)下列各式比較大小正確的是(　　)
A．1.72.5＞1.73 B．
C．1.90.3＞0.93.1 D．
1．函數y＝3－x的圖象是(　　)
A　 　　B　　　　C　　　　D
2．函數f (x)＝πx與g(x)＝的圖象關于(　　)
A．原點對稱 B．x軸對稱
C．y軸對稱 D．直線y＝－x對稱
3．設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．aC．b4．函數f (x)＝3－ax+1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)，圖象的高低與a的取值有何關系？
2．比較冪的大小的常用方法有哪些？第3課時　指數函數的性質的應用
能利用函數的單調性解不等式、求函數定義域與值域．(邏輯推理、數學運算)
類型1　指數型不等式的解法
【例1】　(1)解不等式≤2；
(2)已知0，且a≠1)，求x的取值范圍．
[解]　(1)∵2＝，∴原不等式可以轉化為≤．
∵y＝在R上是減函數，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情況討論：
①當00，a≠1)在R上是減函數，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
根據相應二次函數的圖象可得x<－1或x>5；
②當a>1時，函數f (x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函數，∴x2－3x＋1根據相應二次函數的圖象可得－1綜上所述，當05；當a>1時，－1　指數型不等式的解法
(1)指數型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
當a>1時，f (x)>g(x)；
當0(2)如果不等式的形式不是同底指數式的形式，要先進行變形將不等式兩邊的底數進行統一，此時常用到以下結論：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[跟進訓練]
1．已知3x≥，求實數x的取值范圍．
[解]　因為＝30.5，所以由3x≥可得，3x≥30.5，
因為y＝3x為增函數，故x≥0.5．
類型2　指數型函數的值域
【例2】　(1)求函數y＝(－1≤x≤3)的值域；
(2)求函數y＝＋＋1的值域．
[解]　(1)因為－1≤x≤3，所以u＝－2x2－8x＋1＝－2(x＋2)2＋9∈[－41，7]．
又因為y＝在(－∞，＋∞)上單調遞減，
所以y∈
類型2　指數型函數的值域
【例2】　(1)求函數y＝(－1≤x≤3)的值域；
(2)求函數y＝＋＋1的值域．
[解]　(1)因為－1≤x≤3，所以u＝－2x2－8x＋1＝－2(x＋2)2＋9∈[－41，7]．
又因為y＝在(－∞，＋∞)上單調遞減，
所以y∈，即值域為．
(2)令t＝>0，則y＝t2＋t＋1＝＋在(0，＋∞)上單調遞增，∴值域為(1，＋∞)．
　y＝af (x)型函數的值域的求法
(1)形如y＝af (x)的函數的值域，先求出u＝f (x)的值域，再結合y＝au的單調性求出y＝af (x)的值域．若a的取值范圍不確定，則需對a進行分類討論．
(2)求函數y＝f (ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f (t)的值域．
[跟進訓練]
2．已知0≤x≤2，求函數y＝－2×＋2的值域．
[解]　令＝t，∵0≤x≤2，∴t∈，
又y＝4t2－2t＋2在上單調遞增，
∴y∈．∴此函數的值域為．
類型3　指數型函數的單調性及應用
【例3】　判斷f (x)＝的單調性．
思路導引：
[解]　令u＝x2－2x，則原函數變為y＝．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增，又∵y＝在(－∞，＋∞)上單調遞減，
∴f (x)＝在(－∞，1]上單調遞增，在[1，＋∞)上單調遞減．
[母題探究]
把本例的函數改為“y＝”，求其單調區間．
[解]　函數y＝的定義域是R．
令u＝－x2＋2x，則y＝2u．
當x∈(－∞，1]時，函數u＝－x2＋2x為增函數，函數y＝是增函數，
所以函數y＝在(－∞，1]上是增函數．
當x∈[1，＋∞)時，函數u＝－x2＋2x為減函數，函數y＝是增函數，所以函數y＝在[1，＋∞)上是減函數．
綜上，函數y＝的單調遞減區間是[1，＋∞)，單調遞增區間是(－∞，1]．
　函數y＝af (x)(a>0，a≠1)的單調性的處理技巧
(1)關于指數型函數y＝af (x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0(2)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通過f (u)和φ(x)的單調性，求出y＝f (φ(x))的單調性．
[跟進訓練]
3．求下列函數的單調區間：
(1)y＝(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
[解]　(1)設u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上是增函數，在上是減函數，
∵a>1時，y＝au在R上單調遞增，
故函數y＝(a＞1)的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
(2)當x∈[1，＋∞)時，函數y＝2x－1，因為t＝x－1為增函數，y＝2t為增函數，
∴y＝2x-1在[1，＋∞)上單調遞增；
當x∈(－∞，1)時，函數y＝21-x．
而t＝1－x為減函數，y＝2t為增函數，
∴y＝21-x在(－∞，1)上為減函數．
故函數y＝2|x-1|的單調遞減區間為(－∞，1)，單調遞增區間為[1，＋∞)．
1．若2x+1<1，則x的取值范圍是(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
D　[∵2x+1<1＝20，且y＝2x是增函數，
∴x＋1<0，∴x<－1．故選D．]
2．函數y＝(x≥8)的值域是(　　)
A．R B．
C． D．
B　[因為y＝在[8，＋∞)上單調遞減，所以0<≤＝．故選B．]
3．f (x)＝，x∈R，那么f (x)是(　　)
A．奇函數且在(0，＋∞)上是增函數
B．偶函數且在(0，＋∞)上是增函數
C．奇函數且在(0，＋∞)上是減函數
D．偶函數且在(0，＋∞)上是減函數
D　[由x∈R且f (－x)＝f (x)知f (x)是偶函數，
當x>0時，f (x)＝在(0，＋∞)上是減函數．]
4．函數y＝的定義域是________．
[0，＋∞)　[由1－≥0得≤1＝，
∴x≥0，∴函數y＝的定義域為[0，＋∞)．]
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數y＝af (x)的單調性與y＝f (x)的單調性存在怎樣的對應關系？
[提示]　當a>1時，y＝af (x)與f (x)的單調性相同；
當0即“同增異減”．
2．如何求函數y＝af (x)的值域？
[提示]　函數y＝af (x)的值域的求解方法如下：
(1)換元，令t＝f (x)；
(2)求t＝f (x)的值域M；
(3)利用y＝at的單調性求y＝af (x)的值域．第3課時　指數函數的性質的應用
　　能利用函數的單調性解不等式、求函數定義域與值域．(邏輯推理、數學運算)
類型1　指數型不等式的解法
【例1】　(1)解不等式≤2；
(2)已知0，且a≠1)，求x的取值范圍．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　指數型不等式的解法
(1)指數型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法：
當a>1時，____________；
當0(2)如果不等式的形式不是同底指數式的形式，要先進行變形將不等式兩邊的________進行統一，此時常用到以下結論：1＝________(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等．
[跟進訓練]
1．已知3x≥，求實數x的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　指數型函數的值域
【例2】　(1)求函數y＝(－1≤x≤3)的值域；
(2)求函數y＝＋＋1的值域．
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　y＝af (x)型函數的值域的求法
(1)形如y＝af (x)的函數的值域，先求出u＝f (x)的值域，再結合y＝au的單調性求出y＝af (x)的值域．若a的取值范圍不確定，則需對a進行分類討論．
(2)求函數y＝f (ax)的值域，先求出t＝ax的值域，再求y＝f (t)的值域．
[跟進訓練]
2．已知0≤x≤2，求函數y＝－2×＋2的值域．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　指數型函數的單調性及應用
【例3】　判斷f (x)＝的單調性．
思路導引：
[嘗試解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母題探究]
把本例的函數改為“y＝2－x2＋2x”，求其單調區間．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　函數y＝af (x)(a>0，a≠1)的單調性的處理技巧
(1)關于指數型函數y＝af (x)(a>0，且a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數a>1還是0(2)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通過f (u)和φ(x)的單調性，求出y＝f (φ(x))的單調性．
[跟進訓練]
3．求下列函數的單調區間：
(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x-1|．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若2x+1<1，則x的取值范圍是(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
2．函數y＝(x≥8)的值域是(　　)
A．R B．
C． D．
3．f (x)＝，x∈R，那么f (x)是(　　)
A．奇函數且在(0，＋∞)上是增函數
B．偶函數且在(0，＋∞)上是增函數
C．奇函數且在(0，＋∞)上是減函數
D．偶函數且在(0，＋∞)上是減函數
4．函數y＝的定義域是________．
回顧本節知識，自主完成以下問題：
1．函數y＝af (x)的單調性與y＝f (x)的單調性存在怎樣的對應關系？
2．如何求函數y＝af (x)的值域？

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